Metoda Karusha-Kuhna-Tuckera
|
|
- Sławomir Kowal
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Badania operacyjne i teoria optymalizacji Poznań, 2015/2016 Plan 1 Sformułowanie problemu 2 3 Warunki ortogonalności 4 Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera 5 Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera 6
2 Ograniczenia w postaci nierówności Postać ograniczeń f i (x) = 0 f i (x) 0 i f i (x) 0 lub f i (x) = 0 f i (x) 0 i f i (x) 0 Postać kanoniczna problemu programowania matematycznego Sformułowanie problemu [ x R n ]zminimalizować f 0 (x) przy ograniczeniach f i (x) 0, i = 1,..., m
3 [ x R n ]zminimalizować f 0 14) 2 + (x 2 11) 2 przy ograniczeniach f 1 11) 2 + (x 2 13) f 2 (x) = x 1 + x x 2 f 1 11) 2 + (x 2 13) 2 49 (0, 0) x 1
4 x 2 f 1 11) 2 + (x 2 13) 2 49 (0, 0) f 2 (x) = x 1 +x x 1 x 2 f 1 11) 2 + (x 2 13) 2 49 f 0 14) 2 + (x 2 11) 2 (0, 0) f 2 (x) = x 1 +x x 1
5 x 2 f 1 11) 2 + (x 2 13) 2 49 f 0 14) 2 + (x 2 11) 2 x = (11, 8) (0, 0) f 2 (x) = x 1 +x x 1 x 2 f 0 14) 2 + (x 2 11) 2 x = (11, 8) (0, 0) f 2 (x) = x 1 +x x 1
6 Ograniczenia aktywne x 2 f 0 14) 2 + (x 2 11) 2 x = (11, 8) (0, 0) f 2 (x) = x 1 +x 2 19 = 0 x 1 [ x R n ]zminimalizować f 0 14) 2 + (x 2 11) 2 przy ograniczeniach: ograniczenie nieaktywne f 1 11) 2 + (x 2 13) ograniczenie aktywne: f 2 (x) = x 1 + x 2 19 = 0 Można zastosować metodę Lagrange a albo podstawienie.
7 Postępowanie gdy ograniczenia mają postać nerówności 1 Ustalić, które ograniczenia są aktywne, a które nieaktywne. 2 Usunąć ograniczenia nieaktywne i zamienić ograniczenia aktywne na równości. 3 Rozwiązać otrzymane zadanie metodą Lagrange a. Warunki ortogonalności Funkcja Lagrange a: L(x, u) = f 0 (x) + u 2 f 2 (x) L(x, u) = f 0 (x) + u 1 f 1 (x) + u 2 f 2 (x) u 1 = 0
8 Warunki ortogonalności Funkcja Lagrange a: L(x, u) = f 0 (x) + m u i f i (x) i=1 warunki ortogonalności u i f i (x) = 0, i = 1,..., m Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera (KKT) [ x R n ]zminimalizować f 0 (x) przy ograniczeniach f i (x) 0, i = 1,..., m f 0 (x) + m i=1 u i f i (x) = 0 u i f i (x) = 0, i = 1,..., m f i (x) 0, i = 1,..., m u i 0, i = 1,..., m warunki gradientowe warunki ortogonalności warunki dopuszczalności warunki nieujemności
9 Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera Dany jest problem programowania matematycznego: [ x R n ]zminimalizować f 0 (x) przy ograniczeniach f i (x) 0, i = 1,..., m warunki konieczne jeżeli i i to ( ) f i jest różniczkowalna, i = 0,..., m x jest minimum lokalnym spełnione są ograniczenia ( ) istnieje wektor u taki, że (x, u ) spełnia warunki KKT; warunki dostateczne jeżeli i to (x, u ) spełnia warunki KKT f i jest funkcją wypukłą, i = 0,..., m x jest minimum globalnym. Funkcja wypukła Funkcja f jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów x oraz y zachodzi: f (λx + (1 λ)y) λf (x) + (1 λ)f (y) dla wszystkich λ takich, że 0 λ 1. Funkcja f (x) jest wklęsła wtw gdy funkcja ( f (x)) jest wypukła.
10 Sprawdzanie wypukłości funkcji 1 Z definicji wypukłości 2 Z określoności Hesjanu 3 Z twierdzeń o minorach Głównym minorem (wiodącym) macierzy H nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej, którego główna przekątna zawiera się w głównej przekątnej H i zgodny jest element (1,1). Jeżeli H jest symetryczna, to H jest dodatnio określona wtw każdy wiodący minor główny jest dodatni; H jest dodatnio półokreślona wtw wszystkie minory główne są nieujemne. Hesjan a wypukłość funkcji H(x) jest dodatnio półokreślona dla wszystkich wartości x f (x) jest funkcją wypukłą H(x) jest dodatnio określona dla wszystkich wartości x f(x) jest funkcją ściśle wypukłą
11 Wnioski Jeżeli funkcja jest wypukła, to jej punkt stacjonarny jest z pewnością minimum. Jeżeli funkcja celu i warunki ograniczające są wypukłe, to rozwiązanie warunków KKT odpowiada znalezieniu minimum globalnego. 1 Sformułować funkcję Lagrange a L(x, u) = f 0 (x) + m u i f i (x) 2 Znaleźć wszystkie rozwiązania (x, u ) następujacego układu równań i nierówności: L x j = 0 j = 1,..., n u i f i (x) = 0 i = 1,..., m f i (x) 0 i = 1,..., m u i 0 i = 1,..., m 3 Jeżeli wszystkie funkcje f i są ciągłe, to punkt x jest minimum globalnym. Wprzeciwnym razie należy zbadać każdy punkt (x, u ) i określić, czy jest w nim osiągane optimum. i=1
12 zminimalizować f 0 (x) = 3x x 2 przy ograniczeniach f 1 (x) = x1 2 + x f 2 (x) = x 1 0 f 3 (x) = x 2 0
Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowo2. Optymalizacja bez ograniczeń
2. Optymalizacja bez ograniczeń 1. Podaj definicję ścisłego minimum lokalnego zadania 2. Podaj definicję minimum lokalnego zadania 3. Podaj definicję ścisłego minimum globalnego zadania 4. Podaj definicję
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016
Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE NIELINIOWE
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie programowania nieliniowego (ZPN) min f(x) g i (x) 0, h i (x) = 0, i = 1,..., m g i = 1,..., m h f(x) funkcja celu g i (x) i
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoWYKŁAD nr Ekstrema funkcji jednej zmiennej o ciągłych pochodnych. xˆ ( ) 0
WYKŁAD nr 4. Zaanie programowania nieliniowego ZP. Ekstrema unkcji jenej zmiennej o ciągłych pochonych Przypuśćmy ze punkt jest punktem stacjonarnym unkcji gzie punktem stacjonarnym nazywamy punkt la którego
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Optymalizacja
Maciej Grzesiak Optymalizacja Oznaczenia. Część pojęć i twierdzeń jest formułowana dla ogólnej przestrzeni liniowej V. Jeśli jest ona skończenie wymiarowa, tzn. V = R n dla pewnego n, to wektory traktujemy
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Optymalizacja Optymalizacja Definicja 1 Przez optymalizację będziemy rozumieć szukanie minimów lub maksimów funkcji. Optymalizacja Definicja 2 Optymalizacja lub programowanie matematyczne
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoTechniki Optymalizacji: Optymalizacja wypukła
Techniki Optymalizacji: Optymalizacja wypukła Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: piątek 15:10-16:40
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Konstrukcja modelu matematycznego... 1
Spis treści Wstęp........................................................ XI 1. Konstrukcja modelu matematycznego............................. 1 2. Relacje. Teoria preferencji konsumenta...........................
Bardziej szczegółowoSVM: Maszyny Wektorów Podpieraja cych
SVM 1 / 24 SVM: Maszyny Wektorów Podpieraja cych Nguyen Hung Son Outline SVM 2 / 24 1 Wprowadzenie 2 Brak liniowej separowalności danych Nieznaczna nieseparowalność Zmiana przetrzeń atrybutów 3 Implementacja
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji nieliniowej w R Podstawy teoretyczne i zastosowania ekonomiczne. Bogumił Kamiński, Grzegorz Koloch, Michał Lewandowski
Metody optymalizacji nieliniowej w R Podstawy teoretyczne i zastosowania ekonomiczne Bogumił Kamiński, Grzegorz Koloch, Michał Lewandowski 29 lipca 2014 Spis treści Wprowadzenie....................................
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne
Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawy optymalizacji Plan prezentacji 1 Podstawy matematyczne 2 3 Eliminacja ograniczeń Metody
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1. Wykład 3. Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia optymalizacyjnego:
ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1 Wykład 3 3. Otymalizacja z ograniczeniami Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia otymalizacyjnego: g i HxL 0, i = 1, 2,..., m (3.1)
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoPewne własności zbiorów i funkcji wypukłych w przestrzeniach unormowanych
Maciej Grzesiak Pewne własności zbiorów i funkcji wypukłych w przestrzeniach unormowanych 1. Pochodna funkcji o argumencie wektorowym Niech f : W R, gdzie W R n jest zbiorem otwartym. Oznaczenia: x = (x
Bardziej szczegółowo1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg.
Zbiory i funkcje wypukłe, 2005/06 1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg. Oznaczenia, definicje, twierdzonka. Wszystkie rozważania prowadzone są w przestrzeni euklidesowej
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)
Bardziej szczegółowoZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ
ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoElementy optymalizacji nieliniowej
Elementy optymalizacji nieliniowej dla studentów MSEM, semestr letni 2009 Paweł Goldstein Instytut Matematyki UW 1 2 PAWEŁ GOLDSTEIN 1. Zasady zaliczania. Wykłady 1 i 2 co tydzień kartkówka (15 min) -
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoElementy optymalizacji nieliniowej
Elementy optymalizacji nieliniowej dla studentów MSEM, semestr letni 2011 Paweł Goldstein Instytut Matematyki UW 1 2 PAWEŁ GOLDSTEIN 1. Zasady zaliczania. Wykłady 1 i 2 4 do 5 karkówek (20 min), zapowiedziane
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoPoziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 2L, 1C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Metody optymalizacji w ekonomii
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoRegulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego
Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem
Bardziej szczegółowo1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoEkonomia. matematyczna. Materia y do çwiczeƒ. Joanna Górka Witold Orzeszko Marcin Wata
Ekonomia matematyczna Materia y do çwiczeƒ Joanna Górka Witold Orzeszko Marcin Wata Ekonomia matematyczna Ekonomia matematyczna Materia y do çwiczeƒ Joanna Górka Witold Orzeszko Marcin Wata WYDAWNICTWO
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 4. Metody kierunków poprawy (metoda spadku wzdłuż gradientu) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 21.03.2019 1 / 41 Plan wykładu Minimalizacja
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowoTeoria. a, jeśli a < 0.
Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rozważ funkcję f(x, y) = (x + y)(x + 6)( y 3) określoną na zbiorze R 2.
Zadanie 1. Rozważ funkcję f(x, y) = (x + y)(x + 6)( y 3) określoną (ii) (3pt) Zbadaj, czy w punktach A = ( 3, 0), B = (1, 2), C = ( 6, 3) funkcja f ma maksimum lokalne. (iii) (2pt) Zbadaj, czy w punktach
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego
Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoFunkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
Bardziej szczegółowo1. Przekształcenia dwuliniowe oraz formy kwadratowe
1. Przekształcenia dwuliniowe oraz formy kwadratowe Niech K będzie dowolnym ciałem (zwykle będziemy przyjmować K = R lub K = Q). Oznaczmy przez M n m (K) zbiór wszystkich macierzy prostokątnych a 11...
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoZestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowo4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowo