Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k

Transkrypt

1 Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy szeregiem liczbowym i zapisujemy: n=1 a n. S n - n-ta suma częściowa a n - wyraz ogólny szeregu n k=1 Jeżeli ciąg sum częściowych (S n ) jest zbieżny czyli lim n S n = S, to mówimy, że szereg jest zbieżny, a S nazywamy sumą szeregu. Piszemy n=1 a n = S. a k Twierdzenie 1. [ Warunek konieczny zbieżności] Jeżeli szereg n=1 a n jest zbieżny, to lim n a n = 0. Dowód: Jeżeli szereg n=1 a n jest zbieżny, to lim n S n = S. Wtedy lim n a n = lim n S n S n 1 = S S = 0. Wniosek: jeżeli lim n a n 0, to szereg n=1 a n jest rozbieżny.

2 Przykład 1. Przykład 2. Definicja 2. [Szeregi Dirichleta (harmoniczne rzędu r)] n=1 1 n r { zbieżny dla r > 1 rozbieżny dla r 1, Przykład Definicja 3. [Szeregi geometryczne:] q n { zbieżny i S = 1 dla q < 1 1 q rozbieżny dla q 1

3 Przykład Niech n=1 a n, a n 0 dla każdego n N. Kryterium porównawcze: SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH Jeżeli dane są dwa szeregi n=1 a n i n=1 b n takie, że 0 a n b n (dla każdego n lub dla każdego n n 0 ), to: n=1 a n też jest zbieżny, 1) jeżeli n=1 b n jest zbieżny, to 2) jeżeli n=1 a n jest rozbieżny, to n=1 b n też jest rozbieżny. Pomnożenie szeregu przez liczbę oraz pominięcie skończonej ilości jego wyrazów nie wpływa na jego zbieżność. Kryterium ilorazowe d Alamberta Niech a n > 0.

4 a Jeżeli lim n+1 n a n = g, to: 1) szereg n=1 a n jest zbieżny, gdy g < 1, 2) szereg n=1 a n jest rozbieżny, gdy g > 1, 3) kryterium nie rozstrzyga, gdy g = 1. Kryterium pierwiastkowe Cauchy ego Niech a n 0. Jeżeli lim n n a n = g, to: 1) szereg n=1 a n jest zbieżny, gdy g < 1, 2) szereg n=1 a n jest rozbieżny, gdy g > 1, 3) kryterium nie rozstrzyga, gdy g = 1. Kryterium całkowe Niech a n > 0 oraz a n > a n+1. Jeżeli a n = f(n), to tworzymy funkcję malejącą f(x), (zastepując zmienną n N zmienną x R). Wtedy 1) jeżeli całka 1 f(x)dx jest zbieżna, to szereg szereg n=1 a n jest zbieżny. 2) jeżeli całka f(x)dx jest rozbieżna, to szereg szereg 1 n=1 a n jest rozbieżny.

5 SZEREGI NAPRZEMIENNE -szeregi o wyrazach na przemian dodatnich i ujemnych: n=1 ( 1)n+1 a n, a n > 0. Kryterium Leibniza Jeżeli a 1 a 2... a n a n+1... i lim n a n = 0, to szereg n=1 ( 1)n+1 a n jest zbieżny. SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH ( ) szereg o wyrazach dowolnych ( ) n=1 a n a n szereg wartości bezwzględnych n=1 Jeżeli szereg (**) jest zbieżny, to szereg (*) jest zbieżny (i mówimy, że jest zbieżny bezwzględnie). Jeżeli szereg (**) jest rozbieżny, a szereg (*) jest zbieżny, to mówimy, że (*) jest zbieżny warunkowo. SZEREGI FUNKCYJNE Definicja 4. Ciąg funkcyjny w zbiorze X jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokładnie jednej funkcji określonej w tym zbiorze: 1 f 1 (x) 2 f 2 (x). n f n (x).

6 Oznaczenia: (f n (x)) ciąg funkcyjny f n (x) n-ty wyraz ciągu Definicja 5. [granicy ciągu funkcyjnego] lim n f n(x) = f(x) ɛ>0 x X n0 N n n0 f n (x) f(x) < ɛ Definicja 6. [ szeregu funkcyjnego] Niech (f n (x)) - ustalony ciąg funkcyjny na X. Ciąg (S n (x)) sum S n (x) = n k=1 f k(x) nazywamy szeregiem funkcyjnym i piszemy: ( ) f n (x) n=1 Szereg ( ) jest zbieżny w zb. X, jeżeli ciąg jego sum częściowych (S n (x)) jest zbieżny. Wtedy: S(x) = lim n S n (x) Badanie zbieżności szeregu (*): 1. ustalamy x, 2. badamy zbieżność bezwzględną szeregu (*) traktując go jak szereg liczbowy, 3. Z odpowiedniego kryterium wyznaczamy obszar zbieżności tego szeregu.

7 SZEREGI POTĘGOWE Definicja 7. [ szeregu potęgowego] ( ) a n (x x 0 ) n, x 0 = const, a n ustalony ciąg liczbowy. Definicja 8. Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy liczbę określoną następująco: R = sup{r : x x 0 < r a n (x x 0 ) n zbieżny}

8 Twierdzenie 2. Jeżeli istnieje granica lim a n+1 n a n = λ dla a n 0 lub lim n a n = λ n to: 0 gdy λ = + 1 R = gdy 0 < λ < + λ + gdy λ = 0, SZEREGI TAYLORA I MACLAURINA Definicja 9. Szeregiem Taylora odpowiadającym danej funkcji f, która w pewnym otoczeniu Q(x 0, δ) ma pochodne wszystkich rzędów, nazywamy szereg potęgowy: f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n dla x Q(x 0, δ) n! Piszemy f(x) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Jeżeli x 0 = 0, to szereg nazywamy szeregiem Maclaurina.

9 Uwaga. Szereg Taylora (Maclaurina) odpowiadający danej funkcji może być zbieżny, ale niekoniecznie do tej funkcji, albo rozbieżny. Jeżeli ( ) f(x) = f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! to mówimy, że funkcja jest rozwijalna w szereg Taylora (Maclaurina). Twierdzenie 3. Jeżeli f(x) = n 1 k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x) k! i lim n R n (x) = 0, to funkcja f jest rozwijalna w Q(x 0, δ) i zachodzi (*).