FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

Transkrypt

1 Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się nawiasu, czyli w pierwszej kolejności korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, a następnie wymnażamy nawias przez liczbę y = ( x ) + 5 = ( x 6x + 9) + 5 = x 8x = x 8x + Zatem postać ogólna danej funkcji to y = x 8x + Przykład = ( x ) ( x + ) y (postać iloczynowa) W tym przypadku wymnażamy oba nawiasy przez siebie, redukujemy wyrazy podobne i przemnażamy przez współczynnik, w tym przypadku równy ( x + ) = ( x + x x ) = ( x x ) = x y = ( x ) x Zatem postać ogólna danej funkcji to y = x x Przedstaw podane funkcje w postaci ogólnej: a) y = ( x + ) g) y = ( x )( x 6) b) y = ( x ) h) y = ( x + )( x ) c) y = ( x ) 8 + i) y = 8 ( x )( x + ) d) y = ( x ) + 8 j) y = ( x )( x + ) e) y = 5( x + ) + 5 k) y = ( x + )( x ) 7 f) y = ( x 9) + l) y = ( x + )( x + ) Zad Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej Przykład y = x + 6x + I SPOSÓB Wyrażenie x + 6x + przekształcam tak, aby móc zapisać jego część w postaci kwadratu sumy lub różnicy przy pomocy wzoru skróconego mnożenia: y = x + 6x + = x + x + = ( x + x + ) + = ( x + ) II SPOSÓB b 6 6 Wyznaczam współrzędne wierzchołka paraboli korzystając ze wzorów: p = = = =, a = 6 q = = = 8, gdzie = b ac = 6 = 6 = a Następnie zapisuję postać kanoniczną ( y = a( x p) + q ) uwzględniając wyliczone p i q Zatem postać kanoniczna danej funkcji to y = ( x + ) 8 8

2 Przykład y = x + x + 7 I SPOSÓB y = x + x + 7 = ( x + 6x) + 7 = [( x + x + ) ] + 7 = ( x + ) I I SPOSÓB b p = = = =, q = = a = = ; a 8 Gdzie = b ac = 7 = 56 = 88 Zatem postać kanoniczna danej funkcji to y = ( x + ) Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej dowolnym sposobem: a) y = x + 8x 6 e) y = x x b) y = x 0x + 6 f) y = x + x + 5 c) d) 5 y = x + x + g) y = x x + 5 y = x 5x h) y = x + x + Zad Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli + Przykład = ( x + ) y Funkcja ta zapisana jest w postaci kanonicznej, czyli paraboli Zatem ( x + ) + = ( x ( )) + y = a( x p) + q, gdzie ( p, q) to współrzędne wierzchołka Współrzędne wierzchołka to (-, ) p q Przykład y = ( x ) + (tzn w nawiasie jest minus ), współrzędne wierzchołka to (, ) p q Przykład y = x + (tzn nie ma nawiasu), postać kanoniczną tej funkcji można zapisać: y = ( x 0) + Zatem współrzędne wierzchołka to (0, ) Przykład y = ( x + ) (tzn nie ma liczby za nawiasem), postać kanoniczną tej funkcji można zapisać: y = ( x + ) + 0 Zatem współrzędne wierzchołka to (-, 0) Przykład 5 y = x + x (postać ogólna funkcji kwadratowej) Do wyznaczenia współrzędnych wierzchołka paraboli stosujemy wzory: b p = = = =, a ( ) = 7 7 q = =, gdzie = b ac = 9 ( ) ( ) = 9 6 = 7 a ( ) 8 7 Zatem współrzędne wierzchołka to, 8 Lub postępujemy tak jak w zadaniu (II SPOSÓB), czyli doprowadzamy do postaci kanonicznej i odczytujemy p i q

3 Przykład 6 = ( x ) ( x + ) y (postać iloczynowa funkcji kwadratowej) Doprowadzamy tą funkcję do postaci ogólnej (patrz zad ), po czym liczymy p i q korzystając ze wzorów b y = ( x ) ( x + ) = x 6 x p = = =, = b ac = 6, q = = a = a 8 Postępując analogicznie, wyznacz współrzędne wierzchołka: a) y = ( x + ) e) y = x i) y = x x + 6 b) y = ( x 9) + f) y = ( x )( x + ) j) y = x x + c) y = ( x ) g) )( ) y = 5( x + x k) y = x + 7x + d) y = x + h) y = ( + x)( x ) l) y = x x 6 Zad Wyznacz zbiór wartości funkcji Przykład y = ( x ) + Funkcja ta jest zapisana w postaci kanonicznej: y = a( x p) + q, gdzie punkt o współrzędnych (p, q) jest wierzchołkiem paraboli Zatem z przepisu funkcji odczytujemy, że p =, q = Ponieważ a = - (jest ujemne), ramiona paraboli skierowane są do dołu, zatem q będzie wartością największą Zbiorem wartości funkcji będzie przedział (, q, czyli w tym przypadku (, Przykład y = ( x ) + W przypadku, gdy a jest dodatnie (ramiona paraboli są skierowane do góry), q jest wartością najmniejszą Wtedy zbiorem wartości funkcji jest przedział q,+ ) Zatem w tym przypadku zbiorem wartości jest przedział, + ) Przykład y = x + x Funkcja jest zapisana w postaci ogólnej, więc w celu wyznaczenia wartości q najprościej zastosować wzór = b ac = 6 ( ) ( ) = 6 =, q = = = a Ramiona paraboli są skierowane do dołu, zatem zbiorem wartości będzie przedział (, Przykład y = ( x )( x + ) Najpierw przedstawimy ta funkcję w postaci ogólnej, a następnie wyliczymy q y = ( x )( x + ) = ( x + x x 6) = ( x + x 6) = x + x 00 = b ac = ( ) = + 96 = 00, q = = = a 8 Ramiona paraboli są skierowane do góry, zatem zbiorem wartości jest przedział, + ) Postępując analogicznie wyznacz zbiory wartości funkcji: a) y = ( x + ) d) b) y = ( x ) e) = 5( x + )( x ) y = x g) y = x + x y h) y = x + x + c) y = x + f) y = ( x )( x + 5) i) y = x + x 8

4 Zad 5 Rozwiąż nierówność Przykład x x + 0 Najpierw wyrażenie po lewej stronie nierówności przyrównam do zera i potraktuję jako równanie kwadratowe, x x + = 0 Obliczę teraz pierwiastki x i x (do wykonania czego potrzebuję policzyć wyróżnik ) = b a c = ( ) = 9 8 =, = b b + + x = = = =, x = = = = a a Mając x i x mogę przedstawić funkcję w postaci iloczynowej ( y = a( x x )( x x ) ): y = ( x )( x ) Szkicuję wykres uwzględniając obliczone x i x oraz korzystając z faktu, że a = (jest większe od zera, więc ramiona paraboli skierowane są do góry): = = Wracam do nierówności x x + 0 Odczytuję z wykresu te wartości, które są mniejsze lub równe zero (na rysunku zaznaczone są kolorem czerwonym), znajdują się one pod osią X: Zatem funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero (czyli y 0 ) dla x, Przedział jest obustronnie domknięty, ponieważ wartości są mniejsze lub równe zero, więc dla x= i x= wartość y=0, więc obie liczby spełniają nierówność Przykład Zmieńmy teraz znak wyjściowej nierówności Niech będzie teraz postaci: x x + > 0 Wykorzystam poprzednie obliczenia na x i x Ponieważ wartości mają być większe od zera, znajdują się one nad osią X:

5 Zatem funkcja przyjmuje wartości większe od zera (czyli > 0 y ) dla x (,) (, + ) Przy i przedziały są otwarte, ponieważ wartości są większe od zera (nie są większe lub równe zeru), a skoro dla x= i x= wartość y=0, więc te liczby nie spełniają nierówności, więc przedziały musimy otworzyć Podsumowując: Kiedy mamy do czynienia ze znakami lub, przedziały domykamy Kiedy mamy do czynienia ze znakami < lub >, przedziały otwieramy Pamiętaj! Jeśli < 0 i a < 0, wykres funkcji znajduje się pod osią X Jeśli < 0 i a > 0, wykres funkcji znajduje się nad osią X Jeśli = 0 (niezależnie od znaku współczynnika a) wykres ma z osią X tylko jeden punkt wspólny Przykład x ( x 5) > 0 Wyrażenie po lewej stronie przyrównuję do zera x ( x 5) = 0 Iloczyn dwóch liczb jest równy zero, wtedy i tylko wtedy gdy jedno albo druga jest równa zero, czyli: x ( x 5) = 0 x = 0 x 5 = 0 więc x = 0 x = 5 Szkicuję parabolę i odczytuję wartości większe od zera (czyli te nad osią X) Rozwiązaniem nierówności jest więc suma przedziałów x,0 5, + ( ) ( ) Przykład x x 0 Wyrażenie po lewej stronie przyrównuję do zera i wyłączam przed nawias wspólny czynnik: x x = 0 ; x ( x ) = 0 Dalej postępuję tak samo jak w poprzednim przykładzie Przykład 5 6 x > 0 W wyrażeniu po lewej stronie stosuję wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymuję: ( x )( + x) > 0 Teraz wyrażenie przyrównuję do zera i postępuję analogicznie do poprzednich przykładów ( x )( + x) = 0 x = 0 + x = 0 Zatem x = x = Szkicuję parabolę i odczytuję wartości większe od zera Rozwiązaniem nierówności jest więc przedział x (,) Rozwiąż nierówności: a) x + 6x 7 0 d) x 5x + 0 g) x x 0 j) x 6 < 0 b) x + 0x + 0 < 0 e) x x > 0 h) x x + 0 k) 9x 0 c) x x 0 f) ( x x) 0 i) 5x (6 x) 0 l) 9 x > 0 Zad 6 Rozwiąż równanie: x 7x x + 8 = 0 Rozwiązanie: W pierwszej kolejności odpowiednio parujemy wyrazy W tym przypadku będzie to wyglądało tak: ( x 7x ) + ( x + 8) = 0 Następnym krokiem jest wyłączenie wspólnych czynników przed nawiasy tak, aby w miarę możliwości, otrzymać w wyrażeniu dwa identyczne nawiasy : x ( x 7) ( x 7) = 0 Teraz nawias ( x 7) potraktujemy jako wspólny czynnik dla całego wyrażenia i wyłączymy go przed nawias: ( x 7)( x ) = 0 Korzystając z faktu, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jedna lub druga jest równa zero, postępujemy następująco: ( x 7)( x ) = 0 x 7 = 0 ( x ) = 0 Teraz naszym zadaniem jest wyznaczenie wszystkich x poprzez rozwiązanie obu równań Rozwiązując pierwsze równanie (które jest równaniem liniowym) otrzymujemy x = 7 Natomiast w przypadku drugiego równania (kwadratowego) możemy go jeszcze rozpisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów 5

6 a b = ( a b)( a + b) Zatem będzie ono miało teraz postać: ( x )( x + ) = 0 Ponawiając postępowanie w przypadku iloczynu przyrównanego do zera mamy: ( x )( x + ) = 0 x = 0 x + = 0 Rozwiązując oba równania liniowe otrzymujemy x =, x = Podsumowując, rozwiązaniem równania x 7x x + 8 = 0 są liczby: x = 7, x =, x = Rozwiąż równania: a) 5 0 = x x + x 0 d) x + x x 6 = 0 b) 5 0 = x x x + 0 e) x + 8x = 5x + 0 c) 9 7 = x + x x 0 f) 6x + x = x + Zad 7 Wyznacz równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y = x + x + Rozwiązanie: Wiemy, że parabola jest krzywą, która jest symetryczna względem prostej prostopadłej do osi X Aby wyznaczyć jej b równanie, należy wyznaczyć pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli Korzystamy ze wzoru: p = a p = = = Zatem pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi Jeśli na wykresie tej funkcji wykreślimy ( ) prostą prostopadłą do osi X oraz przechodzącą przez p, parabola będzie względem niej symetryczna Zatem osią symetrii paraboli określonej równaniem y = x + x + jest prosta o równaniu x = Gdybyśmy narysowali wykres, wyglądałoby to następująco: W każdym przypadku wyznacz równanie osi symetrii paraboli określonej danym równaniem: a) f ( x) = x + 6x 7 d) f ( x) = x 5x + g) f ( x) = x + x + b) f ( x) = x + 0x + 0 e) f ( x) = x x h) f ( x) = x x + c) f ( x) = x x f) f ( x) = x + x i) f ( x) = 0x x + Zad 8 Podaj równanie prostej, z którą wykres funkcji kwadratowej ma dokładnie jeden punkt wspólny Przykład y = ( x + ) Prosta, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą, jest równoległa do osi X oraz przechodzi przez jej wierzchołek (gdyby leżała inaczej, przecięłaby parabolę w dwóch punktach lub w żadnym) Zatem do wyznaczenia jej równania potrzebujemy znać drugą współrzędną wierzchołka paraboli Funkcja z zadania jest zapisana w postaci kanonicznej, czyli y = a( x p) + q, gdzie ( p, q) to współrzędne wierzchołka paraboli W naszym przypadku q =, zatem równanie prostej to y = 6

7 Przykład y = x + x 7 7 Wiedząc, że potrzebuję q, korzystam ze wzoru: q = = =, gdzie a 8 7 = b ac = 9 ( ) = = 7 Równanie szukanej prostej to y = 8 Ćwiczenia Wyznacz równanie prostej mającej dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej: a) y = ( x + ) e) y = ( x ) i) y = x + x 5 b) y = ( x 9) + f) ( ) y = x + 8 j) y = x x 7 c) y = ( x ) g) y = 5x + x d) y = x + h) y = x + x Zad 9 Sprawdź, czy punkt o współrzędnych (-, ) należy do wykresu funkcji: f ( x) = x + x Rozwiązanie: Aby ustalić, czy punkt należy do wykresu, należy podstawić do wzoru pierwszą współrzędną punktu za x, natomiast drugą za y (pamiętając, że f(x) oznacza to samo, co y) Jeśli po podstawieniu po obu stronach równania wyjdzie nam ta sama liczba, będzie to oznaczało, że punkt należy do wykresu Natomiast w przypadku, gdy strony równania będą się od siebie różnić punkt do wykresu nie należy Podstawimy teraz do wzoru funkcji x =, y = :? = ( ) =? + ( ) =? Po podstawieniu wyszło nam, że Zatem punkt o współrzędnych (-, ) nie należy do wykresu funkcji f ( x) = x + x Sprawdź, czy punkt to danych współrzędnych należy do wykresu funkcji: a) f ( x) = x + 6x 7 ; (0, -7) d) f ( x) = x 5x + ; (, ) g) f ( x) = x + x + ; (-, -) b) f ( x) = x + 0x + 0 ; (-, 0) e) f ( x) = x x ; (-, 7) h) f ( x) = x x + ; (, 0) c) f ( x) = x x ; (0, 0) f) f ( x) = x + x ; (-, -) i) f ( x) = 0x x + ; (, ) Zad 0 Rozwiąż równania: a) x 6x = 0 f) 0 x = k) x + x + = 0 b) x + x = 0 g) x 9x 5 = 0 l) x x = 0 c) 5x = 0x h) 5x 6x + 6 = 0 m) x x + = 0 9 d) x = x i) x + 5x = 0 n) 5x = 8x 5 e) 5 x = 0 j) x + x + 9 = 0 o) 6x + x = 8 7