Szeregowy obwód RC - model matematyczny układu

Transkrypt

1 Akadmia Morska w Gdyni Katdra Automatyki Okrętowj Toria strowania Mirosław Tomra Na przykładzi szrgowgo obwodu lktryczngo składającgo się z dwóch lmntów pasywnych: rzystora R i kondnsatora C przdstawiony został sposób modlownia obiktu, polgający na wyznaczniu pojdynczgo równania różniczkowgo, w którym niwiadomą jst funkcja. Rozwiązani uzyskango modlu zralizowan zostało trzma mtodami: () polgającą na wyznaczaniu całki nioznaczonj, (2) przy użyciu rachunku opratorowgo Laplac a, (3) numryczni w Matlabi/Simulinku. WPROWADZENIE Na rysunku przdstawiony został szrgowy obwód RC, który rozważany będzi jako czwórnik z wjściowym sygnałm u ( i wyjściowym u 2 (. Jst to układ liniowy dynamiczny i stacjonarny. i( R u ( C i( u 2 ( Rys.. Obwód szrgowy RC Modl matmatyczny wyznaczony został w oparciu o prawa Kirchhoffa, dobrz znan z torii obwodów lktrycznych. Równani obwodu (II prawo Kirchhoffa) Spadk napięcia na rzystorz Spadk napięcia na kondnsatorz Prąd przpływający przz kondnsator u ( u ( u ( ) () R c t Po podstawiniu równań (2) i (3) do równania () u u R ( i( R (2) u c ( t ) u 2( t ) (3) du2 ( i( C (4) ( 2 t Ri( u ( ) (5) Po podstawiniu równania (4) do równania (5) uzyskuj się pojdyncz równani różniczkow o postaci Ostatnia aktualizacja: M. Tomra

2 któr po przkształcniu du 2 ( RC u2( u( t ) (6) du2( u2( u( (7) RC RC jst poszukiwanym modlm matmatycznym układu RC, zapisanym w postaci pojdynczgo równania różniczkowgo I rzędu. Do powyższgo równania (7) zostaną wprowadzon zminn pomocnicz pozwalając na poprawini przjrzystości uzyskango rozwiązania a0 RC, b0, ( ) 2 ( ) RC y t u t, u( u ( (8) Po podstawiniu powyższych zminnych pomocniczych (8) do równania (7) uzyskuj się następując postać modlu matmatyczngo opisango pojdynczym równanim różniczkowym I rzędu a0 b0u( (9) Uzyskany modl matmatyczny (9) będący równanim różniczkowym I rzędu, został rozwiązany trzma różnymi mtodami: mtodą bzpośrdnią w dzidzini czasu, stosowaną w matmatyc; przkształcnia opratorowgo Laplac'a mtodą numryczną w Simulinku. któr pokazan zostały w poniższych przykładach. Na podstawi zaprzntowanych rozwiązań łatwo ocnić jaki nakład pracy potrzbny jst do ich uzyskania i która z tych mtod jst najmnij czasochłonna. Przykład Dla układu RC pokazango na rysunku.. znajdź modl matmatyczny opisany pojdynczym równanim różniczkowym. Paramtry obwodu są następując: u ( = U 0 = 2 [V] R = 20 [] C = 000 [F] = 0.00 [F] W chwili załącznia napięcia wjściowgo na układ, kondnsator był wstępni naładowany i wartość napięcia na jgo stykach wynosiła u 2 (0) = 0.25 [V]. i( R U o u ( i( C u 2 ( Rys... Badany obwód szrgowy RC Rozwiązani. W tym przykładzi wykorzystan zostani wyprowadzon wczśnij pojdyncz równani różniczkow opisan wzorm (9). Po podstawiniu wartości związanych z wartościami rzystora R i kondnsatora C uzyskuj się następując postać rozwiązywango równania różniczkowgo Ostatnia aktualizacja: M. Tomra 2

3 u( (.) W analizowanym obwodzi RC (Rys..) sygnał wjściowy ma postać u( U0 ( 2( (.2) który po podstawiniu do równania (.) daj następując równani różniczkow I rzędu 00( (.3) z warunkim początkowym y ( 0) u2(0) 0.25 (.4) Prąd w obwodzi wyznaczony zostani z zalżności i( C 0.00 (.5) Przykład 2 Mtodą bzpośrdnią stosowaną w matmatyc, rozwiązać w dzidzini czasu pojdyncz równani różniczkow (.3) uzyskan w przykładzi. Dodatkowo wyznaczyć wzór na prąd i( płynący w obwodzi z rysunku.. Rozwiązani. Równani (.3) zostani rozwiązan mtodą uzminniania stałj. Najpirw rozwiązan zostani równani różniczkow I rzędu liniow i jdnorodn o postaci 0 Po kilku przkształcniach i zastosowaniu obustronngo całkowania otrzymuj się Rozwiązanim powyższych całk jst zalżność (2.) (2.2) ln C (2.3) W wyniku dalszych przkształcń otrzymuj się rozwiązani równania różniczkowgo liniowgo jdnorodngo Następni zostani uzminniona stała C C C C (2.4) Powyższ równani (2.5) zostani zróżniczkowan obustronni dc( d C( = C( (2.5) dc( C( (2.6) Otrzyman wyniki opisan wzorami (2.5) i (2.6) zostaną podstawion do równania (.3) dc( C( C( 00( Z równania (2.7) wyznaczona zostani pochodna uzminnionj stałj (2.7) Ostatnia aktualizacja: M. Tomra 3

4 dc( 00 t ( (2.8) Równani (2.8) po przkształcniu zostało obustronni scałkowan Z rozwiązania powyższych całk uzyskuj się wyrażni t dc( 00( (2.9) 00 t t C( ( 2( (2.0) Uzyskaną wartość uzminnionj stałj C( z równania (2.0) podstawia się do równania (2.5) otrzymując w tn sposób rozwiązani równania różniczkowgo nijdnorodngo. 2( (2.) Rozwiązani równania różniczkowgo (.3) składa się z sumy uzyskanych rozwiązań: równania liniowgo jdnorodngo (2.4) i równania liniowgo nijdnorodngo (2.) C 2( (2.2) Wartość stałj C występującj w równaniu (2.2) zostani wyznaczona na podstawi posiadango warunku początkowgo (.4) czyli 0 y ( t 0) 0) 0.25 C 2 (2.3) C (2.4) Ostatczni, zmiany napięcia na kondnsatorz opisan są zalżnością u2(.75 2( (2.5) Rys. 2.. Wykrsy czasow uzyskanych rozwiązań. Pochodna rozwiązania opisango wzorm (2.5) Ostatnia aktualizacja: M. Tomra 4

5 pozwala na wyznaczni prądu płynącgo w obwodzi.75( ) 87.5 (2.6) i( C (2.7) Na rysunku 2. pokazan zostały wykrsy czasow uzyskanych rozwiązań, czyli zmiany w czasi wartości napięcia na kondnsatorz u 2 ( i prądu w obwodzi i(. Przykład 3 Równani różniczkow (.3) uzyskan w przykładzi nalży rozwiązać przy użyciu rachunku opratorowgo Laplac'a. Rozwiązani. Po poddaniu równania różniczkowgo (.3) obustronnmu przkształcniu Laplac'a, dy ( + y ( = 00 ( t ) (3.) koljnym krokim jst zastąpini funkcji czasowych odpowiadającymi im funkcjami opratorowymi ( y = Y (s) (3.2) dy ( = sy ( s) 0) (3.3) ( t ) = s (3.4) Po podstawiniu wyrażń (3.2), (3.3) oraz (3.4) do równania (3.) otrzymuj się sy ( s) 0) + Y ( s) = Z równania (3.4) wyznaczona została zminna opratorowa Y (s), która jst postacią opratorową poszukiwango rozwiązania 00 s (3.4) 0.25s 00 Y( s) (3.5) s 2 s Koljnym krokim rozwiązania jst rozbici otrzymanj funkcji opratorowj (3.5) składającj się z ilorazu dwóch wilomianów na sumę składowych funkcji lmntarnych. 0.25s Y( s) (3.6) ( s ) s s s Po zastosowaniu do równania (3.6), odwrotngo przkształcnia Laplac a uzyskuj się postać czasową rozwiązania.75 2( (3.7) Prąd płynący w obwodzi wyznaczony został w przykładzi 2. Ostatnia aktualizacja: M. Tomra 5

6 Przykład 4 Równani różniczkow (.) uzyskan w przykładzi rozwiązać mtodą numryczną przz zamodlowani go w Matlabi/Simulinku. Rozwiązani. Uzyskan równani różniczkow w przykładzi jst pirwszgo rzędu i ni jst wymagana dkompozycja tgo równania. W clu zamodlowania go w Simulinku zostani zapisan w postaci u( (4.) gdzi sygnał wjściowy ma postać natomiast warunk początkowy jst następujący Prąd w obwodzi wyrażony jst przz równani u( 2 ( (4.2) y ( 0) 0.25 (4.3) du2( i( C C (4.4) Równania (4.) - (4.4) zamodlowan zostały w Simulinku w postaci następującgo schmatu C Scop_i 2 Constant u( b0 / 0.25 x os Intgrator Scop_u2 0) a0 Rys. 4.. Równania (4.) i (4.4) zamodlowan w Simulinku i rozwiązan mtodami numrycznymi. Po uruchominiu układu z rysunku 4., na oscylogramach (Scop_u2, Scop_i) obsrwuj się idntyczn wykrsy czasow jak t, któr zostały pokazan na rysunku 2.. LITERATURA. Tomra M., Rachunk opratorowy Laplac'a, 2. Tomra M., Wprowadzni do Simulinka, Ostatnia aktualizacja: M. Tomra 6