Metody komputerowe w inżynierii lądowej - materiały wykładowe

Transkrypt

1 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow. Saka rozciągango pręa W ramach przpomninia algormu mod lmnów skończonch (MES), analizi poddan zosani zagadnini rozciągania pręa przmaczngo w zakrsi sprężsm (rs.). [m] q [kn/m] P [kn] E [kpa], A [m ] Rs. : Prę rozciągan - modl mchaniczn Sformułowani lokaln (mocn), w posaci równania różniczkowgo zwczajngo z odpowidnimi warunkami brzgowmi pu podsawowgo (dla ) i nauralngo (dla ): ( ) d u ( ) [ ] AE p, d du u ( ), AE ( ) P d (.) Powższ sformułowani wmaga od niznanj funkcji przmiszcznia u u ( ) "mocnj" klas ciągłości C. Dodakowo równani różniczkow obowiązuj w każdm punkci obszaru, a ni na całm obszarz. Ab móc zasosować modę lmnów skończonch z liniową inrpolacją w lmnci, wprowadzon zosani sformułowani wariacjn słab. całkowani równania w obszarz zadania d u AE d pd d (.) przmnożni przz dowolną całkowalną (ciągłą) funkcję sową v v( ) sanowić będzi wariację niznanj funkcji przmiszcznia v δu, kóra d u AE v d vpd d (.) całkowani przz części dla całki po lwj sroni równania (w clu prznisinia pochodnj na funkcję sową)

2 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow dv du du AE d + v vpd d d d (.4) rozpisani członu brzgowgo dv du du du AE d AE ( ) v( ) + AE ( ) v( ) vpd d d d d (.5) uwzględnini nauralngo warunku brzgowgo dv du du AE d Pv( ) + ( ) v ( ) vpd d d d (.6) ograniczni funkcji sowj v : v H d v( ) dv du AE d vpd + Pv d d ( ) dv <, d (.7) Sformułowani wariacjn problmu rozciągania pręa: znalźć funkcję przmiszczń u u ( ), u H, aką, ż v H spłnion js równani (.7), kór w posaci ogólnj można zapisać jako (, ) l ( v) b u v (.8) gdzi: b( u, v ) - odpowidnia forma biliniowa, ( ) l v - forma liniowa. W MES zamias analizować zadani ciągł, wprowadza się dskrzację - podział obszaru na lmn skończon w liczbi N (w przpadku D - odcinki [ i i+ ],,..., n N + - rs.). Podział na lmn implikuj akż obcność węzłów (n) (zazwczaj na sku lmnów), oraz sopni swobod ( N ss ) - warości niznanj funkcji (lub/i jj pochodnch). W przpadku analizowango zadania sopniami swobod są warości przmiszcznia poziomgo w węzłach Q, i,..., N n. i ss Q Q Q Q n N Q n n- n Rs. : Podział obszaru na lmn skończon Najprossza liniowa inrpolacja MES w lmnci skończonm pozwala na zapisani przmiszcznia w lmnci

3 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 u Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow ( ) Q N ( ) Q N ( ) + (.9) gdzi zasosowani dwi linow funkcj kszału, N ( ) N ( ) N( ), N( ) oraz N( ), N( ) N ( ) N ( ) l i i h i+ Rs. : Inrpolacja liniowa w lmnci skończonm Funkcj kszału można zapisać zarówno w układzi globalnm (, u) N N ( ), ( ) h h (.) jak i w lokalnm (, u ) N ( ), N ( ) h h (.) ( h - długość lmnu) lub w posaci macirzowj ( ) N ( ) ( ) N [ ] N (.) oraz ( ) u N U (.) ( ) [ ] [ ] gdzi [ ] [ Q Q ] U. W MES funkcja sowa v js inrpolowana najczęścij za pomocą ch samch funkcji kszału, co funkcja u ( ) ( ) ( ) ( ( )) [ ] [ ] v N V V N (.4) gdzi [ ] [ V V ] V.

4 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow Spłnini równania (.7) prowadzi do równania lmnowgo d d AE ( V ) N N U d ( ) ( ) pd + P ( ) ( ( ) ) d d V N V N (.5) kór, wobc dowolności funkcji sowj, prowadzi do d d ( ) ( ( )) AE N N U d N pd + P N (.6) d d co sanowi układ równań algbraicznch na niznan warości węzłow K U F (.7) gdzi: lmnowa macirz szwności [ ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) h K B DB d B DB d (.8) lmnow wkor obciążnia [ ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) h F N p d N p + d (.9) macirz pochodnch funkcji kszału ( ) dn ( ) dn ( ) [ ] B (.) d d macirz konsuwna (sałch mariałowch) [ ] [ AE] D (.) Siła skupiona P zosani uwzględniona na poziomi układu, po agrgacji wilkości lmnowch. Dla rozważango zadania inrpolacji funkcjami liniowmi, lmnowa macirz szwności wnosi U 4

5 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow h h AE K AE d h h h (.) h [ ] a wkor obciążnia h h F p ( + ) d (.) h [ ] Dla obciążnia sałgo p cons. ph F (.4) [ ] Dla obciążnia linowo zminngo o warościach p dla i p dla h p + p F 6 p + p (.5) [ ] Schma agrgacji globalnj macirz szwności K i globalngo wkora obciążnia [ N N ] F (z uwzględninim obciążnia skupiongo P) [ N ] ss ss ss () K () K () F () K K () +K () () K () K K () +K () F () +F F ( ) () +F ( ) + P Rs. 4: Schma agrgacji w MES Przkładowo, dla dwóch lmnów skończonch, o długości h każd oraz obciążnia sałgo p i sił skupionj P, przłożonj na swobodnm końcu pręa 5

6 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow AE p K, F 4 + (.6) P [ ] [ ] Układ globaln MES po agrgacji K U F (.7) [ N N ] [ N ] [ N ] ss ss ss ss pozosaj osobliw ( ( K ) d ) do czasu uwzględninia warunków brzgowch pu podsawowgo (w omawianm zadaniu Q ). Jżli warunk js jdnorodn (zadana js warość zrowa), chniczni sprowadza się o do modfikacji układu (.7) wb wb ( K K, F F )- poprzz wkrślni (wzrowani w obliczniach kompurowch) z go układu wirsza i kolumn, odpowiadającch mu warunkowi (zablokowanmu sopniowi swobod). Prz zrowaniu nalż pamięać o umiszczniu "" w wrazi przkąniowm zrowanch wirsza i kolumn. Dla omawiango wżj przkładu wb AE wb p K, [ ] F + [ ] 4 (.8) P Rozwiązani zmodfikowango układu równań pozwala na wznaczni poziomch przmiszczń węzłowch wb wb U K U F (.9) [ N ] ss a w dalszj koljności akż rakcji węzłowch R R K U F (.) [ N ] ss Ab wznaczć funkcję przmiszczń u u ( ) w dowolnm punkci każdgo z lmnów, nalż zasosować wzór (.9), naomias do wznacznia sił podłużnj s() można wkorzsać nasępując wzór ( ) ( ) ( ) du dn dn s( ) AE Q + Q d d d (.) Ćwicznia obliczć przmiszcznia węzłow dla pręa o długości, szwności EA, p. Zasosować dwa lmn obciążongo obciążnim o innswności ( ) skończon równj długości 6

7 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow dla rozciągango pręa (P, p cons.) o długości i szwności EJ, dskrzowango za pomocą rzch lmnów skończonch o równj długości, orzmano przmiszcznia węzłow U { } p. EA Obliczć siłę podłużną w każdm z lmnów. wprowadzić wkor obciążnia lmnowgo dla obciążnia paraboliczngo h p( ), p p, p ( h), gdzi h - długość lmnu.. Dnamika pręa - podłużn drgania swobodn Drgania swobodn (własn) wsępują wd, gd konsrukcja zosaj wchlona z położnia równowagi rwałj, a na konsrukcję ni działają żadn sił, poza siłami okrślającmi u położni równowagi (sił bzwładności ρ ) i siłami dążącmi do jj przwrócnia (sił u sprężsości E ). Przczną drgań własnch konsrukcji js zazwczaj siła grawiacji. Opis mamaczn drgań swobodnch podłużnch dla pręa z rs. u u ρ E,, T u u (, ), (, ), [ T ] [ ] [ ] (.) Poniważ obciążni dnamiczn js pomijaln, pominię zosał warunki począkow. Rozwiązania (nirwialngo) powższgo zadania zazwczaj szuka się w nasępującj posaci (, ) α sin ( ω ) sin ( ) u k (.) gdzi k ρ ω E. W rozwiązaniu (.) warunk podsawow ( ) u priori. Naomias warunk nauraln ( ) charakrsczngo, u, js spłnion a- prowadzi do nasępującgo równania cos ( k ) (.) co prowadzi do rozwiązania π kn ( n ), n,,... (.4) 7

8 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow a w dalszj koljności do częsości kąowch π E ωn ( n ), n,,... (.5) ρ i posaci drgań własnch (z dokładnością do sałj) π un ( ) β sin ( kn) β sin ( n ) (.6) W analizi MES nalż skonsruować odpowidni sformułowani wariacjn do równania (.). Będzi ono podobn do (.7). Różnica będzi polgać na braku obciążnia zwnęrzngo ( p, P ) oraz obcności dodakowgo członu bzwładnościowgo dv u u + ρ d (.7) E d v d a po aproksmacji na poziomi lmnu skończongo ( ) u K u ( ) + Aρ ( N ( ) ) N ( ) d (.8) Rozwiązani MES będzi poszukiwan jako złożni części przsrznnj (warości węzłow U ) z częścią czasową ( ) sin ( ω + ψ ) u U (.9) Po podsawiniu (.9) do (.8) orzmam ( ) ( ) ( ω ψ ) ω ρ ( ω ψ ) ( ) K U sin + A sin + U N N d (.) lub ( ω ) ( ω ψ ) K U M U sin + (.) gdzi M - konssnna (płna) macirz mas, wnikająca z ciągłgo rozkładu mas wzdłuż lmnu [ ] ( ( )) ( ) ρ ( ) ( ) ( ) h M Aρ N N d A N N d (.) Dla liniowj inrpolacji w lmnci skończonm (.9), macirz posać M przjmuj nasępującą 8

9 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow Aρh M 6 (.) [ ] Po dokonaniu agrgacji, równani (.) na poziomi globalnm rdukuj się do uogólniongo algbraiczngo problmu własngo (poszukiwani nirwialngo rozwiązania w posaci częsości ω i i posaci drgań własnch U i, i,,,... ) KU ω MU (.4) Problm n ma nizrow rozwiązani ( U ), gd ( ω ) d K M (.5) Uogólnion problm własn (.4) można sprowadzić do posaci sandardowj przz d M ) przkszałcni ( ( ) ω M KU U (.6) Z względu na smrię macirz mas M oraz macirz szwności K, posaci drgań własnch są orogonaln,, i j i j Ui MU j, Ui KU j (.7) mk, i j kk, i j Zamias konssnnj macirz mas diagonalnj macirz mas M, można akż użwać jj prosszj posaci, Aρh M diag [ ] (.8) wnikającj z punkowgo rozkładu mas (w węzłach lmnu), podobni jak w modach obliczniowch mchaniki budowli. Wniki akij analiz MES będą mnij dokładn (w sosunku do rozwiązania analiczngo), al problm własn (.4) będzi sandardow. Podobni jak o miało mijsc w przpadku obliczń sacznch, dla dwóch lmnów skończonch o równj długości h każd, oraz konssnnj macirz mas, macirz w problmi własnm (.4) będą miał posaci (po agrgacji) AE Aρ K, 4 M (.9) [ ] [ ] 9

10 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow sąd Q E Q ρ ω 4 Q (.) oraz E ρ d ω 4 (.) Po uwzględniniu warunku brzgowgo (usunięci pirwszgo wirsza i pirwszj kolumn) E ρ 4 d ω (.) i wprowadzniu oznacznia ρ λ ω (.) E orzmam 4 d 4 λ (.4) 4 a po sprowadzniu do posaci sandardowj ( 7 4 ) 4 5 d λ (.5) Równani charakrsczn 68 λ 7 49 (.6) ma dwa rozwiązania λ.5967, λ (.7)

11 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow Sąd częsości drgań własnch wnoszą.5967 E.64 E.689 E 5.69 E ω, ω (.8) ρ ρ ρ ρ Z częsości drgań własnch można wliczć częsoliwość f oraz okrs drgań własnch T π ω π f (.9) T Pirwsza posać drgań własnch Q wnika z podsawinia do równania (.) ω ω oraz przjęcia dodakowgo założnia, co do posaci Q, druga posać Q dla ω ω. Q.7444, Q.77 (.).57.5 Im więcj lmnów skończonch zosani przjęch, m więcj posaci drgań własnch (odpowiadającch coraz wższm częsościom) można obliczć i będą on dokładnijsz. Oblicznia dla macirz diagonalnj Aρ M 4 (.) [ ] prowadzą do nasępującgo sandardowgo problmu własngo Q E 4 Q ρ ω Q (.) kór po wprowadzniu oznacznia (.) oraz uwzględniniu podsawowgo warunku brzgowgo, sprowadza się do nasępującj posaci warunku isninia nizrowgo rozwiązania 8 4 d λ 8 8 (.) o równaniu charakrscznm ( λ ) 8 (.4)

12 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow kór ma rozwiązania λ.4, λ.6569 (.5) Sąd częsości drgań własnch wnoszą ω.4, ω.6569 (.6) k k k k a ich posaci Q.77, Q.77 (.7) Ćwicznia rozwiązać powższ zadani dla jdngo lmnu skończongo, zapisać problm własn dla powższgo zadania, dla rzch lmnów skończonch równj długości.. Dnamika pręa - drgania wmuszon Bardzij ogóln równani drgań wmuszonch (cznnikim zwnęrznm innm niż siła grawiacji) łumionch ma posać Muɺɺ + Cuɺ + Ku f ( ) u( ) u uɺ ( ) v (.) gdzi - u u (, ) - odpowidź układu (przmiszczni poziom), - f f ( ) - funkcja obciążnia, - M - macirz mas, - C - macirz łuminia, na poziomi lmnu równa (c współcznnik łuminia) [ ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) h C Ac N N d Ac N N d (.) - K - macirz szwności. Równani (.) o przkład problmu począkowo brzgowgo. Jgo analiza numrczna wmaga znajomości mod służącch do rozwiązwania problmów począkowch (dla równań zwczajnch) I i II rzędu. Dla problmu I rzędu

13 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow d f d ( ) (, ) (.) rozwiązania szukam w posaci dskrnj (jako zbiór warości, co k + ( ) ( ) ( ) (, ) k k k k k ) wg wzoru ogólngo f d (.4) Poszczgóln mod orzmwania warości (.4) różnią się od sibi sposobm obliczania k czli całki z funkcji prawj sron na odcinku od k do k +. Możm j podzilić,,,... ; na na mod jdnokrokow k k ( k ) i wilokrokow k k ( k k k ) jawn (owar) k k ( k, k, k,... ) (,,,...) ; oraz na sabiln (dla każdgo k k k + k k ( < kr i nijawn (zamknię) ), warunkowo sabiln ) i nisabiln. W przpadku mod nisabilnch błąd narasa w bardzo szbkim mpi wraz z każdą nową obliczoną warością. Problm począkow II rzędu d d f,, d d ( ) d ( ) z d (.5) nalż rozbić na dwa problm rzędu I (przz podsawini d z d ) d z (, ), ( ) d dz f (,, z), z ( ) z d (.6) i nasępni numrczni analizować j wg jdnj z mod, obliczając naprzminni warości funkcji i z. W opracowaniu rozważan będą drgania wmuszon niłumion Muɺɺ + Ku f ( ) u( ) u uɺ ( ) v (.7)

14 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow W obliczniach zosani zasosowana moda Nwmarka (moda jdnokrokowa, warunkowo sabilna, jawna). Jj algorm js nasępując - dan wilkości począkow: u, v ɺ u, a uɺɺ M ( f Ku ) - warość przspisznia: k + k + k + k ( ( )) a M + K f K u v (.8) - warość prędkości: v v + a (.9) k + k k + - warość przmiszcznia: uk + uk + vk + a k + (.) Algorm Nwmarka js przkładm mod jdnokrokowj, owarj i warunkowo sabilnj. Warunk sabilności mod wnika z ogranicznia na paramr λ <, kór dla równania (hiprboliczngo) (.7) js równ E λ (.) h ρ Sąd ograniczni na krok czasow w modzi Nwmarka js nasępując E < h (.) ρ Ćwicznia zasosować algorm Nwmarka do oblicznia posaci drgań pręa o długości, szwności EA i gęsości mas ρ, po.. Przjąć., f (, ) sin( ), lmn skończon równj długości, diagonalną macirz mas oraz zrow warości sarow przmiszcznia i prędkości. powższ zadani rozwiązać dla konssnnj macirz mas. 4. Inrpolacja kwadraowa za pomocą hirarchicznch funkcji kszału iniowa inrpolacja w lmnci za pomocą dwóch liniowch funkcji kszału, omawiana w rozdzial, o oczwiści ni jdn sposób aproksmacji niznanj funkcji. Wższ rząd funkcji inrpolującch można wmusić na kilka sposobów. Pirwsz z nich wiążę się z wprowadznim dodakowch węzłów w środku lmnu i budow nowch funkcji kszału pu agrang'a. Przkładowo, dla lmnu pręowgo o dwóch węzłach wprowadzni dodakowgo, rzcigo węzła, pozwoli na zbudowani inrpolacji kwadraowj za pomocą rzch kwadraowch funkcji kszału. Wmaga o jdnak całkowij 4

15 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow przbudow baz funkcji kszału w lmnci, a lmn pozosaj lmnm klas C, jako, ż połącznia pomiędz lmnami pozwalają jdni na zbudowani akij właśni inrpolacji funkcji w obszarz. Klasę ciągłości C można wmusić np. poprzz wprowadzni dodakowch funkcji swobod w isnijącch już węzłach lmnu i budowę zw. funkcji kszału pu H'rmi'a. Przkładm akich lmnów mogą bć lmn blkow i ramow (a akż nikór lmn płow), w kórch o dodakow sopni swobod mają charakr obroów - pirwszch pochodnch przmiszcznia. Naomias w opracowaniu zosani zasosowan jszcz inn sposób podwższnia rzędu inrpolacji w lmnci - za pomocą zw. hirarchicznch funkcji kszału. Tchnika zakłada zachowani dwóch pirwszch liniowch funkcji i dołożni dodakowj funkcji kwadraowj, funkcji psudo-kszału, co wnika z faku, iż ni musi ona spłniać warunków zro-jdnkowch w węzłach lmnu (rs.5). ( )( ) ( ) N ( ) h (4.) Z funkcją wiąż się dodakow mamaczn sopiń swobod α, ni mając inrpracji przmiszcznia podłużngo. ( ) u N ( ) Q + N ( ) Q + N ( ) α N U (4.) Aproksmacja sił podłużnj js raz liniowa ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) dn dn dn s ( ) EA Q + Q + α d d d N ( ) N ( ) N ( ) l i i h i+ (4.) Rs. 5: Inrpolacja kwadraowa w lmnci Zmian w algormi sprowadzają się do większch rozmiarów macirz ([ ] ) i wkorów lmnowch ([ ] lub [ ] ). Dla lmnowch: macirz szwności 5

16 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow h h AE AE K h d h h h h (4.4) 4 h h [ ] i wkora obciążń ( p [ ] cons ) h h ph F p d h (4.5) h h Agrgacja ch wilkości zalż od sposobu numracji globalnj sopni swobod. Jżli numrowan są on koljno (rs.6), o lmn macirz lokalnch nalż przgrupować prz agrgacji. Q Q Q Q 5 Nss Q Nss α α4 α n- Nss n Rs. 6: Numracja globalna dla inrpolacji kwadraowj Przkładowo, dla zadania pręa rozciągango sałm obciążnim o innswności p, dla dwóch lmnów skończonch - jdngo liniowgo i jdngo kwadraowgo (rs.7), układ globaln (po agrgacji) będzi wglądał nasępująco N Q Q 4 Q α Rs. 7: Siaka dwóch lmnów o różnch sopniach inrpolacji Q AE Q ph 4 h h α h Q 4 (4.6) 6

17 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow Podobni można wprowadzić lmnową macirz mas dla inrpolacji kwadraowj i zapisać za jj pomocą uogólnion problm własn. Ćwicznia wprowadzić konssnną macirz mas lmnu pręowgo dla inrpolacji kwadraowj pu hirarchiczngo, dla pręa o długości i szwności EA, zasosowano dwa lmn skończon o inrpolacji kwadraowj pu hirarchiczngo; wznaczć przmiszcznia węzłow oraz rozkład sił podłużnj w lmnach. 5. Esmacja błędu a-posriori Jdnm z lmnów nowoczsnj mchaniki obliczniowj js oszacowani błędu rozwiązania po jgo orzmaniu (a-posriori, "po fakci"). Dla prosch problmów brzgowch możliwa js akż jgo ocna przd orzmanim rozwiązania (a-priori, "przd fakm"), np. na podsawi rzędu aproksmacji p cz modułu siaki h, jdnakż sposób n ma bardzo ograniczoną sosowalność i podaj zazwczaj jdną ogólną informację o błędzi, np. bz wszczgólninia na poszczgóln lmn. Prz smacji błędu rozwiązania inrsuj nas smacja błędu ścisłgo sc h, p sc ( ) ( ) u ( ) u (5.) w kórm u, ( ) oznacza rozwiązani numrczn MES, odpowiadając siac o modul h h p i p-mu rzędowi aproksmacji (oczwiści ni muszą on bć aki sam w całj siac u - rozwiązani ścisł (analiczn rozwiązani równania lmnów), a ( ) sc różniczkowgo). Rozkład ciągł błędu (5.) w całm obszarz lub lmnci js mało inrsując z względu na fak, iż moż się on wraźni zminiać od punku do punku. Dlago ż przjmuj się odpowidni norm całkow, podając informację w posaci liczb o poziomi błędu w całm obszarz lub na wbranm lmnci. Norma a powinna korspondować zarówno z rozkładm (5.) jak i pm sformułowania (.8), kór js rozwiązwan numrczn za pomocą MES. I ak dla liniowgo równania różniczkowgo drugigo rzędu funkcji jdnj zminnj (np. (.)), norma błędu na podobszarz Ω moż bć liczona jako d d d η b(, ) dω dω dω Ω Ω d d Ω d (5.) Ω Ω Ω gdzi Ω oznacza pol obszaru Ω. Jżli obszar n js lmnm skończonm, wd norma błędu dla całgo obszaru (zwana częso wskaźnikim lub indkaorm błędu), js równa sumi norm dla poszczgólnch lmnów (5.) Ω d η η dω Ω d 7

18 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow Podobni, dla zadania z pochodnmi cząskowmi (5.4) d d η η + dω Ω d d Ω W wzorach (5.) - (5.4), błąd moż bć zarówno błędm ścisłm (5.), jak i jgo oszacowanim h, p ( ) ( ) u ( ) u (5.5) odn w kórm zasępujm niznan rozwiązani ścisł rozwiązanim odnisinia uodn ( ), kór najczęścij sanowi ulpszon rozwiązani numrczn, w sosunku do rozwiązania u. Poszczgóln smaor błędu różnią się pomiędz sobą sposobm smowango ( ) h, p budow akigo rozwiązania, lub - w ogólności - sposobm konsruowania indkaora błędu η. W przpadku pirwszj grup smaorów hirarchicznch, rozwiązani odnisinia pochodzi z lpszj dskrzacji lub/i aproksmacji rozwiązania. Wróżniam smaor hirarchiczn pu h - w kórm rozwiązani odnisinia pochodzi z siaki o uodn u ( ) h, p jdn sopiń gęsszj ( ), smaor hirarchiczn pu p - w kórm rozwiązani odnisinia pochodzi z siaki o wższm (zazwczaj o ) sopniu aproksmacji uodn ( ) u h, p + ( ), smaor hirarchiczn pu hp, sanowiąc połączni obdwu powżj u u ( ). wminionch, odn ( ) h, p+ Przkładowo, rozważm równani różniczkow z warunkami podsawowmi d u ( ) ( ) ( ),, u u d (5.6) kórgo rozwiązanim ścisłm js funkcja ( ) ( ) u (5.7) Odpowidni sformułowani wariacjn słab dla go równania wmaga znalzinia funkcji akij funkcji u H, ż dla każdj funkcji sowj v H zachodzi dv du d vd d d (5.8) Obszar podzilono na dwa lmn skończon o równj długości h, z liniową inrpolacją. Macirz szwności lmnów wnoszą 8

19 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow () () K K d (5.9) naomias wkor obciążń [ ] () () F F (5.) d Układ równań MES po agrgacji u u u (5.) a po uwzględniniu warunków brzgowch ( u u ) u u u (5.) co prowadzi do rozwiązania u u u (5.) Ścisł indkaor błędu (liczon na podsawi rozwiązania ścisłgo (5.7)) wnoszą dla lmnu : ( ) ( ) + ( ) d.5775 (5.4) 4 η + dla lmnu : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d.5775 (5.5) 4 η + Powższ całki obliczan są w układach lokalnch lmnów. 9

20 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow Równość obdwu wskaźników błędu ścisłgo wnika z smrii zadania. W dalszj koljności zosaną on obliczon dla dwóch smaorów hirarchicznch, pu h i p. Dla smaora pu h wmagan js dokonani nowgo podziału obszaru na czr lmn skończon o długości h każd. Układ MES po agrgacji ma posać u u u 4 u4 u 5 (5.6) a po uwzględniniu warunków brzgowch ( u u 5 ) u u u 4 u4 u 5 (5.7) daj on rozwiązani u u u 4 4 u4 u 5 (5.8) kór zrszą pokrwa się idalni (al lko w węzłach!) z rozwiązanim ścisłm (5.7). Js o charakrsczna ccha modli MES dla równań liniowch (o sałch współcznnikach). Dlago ż, dla clów smacji błędu, do znalzinia warości rozwiązania na siac rzadkij (5.) oraz siac gęsszj (5.8), można bło się posłużć od razu wzorm (5.7). Indkaor błędu (liczon na podsawi smaora hirarchiczngo pu h) wnoszą dla lmnu : ( ) ( ) ( ), 4 ( ) +, 4

21 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow η d d (5.9) ( ) dla lmnu : ( ) ( ), 4 ( ) +, 4 η d d (5.) Dla smaora pu p wmagan js dokonani inrpolacji kwadraowj (4.) w dwóch lmnach skończonch o długości h każd. Macirz szwności lmnów wnoszą () () K K d (5.) a wkor obciążń [ ] () () F F d (5.) Układ MES po agrgacji ma posać (numracja globalna sopni swobod, jak na rs.6)

22 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow u α u α 4 u 5 (5.) a po uwzględniniu warunków brzgowch ( u u 5 ) u α u α 4 u 5 (5.4) orzmujm rozwiązani u α u α 4 u 5 (5.5) Indkaor błędu (liczon na podsawi smaora hirarchiczngo pu p) wnoszą dla lmnu : ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) η d.5775 (5.6) dla lmnu : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η d.5775 (5.7)

23 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow Ścisł oszacowania są fkm go, iż rząd aproksmacji w lmnach (p ) js aki sam, jak rząd wilomianu opisując rozwiązani ścisł (5.7). Esmacja hirarchiczna ni js jdnm sposobm oszacowania błędu rozwiązania. r i Znaczni prosszm sposobm js skorzsani z rsiduum równania różniczkowgo ( ) obliczni na jgo podsawi norm całkowj ( r ( ) ) d Ω (5.8) Ω η Ω Js o zw. smaor rsidualn jawn. Esmaor nijawn wmaga rozwiązania wariacjngo zagadninia brzgowgo, w kórm obciążni (prawa srona równania różniczkowgo) js błędm rsidualnm r ( ) (, ) l ( v) b v (5.9) Po jgo rozwiązaniu orzmam wrażni na błąd rozwiązania (), na podsawi kórgo nalż nasępni obliczć wskaźnik (5.). Dla go samgo przkładu, co poprzdnio, uproszczon (bz warości skoków pochodnj na granicach lmnów) rsiduum r ( ) wnosi ( ) r d u h, p d r (5.) a wskaźniki błędu w lmnach η η d (5.) Zasosowani wzoru (5.9) dla smaora rsidualngo nijawngo prowadzi do układu równań ME kór po uwzględniniu warunków daj rozwiązani. Rozkład błędu (5.)

24 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow ( ), ( ) ( ( ) ) ( ), ( ) (5.) prowadzi do wskaźników lmnowch η η.5 4 d (5.4) 6. Zagadninia D Moda lmnów skończonch w zagadniniach D zosani omówiona szczgółowo na przkładzi usalongo przpłwu cipła T T T T na Ω T T kn q na Ω n k k w f Ω q (6.) w kórm (rs.8): T T, - niznan pol mpraur (skalarn) [ºC], ( ) k, k - współcznniki przwodznia cipła [W/(m ºC)], f f (, ) - innswność gnracji cipła wwnąrz obszaru Ω [W/m ], T - mpraura zadania na krawędzi brzgu Ω T [ºC] q - srumiń cipła (obciążni) zadan na krawędzi brzgu Ω q [W/m]. q n Ω q Ω Rs. 8: Usalon przpłw cipła Ω T 4

25 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow Odpowidni sformułowani wariacjn: Znalźć funkcję T T (, ) T T na Ω oraz T (, ) D (, ) Ω (, ) (, ) Ω (, ) Ω, Ω Ω Ωq aką, ż v T d v f d v qd v H (6.) gdzi k D k. Inrpolację MES omówim na przkładzi lmnu prosokąngo o wmiarach a b, o T T, js funkcją skalarną). czrch sopniach swobod (funkcja mpraur ( ) Elmn n ma czr funkcj kszału, o wzorach (w układzi lokalnm lmnu) ( a)( b) N (, ) ab ( b) N (, ) ab N (, ) ab ( a) N4 (, ) ab Zam inrpolacja mpraur w lmnci (6.) T T T (, ) N (, ) q N (, ) N (, ) N (, ) N4 (, ) [ 4] [ 4 ] T (6.4) T 4 To samo docz funkcji sowj v v v (, ) N (, ) v N (, ) N (, ) N (, ) N4 (, ) [ 4] [ 4 ] v (6.5) v 4 Po wsawiniu (6.4) i (6.5) do (6.), orzmam równani dla lmnu Ω ( v ( N (, ) ) ) D( N (, ) q) dω ( ( ( )) ) ( ) ( ) ( ( ) ) v N, f, dω v N, qd Ω, v Ω Ωq (6.6) 5

26 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow Z względu na dowolność wboru funkcji sowj, osaczni orzmam K q F + F (6.7) f q gdzi [ 4 4] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) K B, DB, dω N, D N, dω (6.8) [ ] Ω ( ( )) ( ) Ω ( ( )) F N, f, dω, F N, qd Ω (6.9) f q 4 Ω [ 4 ] Ωq oraz (, ) (, ) (, ) (, ) N N N N4 B (, ) N (, ) [ 4] N (, ) N (, ) N (, ) N4 (, ) b b ab a a (6.) Macirz (6.8) oraz wkor (6.9) nalż zagrgować do globalngo układu równań, a nasępni uwzględnić podsawow warunki brzgow (zadana mpraura T ) i rozwiązać. m m T C 4 q - W/m Rs. 9: Przkładow zadani usalongo przpłwu cipła 6

27 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow Dla obszaru ( k k ) jak na rs.9, zasosowano dwi dskrzacj: za pomocą jdngo lmnu prosokąngo o wmiarz m m i za pomocą czrch lmnów skończonch o wmiarach m.5m każd. Dla pirwszj z nich orzmano układ równań MES 5 7 T7 7 5 T T T (6.) a jgo rozwiązaniu, nasępując mpraur węzłow T7 T 9 4 T 4 T (6.) Poniważ funkcj kszału go lmnu wnoszą ( )( ) N (, ) N (, ) N (, ) ( ) N4 (, ) ( ) (6.) o inrpolacja rozwiązania w lmnci (a akż całm obszarz) opisuj się nasępującm wzorm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T, N, 4 N, 4 N, + N, (6.4) 4 Pozwala ona na obliczni składowch wkora sruminia cipła w lmnach ( ) ( ) ( ), T,, (, ) [ ] q D D N q DB q (6.5) czli 7

28 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow (, ) T k q (, ) T (, ) (6.6) k Dla drugij siaki, mpraur węzłow wnoszą T T T 4 T4 T 5 T 4 6 T 7 T 8 T 4 9 (6.7) Możliwa js zam ocna błędu rozwiązania (mpraur) za pomocą smaora hirarchiczngo w "dużm" lmnci skończonm pirwszj siaki. 7. Zadania niliniow Wszski powższ przkład doczł zadań liniowch, j. akich, kór po aproksmacji MES prowadził do liniowch układów równań algbraicznch. Jdnakż wil zadań mchaniki o zadania niliniow, w kórch niliniowość wnika np. dużch dformacji, dużch odkszałcń cz ż niliniowch związków fizcznch. W orii sprężsości niliniow mogą bć związki gomrczn (równania różniczkow łącząc pola przmiszczń i odkszałcń), w orii plasczności i w rologii niliniow (i częso nijdnoznaczn) są związki fizczn (równania łącząc pola odkszałcń i naprężń). W akich przpadkach zwkła procdura MES js niwsarczająca. Koniczna js odpowidnia linarzacja równań, a co za m idzi odpowidnio skonsruowana (z uwagi na zbiżność) procdura iracjna (lub iracjno - przrosowa). Rozważm modlow przkład niliniowgo równania różniczkowgo II rzędu d, ( ), ( ) ( ) d + (7.) Odpowidni sformułowani wariacjn słab dla go równania wmaga znalzinia funkcji akij funkcji u H, ż dla każdj funkcji sowj v H zachodzi dv d d + v d vd d d (7.) 8

29 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow Po aproksmacji MES w lmnci skończonm orzmam wrażni h ( ) ( ) h d d ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) h ( )( ( ) ) v N d, v ( ) v N N d + v N N d d d (7.) co prowadzi do ( ) K F + F (7.4) + k k gdzi h d d h ( ) ( ) K N N d d d ( ( )) ( ) ( ) k ( ) ( ( ) k ) F N d, F N N d h (7.5) W mchanic, w modlu przmiszczniowm MES, wkor F nosi nazwę wkora obciążnia przmiszczniowgo (jżli () js funkcją przmiszczń), gdż js zalżn od niznanj funkcji (przmiszczń). Równani (7.4) sanowi przkład mod iracji prosj, w kórj nasępn rozwiązani k + obliczan js na podsawi poprzdnigo k. Porzbna js zam warość sarowa, np. wkor zrow lub rozwiązani liniow, orzmwan prz pominięciu członów niliniowch w (7.). Koljn rozwiązania orzmuj się ak długo, aż będzi spłnion okrślon warunk, np. mpo zbiżności k + k + k ε dop (7.6) gdzi ε dop - dopuszczaln poziom błędu rozwiązania (np. 6 ε dop ). Dla rzch lmnów, orzmam n sam układ równań, co dla równania (5.6), czli (5.), kórgo rozwiązanim js { }. Dla koljnj iracji orzmam skończonch o równj długości i dla rwialngo rozwiązania sarowgo { } F d d (7.7) ( ) [ ] F d d (7.8) ( ) [ ] ( ) 9

30 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow a po agrgacji całgo układu 6 (7.9) co daj rozwiązani (po uwzględniniu warunków brzgowch ). W podobn sposób orzmujm koljn rozwiązania - każd z nich 4 wmaga ponowngo przlicznia i agrgowania wkorów (7.7) oraz (7.8). Po dokonaniu dwóch iracji norma błędu rozwiązania wnosi 4. 4 (7.) Moda iracji prosj, mimo iż niskomplikowana chniczni, ma jdnak podsawową wadę - js rzadko zbiżna, a jżli już js zbiżna, o bardzo wolno. Dlago ż znaczni częścij wkorzswana js inna moda iracjna - opara na algormi Nwona-Raphsona, w kórj wsępuj sczna (lub psudo-sczna) macirz szwności. Dla układu n niliniowch równań algbraicznch o n niwiadomch posaci f ( ) (7.) gdzi { f f... fn }, {... n} ( ) ( ) ( ) ( ) f (7.) algorm mod Nwona - Raphsona wgląda nasępująco ( ( k ) ) ( ( k ) ) f f ( + ) f ( ) ( ) ( ) k k k (7.) lub w posaci przrosowj (7.4) f ( ( k ) ) ( ) f ( k + ) ( k ) gdzi ( k +) ( ) k + ( k ). Macirz (7.5)

31 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow f ( ( k ) ) f f f... n f f f... n fn fn fn... n ( k ) (7.6) nosi nazwę macirz scznj lub macirz Jacobigo. Dla rozważango sformułowania wariacjngo na poziomi lmnu skończongo (7.4), funkcja f ( ) ma posać ( ) f K F F (7.7) a macirz sczna wnosi K f ( ) K + K T (7.8) gdzi ( k ) K K o macirz szwności przmiszczniowj h ( ( )) ( ) ( ) ( k ) K N N N d (7.9) Algorm Nwona - Raphsona w formi przrosowj, po agrgacji macirz i wkorów, wgląda nasępująco ( ) ( ) KT k + Kk F + F (7.) k R Wkor R można inrprować jako rakcj więzów na przłożon obciążni F. Sił rakcji R są zawsz równ zro dla mod iracjnch (dokładnij: jdn nizrow rakcj powsają dla zablokowanch sopni swobod, kór i ak są wkrślan z układu równań), naomias sają się nizrow dla mod przrosowj. Wd wkor F zawira już "now" obciążni (po dodaniu jgo koljngo przrosu), a wkor K bazuj na "sarm" rozwiązaniu k, odpowiadającm "sarmu" obciążniu bz koljngo przrosu. Rozpocznając oblicznia od wkora zrowgo { } pirwszm kroku iracjnm, rozwiązani liniow { } dla wkora zrowgo, schma (7.) upraszcza się do posaci, ponowni orzmam w k, co wnika z go, ż

32 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow K F + (7.) W nasępnj iracji orzmam K [ ] [ ] d 6 (7.) K [ ] [ ] d 6 (7.) a po agrgacji czli (7.4) (7.5) Układ n daj rozwiązani (poprawki brzgow ) (7.6) Po dokonaniu dwóch iracji norma błędu rozwiązania wnosi (7.7) W problmach niliniowch mchaniki (duż przmiszcznia, duż odkszałcnia) można wróżnić rz macirz wchodząc w skład macirz scznj: omawian uprzdnio macirz

33 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow szwności K i macirz szwności przmiszczniowj K, zalżna od przmiszczń, oraz macirz szwności naprężniowj K σ, zalżna od pochodnch przmiszczń (odkszałcń), kór po przskalowaniu przz liniow związki fizczn sają się naprężniami. Przkładm zagadninia, w kórm wsępuj naprężniowa macirz szwności (zwana ż macirzą wsępnch naprężń), js klasczn (bz imprfkcji, z proporcjonalnm obciążnim) wboczni konsrukcji pręowch. Rs. : Ida mod przrosowo - iracjnj Na rs. przdsawiono idę mod przrosowo - iracjnj. Sosuj się ją wd, gd przłożni od razu całgo obciążnia moż spowodować zw. przskok rozwiązania lub brak zbiżności. W modzi j cał obciążni dzili się na przros, od do n. Po przłożniu pirwszgo z nich konsrukcja zosaj wchlona z położnia równowagi R (czarna gruba ściżka - np. zalżność przmiszczni - siła). Dzij się ak dlago, ż przros przkładan js liniowo (sczna do krzwj), a mczasm ściżka równowagi js niliniowa. Sąd porzbn są iracj, ab na nią powrócić. Obciążni ni zminia się ( R ), za o powsają sił rsidualn, kór nalż wgasić. Poniważ jdnak obliczani za każdm razm (dla każdj poprawki) nowj macirz scznj moż bć koszown (pamięajm, iż zalż ona od przmiszcznia), o wprowadzono różn modfikacj, np. począkowa moda Nwona - Raphsona, w kórj macirz sczna liczona js lko raz, dla pirwszgo przrosu obciążnia (nachlni scznj ni zminia się w czasi procsu). Oblicznia rwają dłużj (porzbn js więcj iracji), al macirz sczna gnrowana (i odwracana) js lko raz. Inną modfikacją moż bć wprowadzni paramru rlaksacji α, kór sruj poziomm "przkładanch" sił rsidualnch. Po wgaszniu sił rsidualnch (z

34 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow zadaną dokładnością) nasępuj przłożni koljngo przrosu obciążnia i procs iracjn zaczna się od nowa. Przkładani przrosów obciążnia (zw. srowani obciążnim) js najprosszm, al ni jdnm rozwiązanim. Innm sposobm moż bć srowani przmiszcznim, lub ż paramrm łuku. Sają się on przdan dla konsrukcji, w kórch nasępuj zw. przskok, czli nagła zmiana (nijdnoznaczność) posaci dformacji (np. kraa Missa). Przanalizujm jszcz inn zadani niliniow: duż ugięcia blki zginanj, zamocowanj z przsuwm pionowm z lwj sron, swobodni podparj z prawj; o długości, o znanj szwności na zginani EJ, obciążonj siłą skupioną P na jj lwm końcu (rs.). Siła ni zminia kirunku podczas dformacji. P EJ P Rs. : Duż ugięcia blki zginanj Sformułowani lokaln js nasępując d d d + d d M (, ) ( ), ( ), d EJ ( ) (7.8) gdzi momn zginając M (, ) js równ ( ) ( ) M P (7.9), Prz budowi prawj sron równania (momn zginając) nalż pamięać o koniczności wodrębninia dwóch konfiguracji: począkowj (przd dformacją) i akualnj (po dformacji). Ni obowiązuj zam zasada zszwninia, a paramr (współrzędna końca blki) js dodakową niwiadomą. Można ją wliczć np. z warunku na nirozciągliwość osi blki, j. 4

35 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow d + d (7.) d co oznacza, ż długość krzwj po dformacji musi bć zawsz równa pirwonj długości blki. Można ż założć rozciągliwość osi blki, np.. Odpowidni sformułowani wariacjn słab dla go równania wmaga znalzinia funkcji akij funkcji u H, ż dla każdj funkcji sowj v H zachodzi dv d P d d v + ( ) d d d EJ d (7.) Po aproksmacji MES, na poziomi lmnu skończongo orzmam równani h ( ) ( ) h d d P N ( ) N ( ) d ( ( ) ) + ( ( ) ) d d d EJ N N (7.) kór sanowi podsawę mod iracji prosj. Po agrgacji orzmam k + ( ) K F (7.) gdzi ( ) k k F zalż od poprzdnigo rozwiązania k +. oraz od poprzdnij długości ( ) d Jako warości sarow można od razu przjąć rozwiązani liniow (dla d i ), lub rozwiązani zrow, kór prowadzi równiż do rozwiązania liniowgo w pirwszm kroku iracji. Przjmijm jdn lmn skończon o inrpolacji kwadraowj pu hirarchiczngo, z funkcjami kszału N ( ) ( ) (7.4) co prowadzi do nasępującgo układu równań dla rozwiązania liniowgo k 4 4 P α EJ (7.5) kór, po uwzględniniu warunku brzgowgo, daj rozwiązani 5

36 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow P α EJ 4 6 (7.6) Inrpolacja przmiszcznia w lmnci (i w całm obszarz) wraża się wzorm 4 P ( ) N ( ) ( ) EJ (7.7) 6 a jgo pirwsza pochodna 4 d d P ( ) N ( ) d d EJ (7.8) 6 Nowa współrzędna moż wnikać z warunku nirozciągliwości (7.), czli 4 P + d EJ (7.9) 6 Powższa całka musi bć obliczana numrczni, a równani niliniow rozwiązwan iracjni. Po wznaczniu F w równaniu (7.)., nalż wznaczć wkor obciążnia ( ) Ćwicznia sformułować schma MES mod iracji prosj oraz mod Nwona - Raphsona dla niliniowgo równania różniczkowgo posaci d d ( ) ( ) ( ),, d d przjąć dwa lmn skończon równj długości z liniową inrpolacją; wkonać po dwa kroki iracjn każdm z ch schmaów; oszacować błąd rozwiązania po drugim kroku; jako rozwiązani sarow przjąć wkor zrow, rozwiązać powższ zadani dla dwóch lmnów skończonch, al o kwadraowj inrpolacji pu hirarchiczngo, znalźć ugięcia blki o długości, szwności na zginani EJ, swobodni podparj, obciążonj obciążnim ciągłm o innswności q; przjąć orię dużch 6

37 Sławomir Milwski maj-czrwic, 4 Mod kompurow w inżnirii lądowj - mariał wkładow przmiszczń oraz siakę złożoną z dwóch lmnów skończonch równj długości o liniowj inrpolacji; wkonać dwi iracj za pomocą mod Nwona - Raphsona. Prz obliczniach numrcznch posłużć się programm Malab. 7