6. Dynamika Stan równowagi. ρb(x, y, z) V n t d. Siły

Transkrypt

1 6. Dynamika P.Pluciński 6. Dynamika 6.1. tan równowagi t ρb d x, y, z P ρüx, y, z ρbx, y, z z n t d x y iły ρb wktor gęstości sił masowych [N/m 3 ] ρb d wktor gęstości sił masowych tłuminia [N/m 3 ] ρü wktor gęstości sił bzwładności [N/m 3 ] t wktor gęstości sił powirzchniowych [N/m 2 ] t d wktor gęstości sił powirzchniowych tłuminia [N/m 2 ] Równani równowagi ciała t t d d + ρ b b d ü d = tatyczn warunki brzgow t t d = σn = m T s Wykorzystując twirdzni Grna Gaussa Ostrogradzkigo σnd = divσd = L T sd Równania Navira L T s + ρ b b d ü d = L T s + ρ b b d ü = P σ ij,j + ρ b i b d i ü i = 4.1

2 6.2. Równani równowagi układu zdyskrtyzowango P.Pluciński formułowani słab funkcja wagowa w = δu kinmatyczni dopuszczalna wariacja przmiszcznia zgodna z kinmatycznymi warunkami brzgowymi zasada prac wirtualnych Lδu T sd + Lδu T sd = praca sił wwnętrznych δu T L T s + ρ b b d ü d = δu t t d δu T m T s d + δu T ρ b b d ü d = δu T t t d d + δu T ρ b b d ü d praca sił zwnętrznych 6.2. Równani równowagi układu zdyskrtyzowango Równani równowagi Aproksymacja ME: u h x, t = N x d t { L δu T s d δu T { B L N δ d T s d N δ d T t t d d δu T ρ b b d ü d = t t d d N δ d T ρ b b d ü d = IT δd { δ d T B T s d N T t t d d N T ρ b b d ü d = δd T { E IT { T B T s d N T t t d d N T ρ b b d ü d = δd = IT { T B T s d N T t t d d N T ρ b b d ü d = { { IT T B T s d + IT T N T ρü d + + IT T N { T t d d + N T ρb d d = = IT T N { T t d + N T ρb d 4.2

3 6.3. Drgania własn bz tłuminia P.Pluciński Uwzględnini związków kinmatycznych i konstytutywnych oraz tłuminia liniowa sprężystość zw. konstytutywny : s = D liniowy związk kinmatyczny : = Lu s = D L u = D L N d = D B IT d, ü = N d = N IT d lpki tłumini : t d = µ d u = µ d N d = µ d N IT ḋ, ρb d = µ b u = µ b N d = µ b N IT ḋ { { IT T B T D B d IT d + IT T ρn T N d IT d+ K { M + IT T µ d N T N d + µ b N T N d IT ḋ = C { = IT T N T t d + N T ρb d f IT T K IT d + K IT T M M IT d + IT T C C IT ḋ = IT T f f K K d + M M d + C C ḋ = f f Kd + M d + Cḋ = f M dt + Cḋt + Kdt = ft M macirz bzwładności C macirz tłuminia K macirz sztywności f wktor węzłowych obciążń zwnętrznych 6.3. Drgania własn bz tłuminia Równani równowagi M dt + Kdt = 4.3

4 6.4. Elmnt blkowy P.Pluciński Aproksymacja N macirz funkcji kształtu u x, t = N x d t = N x d A sinωt + ϕ d A wktor amplitud drgań własnych ω częstość drgań własnych ϕ przsunięci fazow ω = 2πf = 2π T gdzi f, T odpowidnio częstotliwość, okrs drgań własnych Uwzględnini oscylacyjngo charaktru drgań zmiana wartości stopni swobody w czasi d t = d A sinωt + ϕ d t = ω 2 d A sinωt + ϕ po agrgacji i podstawiniu do równania równowagi K ω 2 M d A sinωt + ϕ = K ω 2 M d A = problm własny równani jst spłnion dla dt K ω 2 M = lub d A = dt K ω 2 M = 6.4. Elmnt blkowy z A, I, ρ z d 1 d 3 d 2 i d 4 j Funkcj kształtu N = [N 1 N 2 N 3 N 4 ] 1 N 1 = 1 3 l x l 3 1 N 3 = 3 l 2 2 x l 3 N 2 = [ 1 l ] 2 N 4 = [ x l 2 x l ] 4.4

5 6.5. Przykład wspornik P.Pluciński Macirz sztywności Macirz bzwładności 6.5. Przykład wspornik 1. Dan K = l B = LN, L = K = E I l 3 M = [ B T D B d d2 d2 ], D = [E I ] 12 6l 12 6l 6l 4l 2 6l 2l l 12 6l 6l 2l 2 6l 4l 2 l ρa N T N d µ = ρa masa na jdn. długości [kg/m] l 54 13l M = µ l 22l 4l 2 13l 3l l l 13l 3l 2 22l 4l 2 z E, I, µ, l d 1 d 3 d 2 d 4 x 2. Budowa problmu własngo dla układu K ω 2 M d A = EI l l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l 2 µl ω2 42 ω2 µl 4 EI l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l l l -13l -3l 2-22l 4l l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l l l -13l -3l 2-22l 4l 2 d A1 d A2 d A3 d A1 d A2 d A3 = = 4.5

6 6.5. Przykład wspornik P.Pluciński 3. Uwzględnini warunków brzgowych 12 6l -12 6l 6l 4l 2-6l 2l l 12-6l 6l 2l 2-6l 4l l 54-13l 22l 4l 2 13l -3l l l -13l -3l 2-22l 4l 2 d A3 [ ] 12-6l -6l 4l 2 [ ] [ ] [ ] l da l 4l 2 = 4. Rozwiązani problmu własngo częstości drgań własnych [ ] 12-6l -6l 4l 2 [ ] l 42-22l 4l 2 = ω 1 = = 2 = = 3.53 EI l 2 µ EI ω 1 = l 2 5. Postaci drgań własnych Formy drgań własnych wyznaczon z jdngo z dwóch równań liniowo zalżnych po podstawiniu odpowidnij wartości własnj µ dla ω 1 d A3 =.728l dla ω 2 d A3 =.131l 4.6

7 6.5. Przykład wspornik P.Pluciński 4.7