Równania ruchu konstrukcji głównej z dołączonymi tłumikami drgań opisanymi standardowym modelem reologicznym

Transkrypt

1 Budownicwo i Archiura 9 (211) Równania ruchu onsrucji głównj z dołączonymi łumiami drgań opisanymi sandardowym modlm rologicznym Pior Wilgos Kadra Mchanii Budowli, Polichnia Lublsa, Wydział Budownicwa i Archiury, -mail: p.wilgos@pollub.pl Srszczni: W aryul przdsawiono mamayczny modl onsrucji głównj z wbudowanymi wiloronymi srojonymi łumiami drgań. Bardzo ważną wsią, związaną z ym modlm js budowa globalnj macirzy łuminia usroju. Przdsawion zosaną własn propozycj lmnów MES, opisujących dodaow lmny dołączon do usroju główngo w posaci srojonych łumiów drgań. Omówion zosaną aż orzyści płynąc z zasosowania nowych lmnów MES. Słowa luczow: wiloron srojon łumii masow, globalna macirz łuminia, lmny MES. 1. Wsęp Obcni wyróżniamy ila mod i chnologii umożliwiających rducję drgań spowodowanych różnoraimi oddziaływaniami. W zalżności od rodzaju ych oddziaływań niór z mod są sucznijsz od innych, niidy jdyn jai można zasosować. W zalżności od sposobu i podjścia do problmu rducji drgań możmy wyróżnić nasępując grupy mod rducji nipożądanych drgań: mody pasywnj rducji drgań; mody aywnj rducji drgań; mody półaywnj rducji drgań; mody miszan. W ninijszj pracy supiono się na pasywnj modzi rducji drgań, i js ona najczęścij sosowana w onsrucjach rzczywisych. Pasywna rducja drgań możliwa js dzięi, wprowadzniu dodaowych lmnów zwanych dalj łumiami drgań (TD). Głównym ich zadanim js zwięszni możliwości rozpraszania nrgii w raci drgań usroju, lcz możliwa js aż zmiana chararysy częsoliwościowych usroju. W zasadzi w wszysich przypadach, jaaolwi zmiana paramrów łuminia zminia chararysyi częsoliwościow usroju (zmiana zspolonych warości własnych). Cchą wyróżniającą łumii pasywn js o, ż ni dosarczają on nrgii do uładu główngo, a wyorzysują drgania onsrucji do wywołania dodaowych sił łumiących. Inną cchą ych łumiów js o, ż ich paramry ni zminiają się w czasi. Mody aywnj i półaywnj rducji drgań ni będą omawian w pracy. Można ylo swirdzić, ż w wię-

2 24 Pior Wilgos szości przypadów są on sucznijsz od mod pasywnj rducji drgań, al wymagają zainsalowania dodaowych urządzń na onsrucji (czujnii, ompury, wzbudnii). Cchą chararysyczną go rodzaju łumiów js dosarczani nrgii (wprowadzni dodaowych sił aywnj rgulacji) do uładu poprzz wzbudnii. Szroo omówion mody aywnj i półaywnj rducji drgań można znalźć w pracy Lwandowsigo [3]. W pirwszj części pracy przdsawion zosaną podsawow dan o pasywnych łumiach drgań, nasępni omówion zosaną sposoby wbudowania ich w onsrucję główną. Końcowym fm pracy js propozycja własnych lmnów MES opisujących dodaow lmny dołączon do usroju główngo w posaci łumiów drgań. Modl lmnów MES zosały omówion aż w pracy Wilgosa [6]. 2. Wisoyczn łumii drgań Tłumii wisoyczn zazwyczaj sładają się z cylindra wypłniongo ciczą o dużj lpości, w órym porusza się ło z oworami. Podczas ruchu łoa wymuszany js ruch ciczy, órj przpływ w zalżności od częsości wymusznia i prędości ciczy w cylindrz moż mić różny charar. Enrgia rozpraszana js na su arcia pomiędzy cząsczami płynu a łoim. Na Rys. 1 przdsawiono schma aigo łumia. Rys. 1. Tłumi wisoyczny. Fig. 1. Th viscous dampr. Z względu na różn chararysyi lpościow ciczy oraz zmiany ciśninia w cylindrz w zalżności od mpraury, częso dodaowym lmnm js aumulaor ciczy ompnsujący zmiany ciśninia w cylindrz. Siła wywoływana przz go rodzaju łumi, w ogólności ma posać: ì F () x () x () c ( ) α í ï ³ (1) α -- ( x ()) x () < îï gdzi c js współczynniim łuminia, prędością względną łoa względm cylindra a α współczynniim. W ogólności współczynni α, zawira się,3 < α < 2 w zalżności od rodzaju łumia, chararu wymusznia id. Siły łuminia są proporcjonaln do względnj prędości łoa w przypadu, gdy przpływ ciczy js laminarny, czyli dla małych prędości łoa. W syuacji gdy dany usrój poddany js dynamicznmu oddziaływaniu wiaru, órgo sprum częsoliwościow ni

3 Równania ruchu onsrucji głównj z dołączonymi łumiami drgań przracza 2 Hz, mamy do czyninia z przpływm laminarnym w łumiu α. Dobrym przybliżnim js wdy zalżność: F () cx () (2) 3. Lposprężys łumii drgań Przyładm łumia lposprężysgo moż być aż łumi omówiony w poprzdnim rozdzial, w órym cicz wyazuj własności lposprężys. Do opisu go ypu łumia moż służyć modl Maxwlla, schmayczni przdsawionym na Rys. 2. Rys. 2. Modl rologiczny Maxwlla. Fig. 2. Maxwll rhological modl. W lmnach modlu Maxwlla panują jdnaow siły, ór są opisan zalżnościami: T() Fj() cx () (3) T() - Fi() y ( q() -qi() ) (4) gdzi x() q j () q (), y() q () q i (). Różnica przmiszczń punu j oraz i q() q j () q i () js równa sumi różnic q() x() + y(), więc możmy zapisać: 1 Dq() T x () + () Po zróżniczowaniu równania względm czasu orzymujmy: (5) 1 Dq T 1 () c T () + () Osaczni wzór można przdsawić w posaci: cdq () τ T () + T () (7) gdzi τ c / js czasm rlasacji. Opisan wyżj równani js bardzo niwygodn do sosowania w analizi MES. Jgo posać wynia z usunięcia sopnia swobody związango z przmiszcznim q (), co w fci wprowadza wilość τ T (). Z go ż względu warość siły łumiącj zalży od częsości wymusznia λ. Jżli przmiszczni oraz siła w łumiu zminiają się harmoniczni w czasi z częsością ołową wymusznia przy drganiach usalonych λ, wdług wzorów T () T xp( iλ ), Dq () Dq xp( iλ ) orzymujmy nasępującą zalżność w dzidzini częsości: (6)

4 26 Pior Wilgos gdzi: iλc q iλτ T + T (8) T D iλc Dq ( + iλc) Dq ( 1+ iη) D q (9) 1 + iλτ c τ λτ λτ c 1 c 1+ λτ 2 2 λc η (1) Na Rys. 3 przdsawiono wyrs c (λ) oraz (λ), przy danych c 1, 1. Rys. 3. Wyrs c (λ) oraz (λ) dla modlu Maxwlla. Fig. 3. Plos of c (λ) and (λ) in h cas of Maxwll modl. Szywność łumia dla modlu Maxwlla, wyznacza się dla nisończni dużj częsości wymusznia λ, zaś współczynni łuminia c dla zrowj częsości wymusznia λ. Orzymujmy wdy odpowidnio: c c (11) Jżli sopiń swobody związany z q () ni zosani usunięy, znini sładni τ F (). Jżli napiszmy równania ruchu da ażdgo sopnia swobody orzymamy uład rzch równań: Fi() ( qi() -q() ) (12) ( ) F() ( q () -q () )+ c q () -q () (13) i j ( ) F () c q () -q () (14) j j óry w płni opisuj modl rologiczny Maxwlla. Nisy w liraurz np. w pracy Lwandowsigo [3], częso sosuj się podjści, w órym usuwany js n sopiń swobody i doładan są do równań ruchu siły pochodząc od łumiów, w órym wysępuj pirwsza pochodna j siły T (). Powsały uład równań ni moż być wdy obliczony lasycznymi modami MES i częso wprowadza się uproszczni, iż paramry łumia są sał, nizalżn od częsości wymusznia, lub są orślon dla pirwszj, dominującj w odpowidzi usroju częsości drgań własnych. Upraszcza o modl obliczniowy

5 Równania ruchu onsrucji głównj z dołączonymi łumiami drgań łumia, óry w zasadzi sprowadza się do modlu rologiczngo Klvina Voiga, w órym dodaowa siła łuminia js posaci: T () Dq() + cd q () (15) Innym ypm łumiów lposprężysych są łumii, w órych lmn łumiący wyonany js z subsancji szlisych lub opolimrów. Rozpraszani nrgii w aich mariałach odbywa się w raci zmian posaciowych. Zazwyczaj ai łumi słada się z dwu pły przymocowanych do pły salowych. Schma aigo łumia przdsawiono na Rys. 4. Rys. 4. Tłumi lposprężysu. Fig. 4. Th viscolasic dampr. Do opisu go ypu łumiów najczęścij sosowany js sandardowy modl rologiczny (SMR). Js on ombinacją omówiongo wczśnij modlu Maxwlla oraz Klvina Voiga. Schma do orślnia sił w ym modlu przdsawiono na Rys. 5. Rys. 5. Sandardowy modl rologiczny. Fig. 5. Sandard rhological modl. Zalżności podsawow przdsawion są poniżj: Fi() Fi 1() + Fi 2 () F F F j() j1() + j 2 () F F j() - i() (16) q () - q () ( q () -q () )+ q () -q () j i i j ( ) (17) Wilości opisując poszczgóln siły dla części drugij modlu Maxwlla będą miały nasępującą posać: F () ( q () -q () ) (18) i2 2 i ( ) F() ( q() -qi() )+ c q () -q 2 2 j () (19) ( ) F () c q () -q () (2) j2 2 j

6 28 zaś dla części pirwszj: Pior Wilgos ( ) (21) F () q () -q () i1 1 i j ( ) (22) F () q () -q () j1 1 j i Jżli do równania (17) podsawimy zalżności wyniając z równań (18) oraz (21), orzymamy: ( ) - F ()/ - F ( )/ + q () -q () (23) i1 1 i2 2 j Sprowadzając do wspólngo mianownia, podsawiając Fi2() Fi() - Fi 1() oraz różniczując względm czasu, orzymujmy: - F ( + ) i1() 1 2 F + i () ( q - q j() () ) (24) Zalżność po prawj sroni równania możmy wyznaczyć z równania (2). Uwzględniając F () - F () oraz F () F() - F (), orzymujmy: j2 i2 i2 i i1 F i1() ( 1+ 2 ) Fi() Fi() Fi 1() (25) c c Po uwzględniniu zalżności F q q i1() 1 i() - j () orzymujmy znany wzór dla modlu sandardowgo: 2 ( ) oraz (21), osaczni 2 c2dq () F i() Fi() 1Dq() + ( τ + - ) (26) 1 2 lub, po przszałcniach: τ( + ) Dq () + Dq() τf () + F() (27) gdzi τ c /, Dq() q () - q (), Dq () q () -q () 2 2 i j i i Z wzorów powyższych wynia, iż jżli zrduujmy warość 1, o orzymamy modl rologiczny Maxwlla. Jżli naomias warość 2, o modl sandardowy upraszcza się do modlu Klvina Voiga. Podobni, ja dla modlu Maxwlla, jżli przyjmimy opis sił łuminia oraz przmiszcznia względngo w posaci Fi () F xp( iλ ), Dq () Dq xp( iλ ) o orzymamy: gdzi: F 1 i λτ ( + ) Dq ( + iλc) Dq ( 1+ iη) Dq 1+ iλτ, τ c ( + ) 1 λτ λτ c c2 1 + λτ i 2 2 j (28) λc η (29) Wilość + iλc nazywana js szywnością zspoloną. Na Rys. 6 przdsawiono wyrs c (λ) oraz (λ), przy danych c 2 2, 1 1, 2 2.

7 Równania ruchu onsrucji głównj z dołączonymi łumiami drgań Rys. 6. Wyrs c (λ) oraz (λ). Fig. 6. Plos of c (λ) and (λ). Współczynni łuminia c 2 oraz szywność 1, wyznacza dla zrowj częsości wymusznia λ. Orzymujmy wdy: Dla nisończni dużj częsości wymusznia λ, orzymujmy odpowidnio: 1, c 2 c (3) + 1 2, c Oczywiści, podobni ja o miało mijsc w modlu rologicznym Maxwlla, orzysnij js wprowadzić lmn MES z dodaowym sopnim swobody. Podjści ai, liminuj pojawini się w równaniach ruchu sładnia z pirwszą pochodną siły łuminia F i (). W nasępnym rozdzial zosani wyprowadzony auorsi lmn MES modlujący łumi lposprężysy. 4. Sposoby wbudowania łumiów drgań w onsrucję główną Tłumii wisoyczn ja i lposprężys mogą być wbudowywan w onsrucję w różnorodny sposób. Najczęścij spoyan ułady przdsawion są na Rys. 7. (31) Rys. 7. Schma wbudowania łumiów wisoycznych i lposprężysych w onsrucję główną. Fig. 7. Th insallaion schm of viscous and viscolasic damprs in h main srucur. Na schmaci A oraz B, przdsawion js ypow rozwiązani umiszcznia TD na onsrucji głównj. Rozwiązani przdsawion na schmaci C, js

8 3 Pior Wilgos orzysnijsz od ych przdsawionych na schmaci A oraz B. Zwięszni siły łuminia wynia z zasosowania dźwigni i zwięsznia przmiszczń oraz prędości punu, do órgo przymocowany js łumi. W wszysich wypadach najorzysnij js wymodlować przy analizi MES zasrzały. Unia się w n sposób raowania zasrzałów jao lmnu nowgo łumia złożongo z zasrzału oraz właściwgo łumia. Modl mamayczny, opisujący ai uład js jszcz bardzij złożony od wczśnij opisango modlu Maxwlla. W ogólności mamy wdy do czyninia z uładm szrgowym dwóch sprężyn i łumia wisoyczngo. Ni nalży więc usuwać sopni swobody związanych z punami zamocowania łumia, gdyż w znacznym sopniu urudnia o analizę drgań aigo usroju. Dla przypadu modlu łumia opisango modlm Klvina Voiga ni js oniczn wprowadzani dodaowgo sopnia swobody uładu, zaś dla modli Maxwlla oraz sandardowgo modlu rologiczngo (SMR) nalży wprowadzić dodaowy sopiń swobody (js o sopiń swobody związany z wwnęrznym ruchm mariału lposprężysgo), óry pozwoli uninąć omówionych w poprzdnich podrozdziałach rudności obliczniowych. Rys. 8. Wprowadzni dodaowgo sopnia swobody dla modlu. Fig. 8. Th inroducion of h addiional dgr of frdom o h modl. 5. Równania ruchu uładu główngo z dołączonymi łumiami lposprężysymi Podobni ja w przypadu usroju sładającgo się z podsruur wyonanych z różnych mariałów, a i w przypadu dołącznia łumiów opisanych sandardowym modlm rologicznym SMR do uładu główngo, poszczgóln macirz modlu można rozbić na dwi podmacirz: onsrucja główna (przz N oznaczymy sopni swobody uładu główngo); dołączon łumii (przz N oznaczmy liczbę dołączonych łumiów). Równania ruchu mogą być wdy zapisan w posaci: ( MKG + MT) q () + ( CKG + CT) q () + ( KKG + KT ) q() p() (32) Globalna liczba sopni swobody uładu będzi wynosić N + N (ażdy TD-SMR powoduj zwięszni globalnj liczby sopni swobody o jdn). Poniżj przdsawiono posaci macirzy C T, K KG, M T, przy założniu, ż dodaow sopni swobody wyniając z zasosowania TD-SMR wysępują z osanimi numrami:

9 M Równania ruchu onsrucji głównj z dołączonymi łumiami drgań KG émk N N ;, N, N N, N N, N ù ûú K KG ékk N N ;, N, N N, N N, N ù ûú C KG éck N N ;, N, N N, N N, N W przypadu onsrucji wilomariałowych, sładających się z mariałów o różnych właściwościach sprężysych czy ż o różnych właściwościach łumiących, macirz M K, K K, C K nalży budować wdług znango modlu Ryligh a, czy ż modlu łuminia opisango przz Caughy a [2]. Poniżj, zosani przdsawiony sposób budowy poszczgólnych macirzy szywności lmnów opisanych modlm SMR w przypadu usroju dwuwymiarowgo, a nasępni jgo uogólnini na uład przsrznny. Wprowadzon zosaną pojęcia lmnu TD SMR 2D (łumi drgań sandardowy modl rologiczny) oraz lmnu TD SMR 3D. Są o całowici now lmny MES, ór mogą być zasosowan w programach obliczniowych MES Elmn TD SMR 2D Na Rys. 9 przdsawiono schma lmnu łumia o chararysyc lposprężysj TD SMR 2D w uładzi loalnym. ù ûú (33) Rys. 9. Elmn TD SMR 2D w uładzi loalnym. Fig. 9. Th TD SMR 2D lmn in local coordina sysm. Węzły i oraz j odpowiadają węzłom, do órgo dołączany js łumi, zaś węzł js węzłm dodaowym, w órym supiona js masa własna drgającgo mariału lposprężysgo. Przmiszczni q x związan js z ruchm wwnęrznym mariału lposprężysgo. Supini masy w węźl, umożliwia uwzględnini w modlu drgań własnych mariału lposprężysgo, co ni js możliw w modlach rologicznych. Masę całgo łumia można przdsawić w nasępującj formi: m mw + m (34) gdzi m w js masą mariału lposprężysgo zaś m js masą onsrucji łumia. W rozważaniach można w uproszczniu przyjąć, ż połowa masy własnj mariału lposprężysgo m w supiona js węźl na irunu loalnj osi x. W węzłach i oraz j na irunu osi x supiona czwara część masy mariału lposprężysgo, oraz po połowi masy wyniającj z onsrucji łumia m. Na irunu y w węźl i oraz j supiona js masa,5m. W rzczywisości masy

10 32 Pior Wilgos dodan do węzła i oraz j są pomijalni mał w sosunu do masy onsrucji i mogłyby być ni uwzględnian. Kirun działania łumia orśla wor irunowy wyniający z współrzędnych węzłów i oraz j w globalnym uładzi współrzędnych XY w posaci w [L X, L Y ]. Pojdynczy łumi drgań (TD) moż wyonywać drgania ylo po irunu x loalngo uładu współrzędnych, a więc z założnia q y, oraz F y. Transformacji do uładu globalngo podlgają wilości sił i przmiszczń węzła począowgo i oraz ońcowgo j, zaś w węźl pozosawiany js uład loalny. Wory przmiszczń węzłowych lmnu oraz sił węzłowych w uładzi loalnym dla go łumia będą miały nasępującą posać: éq ù é ix F ù ix q iy F iy q ' q jx f ' F jx q jy F jy q x ûú F, x ûú zaś w uładzi globalnym: éq ù é ix F ù ix q iy F iy q ' q jx f ' F jx q jy F jy q x ûú F x ûú Macirz M ', K ', C' w loalnym uładzi współrzędnych mają nasępując posaci: M ' é5, m + 25, mw ù, 5m 5, m + 25, mw 5, m m w ûú é ù K ' úû C' é ù c -c 2 2 -c c 2 2 ûú Jżli ni uwzględnimy mas pochodzących od łumia w węźl i oraz j (jao pomijalni mał w sosunu do mas onsrucji supionych w węźl i oraz j), orzymamy: (35) (36) (37) (38)

11 Równania ruchu onsrucji głównj z dołączonymi łumiami drgań é ù M ' m w ûú Dla pojdynczgo lmnu możmy zapisać nasępując równani równowagi dynamicznj: (39) M' q ' () + C' q ' () + K' q' () f '() (4) Jżli napiszmy powyższ równania w sandardowj formi orzymamy nasępujący uład równań: F ( + ) q () - q () -q () (41) ix 1 2 ix 1 jx 2 x F iy (42) Fjx c ( q 2 jx () -q x () )+ 1( qjx () -qix () ) (43) F jy (44) Fx m q w x () + c ( q x -q 2 () jx () )+ 2 ( qx () -qix () ) (45) Transformacja poszczgólnych macirzy lmnu z uładu loalngo do globalngo obywa się za pomocą znanych z MES wzorów (por. Raowsi i in. [5]): q () R q '() q'() R T q ( ) f () R f '(), f'() R T f ( ) gdzi macirz obrou lmnu js dana wzorm: R ér ù i R j ê ë 1û ú ( ) (46) ( ) (47) Macirz R i js macirzą obrou węzła począowgo, zaś R j węzła ońcowgo. Siły i przmiszcznia w węźl ni podlgają obroowi. Macirz obrou węzła począowgo i ońcowgo dana js wzorm: R i éc R j ê ës -sù c ú û gdzi: c cosα, s cosα. Mnożąc lwosronni równani (4) przz R oraz uwzględniając związ orzymujmy równani równowagi dynamicznj w uładzi globalnym: (48) (49)

12 34 Pior Wilgos ( ) + ( ) + ( ) RM R T q RC R T q RK R T ' ( ) ' () ' q ( ) Rf' () (5) Poszczgóln macirz w uładzi globalnym będą miały nasępującą posać: M R M' R (51) ( ) T K R K' R (52) ( ) T C R C' R (53) ( ) T Jżli uład loalny go WSTM js zgodny z uładm globalnym (c 1, s ) o macirz M, K, C są odpowidnio równ M ', K ', C' Elmn TD SMR 3D Transformacja poszczgólnych macirzy lmnu z uładu loalngo do globalngo obywa się za pomocą wzorów (5). Na Rys. 1 przdsawiono podsawow oznacznia, służąc do uzysania macirzy obrou węzła (por. Błazi Borowa i Podgórsi [1]). Wor irunowy działania STM można przdsawić w formi w [L X, L Y, L Z ]. Kirun loalnj osi x, js zawsz wybirany wzdłuż wora irunowgo w, irun y, a aby oś y była równolgła do płaszczyzny XY uładu globalngo. Obró z uładu loalngo do globalngo złożony js z dwóch obroów pośrdnich. Najpirw obracamy uład xyz o ą β do pośrdnigo uładu x y z, dobrango a aby oś x była równolgła do płaszczyzny XY, a nasępni obracamy uład x y z o ą γ, a, aby osi x oraz X były równolgł. Macirz obrou o ą β oraz o ą γ będą miały nasępując posaci: R β é cβ -s ù β 1 sβ cβ ûú, R γ écγ -sγ ù s γ cγ ê ú ë 1û gdzi: s sin β L / L c cos β L'/ L β Z s sin γ L / L ' c cos γ L / L ' γ Y L' L 2 + L 2 L L + L + L X Y β γ X X Y Z Macirz obrou lmnu js analogiczna do posaci, z ym ż macirz obrou węzła począowgo i ońcowgo dana js wzorm: écc -s -c s ù γ β γ γ β Ri R j Ri Ri sc c -s s γ β γ β γ γ β s c β β ûú (54) (55)

13 Równania ruchu onsrucji głównj z dołączonymi łumiami drgań Rys. 1. Elmn srojongo łumia masowgo (STM 3D) w uładzi globalnym. Fig. 1. Th lmn of h und mass dampr (STM-3D) in h global sysm. Posaci poszczgólnych macirzy w uładzi loalnym przdsawiają poniższ wzory: é ù M ' m w ûú (56) é ù 2 K ' ûú C' é ù c -c 2 2 -c2 c 2 ûú (57) 5.3. Uład główny z dołączonymi łumiami opisanymi modlm Klvina Voiga W przypadu zasosowania łumiów wisoycznych lub opisanych modlm rologicznym Klvina Voiga (TD KV), zamonowanych na onsrucji głównj, przy pominięciu masy łumiów, modyfiacji podlga jdyni macirz szywności i łuminia onsrucji głównj. Zasosowani go ypu łumiów ni zwięsza globalnj liczby sopni swobody. Schma lmnu łumia TD KV 2D przdsawia Rys. 11.

14 36 Pior Wilgos Rys. 11. Elmn TD KV 2D w uładzi loalnym. Fig. 11. TD KV 2D lmn in local coordina sysm. Elmn aigo łumia js całowici ożsamy z lmnm raownicy płasij, i ni będzi uaj szrzj opisywany. Podana jdyni posać macirzy szywności i macirzy łuminia. é - ù K ' - ûú C' é c -c ù -c c ûú W przypadu łumia wisoyczngo modyfiacji podlga jdyni globalna macirz łuminia C. Dla łumia zamocowango w onsrucji przsrznnj poszczgóln macirz są idnyczn ja dla raownicy przsrznnj Agrgacja macirzy dla uładu dynamiczngo Agrgacja macirzy poszczgólnych lmnów SMR odbywa się w sposób analogiczny ja dla innych lmnów znanych z MES. Moż być przprowadzona w sposób bzpośrdni, gdzi dla ażdgo lmnu worzona js macirz połączń (przylgania) zawirająca rlacj pomiędzy loalnymi sopniami swobody a uporządowanymi i prznumrowanymi globalnymi sopniami swobody. Macirz połączń lmnu A js prosoąna. Liczba wirszy j macirzy js równa ilości globalnych sopni swobody (w rozparywanym przypadu N + N ), zaś liczba olumn równa js liczbi sopni lmnu (5 dla lmnów 2D oraz 7 dla lmnów 3D). Globaln macirz: mas, szywności oraz łuminia będą opisan wzorami: M A M A T N å ( ) 1 T K A K A T N å ( ) 1 T C A C A T N å ( ) 1 T W ompurowj implmnacji częso sosuj się podjści wyorzysując wory aloacji. Są o wory, ór zawirają odnisini loalnych sopni swobody do prznumrowanych globalnych sopni swobody. Przy ym podjściu, budowa globalnych macirzy M T, K T, C T odbywa się poprzz wsawiani odpowidnich bloów z macirzy M, K, C (bloów związanych z sopniami swobody węzła począowgo i oraz węzła ońcowgo j) do globalnych macirzy na podsawi worów aloacji. (58) (59)

15 Równania ruchu onsrucji głównj z dołączonymi łumiami drgań Nalży jszcz wspomnić, iż macirz M T, K T, C T ni sładają się z wydzilonych bloów o rozmiarz N T N T. Poszczgóln podbloi macirzy M, K, C wysępują zarówno dla numrów sopni swobody n s < N, ja i N < n s < N + N. 6. Podsumowani W liraurz bardzo częso buduj się od podsaw równania ruchu uładu z dołączonymi WSTM. Dla ażdgo przyładu obliczniowgo prowadzona js cała analiza posaci macirzy globalnych M, K, C. Tai podjści możmy znalźć w pracach: Xu i in. [7], Lwandowsi i Grzymisławsa [4]. Zasosowani lmnów TD SMR 2D(3D), umożliwia poraowani problmu jao sandardowgo problmu MES, w órym są wyorzysywan now lmny. Wprowadzni ych lmnów umożliwia analizowani uładów, do órych dołączono TD o irunach działania nioniczni zgodnych z globalnymi irunami X, Y, Z. Ma o bardzo duż znaczni prayczn dla uładów o bardzo sompliowanj gomrii oraz sompliowanych formach drgań, gdzi moż zajść oniczność zasosowania TD na irunu ni zgodnym z osiami globalngo uładu współrzędnych XYZ. Liraura [1] Błazi Borowa E., Podgórsi J., Wprowadzni do mody lmnów sończonych w sayc onsrucji inżynirsich, IZT, Lublin 21. [2] Caughy T. K., O Klly M. E. J., Classical normal mods in dampd linar dynamic sysms, Journal of Applid Mchanics, 32 (1965) [3] Lwandowsi R., Dynamia onsrucji budowlanych, Wydawnicwo Polichnii Poznańsij, 26. [4] Lwandowsi R., Grzymisławsa J., Dynamic analysis of srucurs wih mulipl und mass damprs, Journal of Civil Enginring and Managmn, 5(1) (29) [5] Raowsi G. i inni, Mchania budowli: ujęci ompurow, om 2, Arady, Warszawa [6] Wilgos P., Ocna suczności działania wiloronych, srojonych łumiów masowych w onsrucjach budowlanych, Rozprawa doorsa, Lublin 21. [7] Xu Y.L., H Q., Ko J.M., Dynamic rspons of dampr conncd adjacn buildings undr arhqua xciaion, Enginring Srucurs, 21(2) (1999)

16 38 Pior Wilgos Th quaions of moion of h main srucur wih aachd damprs dscribd by sandard rhological modl Pior Wilgos Dparmn of Srucural Mchanics, Faculy of Civil Enginring and Archicur, Lublin Univrsiy of Tchnology, -mail: p.wilgos@pollub.pl Absrac: A mahmaical modl of srucur wih mulipl und mass damprs (MTMD) is prsnd in his papr. An imporan difficuly, conncd wih hs modl, is building a global damping marix of h sysm. Th own proposals of FEM lmns dscribing addiional lmns aachd o h main sysm in h form of und damprs ar prsnd hr. Th bnfis of h nw FEM lmns ar brifly discussd. Kywords: mulipl und mass damprs, global damping marix, FEM lmns.