Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowych - pola wektorowe

Transkrypt

1 Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowch - pola wektorowe Przgotowanie: Dariusz Pazderski Wprowadzenie Rozważm liniowe równanie stanu układu niesingularnego stacjonarnego o m wejściach: ẋ = A+ Bu, () gdzie R n oraz u R m określają odpowiednio wektor stanu i wejścia, A R n n określa macierz układu, B R n m jest macierzą wejścia. Zauważm, że w każdm punkcie przestrzeni stanu R n określon jest wektor ẋ R n zatem w przestrzeni stanu zdefiniowane jest pole wektorowe. Pole to określone w punkcie przestrzeni stanu determinuje zmianę wektora stanu R n w otoczeniu tego punktu. Poniżej przedstawionch zostanie kilka przkładów geometrcznej interpretacji pól wektorowch dla sstemów dwuwmiarowch i układów autonomicznch (swobodnch) w postaci ] [ ] [ẋ = A. () Przkład interpretacji graficznej rozwiazania rówania stanu układów swobodnch. Przpadek pojedńczch wartości własnch i układu stabilnego Niech macierz układu ma postać: [ ]. () Dla tej macierz znajdujem dwie wartości własne λ = oraz λ =, którm odpowiadają wektor własne v = [ ] T oraz v = [ ] T. Obliczając macierz fundamentalną otrzmujem: [ e ep(a) = t + e t e t + e t ] e t e t e t e t. () Na tej podstawie widzim, że w rozwiązaniu równania stanu (t) pojawił dwa mod rozwiązania: pierwsz ep( t) skojarzon z wartością własną λ, drugi ep( t) skojarzon z wartością własną λ (zauważm, że drugi mod jest modem szbciej zanikającm).

2 Zapiszm rozwiązanie równania stanu (bez wmuszenia) gdzie = () = [ = ep(at), (5) ] T jest warunkiem początkowm. Otrzmujem zatem: ] [ ( + = )e t ( + )e t ] ( )e t + ( + )e t. (6) [ Pochodne wektora stanu (czli pola wektorowe) mają więc postać następującą: ] [ [ẋ ( + = )e t + ( + )e t ] ( + )e t ( + )e t. (7) Sprawdźm teraz jakie kierunki w przestrzeni stanu pola wektorowe przjmują w przpadkach granicznch: lim = (8) t ẋ oraz lim =. (9) t ẋ Porównajm teraz jakie kierunki wznaczają wektor własne macierz układu: v v =, v v = () Z tego wnika, że dla t kierunki pól wektorowch ẋ pokrwają się z kierunkiem wznaczanm przez wektor własn v, któr odpowiada modowi wolniej zanikającemu (λ = ). Z kolei w przpadku t kierunki pól wektorowch ẋ pokrwają się z kierunkiem wznaczanm przez wektor własn v. Z postaci (6) wnika, że rozwiązanie zmierza do punktu równowagi (atraktora), czli lim =. () t Stąd wnika, że krzwe (trajektorie) określone w przestrzeni stanu zmierzają do punktu równowagi stcznie do osi, której kierunek wznacza wektor v. Omawian przpadek został zilustrowan na rs.. Zwróćm uwagę, że punkt równowagi jest stabiln - stąd nosi on nazwę węzła stabilnego.. Przpadek postaci diagonalnej [ ] (). Przpadek podwójnej wartości własnej (układ stabiln) - węzeł stabiln [ ], = ()

3 = = Rsunek : Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla stabilnego węzła = = Rsunek : Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla przpadku, w którm macierz układu jest diagonalna (węzeł stabiln)

4 = + = Rsunek : Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie węzła stabilnego (podwójna wartość własna). Przpadek pojedńczch wartości własnch i układu niestabilnego (jedna wartość własna leż w prawej półpłaszczźnie zmiennej zespolonej) [ ] = = ().5 Przpadek pojedńczch wartości własnch i układu niestabilnego (obie wartości własna leża w prawej półpłaszczźnie zmiennej zespolonej) [ ] = = (5).6 Przpadek pojedńczej zerowej wartości własnej [ ] = = 5 (6)

5 = + = Rsunek : Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla siodła = = + Rsunek 5: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla węzła niestabilnego 5

6 = + = Rsunek 6: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla przpadku pojednczej zerowej wartości własnej (nieprzeliczalna liczba punktów równowagi).7 Przpadek podwójnej zerowej wartości własnej [ ], = (7).8 Przpadek zespolonch wartości własnch - ognisko stabilne (niestabilne) [ ] 6, = ± j (8) 6

7 = = Rsunek 7: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla przpadku podwójnej zerowej wartości własnej = = 6 Rsunek 8: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla przpadku zespolonch wartości własnch 7