Propozycja metody obliczania szerokości rys ukośnych w elementach żelbetowych jednocześnie skręcanych i ścinanych

Transkrypt

1 Budownicwo i Archikura 2 (2008) Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach żlbowych jdnoczśni skręcanych i ścinanych Waldmar Budzyński Polichnika Lublska, Insyu Budownicwa, ul. Nadbysrzycka 40, Lublin, -mail: walbud@gaza.pl Srszczni: Arykuł doyczy zjawiska zarysowania skręcanych lmnów żlbowych, kór jdnoczśni poddan są działaniu siły poprzcznj. Zaprznowano modl oryczny Rahala i Collinsa, kóry js jdynym modlm dającym możliwość szczgółowj analizy zachowania lmnu jdnoczśni skręcango i ścinango w całym za krsi obciążnia. Omówiono równiż założnia orii MCFT, kóra sanowi podsawę oryczną modlu Rahala i Collinsa. Przdsawiono własną propozycję mody obliczania szrokości rys w l mnach żlbowych poddanych jdnoczsnmu działaniu momnu skręcającgo i siły poprzcznj. Moda opara js na modlu Rahala i Collinsa. Słowa kluczow: żlb; skręcani; ścinani; modl kraownicy; odkszałcnia; warunki nirozdzilności; szrokość rys. 1. Wprowadzni Wil żlbowych lmnów i konsrukcji budowlanych podlga działaniu momnu skręcającgo. Jako przykłady akich konsrukcji można wyminić: przsrznn konsrukcj ramow, schody spiraln, blki podporow pły balkonowych, rzony uszywniając budynki wysoki, blki podsuwnicow czy bki skrajn obciążon jdnosronni płyą. Najczęścij skręcany lmn żlbowy podlga jdnoczśni działaniu V i M, czyli js skręcany i ścinany. Projkowani konsrukcji żlbowych nalży przprowadzać modą sanów granicznych. Sprowadza się o do wykazania, ż poszczgóln lmny ych konsrukcji są zabzpiczon i sprawdzon w zakrsi SGN i SGU. Do SGU nal ży m.in. san graniczny zarysowania. W normach wilu krajów, np. [18], ni wprowadza się nakazu obliczniowgo sprawdzania szrokości rys ukośnych wywołanych skręcanim (lub ścinanim). Podawan są jdyni zalcnia konsrukcyjn odnośni śrdnicy i rozsawu srzmion lub zalcnia projkow doycząc zminności kąa θ, kórych spłnini ma zabzpiczyć lmn przd nadmirnym zarysowanim. Zalcnia konsrukcyjn mogą dać zadowalający fk ylko wówczas, gdy nośność lmnu okrślona js z akim zapasm, ż problm nadmirngo zarysowania w ogól się ni pojawia. Syuacja aka wysępuj w wilu krajach, gdzi sosuj się znaczn współczynniki bzpiczńswa. Taki sposób podjścia js z koniczności do przyjęcia przy projk-

2 38 Waldmar Budzyński owaniu nowych konsrukcji. Ni js jdnak możliwy do zasosowania przy ocni sanu zarysowania konsrukcji isnijących. W normach nikórych krajów i zalcniach, np.: [19, 22, 23], można znalźć wzory do obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach skręcanych lub ścinanych. Jdnak mody obliczniow opar są częściowo na wnioskach z analizy lmn ów rozciąganych, a częściowo na sposrzżniach mpirycznych, kór uwzględnia się wprowadzając współczynniki i arbiraln założnia. Przy projkowaniu skręcanych (i ścinanych) lmnów żlbowych sosuj się najczęścij [21, 22] modl kraownicy przsrznnj o zminnym nachylniu bonowych krzyżulców ściskanych opracowany przz Lampra i Thürlimanna [9, 10]. W clu wyznacznia warości naprężń i odkszałcń w lmnci pod obciążnim ksploaacyjnym (w obliczniach sanu zarysowania) sosuj się wzory wyprowadzon na podsawi warunków równowagi kraownicy w sani granicznym nośności. Poniważ ni uwzględniono warunków nirozdzilności odkszałcń, na pod sawi ych wzorów ni można okrślić odkszałcń w boni i sali w skręcanym (ścinanym) lmnci żlbowym. W konskwncji ni js możliw prawidłow prognozowani zachowania l mnu pod obciążnim ksploaacyjnym (w SGU). Trudno oczkiwać, aby na podsawi akich mod obliczniowych można było uzyskać prawidłow szrokości rys. W liraurz i przpisach normowych ni swirdzono mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach żlbowych jdnoczśni skręcanych i ścinanych. Wydaj się, ż z względu na przpisy normow (wymagani sprawdznia szrokości rys) oraz projkowani lmnów przy sosowaniu mnijszych współczynników bzpiczńswa niż w innych krajach (dawnij i obcni), powinna isnić moda pozwalająca obliczyć szrokość rys w lmnach skręcanych. W arykul podjęo próbę opracowania akij mody w przypadku lmnów jdnoczśni skręcanych i ścinanych. 2. Modl oryczn odwzorowując san odkszałcnia lmnu żlbowgo poddango działaniu siły poprzcznj lub momnu skręcającgo 2.1. Toria MCFT Aby dokładni okrślić zachowani lmnu żlbowgo poddango działaniu siły poprzcznj lub momnu skręcającgo, zn. usalić nośność oraz san odkszałcnia lmnu pod dowolnym obciążnim, nalży w analizi równoczśni uwzględnić równania równo wagi, warunki nirozdzilności odkszałcń oraz prawa konsyuywn ukośni zarysowango bonu i sali zbrojniowj. Jdnym z modli orycznych, kóry umożli wia aką analizę js zmodyfikowana oria pola ściskań (Modifid Compr ssion Fild Thory MCFT) Vcchio i Collinsa [15,16]. Torię opracowano na pod sawi analizy prosokąngo lmnu żlbowgo, zbrojongo orogonalni, znajdującgo się w dwuosiowym sani naprężnia. Przyjęo lmn o niwilkich wymiarach, wyizolowany z konsrukcji żlbo wj, co przdsawiono na rys. 1. Pod wpływm obciążń zwnęrznych lmn moż być poddany działaniu naprężń sycznych i normalnych, rys. 1b. Kirunki pręów podłużnych i poprzcznych oznaczono, odpowidnio, jako osi l i, worząc

3 Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach w n spo sób układ współrzędnych l-. Wobc go, naprężnia normaln działając na lmn oznaczono σ l i σ. Poniważ wymiary lmnu są mał w porównaniu z wymiarami konsrukcji przyjęo, ż naprężnia są równomirni roz łożon na bocznych powirzchniach lmnu. Po zarysowaniu lmn pracuj jak kraownica przsrznna, przy czym zakłada się, ż w lmnci wysępuj wil wzajmni rów nolgłych rys. Bonow krzyżulc ściskan są zorinowan w kirunku osi 2, kóra js nachylona pod kąm θ do pręów podłużnych. Przyjmuj się, ż kirunk 2 js kirun kim głównych naprężń ściskających w boni. Oznaczając kirunk prosopadły do osi 2 jako oś 1, orzymuj się układ współrzędnych 1-2 na kirunku działania naprężń głów nych. Wobc go, główn naprężnia ściskając i rozciągając w boni oznaczono, odpo widnio, σ c2 i σ c1, rys. 1b. Na rys. 1c przdsawiono suprpozycję naprężń w boni i zbrojniu, gdzi naprężnia w boni, na odpowidnich kirunkach, oznaczono σ cl, σ c, naomias naprężnia w zbroj niu σ sl, σ s. Rys. 1. Elmn żlbowy w dwuosiowym sani naprężnia [6]: a) srfa przypodporowa blki żlbowj, b) przyjęa konwncja oznaczń, c) suprpozycja naprężń w boni i zbrojniu. Fig. 1. Rinforcd concr lmn subjcd o in-plan srsss [6]: a) lf suppor of a rinforcd concr bam, b) dfiniions of srsss and coordina sysm, c) suprposiion of concr srsss and sl srsss. Na podsawi orii MCFT można usalić wzajmn zalżności pomiędzy naprężniami σ l, σ i τ, działającymi na lmn żlbowy, a odkszałcniami w lmnci (ε l, ε, γ), spo wodowanymi ymi naprężniami. W orii MCFT przyjęo nasępując, dodakow założnia: 1) Elmn odkszałca się w aki sposób, ż jgo krawędzi pozosają pros i wzajmni równolgł; san odkszałcnia lmnu można więc zdfiniować za pomocą dwóch odkszałcń normalnych ε l, ε i odkszałcnia poprzczngo γ.

4 40 Waldmar Budzyński 2) Okrślonmu sanowi odkszałcnia odpowiada ylko jdn, właściwy san naprężnia; rozważania ni objmują przypadków, w kórych lmn poddany js działaniu obciążń dynamicznych, powarzalnych i wilokroni zminnych; dodakowo ni uwzględnia się wpływu skurczu, płzania oraz zmian mpraury. 3) Kirunk głównych odkszałcń bonu ściskango ε 2 js zgodny z kirunkim głównych naprężń ściskających w boni σ c2. 4) Zbrojni podlga działaniu jdyni sił osiowych; pomija się wpływ sił klockujących (dowl acion). 5) Rysy w lmnci żlbowym sanowią obszary niciągłości, co powoduj isoną zminność lokalnych naprężń i odkszałcń, i urudnia zasosowani warunków niroz dzilności; rozważania prowadzon są w odnisiniu do śrdnich warości odkszałcń i śrdnich warości naprężń; odkszałcnia i naprężnia są uśrdnioną warością odkszał cń i naprężń na długości odcinka przcinającgo kilka rys, wliczając w o odkszałcnia i naprężnia w przkrojach zarysowanych; w konskwncji śrdni odkszałcnia można rozważać jako wzajmni powiązan wymaganiami ciągłości mariałów ciągłych. 6) Śrdni odkszałcnia bonu i zbrojnia są idnyczn; na zwnęrznych powirzchniach lmnu ni wysępuj poślizg (całkowiy) pomiędzy bonm a zbrojnim; założni o ni oznacza, ż pomiędzy zbrojnim a bonm isnij przyczpność pirwona; wysę powani lokalnych poślizgów w przkrojach zarysowanych ni sanowi narusznia go założnia. 7) Rozważania prowadzon są nizalżni w odnisiniu do zbrojnia i zarysowango bo nu; czynnikim ingrującym są warunki nirozdzilności odkszałcń. Równania równowagi Siły działając na lmn żlbowy są równoważon przz siły w boni i zbroj niu. Warunki równowagi, można wyrazić przy pomocy naprężń: s = s + rs l cl l sl (1) s = s + rs c s (2) = = (3) l cl Przy pomocy warunków równowagi w modlu kraownicy można wykazać [6], ż śrdni naprężnia w boni spłniają warunki koła naprężń Mohra. Wobc go, można wyrazić naprężnia w boni w funkcji naprężń głównych: s = s cos q + s sin q (4) 2 2 cl c2 c1 s = s sin q + s cos q (5) 2 2 c c2 c1 = ( s + s )sin qcos q (6) c2 c1 Ponado korzysając z koła Mohra można wyprowadzić nasępując równania: s æ 1 an q ö = ç + - çè an q ø s c2 c1 s = - s (8) cl c1 an q (7)

5 Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach s = s + s + s (9) c2 cl c c1 s q = s 2 c2 cl an c2 - s - s c W powyższych równaniach przyjmuj się, ż naprężnia σ cl, σ c, σ c1 są dodani przy rozciąganiu, naomias naprężni σ c2 js dodani przy ściskaniu. Równania nirozdzilności odkszałcń Zgodni z założnim orii MCFT śrdni odkszałcnia lmnu równ są, co do warości, śrdnim odkszałcniom bonu i śrdnim odkszałcniom sali (np.: ε l = ε cl = ε sl ). Z warunków nirozdzilności modlu kraownicy wynika [6], ż śrdni odkszałc nia spłniają warunki koła odkszałcń Mohra. Można więc odkszałcnia wyrazić w funkcji odkszałcń głównych: (10) = cos q + sin q (11) l = sin q + cos q (12) ( ) g = 2 + sin qcos q (13) 2 1 Ponado, korzysając z koła odkszałcń Mohra można wyprowadzić nasępując zalżności: ( + ) 2 2 l g = (14) an q g = - (15) 2 2 an q = + + (16) 1 l 2 an + q = + 2 l 2 2 W powyższych równaniach śrdni odkszałcnia ε l, ε, ε 1 są rakowan jako wilko ści dodani przy rozciąganiu, naomias śrdni odkszałcni ε 2 rozparuj się jako wilkość dodanią przy ściskaniu. Prawa konsyuywn bonu i sali Dla sali przyjęo zalżność σ-ε w przkroju zarysowanym: s s s s y (17) = E f (18) Zalżności σ-ε ukośni zarysowango bonu zosały usalon przz Vcchio i Col linsa na podsawi wyników badań [16]. Swirdzono, ż bon w krzyżulcu, ograniczonym ukośnymi rysami, wskuk działania na prężń rozciągających w kirunku prosopadłym do osi krzyżulca, uzyskuj niższą wyrzy małość na ściskani niż bon w sandardowj próbi ściskania bonowgo walca. Ponado,

6 42 Waldmar Budzyński w boni znajdującym się między rysami swirdzono naprężnia rozciągając, naw przy bardzo dużych warościach śrdnich odkszałcń (ε 1 100ε sr ). Zjawisko zmnijsznia wy rzymałości na ściskani ukośni zarysowango bonu okrśla się w liraurz jako zmięk czni bonu (sofning of concr). Vcchio i Collins [15,16] zaproponowali nasępującą zalżność σ-ε bonu zmięk czongo: s c2 é 2 ù æ ö 2 æ ö 2 = zf 2 cm - ç ç ê è 0ø è 0ø ë úû gdzi ε o js odkszałcnim odpowiadającym wyrzymałości bonu na ściskani w jdno osiowym sani naprężnia f cm. Zazwyczaj, jżli ni dysponuj się wynikami badań doświad czalnych, przyjmuj się ε o = Czynnik ζ js współczynnikim zmiękcznia (jgo od powidnikim w normach [20, 21, 22] js współczynnik fkywności ν), kórgo warość wyznacza się z wzoru: 1 1 z = = Równani (19) zosało przdsawion w formi graficznj na rys. 2, na kórym dodakowo, dla porównania, przdsawiono zwykłą zalżność σ-ε uzyskaną w sandardowj próbi ściskania bonowgo walca (φ150x300). (19) (20) Rys. 2. Zalżność σ-ε przy ściskaniu bonu zmiękczongo [15]. Fig. 2. Comprssion σ-ε rlaionship for sofning concr [15]. Wysępujący w rów. (19) iloczyn ζf cm js wyrzymałością na ściskani bonu zmiękczongo, a w liraurz przyjęo ją oznaczać symbolm f 2max. Wzór, na podsawi kórgo można wyznaczyć warość głównych odkszałcń w bo ni ściskanym, można uzyskać przkszałcając rów. (19): æ s ö c2 = ± - ç f 2 max çè ø Znak - w rów. (21) sosuj się w przypadku σ c2 < f 2max. Vcchio i Collins [15, 16] na podsawi wyników badań przyjęli nasępującą zalż ność pomiędzy śrdnimi naprężniami, a śrdnimi odkszałcniami bonu rozciągango: (21)

7 s s Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach = E dla 1 sr (22) c1 c 1 c1 f cm = dla 1 sr > (23) gdzi E c = 5500(f cm ) 1/2 js modułm sprężysości bonu, f cm = 0.33(f cm ) 1/2 oznacza śrdnią wyrzymałość bonu na rozciągani w dwuosiowym sani naprężnia (σ c1 = -σ c2 ), naomias ε sr js śrdnim odkszałcnim bonu rozciągango przy zarysowaniu bonu. Wilkość od kszałcnia ε sr można obliczyć z wzoru: f cm = sr (24) Ec Podsawiając do rów. (24) odpowidni zalżności okrślając E c i f cm, uzyskuj się war ość odkszałcnia przy zarysowaniu bonu ε sr = Równania (22) i (23) zosały przdsawion w formi graficznj na rys. 3. Rys. 3. Zalżność σ-ε bonu rozciągango w lmnci żlbowym z rysami ukośnymi [15]. Fig. 3. Tnsion σ-ε rlaionship of concr for crackd rinforcd concr [15]. Vcchio i Collins [16] zwracają uwagę, ż paramry przyczpnościow sali zbroj niowj oraz rozmiszczni zbrojnia w lmnci mogą mić wpływ na zalżność σ-ε b onu rozciągango opisaną rów. (23) Zasosowani orii MCFT do lmnów skręcanych Toria MCFT zosała przysosowana do analizy lmnów poddanych działaniu czy sgo skręcania przz Collinsa i Michlla [4]. Na rys. 4 przdsawiono lmn żlbowy o przkroju prosokąnym poddany działaniu momnu skręcającgo T. Pod wpływm T, po zarysowaniu lmnu, w zwnęrz nj srfi przkroju poprzczngo o grubości d, zwanj srfą sruminia ścinania, powsaj srumiń sił sycznych q. Aby warunk rów nowagi momnów zwnęrznych i wwnęrznych był spłniony, srumiń sił sycznych q musi mić sałą warość na całj długości linii środkowj srfy sruminia ścinania. Warunk równowagi można wówczas wyrazić za pomocą równania: T q = (25) A 2 k gdzi A k oznacza pol powirzchni zawar wwnąrz linii środkowj srfy sruminia ścinania.

8 44 Waldmar Budzyński Zam, srumiń sił sycznych q, przdsawiony na rys. 4a, js wypadkową naprężń sycznych τ T z fragmnu srfy sruminia ścinania o grubości d i jdnoskowj wysokości, mirzonj wzdłuż linii środko wj. Nalży dodać, ż w srfi sruminia ścinania wysępuj zminny rozkład naprę żń sycznych, kórych warość zminia się od warości maksymalnj wysępującj na po wirzchni zwnęrznj, w połowi wysokości dłuższgo boku przkroju, do zra na głęboko ści d. Rys. 4. Blka żlbowa poddana działaniu momnu skręcającgo (modl kraownicy): a) widok ogólny; lmn srfy sruminia ścinania w współrzędnych l- (b), współrzędnych 1-2 (c). Fig. 4. Truss modl for rinforcd concr orsional mmbr: a) gnral viw; shar flow zon lmn in l- coordina (b), 1-2 coordina (c). Dziląc srumiń ścinania przz grubość srfy sruminia ścinania d (grubość ścianki zasęp czgo przkroju cinkościnngo): q T = = T (26) 2A d k d uzyskuj się śrdni naprężnia syczn, spowodowan przz T, równomirni rozłożon na całj grubości ścianki d. Elmn niwilkich rozmiarów wydzilony z srfy sruminia ścinania, przdsawiony na rys. 4 w układach współrzędnych l- i 1-2, poddany js działaniu naprężń sycznych τ T w dwuosiowym sani naprężnia. Poniważ aki lmn spłnia wymagania orii MCFT, można przy pomocy go modlu analizować żlbow lmny skręcan. Równania przdsawion w p. 2.1, pozosają w mocy równiż w przypadku skręcania, z wyjąkim go, ż sopni zbrojnia ρ l i ρ, w rów. (1) i (2), powinny być obliczon w odnisiniu do pola powirzchni srfy sruminia ścinania. Sopiń zbrojnia poprzczngo można obliczyć wg wzoru: a sw r = s d gdzi a sw js polm przkroju jdnj gałęzi srzminia, s js rozsawm srzmion. (27)

9 Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach W przypadku czysgo skręcania, jak równiż czysgo ści nania (M = 0), działając na lmn naprężnia normaln σ l i σ są równ zro, czyli σ l = σ = 0. Aby opisać san lmnu skręcango, oprócz wyminionych powyżj równań, ni zbędn js wprowadzni dodakowych równań równowagi, nirozdzilności oraz prawa konsyuywngo bonu ściskango w krzyżulcach. Warunk równowagi momnów w przkroju poprzcznym lmnu skręcango można wyrazić przy pomocy zalżności Brda (26). Wskuk skręcania blki, w każdym pojdynczym lmnci srfy sruminia ścina nia wywołan js odkszałcni poprzczn. Warunk nirozdzilności usalający związk odkszałcnia poprzczngo γ lmnu ścianki zasępczgo przkroju cinkościnngo z kąm obrou blki ψ, wyprowadzony przz Brda, ma nasępującą posać: uk y = g (28) 2A k gdzi u k oznacza obwód linii środkowj srfy sruminia ścinania. Powirzchni zwnęrzn skręcanych blk, wskuk obrou lmnu, ulgają spacz niu (wygięciu wklęsłmu). Drugi, dodakowy warunk ni rozdzilności odkszałcń, wyprowadzony przz Lampra i Thürlimanna [10], usala związk między krzywizną bonowych krzyżulców φ dp, a kąm obrou lmnu ψ: ( ) f = ysin 2q (29) dp Bonow krzyżulc w lmnci skręcanym poddan są działaniu ni ylko osiowgo ściskania, al równiż zginania, spowodowango spacznim zwnęrznych powirzchni. Wskuk złożongo sanu naprężnia, w krzyżulcu wysępuj zminny rozkład odkszałcń głównych ε 2, kór przyjmują największą warość na powirzchni zwnęrznj ε 2max, a ich warość zmnijsza się w kirunku do wnęrza blki. Przyjmuj się, a powirdziły o wyniki badań Michlla i Collinsa [4], ż w krzyżulcu o grubości d rozkład odkszałcń ε 2 js li niowy, co przdsawiono na rys. 5a. Można więc usalić zalżność między krzywizną krzyżulca φ dp, maksymalnym odkszałcnim ściskango bonu ε 2max oraz grubością srfy sruminia ścinania (grubością krzyżulca) d : f 2 max dp = (30) Na rys. 5b przdsawiono rozkład naprężń ściskających w bonowym krzyżulcu skręcanj blki, pod obciążnim bliskim nośności blki, kóry odpowiada liniowmu rozkła dowi odkszałcń. Krzywa rprznująca rozkład naprężń ściskających js idnyczna z krzywą σ-ε bonu zmiękczongo, opisaną rów. (19). W clu uławinia analizy, parabo liczny wykrs naprężń ściskających zasępuj się równoważnym, prosokąnym wykrsm naprężń, przdsawionym na rys. 5c. Równoważny wykrs naprężń js sayczni zd finiowany za pomocą dwóch paramrów: wysokości a, kórą wyznacza się z wzoru: a = b (31) 1 d oraz śrdnich naprężń ściskających, kórych warość oblicza się wdług zalżności: s = af = azf (32) c2 1 2 max 1 cm

10 46 Waldmar Budzyński Rys. 5. Rozkład naprężń i odkszałcń w bonowym krzyżulcu ściskanym lmnu skręcango [4]. Fig. 5. Srain and srss disribuions in concr comprssion sru of a lmn subjcd o orsion [4]. Nalży szczgólni podkrślić, ż rów. (19), wyrażając zalżność σ-ε bonu w krzyżulcach poddanych działaniu osiowgo ściskania, ni js możliw do zasosowania w przypadku lmnów skręcanych, poniważ w akich lmnach bonow krzyżulc pod dan są jdnoczsnmu działaniu osiowgo ściskania i zginania. Tak więc, rów. (32) js nowym prawm konsyuywnym, usalającym zalżność między śrdnimi odkszałcniami ε 2 a śrdnimi naprężniami σ c2 w bonowych krzyżulcach lmnów skręcanych. Wysępując w rów. (31) i (32) zminn α 1 i β 1, kór są funkcją odkszałcń ε 2, nazywan są współczynnikami równoważngo wykrsu naprężń. Współczynniki α 1 i β 1 wyznacza się w aki sposób, aby warości i położni wypadkowych wykrsów naprężń przdsawionych na rys. 5b i 5c były idnyczn. Współczynnik α 1, kóry wyraża warość sosunku naprężń śrdnich do naprężń maksymalnych w bonowych krzyżulcach ściskanych, wyznacza się z równowagi sił wypad kowych: 2 max d 1 2 max c2 ( 2) 2 2 max 0 C = a f a = ò s d (33) Współczynnik β 1, okrślający wysokość równoważngo wykrsu naprężń (grubość równoważngo pola ściskango w bonowym krzyżulcu), wyznacza się z warunku równo wagi momnów względm osi obojęnj, kóra zlokalizowana js w odlgłości d od po wirzchni zwnęrznj: 2 C - b = ò s d (34) 2 max d ( ) ( ) 1 d 2 c max 0 Po odpowidnich przkszałcniach, uzyskuj się wzory do obliczania współczynników β 1 i α 1 : 2 max 0 b = max (35)

11 Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach é 2 ù 1 æ ö 2 max 1æ ö 2 max a = 1 - b ç 3 ç 1 ê è 0 ø è 0 ø ë úû Analizę żlbowych lmnów skręcanych, przy wykorzysaniu orii MCFT, pro wadzi się więc przy założniu, ż bonow krzyżulc posiadają równoważną grubość a = β 1 d (równoważna grubość srfy sruminia ścinania). Wypadkowa naprężń ściskają cych js więc zlokalizowana w odlgłości (a /2) od zwnęrznj powirzchni bonu, a jj położni js zgodn z położnim linii środkowj równoważnj srfy sruminia ścinania. Przyjmuj się, ż odkszałcnia w płaszczyźni działania wypadkowj naprężń ściskających mają warość śrdnią i mogą być używan do konsruowania koła odkszałcń Mohra. Przy ym założniu, śrdnią warość głównych odkszałcń w ściskanym boni ε 2, można obli czyć wg wzoru: ( ) max (36) = - b (37) Konskwncją przyjęcia w analizi równoważnj grubości srfy sruminia ścinania są modyfikacj nikórych równań wykorzysywanych w orii MCFT, polgając przd wszyskim na zasąpiniu zminnj d przz zminną a. 3. Modl oryczny Rahala i Collinsa odwzorowujący san odkszałcnia lmnu żlbowgo poddango jdno czsnmu działaniu momnu skręcającgo i siły poprz cznj Isonym z punku widznia sanów granicznych nośności i sanów granicznych użykowalności js fak, ż przy skręcaniu z ścinanim wysępuj zróżnicowany rozkład naprę żń sycznych w przkroju poprzcznym, co zilusrowano na rys. 6. Rys. 6. Rozkład naprężń sycznych w zwnęrznj części przkroju poprzczngo spowodowanych: a) siłą poprzczną V, b) momnm skręcającym T, c) jdnoczsnym działanim (T+V). Fig. 6. Sharing srsss disribuion nar h priphry of a scion subjcd o: a) shar V, b) orsion T, c) combind orsion and shar (T+V). Przyjmuj się, ż w lmnach o przkroju płnym naprężnia syczn spowodowan siłą poprzczną τ V są równomirni rozłożon w całym przkroju, a kirunk ich działania js zgodny z kirunkim działania siły V. Naprężnia syczn τ T spowodowan momnm skręcającym, o obwodowym kirunku działania, wysępują jdyni w zwnęrznj części przkroju (w ściankach zasępczgo prz kroju cinkościnngo o grubości d ). Naprężnia syczn τ T i τ V będą się więc odjmowały na jdnym boku blki (przypadk T-V), równolgłym do płaszczyzny działania momnu zginającgo, a na drugim sumowały (przypadk T+V).

12 48 Waldmar Budzyński W konskwncji bok przkroju, na kórym nasępuj sumowani naprężń sycznych będzi obszarm kryycznym z względu na san graniczny nośności i san gra niczny szrokości rys. Poniważ naprężnia syczn τ V prznoszon są przz cały przkrój poprzczny, naomias τ T jdyni przz obwodową część przkroju, w ścianc kryycznj ni będzi obowiązywała zasada suprpozycji przy sumowaniu naprężń sy cznych. Mówiąc inaczj, przyjęci liniowj inrakcji pomiędzy T i V przy projkowaniu lmnów jdnoczśni skręcanych i ścinanych js założnim zby zachowawczym. Moda analizy lmnu jdnoczśni skręcango i ścinango powinna uwzględniać rzczywisy rozkład naprężń sycznych w przkroju poprzcznym oraz przsrznną pracę lmnu. Jdynym dosępnym w liraurz modlm orycznym, na podsawi kórgo można szczgółowo analizować zachowani lmnów żlbowych poddanych jdnocz snmu działaniu skręcania i ścinania js modl Rahala i Collinsa [13]. Zosał on opracowany na podsawi orii MCFT. Poprzz wprowadzni warunku ni rozdzilności krzywizn rozszrzono zakrs sosowania modlu na lmny jdnoczśni skręcan i ścinan. Jżli lmn żlbowy o przkroju płnym js poddany działaniu skręcania, o jgo przkrój, w analizi, można zasąpić przkrojm cinkościnnym. Przy czysym skręcaniu poszczgóln ścianki przkroju cinkościnngo: lwa, górna, prawa i dolna, kór zosaną oznaczon, odpowidnio: L, G, P i D, mają jdnakową grubość, poniważ warość śrdnich naprężń sycznych wywołanych skręcanim τ T js w wszyskich ściankach idnyczna. Przy jdnoczsnym skręcaniu i ścinaniu, naprężnia syczn od skręcania τ T i siły poprzcznj τ V będą się w jdnj z ściank, np. prawj, sumowały (τ T + τ V ), w lwj odjmowały (τ T - τ V ), a w górnj i dolnj będą działały jdyni naprężnia τ T, (por. rys. 6). San odkszałcnia (naprężnia) w poszczgólnych ściankach będzi więc zróżnicowany. W rzulaci, aby okrślić san odkszałcnia w konkrnj ścianc, nalży w analizi uwzględnić przsrznną pracę lmnu, kóra zalży od sanu odkszałcnia po szczgólnych ściank. W ym clu, Rahal i Collins wprowadzają warunk nirozdzilności krzywizn, kóry uwzględnia wzajmną zalżność pomiędzy odkszałcniami ściank. Modl Rahala i Collinsa daj możliwość analizy przkrojów żlbowych poddanych jdnoczsnmu działaniu: momnu skręcającgo T, siły osiowj N, siły poprzcznj piono wj V y, siły poprzcznj poziomj V z, zginania w płaszczyźni pionowj M y i zginania w płaszczyźni poziomj M z (por. rys. 7a). W arykul, przy opisi modlu, bardzij szczgółowo zosani zaprznowany przypadk, gdy w przkroju poprzcznym wysępują jdyni momn skręcający T i siła poprzczna V działająca w kirunku pionowym Podsawow założnia modlu Na rys. 7a przdsawiono lmn żlbowy o przkroju prosokąnym znajdujący się, wskuk działania obciążń zwnęrznych, w złożonym sani naprężnia, oraz fragmn, niwilkich rozmiarów, wyizolowany z przkroju poprzczngo go lmnu, kóry znaj duj się w rójosiowym sani naprężnia. Okrślni go złożongo sanu naprężnia, na podsawi akualnj widzy o zarysowanych lmnach żlbowych, byłoby nizwykl skomplikowan. W clu uproszcznia analizy dokonuj się idalizacji przkroju w aki spo sób, aby nizalżni rozważać części

13 Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach składow znajdując się w jdno- i dwuosiowym sani naprężnia, przy jdnoczsnym zachowaniu wzajmnych zalżności pomiędzy ymi dwoma układami. Na rys. 7b przdsawiono wyidalizowany przkrój poprzczny, zbrojony pręami podłużnymi, kóry prznosi część obciążń (N, M z, M y oraz naprężnia normaln spowodowan przz V y, V z i T) za pośrdnicwm naprężń normalnych. Na rys. 7b przdsawiono równiż, za pomocą linii przrywanj, san przkroju po odkszałcniu, z kórgo wynika, ż w całym przkroju przyjęo liniową zminność odkszałcń w kirunku podłużnym zn.: przkroj płaski pozosają płaski, a naprężnia normaln związan są z odkszałcniami poprzz zwykł, jdnoosiow zalżności σ-ε, zarówno w odnisiniu do bonu jak i sali. W dalszj części pracy, wyidalizowany przkrój przdsawiony na rys. 7b będzi okrślany jako układ 1. Na rys. 7c przdsawiono wyidalizowany przkrój znajdujący się w dwuosiowym sani naprężnia, kóry prznosi siły poprzczn V z, V y i momn skręcający T. Przkrój składa się z czrch poprzczni zbrojonych ściank, o różnych grubościach m, i różnym kąci nachylnia θ kirunku głównych naprężń w ściskanym boni. W arykul, n wyidalizowany przkrój będzi okrślany jako układ 2. Rys. 7. Sposób idalizacji przkroju żlbowgo wg modlu Rahala i Collinsa [13]. Fig. 7. Idalizaion of rinforcd concr scion in h modl of Rahal and Collins [13].

14 50 Waldmar Budzyński Pomiędzy ymi dwoma wyidalizowanymi układami wysępują wzajmn zalżności. Po pirwsz, naprężnia syczn wysępując w ściankach układu 2 powodują powsawani sił podłużnych oraz momnów zginających, jżli warości sił podłużnych w przciwlgłych ściankach są różn. Układ 1 będzi, wobc go, poddany działaniu obciążń zwnęrznych (N, M z, M y ) oraz obciążń spowodowanych naprężniami sycznymi. Nalży więc wyznaczyć odpowidni siły podłużn z układu 2 i zasosować j w układzi 1. Po drugi, każda ścianka układu 2 podlga działaniu naprężń sycznych (od V z, V y i T) oraz, dodakowo, odkszałcnia w kirunku podłużnym ε l. Odkszałcni ε l wyznacza się z układu 1 i sosuj w układzi 2. Przyjęo, ż ε l js odkszałcnim w kirunku podłużnym środka ciężkości ścianki (równol głym do osi podłużnj blki). W związku z powyższymi założniami, do okrślnia sanu naprężnia i odkszałcnia w każdj ścianc można wykorzysać równania orii MCFT. Aby uzyskać spodziwan rozwiązani, przy pomocy omawiango modlu orycz ngo, muszą być spłnion nasępując wymagania: 1) w odnisiniu do całgo przkroju poprzczngo: równowaga naprężń sycznych (uk ład 2) i normalnych (układ 1) oraz nirozdzilność odkszałcń w kirunku podłużnym (układ 1); 2) w każdj ścianc: prawa konsyuywn bonu i sali (MCFT) (układ 1 i 2), warunki ni rozdzilności śrdnich odkszałcń (MCFT) (układ 2), warunki równowagi śrdnich naprę żń (MCFT) (układ 2) oraz nirozdzilność krzywizn (układ 2). Z warunku równowagi naprężń sycznych wynika wzajmna zalżność pomiędzy ściankami układu 2. Wypadkow naprężń sycznych w ściankach muszą być w równowadz z obciążniami zwnęrznymi (V, T). Przyjęo założni, ż siła poprzczna V (pionowa) prznoszona js wyłączni przz ścianki pionow. Warość śrdnich, równomirni rozłożonych naprężń sycznych wywoła nych siłą V: V = V (38) bz Z przyjęgo założnia wynika, ż grubość pojdynczj ścianki (krzyżulca) prznoszą cj naprężnia syczn τ V, js równa połowi szrokości całgo przkroju poprzczngo V = 0.5b. Momn skręcający T wywołuj naprężnia syczn w wszyskich ściankach. Rozkład ych naprężń js liniowy na grubości ścianki (por. rys. 8.a). Przy czysym skręcaniu śrdnia warość równomirni rozłożonych naprężń sycznych τ T js sała w wszyskich ściankach [por. rów. (26)], kór mają idnyczną grubość d, co zosało opisan w p.2.2. Poniważ w analizi lmnów skręcanych, wg orii MCFT, grubość ścianki zasępuj się równoważną grubością krzyżulca a = β 1 d (por. rys. 5), rów. (26) przyjmi posać: qt T = = Ti (39) a 2Aa i k i gdzi indks i zasępuj się odpowidnim indksm: L, G, P lub D. Równani (39) js ogólną posacią rów. (26) i można j sosować w przypadku, gdy grubości ściank

15 Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach są różn. Przy różnych grubościach ściank pol A k, zawar wwnąrz linii środkowj srfy srumi nia ścinania: æ a a öæ L P a a ö G D A = b h k ç 2 2 è øèç 2 2 ø Przy jdnoczsnym działaniu momnu skręcającgo i pionowj siły poprzcznj na prężnia syczn τ T i τ V będą się w jdnj z ściank pionowych odjmowały, a w drugij (kryycznj) dodawały. W rzulaci rozkład naprężń sycznych w obu ściankach będzi ni równomirny. (40) Rys. 8. Rozkład naprężń sycznych w ścianc kryycznj (τ T + τ V ) lmnu jdnoczśni skręcango i ścinango [13]: a) naprężnia rzczywis, b) naprężnia śrdni spowodowan działanim T i V, c) naprężnia śrdni spowodowan jdnoczsnym działanim T i V. Fig. 8. Sharing srsss disribuion in h criical wall (τ T + τ V ) of lmn subjcd o combind orsion and shar [13]: a) original sysm of srsss, b) avrag srsss du o V and T, c) avrag srss du o combind T and V. Na rys. 8a przdsawiono rozkład naprężń sycznych, wywołanych przz T i V, w kryycznj ścianc przkroju (τ T + τ V ). Równomirni rozłożon naprężnia τ V, wg rów. (38), wysępują na grubości V. Rozkład naprężń sycznych wywo łanych przz T js zminny na grubości d. Zasępując go równoważnym rozkładm śrdnich, równomirni rozłożonych na grubości a, naprężń sycznych τ T, wg rów. (39), uzyskuj się rozkład naprężń sycznych w ścianc kryycznj jak na rys. 8b. Zakrs sosowania orii MCFT ograniczony js do lmnów poddanych działaniu równomirni rozłożonych naprężń. Torię można sosować w przypadku lmnów skręcanych lub ścinanych, w kórych bonow krzyżulc podlgają działaniu równomirni rozłożonych, śrdnich naprężń sycznych, odpowidnio: τ T na grubości a i τ V na grubości V = 0.5b. W przypadku jdnoczsngo skręcania i ścinania rozkład naprężń sycznych js jdnak nirównomirny, jak wynika z rys. 8b. Aby można było zasosować równania orii MCFT, wyznacza się warość śrdnich naprężń sycznych τ m, kór działają na odpowidnij grubości m, co przdsawiono na rys. 8c. Warości zminnych τ m i m, charakryzujących rozkład śrdnich naprężń sycznych w ścianc i spowodowanych jdnoczsnym działanim

16 52 Waldmar Budzyński T i V, oblicza się w aki sposób, aby warość i położni wypadkowych rozkładów naprężń przdsawionych na rys. 8b i 8c były idnyczn. Znając warość śrdnich naprężń sycznych τ m w ścianc oraz warość odkszałcń w kirunku podłużnym ε l środka ciężkości ścianki, można za pomocą orii MCFT usalić san odkszałcnia (naprężnia) ścianki. Na rys. 7b przdsawiono (linią przrywaną) ogólny san odkszałcnia przkroju w kirunku podłużnym. Przkrój moż się obracać dookoła osi poziomj (z) oraz pionowj (y). Do opisania sanu odkszałcnia w kirunku podłużnym, a w konskwncji sanu naprężń normalnych w przkroju poprzcznym, nizbędn są rzy nizalżn zminn. Na rys. 7b przdsawiono zminn, kór zosały wybran w prznowanym modlu orycznym, wraz z konwncją usalania znaków ych zminnych. Zminnymi są: ε cn odkszałcni w kirunku podłużnym środka ciężkości przkroju; dodani przy rozciąganiu, φ z obró dookoła osi z; dodani jżli skukim js ściskani górnych włókin przkroju, φ y obró dookoła osi y; dodani jżli skukim js ściskani prawych włókin przkroju. Przy danj kombinacji odkszałcń: ε cn, φ z, φ y, odkszałcni podłużn dowolngo punku przkroju o współrzędnych (z,y) można wyznaczyć z warunku nirozdzilności od kszałcń podłużnych, opisango równanim: = - yf + zf (41) l cn z y W modlu przyjmuj się doskonałą przyczpność pomiędzy bonm i salą (za łożni 6, w p. 2.1). W związku z ym, rów. (41) można wykorzysać do oblicznia odkszałcń zarówno w boni jak i w pręach zbrojniowych, w dowolnym punkci przkroju poprzczngo. Naprężnia normaln w przkroju poprzcznym (układ 1) muszą być w równowadz z zwnęrznymi obciążniami (N, M y, M z ). Warunki równowagi muszą równiż uwzględniać wysępowani naprężń normalnych, kór powsają w ściankach (układ 2), wskuk działania naprężń sycznych τ mi. Naprężnia w boni i zbrojniu podłużnym, wyznaczon na podsawi rozkładu od kszałcń ε l w całym przkroju [wg rów. (41)] i przy wykorzysaniu praw konsyuywnych bonu (zalżności nizmiękczon) i sali, po scałkowaniu względm odpowidnich powi rzchni, nalży zsumować z siłami przkrojowymi. W rzulaci orzymuj się nasępując równania równowagi układu 1 w współrzędnych z-y: Ac s da + s da = N +å N cl c sl s vi A i= 1 s 4 ò ò (42) 4 ò s yda + cl c ò s yda =-M sl s z -å( N y vi i) (43) Ac As 4 i= 1 ò s zda + cl c ò s zda = M sl s y +å( N z vi i) (44) Ac As i= 1 gdzi z i oraz y i są, odpowidnio, współrzędnymi z i y środka ciężkości ścianki i. Z prawych sron powyższych równań wysępuj całkowi obciążni równoważn, kór js sumą ob ciążń zwnęrznych i obciążń będących wynikim działania

17 Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach naprężń sycznych τ mi. N vi js siłą podłużną spowodowaną działanim naprężń sycznych τ mi w ścianc i, kórą wyznacza się z wzoru [por. rów. (8)]: N vi æ ö = ç - s x (pol powirzchni ścianki i ) (45) mi c1i ç èan q i ø Wszyski ścianki przkroju (układ 2), kór znajdują się w dwuosiowym sani na prężnia (τ mi ) i dodakowo podlgają działaniu odkszałcnia podłużngo ε l, spłniają założ nia orii MCFT. Wobc go równania orii MCFT mogą być wykorzysan w prznowanym modlu, w clu okrślnia sanu od kszałcnia (naprężnia) poszczgólnych ściank. Dodakowo, Rahal i Collins [13] wprowa dzają warunk nirozdzilności krzywizn. W każdj ścianc wysępuj wzajmna zalżność pomiędzy skręcnim przkroju ψ, krzywizną podłużną φ l (w płaszczyźni poziomj), krzywizną poprzczną φ (w płaszczyźni pionowj) oraz krzywizną maksymalną φ dp (wzdłuż osi krzyżulca). Zalżność ą, kóra sa nowi warunk nirozdzilności krzywizn, można przdsawić za pomocą równania: ( ) f = f q + f q + y q (46) 2 2 sin cos sin 2 dp l Krzywizna danj ścianki ma znak dodani, zgodny z znakim ψ, jżli warość od powidnigo odkszałcnia w j ścianc js mnijsza od odpowidnigo odkszałcnia w ścianc do nij równolgłj. Poniważ warości od kszałcń w ścianc zalżą od warości naprężń sycznych, odkszałcnia w ścianc kryycz nj, w kórj (τ T + τ V ) (przyjmijmy, ż js o prawa ścianka), będą miały zawsz większ warości od odpowidnich odkszałcń w ścianc do nij równolgłj (τ T - τ V ). Wobc go, krzywizny prawj ścianki (kryycznj) muszą mić znak ujmny i nalży j wyznaczać w nas ępujący sposób: f f lp P s s - ll lp = (47) b - L P = (48) b s naomias krzywizny lwj ścianki będą równ: φ ll = -φ lp i φ L = -φ P. W rów. (47) i (48) ε i oznacza śrdni odkszałcni w boni w kirunku poprzcznym (równ odkszałcniu w zbrojniu poprzcznym), b s js odlgłością pomiędzy pionowymi gałęziami srzminia, na omias ε s li oznacza śrdni odkszałcni podłużn w punkci lżącym na skrajnym włókni przkroju, na wysokości środka ciężkości przkroju. Waro zauważyć, ż w lmnach poddanych czysmu skręcaniu φ li = φ i = 0, a rów. (46) przyjmuj posać wyrażoną rów. (29). W modlu orycznym Rahala i Collinsa, rów. (46) wykorzysuj się do oblicznia warości zminnj φ dp. Znając warość odkszałcnia na zwnęrznj, ściskanj powirzchni bonu ε 2max, oblicza się grubość krzyżulca d, prznoszącgo skręcani, wdług zalżności, kóra wynika z rów. (30): 2 max f = dp (49) d

18 54 Waldmar Budzyński Nalży zwrócić uwagę, ż w przypadku ścianki kryycznj (τ T + τ V ), przy obliczaniu d ni można bzpośrdnio skorzysać z rów. (49), poniważ odkszałcni ε 2max spowodowan js jdnoczsnym działanim T i V (ε 2max = ε 2maxT + ε 2maxV ). W ym przypadku rów. (49) przyjmuj posać: d 2 maxt = (50) f dp 3.2. Odkszałcni bonu ściskango na zwnęrznj powirzchni krzyżulca (ε 2max ), w ścianc kryycznj (τ T + τ V ) San odkszałcnia (naprężnia) w ścianc kryycznj okrśla się, wykorzysując rów nania orii MCFT, przy założniu, ż js ona poddana działaniu śrdnich naprężń sycz nych τ m (T+V), równomirni rozłożonych na grubości m (por. rys. 8 oraz rys. 9.a). W wyniku przprowadzonj procdury obliczniowj uzyskuj się śrdni warości naprężń i odkszałcń w ścianc kryycznj, kóra podlga jdnoczsnmu działaniu skręcania i ścinania (T+V), m.in.: σ c2m, f 2maxm, σ c1m, ε 2m, θ m. Indks m oznacza, ż odkszałcni lub napręż ni zosało spowodowan działanim siły poprzcznj, równoważnj począkowmu ukła dowi naprężń sycznych (T+V). Na podsawi przprowadzonj analizy ni można, wobc go okrślić, w jaki sposób zminia się warość ε 2 na grubości ścianki. W konskwncji, ni można usalić warości odkszałcnia na zwnęrznj powirzchni ściskango bonu ε 2max. Odkszałcni ε 2max js bardzo ważn w analizi lmnów skręcanych. Js wskaźnikim zmiażdżnia bonu (przyjmuj się, ż zmiażdżni bonu wysępuj, gdy ε 2max = 1.5ε o ), a ponado sanowi podsawę oblicznia grubości ścianki d prznoszącj skręcani, wg rów. (50), a w konskwncji równiż A k, wg rów. (40), oraz skręcnia przkroju ψ. W clu okrślnia warości ε 2max nalży przprowadzić dodakową analizę oblicz niową, kóra opara js na założniu, ż główn odkszałcnia w boni ściskanym ε 2T, spo wodowan skręcanim, zminiają się liniowo na grubości d. Ilusracja graficzna j analizy zosała przdsawiona na rys. 9. Główn naprężnia ściskając w ścianc kryycznj σ c2m, obliczon na podsawi τ m i m, spowodowan są jdnoczsnym działanim T i V. Warość wypadkowj wykrsu naprężń σ c2m musi być równa sumi warości wypadkowych rzczywisych wykrsów naprężń ści skających spowodowanych przz T (σ c2t ) i V (σ c2v ). Udział skręcania w głównych napręż niach ściskających będzi więc równy: A = s - s (51) T c2m m cv 2 V gdzi σ c2v V js udziałm siły poprzcznj, co przdsawiono na rys. 9b i 9c. Warość σ c2v oblicza się, zgodni z rów. (7), w nasępujący sposób: æ 1 ö s = an q + -s ç an q cv 2 V m cm 1 è m ø Znając warość σ c2v można obliczyć główn odkszałcni w boni ściskanym spo wodowan siłą poprzczną ε 2V, z rów. (21). Poniważ siła poprzczna powoduj równo mirny rozkład odkszałcń na grubości krzyżulca V, wobc go, ε 2V = ε 2maxV. (52)

19 Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach Rys. 9. Sposób wyznaczania ε 2max w ścianc kryycznj blki jdnoczśni skręcanj i ścinanj wg modlu Rahala i Collinsa [13]: a) sposób wyznaczania równoważnych, śrdnich naprężń sycznych τ m, b) okrślni udziału T w głównych naprężniach ściskających, c) wyznaczni ε 2max (lub ε 2maxT ). Fig. 9. Mhod for calculaing ε 2max in h criical wall of h bam subjcd o combind orsion and shar in h modl of Rahal and Collins [13]: a) compuing quivaln avrag shar srss τ m, b) calculaing conribuion of T o h principal comprssiv srsss, c) compuing ε 2max (or ε 2maxT ). Znając warość A T oblicza się ε 2maxT w aki sposób, aby spłnion było założni o li niowj zminności odkszałcnia ε 2T na grubości d, por. rys. 9c. Liniowa zminność ε 2T implikuj paraboliczny wykrs naprężń σ c2t na grubości d, wobc go ε 2maxT nalży wyzna czyć na podsawi równania [por. rów. (33)]: d T A = f x dx = d 2 max d ò ( ) ò s 2 ( 2 ) 2 (53) T ct T T 0 2 maxt 0 Warość odkszałcnia na zwnęrznj powirzchni bonu ściskango, spowodowa ngo jdnoczsnym działanim T i V, będzi więc równa: = + (54) 2 max 2 maxt 2 maxv Warość odkszałcnia ε 2max można równiż wyznaczyć w sposób bzpośrdni, roz ważając jdnoczsn działani T i V na grubości d. Udział naprężń ściskających σ c2, działa jących na grubości d i spowodowanych jdnoczsnym działanim T i V, w naprężniach σ c2m będzi równy, zgodni z rys. 9c: ( ) A = s - s - T+ V c2m m cv 2 V d (55) Warość odkszałcnia ε 2max okrśla się na podsawi równania: A = f x dx = d 1 2 max 1 ò ( ) ò s 2( 2) (56) 2 T+ V c - 2 max 1 d 2 maxv

20 56 Waldmar Budzyński Do wyznaczni warości ε 2maxT, z rów. (53), oraz ε 2max, z rów. (56), koniczn js zasosowani mody iracyjnj. Isoą procdury iracyjnj js uzyskani zbiżności pomiędzy warością całki, rów. (53) lub (56), i warością wypadkowj równoważngo (prosokąngo) wykrsu naprężń (por. rys. 5). Nalży zwrócić uwagę, ż wyznaczając warość ε 2max na podsawi rów. (56), ni można zasosować współczynników równoważ ngo wykrsu naprężń α 1 i β 1 dla przypadku czysgo skręcania, zn. przy założniu, ż ε 2 zminia się od zra do ε 2max na grubości d. W ścianc kryycznj lmnu jdnoczśni skrę cango i ścinango (T+V), warość głównych odkszałcń zminia się, na grubości d, od ε 2V do ε 2max, por. rys. 9c. Nalży więc wyznaczyć now warości współczynników równo ważngo bloku naprężń, rprznaywn dla przypadku (T+V). Warości współczynników, kór dla odróżninia zosaną oznaczon jako α 2 i β 2, okrśla się na podsawi rów. (33) i (34) z ym, ż w wyrażniach wysępujących po prawj sroni ych równań, nalży zminić odpowidnio granic całk oraz zminną d zasąpić zminną 1. Osaczni, po przkszałcniach, warość współczynnika α 2 oblicza się z równania: gdzi: a é 1 êæ ö 1æ ö ç 2 3 ( 1 m ) ç ( 1 m ) ú 1 2 max 2 max = b ê ç 3 d 2 è ç 0 ø è 0 ø - 1 d 1 êë 2 ù ú úû (57) m = (58) naomias warość 1 wyznacza się wg zalżności: 2 max = (59) 1 d 2 maxt Warość współczynnika β 2 oblicza się z wzoru: b 2 é = 21 - ê ë 1 d 2 1æ ö 3 4 ç çè 0 ø 1 æ ö 3 ç çè ø 3 4 ( 1-m )- ç 2 max ( 1-m ) ú 2 ( ) 2 max 3 1-m - ç ( 1-m ) 0 Znając warość maksymalngo odkszałcnia bonu ściskango ε 2maxT, spowodowa ngo momnm skręcającym, można okrślić grubość krzyżulca d, wg rów. (50), oraz warości współczynników α 1 i β 1, wg rów. (35) i (36). W konskwncji daj o możliwość wyznacznia wysokości równoważngo wykrsu naprężń a, wg rów. (31), oraz τ T, wg rów. (39), i A k, wg rów. (40). Znając warość maksymalngo odkszałcnia bonu ściskango ε 2max, spowodowango jdnoczsnym działanim V i T, można wyznaczyć, na podsawi rów. (14), odkszałcnia poprzczn w poszczgólnych ściankach: s ( + 2 max i li) ù ú û (60) 2 g = i (61) an q i

21 Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach a w rzulaci skręcni (ką obrou) przkroju ψ: ( g - g ) + b( g -g ) h P L G D y = (62) 2bh Odkszałcnia γ i, w rów. (62), mają znak zgodny z znakim sruminia sił sycznych q mi (od T+V) w każdj ścianc Sposób rozwiązania problmu Modl oryczny Rahala i Collinsa zosał opracowany w clu okrślnia sanu od kszałcnia skręcango lmnu żlbowgo znajdującgo się w złożonym sani napręż nia. Rozwiązani można uzyskać jdyni przz zasosowa ni mody koljnych przybliżń (iracji). Procs iracji sosuj się, aż do uzyskania zbiż ności (warości założonych i obliczonych), kórą sprawdza się przy pomocy warunków rów nowagi [rów. (42) - (44)]. Skrócona forma algorymu obliczniowgo, w ogólnym przypadku obciążnia (T+V y +V z +M y +M z +N), zosała przdsawiona poniżj. Dan począkow: charakrysyka przkroju (wymiary; ilość, rodzaj i rozmiszczni zbrojnia), paramry wyrzymałościow bonu i sali, obciążnia zwnęrzn. 1) Przyjąć warości d, α 1, β 1 w poszczgólnych ściankach. 2) Okrślić równoważny san naprężń sycznych τ m, m (T+V) w ściankach. 3) Przyjąć warości ε l w poszczgólnych ściankach. 4) Dla danych τ m, m i ε l, okrślić san odkszałcnia i naprężnia w ściankach (układ 2; oria MCFT): 4.1) Przyjąć warość ε ) Przyjąć warość θ. 4.3) Obliczyć: ε 1, ε 2, ε, ζ, σ c1, σ c2, σ cl, σ c, σ sl, σ s, θ. 4.4) Sprawdzić warość θ; jżli obliczona warość θ js zgodna z przyjęą warością θ (z założoną dokładnością), o warości zminnych obliczon w p. 4.3 są prawidłow; w przciwnym wypadku nalży przyjąć nową (skorygowaną) warość θ. 4.5) Sprawdzić warość ε 2 ; jżli obliczona warość ε 2 js zgodna z przyjęą warością ε 2 (z założoną dokładnością), o warości zminnych obliczon w p. 4.3 są prawidło w; w przciwnym wypadku nalży przyjąć nową (skorygowaną) warość ε 2. 5) Obliczyć warości σ c2v i ε 2V (od V) w poszczgólnych ściankach. 6) Obliczyć warości sił podłużnych N v, w poszczgólnych ściankach, spowodowanych naprężniami sycznymi τ m [rów. (45)]. 7) Okrślić całkowi obciążni równoważn działając w układzi 1 [suma obciążń zw nęrznych N, M y, M z i obciążń będących wynikim działania sił N v ; praw srony rów. (42) (44)]. 8) Okrślić odkszałcnia przkroju ε cn, φ y, φ z spowodowan całkowiym obciążnim rów noważnym, czyli usalić san odkszałcnia przkroju w kirunku podłużnym [rów. (41)].

22 58 Waldmar Budzyński 9) Usalić san naprężń normalnych w przkroju poprzcznym, odpowiadający sanowi odkszałcnia podłużngo, czyli w konskwncji warości sił wwnęrznych N, M y, M z [lw srony rów. (42) (44)]. 10) Sprawdzić zbiżność, wykorzysując równania równowagi (42) (44); jżli uzyska no założony poziom zbiżności, o warości wszyskich, obliczonych zminnych są pra widłow; w przciwnym razi nalży przyjąć now (skorygowan) warości ε l w poszcz gólnych ściankach (w p. 3) i powórzyć oblicznia. 11) Obliczyć φ l, φ oraz φ dp w poszczgólnych ściankach. 12) Obliczyć ε 2max, ε 2maxT, d, α 1, β 1, γ w poszczgólnych ściankach oraz ψ. 13) Sprawdzić warość d w poszczgólnych ściankach; jżli obliczon warości d są zgodn z przyjęymi warościami d (z założoną dokładnością) oznacza o, ż san odkszałcnia lmnu zosał okrślony prawidłowo; w przciwnym razi nalży przyjąć now (skory gowan) warości d w p.1) i powórzyć oblicznia. Sosując modl oryczny Rahala i Collinsa można wyznaczyć san odkszałcnia lmnu jdnoczśni skręcango i ścinango pod obciążnim ksploaacyjnym (w SGU). Wdług większości mod, orycznych i normowych, pod sawą oblicznia szrokości rys js okrślni sanu odkszałcnia lmnu. W związku z ym wydaj się uzasadnion, podjęci próby opraco wania zalżności, służącj do obliczania szrokość rys w lmnach jdnoczśni skręcanych i ścinanych. 4. Propozycja własna obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach żlbowych poddanych jdnoczsnmu działaniu T i V Kirunk rys, kór powsają w lmnci żlbowym, js zawsz prosopadły do kirunku głównych naprężń rozciągających σ c1. W blkach jdnoczśni skręcanych i ścinanych rysy o maksymalnj szrokości powsają na boku, na kórym nasępuj sumowani naprężń sycznych od T i V, co uzasadniono w p. 3. Ką nachylnia pirwszych rys, kór powsają na boku (T+V) go ypu blk, pod obciążnim rysującym, js więc zgodny z kąm nachylnia kirunku głównych naprężń ściskających w boni przd zarysowanim σ c2, i wynosi 45 o. Jżli w lmnci skręcanym lub/i ścinanym moc zbrojnia podłużngo js różna od mocy zbrojnia poprzczngo, co wynika z przyjęj przy projkowaniu warości θ 45 o, o pod obciążnim większym od obciążnia rysującgo ką nachylnia kirunku naprężń σ c2 js różny od 45 o. Wyniki zarówno analizy orycznj [6, 12, 14], jak i badań doświadczalnych [1, 3, 8, 16] wskazują, ż ką nachylnia kirunku naprężń σ c2 moż w isony sposób różnić się od 45 o (różnica większa niż ±5 o ), dopiro jżli obciążni lmnu js bliski obciążnia niszczącgo, naw gdy przy projkowaniu przy jęo warość θ isoni różną od 45 o. Wobc go, w blc jdnoczśni skręcanj i ścinanj, na boku (T+V), pod obciążnim odpowiadającym sanowi użykowalności (ksploaacyj nym) ką nachylnia kirunku naprężń σ c2 js równy około 45 o. Można więc przyjąć, z za dowalającą dokładnością, ż rysy, kór powsały zarówno pod obciążnim rysującym jak i pod większym obciążnim, lcz ni większym od ksploaacyjngo, będą się rozwirały do kładni w kirunku zgodnym z kirunkim głównych naprężń rozciągających σ c1

23 Propozycja mody obliczania szrokości rys ukośnych w lmnach spowodo wanych obciążnim ksploaacyjnym (szrokość rys mirzy się w kirunku prosopadłym do brzgów rys). W konskwncji, odkszałcnia w boni rozciąganym ε 1, spowodowan naprężniami σ c1, można uznać za miarę innsywności ukośngo zarysowania lmnu. Jdynym modlm orycznym, na podsawi kórgo można okrślić zachowani lmnu jdnoczśni skręcango i ścinango js modl Rahala i Collinsa. Daj on możliwość usalnia płnj rakcji lmnu na działając obciążnia. Sosując n mo dl można więc okrślić warość odkszałcnia ε 1 w ścianc kryycznj (T+V) blki poddanj jdnoczsnmu działaniu T i V, pod obciążnim odpowiadającym sanowi użykowalności (ksploaacyjnym). Uwzględniając powyższ uwagi oraz podsawow założnia modlu Rahala i Collinsa, na podsawi kórych dfiniuj się m.in. śrdni odkszałcnia w boni zarysowanym, proponuj się, aby warość śrdnij szrokości rysy w lmnach poddanych jdnoczsnmu działaniu momnu skręcającgo i siły poprzcznj obliczać w dług zalżności: w m = s (63) 1 rm gdzi ε 1 js śrdnim odkszałcnim w boni rozciąganym (na kirunku σ c1 ), kórgo warość wyznacza się na podsawi modlu Rahala i Collinsa, naomias s rm js śrdnim rozsawm rys ukośnych, mirzonym prosopadl do ich kirunków. Proponuj się, aby śrdni rozsaw rys ukośnych wyznaczać na podsawi zalżności: s rm 1 = cos q sin q + s s rmy rmx Równani (64) js w zasadzi zgodn z zalżnością zalcaną przz normę [20]. Różnica polga na zasąpiniu kąa α przz ką pochylnia bonowych krzyżulców ściskanych θ. W rów. (64) zminn s rmx i s rmy oznaczają śrdni, osaczn, rozsawy rys w kirunku, odpowidnio, podłużnym i poprzcznym, a kór proponuj się obliczać na podsawi zalżności wg [19, 22]: (64) s kk f rm 1 2 r r = + (65) Warość ε 1, zgodni z dfinicją (założni 5 w p. 2.1), js uśrdnioną warością odkszałcń w boni rozciąganym, na długości odcinka przcinającgo kilka rys, wliczając w o odkszałcnia w przkrojach zarysowanych. Wobc go, w śrdnim odkszałcniu ε 1 uwzględnion są równiż odkszałcnia w boni rozciąganym na odcinkach między rysami. Z rów. (63) wynika, ż ε 1 są uożsamian z śrdnią szrokością rys w m. Podsawiając warość ε 1, obliczoną na podsawi modlu Rahala i Collinsa, bzpośrdnio do rów. (63) uzyska się w konskwncji zawyżoną warość w m, pomimo znaczni mnijszj warości odkszałcń w boni na odcinku między rysami w porównaniu z szrokością rys. Ponado warość w m obliczona z rów. (63) będzi większa od rzczywisj, śrdnij szrokości rys (usalonj na podsawi pomiarów) dlago, ż obliczniowa warość ε 1 uwzględnia odkszałcnia w wszyskich przkrojach zarysowanych, równiż w ych, w kórych wysąpiły rysy wórn.

24 60 Waldmar Budzyński Poniważ rysy wórn ni uwidaczniają się na zwnęrznj powirzchni bonu [5], ich szrokości ni uwzględnia się przy obliczniowym sprawdzaniu szrokości rys w sani granicznym użykowalności (i oczywiści ni można ich zmirzyć). Nalży jdnak przypomnić, ż w modlu Rahala i Collinsa warość ε 1, w konkrnj ścianc, wyznacza się przy założniu, ż na całj wysokości ścianki działają sał, co do war ości, śrdni naprężnia syczn τ T [p. 2.1; rów. (39)]. Ni js o zgodn z rz czywisym rozkładm naprężń τ T, kór mają największą warość w połowi wysokości ścia nki. Rzczywisa warość τ T w połowi wysokości ścianki kryycznj, czyli w mijscu gdzi w lmnci jdnoczśni skręcanym i ścinanym rysy mają największą szrokość, js więc większa od warości τ T przyjmowanj do obliczń. Jżli do rów. (63) podsawi się warość ε 1 obliczoną na podsawi modlu Rahala i Collinsa, o w rzulaci uzyska się zaniżoną warość w m w sosunku do rzczywisj warości w m w połowi wysokości ścianki. Przyjęo założni, ż czynniki mając wpływ na obliczniową warość odkszałcnia ε 1 (opisan powyżj), kór powodują zawyżni i zaniżni obliczniowj warości w m [wg rów. (63)] w sosunku do rzczywisj warości śrdnij szrokości rys w połowi wysokości boków blki, na kórych wysępuj przypadk (T+V) lub (T-V), wzajmni się znoszą. Nalży dodać, ż prawidłow oszacowani wpływu opisanych czynników na oblicz niową warość ε 1, a akż wpływu zmian warości ε 1, wywołanych poszczgólnymi czynnika mi, na warość w m, js bardzo rudn. Wydaj się, ż przyjmując powyższ założni, w przypadku znacznj warości sosunku h/b (np. h/b 2.5), uzyska się zaniżoną warość w m obliczoną na podsawi rów. (63), z powodu isonj różnicy między śrdnią, obliczniową warością τ T i maksymalną, rzczywisą warością τ T. Zgodni z podsawowym założnim orii Rahala i Collinsa (orii MCFT), za śrd nią warość odkszałcń przyjmuj się warość odkszałcń w płaszczyźni okrślonj poło żnim linii środkowj równoważnj srfy sruminia ścinania, czyli w odlgłości (a/2) od zwnęrznj powirzchni bonu (por. p. 2.2). Śrdnią szrokość rys, wg rów. (63), oblicza się więc na głębokości (a/2), licząc od zwnęrznj powirzchni bonu. Brzgi rys ulgają dplanacji [7, 17]. Wskuk go zjawi ska rysa ma największą szrokość na zwnęrznj powirzchni lmnu. Uwzględniając: sandardow grubości ouliny bonowj, sopiń wyężnia lmnu w SGU oraz wyniki ba dań [7, 17] przyjęo założni, ż śrdnia szrokość rysy na powirzchni lmnu js 20% większa niż śrdnia szrokość rysy na głębokości (a/2). Przy ym założ niu rów. (63) przyjmuj posać: w m = 1.2 s (66) 1 rm Przy projkowaniu za miarodajną przyjmuj się maksymalną szrokość rys. Wszyski warości sosunku w max /w m, podan w przpisach normowych, przy różnych przypadkach obciążnia, zosały usalon na podsawi badań doświadczalnych. W żadnj z norm ni ma podanych zalcń odnośni warości go sosunku, jaką nalży przyjmować w przypadku lmnów skręcanych (i oczywiści przypadku T+V). Auorowi ni są znan wy niki badań, na podsawi kórych można by okrślić doświadczalną warość go sosunku w przypadku lmnów jdnoczśni skręcanych i ścinanych. Opirając się na wynikach badań własnych [1, 2, ab. 1] proponuj się przyjąć warość go sosunku równą (w max /w m ) = 1.7.