gdzie E jest energią całkowitą cząstki. Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego Wprowadźmy do lewej i prawej strony równania Schrödingera

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "gdzie E jest energią całkowitą cząstki. Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego Wprowadźmy do lewej i prawej strony równania Schrödingera"

Kamila Wieczorek
8 lat temu
Przeglądów:

1 San sacjonarny cząsk San sacjonarny - San, w kórym ( r, ) ( r ), gęsość prawdopodobńswa znalzna cząsk cząsk w danym obszarz przsrzn n zalży od czasu. San sacjonarny js charakrysyczny dla sacjonarngo pola sł U ( r, ) U ( r ). Dla sanu sacjonarngo funkcja falowa moż być zapsana jako loczyn funkcj zalżnj ylko od współrzędnych funkcj zalżnj ylko od czasu. ( r, ) ( r) ( r, ) ( r ) gdz js nrgą całkową cząsk. Posać równana Schrödngra dla sanu sacjonarngo Wprowadźmy do lwj prawj srony równana Schrödngra U m funkcję ( r, ) ( r) charakrysyczną dla sanu sacjonarngo. Podsawy mchank kwanowj 0

2 Posać równana Schrödngra dla sanu sacjonarngo, cd. U m ( r, ) ( r) : ( r ) ( r ) P: U ( r) U ( r) m m Przyrównując praw srony ych wyrażń orzymujmy zw. sacjonarn równan Schrödngra (równan Schrödngra bz czasu). U m Częso wygodna js posać sacjonarngo równana Schrödngra po uporządkowanu m( U ) 0 Podsawy mchank kwanowj

3 Równan Schrödngra w zaps opraorowym Hˆ U m Opraor nrg całkowj, opraor Hamlona, hamlonan. Posać równana Schrödngra z użycm opraora Ĥ U Z czasm m Hˆ U m Ĥ Bz czasu Rozwązan równana Schrödngra dla przypadku nogranczongo ruchu cząsk wzdłuż os x W ym przypadku U( x) cons. Przyjmjmy U( x) 0. Hˆ d U m m dx Ĥ d m dx d dx m 0 Podsawy mchank kwanowj

4 Rozwązan równana Schrödngra dla przypadku nogranczongo ruchu cząsk wzdłuż os x, cd. d m 0 Podsawmy dx d dx k 0 m k m rx Powyższ równan różnczkow rozwążmy przz podsawn dochodząc do zw. równana charakrysyczngo k r k 0 r k r k, r k Rozwązanm ogólnym js kombnacja lnowa dwóch rozwązań szczgólnych ( x) A A kx kx A, A - sał. Płna (zalżna od położna czasu) funkcja falowa ma posać ( x, ) ( x) A A, gdz ( kx) ( kx). A A ( kx) - fala poruszająca sę w dodanm krunku os x, ( kx) - fala poruszająca sę w ujmnym krunku os x. Podsawy mchank kwanowj 3

5 Rozwązan równana Schrödngra dla przypadku nogranczongo ruchu cząsk wzdłuż os x, cd. Orzymalśmy: ( x, ) ( x) A A ( kx) ( kx) a) przypadk cząsk poruszającj sę w dodanm krunku os x A ) ( kx) ( x, ) A (przyjmujmy 0 ( x, ) A A cons * * b) przypadk cząsk poruszającj sę w ujmnym krunku os x A ) ( kx) ( x, ) A (przyjmujmy 0 ( x, ) A A cons * * Funkcj falow w przypadku a) b) przdsawają monochromayczn ( cons, k cons ) fal płask. Kwadra modułu monochromaycznj fal płaskj n js jdnak całkowalny, co oznacza, ż powyższ rozwązana n opsują właścw cząsk swobodnj. Ponważ ( x, ) n zalży od x, położn cząsk n js u okrślon. Właścwą funkcją falową opsującą cząskę swobodną js kombnacja lnowa fal monochromaycznych, czyl paczka falowa. Podsawy mchank kwanowj 4

6 Ogranczony ruch cząsk wzdłuż os x. Nskończn głęboka jdnowymarowa sudna poncjału x 0 U ( x) 0 0 x x Z względu na nskończoną warość nrg poncjalnj, cząska n moż znajdować sę w obszarach I lub I. Sąd ( x) 0, ( x) 0 W obszarz san cząsk okrślony js przz równan Schrödngra d dx k 0 kx ( x) A A Sał A A okrślmy korzysając z warunków brzgowych dla funkcj ( x). Warunk brzgowy dla x 0 (cągłość dla x 0) I kx (0) I (0) 0 AA 0 A A, kx kx czyl ( x) A C sn( kx) C - sała. sn I Podsawy mchank kwanowj 5

7 Ogranczony ruch cząsk wzdłuż os x. Nskończn głęboka jdnowymarowa sudna poncjału, cd. Orzymalśmy: ( x) C sn( kx) Warunk brzgowy dla x (cągłość dla x ) ( ) C sn( k) 0 ( C 0) ( k n, n 0,,,...) Przypadk C 0 n 0 odrzucamy, bo wdy ( x) 0 dla wszyskch x, czyl cząsk n ma w sudn. Ujmn warośc n akż pomjamy, gdyż on jdyn zmnają znak. Z warunku k n orzymujmy k n /, czyl n ( x) C sn x Uprzdno przyjęlśmy m k. Sąd na podsaw k n dochodzmy do wnosku, ż nrga cząsk w sudn poncjału js skwanowana h n n n, n,,... lczba kwanowa. m 8m Podsawy mchank kwanowj 6

8 Nskończn głęboka jdnowymarowa sudna poncjału, cd. nrga cząsk w jam n moż przyjmować warośc zro. Ma o zwązk z zasadą nokrślonośc Hsnbrga. Z względu na ogranczoną szrokość sudn nokrśloność położna cząsk js ogranczona z góry. Sąd nokrśloność jj pędu js zawsz różna od zra, a o wąż sę z ym, ż cząska zawsz mus posadać pwną lość ng n mnjszą nż p m mn ( ) / ( ) Funkcja falowa cząsk w nskończn głębokj jdnowymarowj jam poncjału n n n( x, ) C sn x Warość sałj C można okrślć korzysając z warunku unormowana funkcj falowj n n * dv V CC * 0 n sn xdx Podsawy mchank kwanowj 7

9 Funkcja falowa cząsk w nskończn głębokj jdnowymarowj jam poncjału. cd. * * * n n CC sn x dx CC cos x dx CC 0 0 CC * C Czynnk można pomnąć, gdyż sanow on nsony z punku wdzna ( x) * czynnk fazowy. ( ) sn n n x x n n( x, ) sn x n Podsawy mchank kwanowj 8

Podobne dokumenty

Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej. Fizyka II, lato

Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwanowej Fizyka II, lao 018 1 Wprowadzenie Posać funkcji falowej dla fali de Broglie a, sin sin k 1 Jes o przypadek jednowymiarowy Posać a zosała określona meodą zgadywania.