Proces stochastyczny jako funkcja dwóch zmiennych. i niepusty podzbiór zbioru liczb rzeczywistych T. Proces stochastyczny jest to funkcja

Transkrypt

1 POJĘCI PROCSU STOCHSTYCZNGO Przykład mpluda napęca gnrowango przz prądncę prądu zmnngo zalży od czynnków losowych moż być zapsana jako funkcja X sn c c - sała okrślająca częsolwość - zmnna losowa o rozkładz np. N0 0 - czas R. Procs sochasyczny jako funkcja dwóch zmnnych Dana js przsrzń probablsyczna Ω S P npusy podzbór zboru lczb rzczywsych T. Procs sochasyczny js o funkcja X : Ω T R rzczywsa dwóch zmnnych: zdarzna lmnarngo ω zmnnj rzczywsj czasu. Przy czym zakładamy ż dla usalongo funkcja X jako funkcja argumnu ω js zmnną losową pownn być spłnony warunk { ω : X ω < } S. T R X ω procs sochasyczny procs X oznaczać będzmy X lub X. Jśl usalmy zdarzn lmnarn zn. przyjmmy ω ω0 o orzymujmy funkcję X ω 0 rzczywsą zmnnj rzczywsj. Oznaczamy ją nazywamy ralzacją procsu X. Jśl usalmy czas zn. przyjmmy 0 o orzymujmy funkcję X ω 0 rzczywsą zdarzna lmnarngo czyl zmnną losową. Jśl usalmy zdarzn lmnarn ω ω0 usalmy czas 0 o orzymujmy lczbę X ω zwaną sanm procsu. 0 0 Procs sochasyczny jako rodzna zmnnych losowych Rozważamy dwa npus zbory: T podzbór zboru lczb rzczywsych lmny go zboru są chwlam oraz zbór Z zmnnych losowych okrślonych na zborz zdarzń lmnarnych Ω. Procs sochasyczny js o rodzna zmnnych losowych powsała przz przyporządkowan każdj chwl z zboru T zmnnj losowj z zboru Z. W j syuacj procs wygodn js zapsywać: X.

2 To podjśc pozwala ławo pokazać ż procs sochasyczny js uogólnnm znanych z rachunku prawdopodobńswa pojęć zmnnj losowj jdnowymarowj dwuwymarowj wlowymarowj cągu zmnnych losowych. Manowc procs sochasyczny js zmnną losową jdnowymarową gdy T { }; ralzacja procsu: lczba rzczywsa zmnną losową dwuwymarową gdy T { } ; ralzacja procsu: para lczb rzczywsych zmnną losową n-wymarową gdy T {... n} ; ralzacja procsu: cąg n-wyrazowy lczb rzczywsych cągm zmnnych losowych gdy T {...} ; ralzacja procsu: nskończony cąg lczb rzczywsych. Rozważan nprzlczaln wlu zmnnych losowych zalżnych w spcjalny sposób js zagadnnm son różnącym procsy sochasyczn od klasyczngo rachunku prawdopodobńswa. Przykład Nch T R. Jśl każdj chwl przyporządkujmy zmnna losową X opsaną wzorm cos π / o okrślmy procs X cos π / drgan harmonczn o losowj ampludz jako rodzna zmnnych losowych. Procs sochasyczny jako rodzna ralzacj Rozważamy zbór zdarzń lmnarnych Ω zbór Y funkcj T rzczywsych zmnnj rzczywsj. Procs sochasyczny js o rodzna funkcj T rzczywsych zmnnj rzczywsj powsała w wynku przyporządkowana każdmu zdarznu lmnarnmu z zboru Ω dokładn jdnj funkcj z zboru Y. Procs oznaczamy wówczas X. ω Klasyfkacja procsów S zbór sanów procsu X T zbór chwl dla kórych procs js okrślony. Procs DD js o procs dyskrny w sanach dyskrny w czas zn. zbory sanów S chwl T są przlczaln lub skończon. Procs DC js o procs dyskrny w sanach cągły w czas zn. zbór S js skończony lub przlczalny naomas zbór T js przdzałm najczęścj T < 0; lub T ;.

3 Procs CD js o procs cągły w sanach dyskrny w czas zn. zbór S js przdzałm ogranczonym lub nogranczonym naomas T js zborm skończonym lub przlczalnym. Procs CC js o procs cągły w sanach cągły w czas zn. zbory S T są przdzałam. Przykład a Procs X oznacza lczbę zgłoszń do cnral lfoncznj w czas. Obsrwacj lczby zgłoszń dokonujmy w cągu h pracy j cnral. Mamy: S { 0...} T < 0; >. Procs X js węc DC. b Cząsczka błądz po os O przmszczając sę losowo po punkach o współrzędnych całkowych. Zmana położna cząsczk nasępuj z prawdopodobńswm 05 co skundę o czyl o jdnoskę w prawo lub z prawdopodobńswm 05 o czyl o jdnoskę w lwo. Procs X oznacza współrzędną punku w kórym cząsczka znajduj sę w chwl. Mamy: S { 0...} T {0...}. Procs X js DD. c Obsrwujmy mpraurę powrza w pwnym mśc. Obsrwacj dokonujmy w cągu doby co godznę. Wadomo ż mpraura moż być dowolną lczbą z przdzału < 0 ; 0 > w sopnach Clsjusza. Procs X oznacza mpraurę powrza w ym mśc o godzn. Mamy: S < 0 ;0 > T {0...}. Procs X js CD. Przykład a X czas uzyskana połączna z okrśloną sroną nrnową jśl polcn połączna zosało wydan na przglądarc w chwl. Js o procs ypu CC. b {X n n... 7} czas fkywnj pracy modmu dango kompura w poszczgóln dn konkrngo ygodna. Js o procs ypu CD. c X lczba uczsnków forum dyskusyjngo na okrślonj sron nrnowj zalogowanych w chwl. Js o procs ypu DC. d {X n n } lczba zalogowań kompurów do dango srwra w poszczgóln dn konkrngo roku. Js o procs ypu DD. Rozkład procsu. Nch X T będz procsm sochasycznym. Rozkład jdnowymarowy procsu X js o rodzna funkcj F gdz dla każdgo usalongo losowj X : T T funkcja F js dysrybuaną zmnnj

4 F P X < Rozkład n- wymarowy procsu X js o rodzna funkcj F... n... n... n T gdz dla dowoln usalonych... n T js dysrybuaną zmnnj losowj n-wymarowj X X... X : n F... P X < X <... X < n... n n n Uwaga Jśl dla każdj lczby T zmnna losowa X js cągła o rozkład procsu moż być okrślany za pomocą gęsośc f... zaś gdy... n n zmnna losowa X js skokowa o rozkład procsu moż być okrślany za pomocą funkcj prawdopodobńswa P X X... X p... n n... n n Paramry procsu sochasyczngo Rozważamy procs sochasyczny X T. Warość oczkwana procsu X js o funkcja kóra każdj chwl T przyporządkowuj warość oczkwaną zmnnj losowj X. Funkcję ę oznaczamy przz m. Zam m X W szczgólnośc: I gdy dla każdgo T zmnna losowa X ma rozkład skokowy o funkcj prawdopodobńswa P X p mamy: II gdy dla każdgo f o: m p T zmnna losowa X ma rozkład cągły o gęsośc m f d W nnych przypadkach przy oblczanu warośc oczkwanj procsu korzysamy z własnośc warośc oczkwanj zmnnj losowj. Momn rzędu procsu X js o warość oczkwana procsu X. Funkcję ę oznaczamy przz m. Zam m X

5 W powyższych przypadkach sosujmy wzory: m p f d przypadk I przypadk II Warancja procsu X js o warość oczkwana procsu Funkcję ę oznaczamy przz D X σ V. Zam D X σ V X m W powyżj rozparywanych przypadkach możmy zasosować wzory: D X X m. m m p f d przypadk I przypadk II Na warancję procsu można sosować wzór: D X m m Odchyln sandardow procsu X js o prwask z warancj go procsu: D X D X Uwaga Rozparywan paramry procsów sochasycznych n zawsz muszą snć. Warunk ch snna w usalonj chwl są dnyczn jak snn odpowdnch paramrów zmnnj losowj. uokorlacja R procsu X js o momn rzędu zmnnj losowj dwuwymarowj X X dla dowolnych chwl T czyl warość oczkwana loczynu zmnnych losowych X X R [ X X ] 5

6 uokowarancja K procsu X js o kowarancja zmnnj losowj dwuwymarowj X X dla dowolnych chwl T : K {[ X m ][ X m ]} Współczynnk auokorlacj procsu auokowarancja unormowana X js o współczynnk korlacj zmnnj losowj dwuwymarowj X X dla dowolnych chwl T : K ρ σ σ Inrpracja własnośc paramrów procsu Warość oczkwana procsu w chwl js uogólnnm śrdnj arymycznj sanów procsu w j chwl. Warancja odchyln sandardow procsu w chwl są maram rozproszna rozrzuu zróżncowana rozkładu procsu od warośc oczkwanj procsu wzęj w j samj chwl. uokowarancja współczynnk auokorlacj procsu w dwóch chwlach są maram sły zalżnośc lnowj dwóch zmnnych losowych wybranych z procsu dla ych chwl. Własność a K R m m b D σ K c K σ σ σ σ D σ X X d Uwaga. Z powyższych własnośc wynka ż prakyczn wysarczy wylczyć m R a pozosał paramry uzyskamy na ch podsaw.. Przy oblczanu paramrów przydan bywają nasępując zalżnośc znan z rachunku prawdopodobńswa X D X X bo D X X X XY Cov X Y XY bo Cov X Y XY XY Cov X Y Cov X Y ρdxdy bo ρ DXDY Przykład Oblczymy paramry procsu ω - sała - zmnna losowa o rozkładz N0 5 6 X sn ω gdz R.

7 Rozwązan. Warość oczkwana: m X snω 0snω uokorlacja: R X X snω snω snω sn ω snω snω D ω snω snω snω sn uokowarancja: K R m m 5 sn ω sn ω Warancja: D 5 sn ω kπ Zauważmy ż dla warośc paramru k 0 ± ±... ω orzymujmy zmnną losową o rozkładz jdnopunkowym wdy warancja procsu js zrowa. Współczynnk auokorlacj: K ρ V V 5sn ω sn ω 5sn ω 5sn ω Oznacza o ż zmnn losow worząc procs są w płn lnowo skorlowan zn. zmnna losowa X js funkcją lnową od X. Mamy X kx gdz k snω snω. Przykład Oblczymy paramry procsu X R. - zmnna losowa skokowa o funkcj prawdopodobńswa Rozwązan. Zauważmy z rozparywany procs ma ylko dw ralzacj: parabolę y parabolę y. Warość oczkwana: m X uokorlacja: 0 7

8 8 0 D X X R uokowarancja: m m R K Warancja: V Zauważmy ż dla warośc paramru 0 orzymujmy zmnną losową o rozkładz jdnopunkowym wdy warancja procsu js zrowa. Wraz z bzwzględnym wzrosm warancja gwałown rośn. Współczynnk auokorlacj: V V K ρ Oznacza o ż zmnn losow worząc procs są w płn lnowo skorlowan zn. zmnna losowa X js funkcja lnową od X. Mamy kx X gdz k. Przykład Oblczymy paramry procsu X R - zmnn losow o paramrach 0; D D ; cov -. Rozwązan. Warość oczkwana: X m uokorlacja: 0 0 cov D D X X R uokowarancja:

9 m K R m Warancja: V Zauważmy ż warancja go procsu js n mnjsza nż dla dowolngo. Współczynnk auokorlacj: K ρ V V Zadana Zadan Dany js procs sochasyczny X R gdz js zmnną losową skokową o funkcj prawdopodobńswa b p a Znajdź wykrśl wszysk ralzacj go procsu. b Wyznacz paramry go procsu warość oczkwaną auokorlację auokowarancję warancję. c Wyznacz funkcję prawdopodobńswa zmnnj losowj X. Zadan Dany js procs sochasyczny X R gdz js zmnną losową o rozkładz normalnym N. a Wyznacz jdnowymarowy rozkład go procsu. b Oblcz P X <. c Wyznacz paramry go procsu. Zadan Dany js procs X R gdz js zmnną losową o rozkładz jdnosajnym w przdzal w przdzal 0;. a Wykonaj wykrs rzch dowolnych ralzacj go procsu. b Wyznacz paramry go procsu. 9

10 Zadan Dany js procs X R gdz są zmnnym losowym nskorlowanym o paramrach 0 D D. Wyznacz paramry go procsu. Zadan 5 Dany js procs X R gdz są zmnnym losowym o paramrach D D 5 cov. Wyznacz paramry go procsu. Zadan 6 Dany js procs X cos v Φ R gdz Φ js zmnną losową o rozkładz jdnosajnym w przdzal < 0;π. Wyznacz paramry go procsu. Zadan 7 Dany js procs X cos v Φ R gdz Φ są zmnnym losowym nzalżnym; ma paramry: 0 D σ zaś Φ ma rozkład jdnosajny w przdzal < 0;π. Wyznacz paramry go procsu. Zadan 8 Wyznaczyć paramry procsu X gdz o nskorlowan zmnn losow o paramrach: ; - D D. Zadan 9 Wyznaczyć paramry procsu o paramrach: 0; 0 macrzy kowarancj X gdz o zmnn losow 0 K. 0 5 Zadan 0 Wyznaczyć paramry procsu X gdz js zmnną losową o rozkładz jdnosajnym w przdzal 0. Jak wyglądają ralzacj go procsu? Kór z ponższych funkcj są ralzacjam go procsu? 0 ; 0 ;. Dla usalonych wyznacz sał k c aby X kx c. 0

11 Zadan Wyznaczyć paramry procsu X gdz js zmnną losową o rozkładz N. Jak wyglądają ralzacj go procsu? Zadan Wyznaczyć paramry procsu X cos gdz o zmnn losowa o rozkładz jdnosajnym w przdzal π π. Zadan Wyznaczyć paramry procsu X sn gdz o zmnn losow nzalżn o rozkładach jdnosajnych w przdzałach odpowdno 05;05 π π.; Zadan Procs X ma ylko ralzacj: ; ;. Ralzacj są przyjmowan odpowdno z prawdopodobńswam: / /; /6. Wyznaczyć paramry go procsu. Zadan 5 Wyznaczyć paramry procsu X Y gdz Y js zmnną losową o paramrach Y m D Y σ. Jak wyglądają ralzacj go procsu? Zadan 6 Wyznaczyć dwuwymarową dysrybuanę procsu cągłą zmnną losową o dysrybuanc F. X Y gdz Y js Zadan 7 Wyznaczyć jdnowymarową gęsość procsu zmnną losową o rozkładz Nm σ. X Y c gdz Y js Zadan 8 Wyznaczyć paramry procsu X gdz o zmnn losow o paramrach: 0; 0 D D ; cov -. Zadan 9 Wyznaczyć paramry procsu X gdz o zmnn losow o paramrach: -; D D ; ρ -05.

12 Zadan 0 Wyznaczyć paramry procsu X gdz o zmnn losow nskorlowan. ma rozkład wykładnczy z paramrm 5 js zmnną losową skokową o funkcj prawdopodobńswa: P - 05; P 05; Zadan Dany js procs X cos R gdz js zmnną losową o rozkładz jdnosajnym w przdzal < 0 ; >. Wyznacz paramry go procsu. Zadan Dany js procs Y f X g gdz f g są funkcjam rzczywsym nlosowym. Wyrazć paramry procsu Y za pomocą paramrów procsu X. Zadan Dany js procs X < 0; > gdz X0 0 X j dla ; j j j... j - nzalżn zmnn losow o jdnakowym rozkładz ak ż j 0 D j np. j N0;. Sprawdź ż m 0 R Zadan Uzasadnj własnośc: K R m m D σ K D 0 gdy T T j j. gdy Tj Tj X X σ Wskazówka. Skorzysaj z odpowdnch własnośc paramrów zmnnych losowych. Odpowdz do zadań Zadan a 7 7 b m 7 R 5

13 06 K funkcja sała 6 0 σ c p Zadan a R F gdz dla każdgo usalongo R funkcja F js dysrybuaną zmnnj losowj : Φ Φ < < < P P P F / Φ js dysrybuaną rozkładu normalngo N0. b 0695 c m 5 R K σ Zadan a np b m R K σ Zadan m 5 R K σ Zadan 5 m 8 R 5 K 5 σ Zadan 6

14 m 0 R cos v K R σ Zadan 7 m 0 R σ cos v K R σ Zadan 8 m K σ ρ Zadan 9 m 0 K 0 5 σ ρ Zadan 0 m 05 K σ ρ k c Zadan Ralzacj o rodzna prosych. m K σ ρ σ Zadan X gdz js zmnną losową skokową o funkcj prawdopodobńswa: P 0 05; P /; P / m K σ ρ 9 9 k c Zadan 5 Ralzacj procsu o sał równ waroścom zmnnj losowj Y. m m K σ σ ρ

15 Zadan 6 F P X < X < P Y < F mn{ gdz } P Y < Y < Zadan 7 W każdj usalonj chwl procs ma rozkład normalny funkcja lnowa N m c σ. rozkładu normalngo ma rozkład normalny Zam Zadan 8 mc σ f. σ π m 0 K R σ Zadan 9 m R 5 σ R Zadan 0 8 m R K σ Zadan m cos R cos cos K cos cos σ cos L.K W.M