1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

Transkrypt

1 Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych, wyznaczanie dziedziny funkcji 1 Udowodni prawo Claviusa 2 Udowodni prawo ( q q) q (r s) r s 3 Rozwi za nierówno± 4 + x 2 > x Wyznacz warto±ci parametrów a, b tak aby liczby 1, 2 byªy pierwiastkami wielomianu 5 Wykaza,»e je»eli a, b, c, d, e R to W (x) = x 3 + ax x + b (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + d) 2 + (d + e) 2 + (e + a) 2 4ab + 4bc + 4cd + 4de + 4ea 6 Rozwi za nierówno± (9x 2 + 2) 3x 1 6(3x 1) 7 Wyznacz warto±ci parametrów a, b tak aby liczba 1 byªa dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 3 + ax 2 x + b 8 Rozwi za równanie x x = 0 9 Która z liczb jest wi ksza a) 3 25 czy 4 125, b) 27 3 czy 243, c) ( 2 ) π czy Rozwi za równania i nierówno±ci: a) 25 x x + 5 = 0, b) 2 x x 1 9 0, c) ( 6) x+1 > ( 3 6) x, d) (5 5) x = 004 (125) x 2 11 Rozwi za nierówno± 4 + x 2 > x Dla jakiej warto±ci parametru m równanie ma dwa ró»ne rozwi zania a) 3 x = m, b) (25) x m 5 x m = 0 13 Naszkicowa wykres funkcji f(x) = 2 x 4 + 1, a nast pnie okre±li liczb pierwiastków równania f(x) = k 2 w zale»no±ci od warto±ci parametru k 14 Znale¹ najwi ksz liczb x dla której zachodzi równo± ( 3 x y ( 4) 3 ) y x 4 = 7 12 i nierówno± xy + y 9 15 Wyznacz te warto±ci parametru m, dla których równanie (0, 5) x2 mx+0,5m 1,5 = ( 8) m 1 ma dwa ró»ne pierwiastki dodatnie 16 Wyznaczy te warto±ci parametru k, dla których iloczyn ró»nych pierwiastków równania 5 x kx+k+1 25 k(k 1) = 0 jest najmniejszy 5 x( x 1)

2 17 Naszkicowa wykres funkcji, która ka»dej warto±ci parametru m przypisuje liczb pierwiastków równania (m 1)4 x 4 2 x + m + 2 = 0 18 Rozw za równanie 4 x + 6 x = 2 9 x ( 19 Rozwi za nierówno± 2 + ) x ( x 3) < 4 20 Rozwi za nierówno± (4x 2 + 2) 2x 1 < 6(2x 1) 21 Wyznacz warto±ci parametrów a, b tak aby liczba 2 byªa dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 3 + ax 2 + bx Rozwi za równanie 36 x x + 6 = 0

3 2 Obliczania granic ci gów, obliczanie granic funkcji z uwzgl dnieniem granic specjalnych, badanie zbie»no±ci szeregów Zbada monotoniczno± ci gu 34 Zbada monotoniczno± ci gu 35 Zbada monotoniczno± ci gu a n = n a n = n a n = 2015n n + 1

4 36 Obliczy granice: a) b) c) d) e) 37 Obliczy 38 Obliczy 39 Obliczy 40 n n 5n 4 + 3n 2 n 12, 7n 4 n n + 1 n, n n 3n + 4 n, n ( ) 3 n+1, n 3 n (cos n 2 3)n 2 n 17n + 11 n n 11n + 17 n n 2015n + 31 n n n 2014n n n n + 30 n n 4n

5

6 46 Obliczy granice: a) b) c) d) e) f) g) h) 47 Obliczy granice x a) 2 2x+1 + x, x 1 x 3 x 2 sin x, x 0 x 2 b) c) x x2 + 3x x, x 5 x 2 1 x 1 d) x 0 x 2 4x + 4 x 2 x 3 4x, 15 sin x + 20 arctg15x + tg 20x, 2 tg x + 9 sin 2x 1 cos x x 0 sin x, x 4 + 5x 5x, x e x e x 1 x 1, 3 x 1 2x x 2 1, x x x, x x 0 ln(x + 3) ln 3 3x 48 Obliczy granice 2 x 3x+1 x 1 a) 3 sin x, x 0 x 3 b) c) x d) x 3 5x + 7x, x2 + 4x + 1 x, 2x 3 x 2 1 x 1 49 Dla jakich warto±ci parametru a funkcja jest ci gªa w punkcie x 0 = 1 { 5x 2 10x+5 dla x 1 f(x) = 2x 2 3x+1 a + 1 dla x = 1 50 Dla jakich warto±ci parametru a funkcja jest ci gªa w punkcie x 0 = 2 { 5x 2 20x+20 dla x 2 f(x) = 3x 2 11x+10 a + 3 dla x = 2 51 Zbada zbie»no± szeregów:

7 a) b) c) d) e) n, 12 n n!, 12 n (log n) n, ( 1 n 1 ), n + 1 ( ) 1 + ( 1) n n 52 Pokaza,»e je±li szereg a n jest zbie»ny, to a n = 0 n 53 Sprawdzi warunek konieczny zbie»no±ci szeregów Co na tej podstawie mo»na wnioskowa o zbie»no±ci szeregu? a) n 11n 5 + 3n 2 n, b) 4 2 n2 + 2n n n 2, c) 54 Korzystaj c z kryterium Cauchy'ego zbada zbie»no± szeregów a) n 6 n, b) 5n+17 n=2 5 (log n) n, c) 55 Korzystaj c z kryterium D'Alamberta zbada zbie»no± szeregów a) n! 2 n, b) n 3n (3n 1)!, c) 56 Korzystaj c z kryterium porównawczego zbada zbie»no± szeregów a) 7 + n 1 + n 3, b) 57 Zbada zbie»no± szeregu a n o wyrazie ogólnym: a) a n = n+2 n 2 n+1, n 3 2 n + 3 n + 5 n, c) b) an = 2 n 1 n, c) 2 +2 an = ( 1 n n 2 +3n n (arctgn) n 2 n+1 n 2 7 n 2 n+7 ( ) 4n 2n 1 4n 1 sin 1 n 2 ), d) an = n+3 n+1 n+2, e) a n = n11 11 n, f) a n = 2014n n!, g) a n = (n!)3 (3n)!, n (n!)2 4 h) an = (2n)!, i) a n = 3n n!, j) a n n n = ( 3n+5 4n+5 ) n 4, k) a n = ( n+1 m) a n = ( 1) n n+3 n 2, n) a n = ( 1) n ( 1 n 1 n+1 58 Wykaza,»e dla ka»dego x > 0 zbie»ny jest szereg ( ) n ) n2 1+( 1), l) a 5 n n = n n π, ), r) an = ( 1) n ( n 2 1), s) a n = ( 1)n 3 n n=0 x n n!

8 59 Znale¹ szereg a n o wyrazach dodatnich, taki,»e a n jest zbie»ny, ale a n ln n jest rozbie»ny do niesko«czono±ci n=2 60 Zbada zbie»no± szeregu a n o wyrazie ogólnym: 61 Zbada zbie»no± : n=2 n=2 n a) a n = 150 log n, b) a 1 n = log(n!), c) a n = n=2 log(log n)

9 3 Obliczanie pochodnych funkcji zªo»onych, pisanie równa«prostych stycznych do wykresu funkcji, wyznaczanie przedziaªów monotoniczno±ci funkcji, wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji jednej zmiennej Badanie istnienia asymptot Denicja K tem α przeci cia si dwóch krzywych gªadkich y = f(x), y = g(x) w punkcie (x 0, f(x 0 )), gdzie (x 0, f(x 0 )) = (x 0, g(x 0 )), nazywamy k t ostry przeci cia si stycznych do danych krzywych w punkcie (x 0, f(x 0 )) Tangens tego k ta liczymy ze wzoru tg α = f (x 0 ) g (x 0 ) 1 + f (x 0 )g (x 0 ) gdy 1 + f (x 0 )g (x 0 ) 0 Je»eli 1 + f (x 0 )g (x 0 ) = 0 to α = π 2 66

10 Napisa równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = 1 w punkcie (1, 1) 71 Napisa równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x + 1 w punkcie (1, 2) 72 Napisa równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x 2 + x + 1 w punkcie (1, 3) 73 Napisa równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x 3 + x 2 + x + 1 w punkcie (1, 4) 74 Napisa równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = sin x w punkcie ( π 6, 1 2 ) 75 Napisa równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = cos x w punkcie ( π 6, 3 2 ) 76 Napisa równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = tg x w punkcie ( π 4, 1) 77 Napisa równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = arctg x w punkcie (1, π 4 ) 78 Obliczy pochodne funkcji a) x ln x + e x3 +5x+6, b) x cos(x+1), c) arctg x x+3 + ex2 + tg x, d) 1 + sin 2 x + cos 2 x

11 e) (x + 2) 3 + 4x 2 + x Wykaza,»e arctg(x 1) = π 4 2 x arctg x, dla x (0, ) 80 Zbada i naszkicowa wykres funkcji f(x) = ln(x + 4) x Obliczy pochodne funkcji a) x x + ln(e x+1 + x 3 + 5x + 6), b) x 2 +6x+10 2+sin(x+1), c) arctg x x+2 + ex3 + cos x + sin x, d) x + sin 2 x + cos 2 x 82 Obliczy pochodne funkcji a) x x+1 + ln(e x + x 2 + 5x + 6), b) x 2 +4x+5 2+cos(x+1), c) arctg x x+1 + ex2 + cos x sin x, d) sin 2 x + cos 2 x 83 Obliczy granice: a) b) c) d) e) f) 8 x 3 x 2 x 2 4, x cos x, 2x ( 2 x 0 x 2 ), sin x x 0 (tg 2x) tg 2x, x 0 + ln(2x + 7) ln 7, 14x 11 x 1 x x 2 1

12 84 Obliczy pochodne funkcji a) sin 2 x + cos 2 x, b) 2x, c) (arccosx)(log a x), d) e x2, e) tg 5 x + sin 6 x + cos 4 x + ln 3 x + x 2 + x + 1, f) x sin x g) (x + 10) x 2 + 2x Wyznacz przedziaªy monotoniczno±ci oraz ekstrema lokalne funkcji 2 5 x5 2 3 x Wykaza,»e 87 Wykaza,»e sin(x 2 ) x 2, dla x R sin x x, dla x 0 88 Zbada i naszkicowa wykres funkcji 89 Zbada i naszkicowa wykres funkcji f(x) = ln(x + 1) x + 1 f(x) = ln(3x) x Wykaza,»e 91 Zbada i naszkicowa wykres funkcji e x x + 1, dla x 0 f(x) = e x2 92 Zbada i naszkicowa wykresy funkcji 93

13

14

15 113

16 4 Obliczanie caªek nieoznaczonych wybranych typów funkcji, caªkowanie przez cz ±ci i caªkowanie przez podstawienie

17

18 5 Obliczanie caªek oznaczonych, obliczanie za pomoc caªek pól obszarów na pªaszczy¹nie

19 6 Mno»enie macierzy, obliczanie wyznaczników, wyznaczanie macierzy odwrotnej, wyznaczanie rz du macierzy, rozwi zywanie ukªadu równa«liniowych 121 Stosuj c rozwini cie Laplace'a obliczy podany wyznacznik Sprawdzi czy ukªad jest ukªadem Cramera i w oparciu o twierdzenie Cramera znale¹ rozwi zania tego ukªadu 4x 1 x 2 + 2x 3 = 3 3x 1 + 2x 2 x 3 = 3 2x 1 3x 2 + 5x 3 = W oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capelliego uzasadni,»e ukªad x x 2 + 3x 3 + 3x 4 = 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 5 3x 1 5x 2 x 3 + x 4 = 2 jest sprzeczny 124 Wyznaczy macierz odwotn do macierzy A = Stosuj c rozwini cie Laplace'a obliczy podany wyznacznik W oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capelliego uzasadni,»e ukªad x x 2 + 3x 3 + 3x 4 = 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 5 3x 1 5x 2 x 3 + x 4 = 2 jest sprzeczny 127 Sprawdzi czy ukªad jest ukªadem Cramera i w oparciu o twierdzenie Cramera znale¹ rozwi zania tego ukªadu 128 Wyznaczy macierz odwotn do macierzy 4x 1 x 2 + 2x 3 = 3 3x 1 + 2x 2 x 3 = 3 2x 1 3x 2 + 5x 3 = 8 A =

20 7 Obliczanie dªugo±ci wektora, obliczanie iloczynu skalarnego, wektorowego i mieszanego, obliczanie pola trójk ta i ob j to±ci czworo±cianu Wyznaczanie równa«pªaszczyzn i prostych w przestrzeni, badanie wza jemnego poªo»enia i obliczanie odlegªo±ci punktów, prostych i pªaszczyzn w przestrzeni

21

22 8 Odwzorowania liniowe

23 9 Przykªadowe zadania na egzamin 144 Rozwi za ukªad równa«liniowych x + 2y z + 3t + w = 2 4x y + z 2t + w = 1 6x + 3y z + 4t + 3w = 5 2x + 5y 3z + 8t + w = Napisa równanie prostej przechodz cej przez punkt (1, 1, 1), tworz cej z wektorami u = [0, 3, 4], v = [12, 9, 0] jednakowe k ty oraz le» cej w pªaszczy¹nie wyznaczonej przez te wektory 146 Wyznaczy ekstrema lokalne i przedziaªy monotoniczno±ci funkcji 147 Wyznaczy asymptoty funkcji ( f(x) = x 2 x+1 ) 1 3 f(x) = e 1 x 2 2x 148 0bliczy 2 1 2x 4 5x 3 +9x 2 1 2x 3 x 2 dx 149 Zestaw 1

24 150 Zestaw 2