Funkcje wielu zmiennych

Transkrypt

1 dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu ( 0, y 0 Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl dem zmiennej w punkcie ( 0, y 0 okre±lamy wzorem: ( f( 0 + t, y 0 f( 0, y 0 0, y 0 := lim t 0 t Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl dem zmiennej y w punkcie ( 0, y 0 okre±lamy wzorem: y ( f( 0, y 0 + t f( 0, y 0 0, y 0 := lim t 0 t Je»eli funkcja f(, y posiada pochodne cz stkowe w ka»dym punkcie zbioru otwartego D to funkcje (, y, (, y nazywamy pochodnymi cz stkowymi pierwszego rz du funkcji f w zbiorze D y Uwaga 2 Pochodna cz stkowa (, y jest pochodn funkcji f(, y, gdzie zmienna y traktowana jest jako staªa Analogicznie mo»na interpretowa pochodn cz stkow (, y : d (, y = d [f(, y y=const]; d (, y = y d y [f(, y =const] Zatem obliczanie pochodnych cz stkowych mo»na wykonywa z wykorzystaniem znanych reguª ró»- niczkowania Pami taj c,»e przy obliczaniu pochodnej cz stkowej wzgl dem (symbol (, y lub f (, y nale»y uwa»a y za staªa, a przy obliczaniu pochodnej cz stkowej wzgl dem y (symbol (, y lub f y y(, y nale»y uwa»a za staªa Denicja 3 Pochodne cz stkowe rz du drugiego funkcji dwóch zmiennych f(, y które oznaczamy symbolami 2 f, 2 f, 2 f, 2 f nazywamy pochodne cz stkowe jej pochodnych cz stkowych, tzn 2 y y y 2 y = (, 2 y = (, y y = (, y y = ( 2 y y U»ywamy nast puj cych oznacze«: 2 = f, y = f y, y = f y, Twierdzenie 4 (Schwarza o równo±ci pochodnych mieszanych Je»eli w otoczeniu punktu (, y pochodne cz stkowe (MIESZANE tym punkcie, to s równe: y (, y = 2 f (, y y 1 2 f y, y 2 = f yy y istniej i s ci gªe w

2 dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Denicja 5 (ró»niczkowalno± funkcji dwóch zmiennych w punkcie Funkcj f : D R, D R 2 okre±lon na otoczeniu punktu ( 0, y 0 D nazywamy ró»niczkowaln w punkcie ( 0, y 0, je»eli istnieje taki wektor (a 1, a 2 R 2,»e f(, y f( 0, y 0 a 1 ( 0 a 2 (y y 0 lim = 0 (,y ( 0,y 0 ( (y y 0 2 Twierdzenie 6 Je»eli funkcja f : D R 2 R jest ró»niczkowalna w punkcie ( 0, y 0, to istniej pochodne cz stkowe f ( 0, y 0, f y( 0, y 0 oraz Zatem na mocy denicji 5 i twierdzenia 6 mamy a 1 = f ( 0, y 0 a 2 = f y( 0, y 0 Fakt 7 Niech funkcja f : D R, D R 2 b dzie okre±lona na otoczeniu punktu ( 0, y 0 D oraz istniej pochodne cz stkowe ( 0, y 0, ( y 0, y 0 Wówczas funkcja f(, y jest ró»niczkowalna w punkcie ( 0, y 0, gdy: lim (,y ( 0,y 0 f(, y f( 0, y 0 ( 0, y 0 ( 0 ( y 0, y 0 (y y 0 = 0 ( (y y 0 2 Twierdzenie 8 Funkcja ró»niczkowalna w punkcie ( 0, y 0 jest w tym punkcie ci gªa Denicja 9 (ró»niczka zupeªna funkcji dwóch zmiennych Niech funkcja f : D R 2 R b dzie okre±lona i ró»niczkowalna na otoczeniu punktu ( 0, y 0 D Ró»niczk zupeªn funkcji f w punkcie ( 0, y 0 nazywamy wyra»enie: df( 0, y 0 (d, dy def = ( 0, y 0 d + y ( 0, y 0 dy, (1 gdzie d, dy to dowolne przyrosty odpowiednio zmiennych i y Fakt 10 (równanie pªaszczyzny stycznej do powierzchni Niech funkcja f(, y b dzie ró»niczkowalna w punkcie ( 0, y 0 Wówczas dowolny wektor normalny pªaszczyzny [ stycznej do wykresu ] funkcji f w punkcie ( 0, y 0, f( 0, y 0, jest postaci n = ( 0, y 0, ( y 0, y 0, 1, a równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie ( 0, y 0 wyra»a si wzorem: ( 0, y 0 ( 0 + y ( 0, y 0 (y y 0 ( z f( 0, y 0 = 0 (2 Fakt 11 (równanie prostej normalnej do powierzchni Niech funkcja f(, y b dzie ró»niczkowalna w punkcie ( 0, y 0 Prost przechodz c przez punkt ( 0, y 0 i prostopadª do pªaszczyzny stycznej nazywamy normaln do powierzchni w punkcie ( 0, y 0, f( 0, y 0 Prosta normalna ma nast puj ce przedstawienie parametryczne: = 0 + ( 0, y 0 t y = y 0 + y ( 0, y 0 t t R z = f( 0, y 0 t, 2

3 dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Denicja 12 (pochodna kierunkowa Niech funkcja f : D R 2 b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu ( 0, y 0 D Wówczas pochodn kierunkow funkcji f w kierunku wektora jednostkowego(wersora [ h] = [h 1, h 2 ] okre±lamy wzorem: h ( 0, y 0 def f( 0 + th 1, y 0 + th 2 f( 0, y 0 = lim t 0 + t Stosowa b dziemy równie» oznaczenie f h ( 0, y 0 Denicja 13 Niech funkcja f : D R 2 posiada w punkcie ( 0, y 0 D pochodne cz stkowe, y Gradientem (oznaczenie ffunkcji f(, y w punkcie ( 0, y 0 nazywamy wektor : f( 0, y 0 def = [ ( 0, y 0, ] y ( 0, y 0 Twierdzenie 14 Je»eli funkcja f : D R 2 ma w otoczeniu punktu ( 0, y 0 D ci gªe pochodne cz stkowe pierwszego rz du, to: h ( 0, y 0 = f( 0, y 0 h = ( 0, y 0 h 1 + y ( 0, y 0 h 2 Twierdzenie 15 Je»eli funkcja f : D R 2 ma w punkcie ( 0, y 0 D ci gªe pochodne cz stkowe pierwszego rz du, to: h ( 0, y 0 = f( 0, y 0 [cos α, cos β] = ( 0, y 0 cos α + y ( 0, y 0 cos β, gdzie α, β to k ty jakie tworzy wektor h kolejno z osiami O i Oy Ponadto cos 2 α + cos 2 β = 1, wi c cos β = sin α W podobny sposób deniujemy gradient i pochodn kierunkow funkcji trzech zmiennych Uwagi dotycz ce ró»niczkowalno±ci funkcji f : D R 2 f nie jest ró»niczkowalna w punkcie ( 0, y 0 D je»eli: w punkcie ( 0, y 0 D Funkcja 1 nie jest okre±lona na otoczeniu punktu ( 0, y 0 ; 2 nie jest ci gªa w punkcie ( 0, y 0 D; 3 nie istnieje przynajmniej jedna z pochodnych cz stkowych ( 0, y 0, okre±lona w punkcie ( 0, y 0 i ci gªa w tym punkcie; y ( 0, y 0 (chocia» jest 4 nie istnieje pochodna kierunkowa dla pewnego wektora h = [h 1, h 2 ] (chocia» funkcja jest ci gªa i wszystkie pochodne cz stkowe mog istnie ; 5 dla ka»dego h = [h 1, h 2 ] istnieje pochodna kierunkowa f h ( 0 ale nie jest funkcj liniow ; 6 dla ka»dego h = [h 1, h 2 ] istnieje pochodna kierunkowa f h ( 0 oraz jest funkcj liniow, ale nie jest speªniony warunek lim (,y ( 0,y 0 f(,y f( 0,y 0 ( 0,y 0 ( 0 y ( 0,y 0 (y y 0 ( 0 2 +(y y 0 2 = 0 3

4 dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Denicja 16 Funkcj f : D R 2 R, gdzie D jest obszarem nazywamy klasy C p w zbiorze D (piszemy f C p (D je»eli posiada w zbiorze D wszystkie pochodne cz stkowe do rz du p wª cznie Denicja 17 Niech funkcja f : D R 2 R b dzie klasy C p (D Drug,, n-t ró»niczk funkcji f w punkcie (, y b dziemy oznacza poprzez d 2 f(, y(d, dy,, d n f(, y(d, dy i deniowa wzorami: ( ( d 2 f(, y(d, dy = d df(, y(d, dy,, d n f(, y(d, dy = d d n 1 f(, y(d, dy Zatem : oraz d 2 f(, y(d, dy = 2 f (, 2 y(d f y (, yd dy + 2 f (, y(dy2 y2 d n f(, y(d, dy = n ( n n f k k y (, n k y(dk (dy n k (3 k=0 Twierdzenie 18 (wzór Taylora z reszt Lagrange'a Niech f : D R 2 R, gdzie D jest obszarem zawieraj cym odcinek o ko«cach P 0 = ( 0, y 0, P 1 = ( 0 + h 1, y 0 + h 2 Je±li funkcja f C n (D, to istnieje θ (0, 1 taka,»e f( 0 + h 1, y 0 + h 2 = f( 0, y 0 + df( 0, y 0 (h 1, h ! d2 f( 0, y 0 (h 1, h Ekstrema lokalne 1 (n 1! dn 1 f( 0, y 0 (h 1, h n! dn f( 0 + θh 1, y 0 + θh 2 (h 1, h 2, Denicja 19 Mówimy,»e funkcja f(, y posiada w punkcie ( 0, y 0 maksimum (minimum lokalne, je»eli istnieje otoczenie O punktu ( 0, y 0 takie,»e dla ka»dego punktu (, y O(( 0, y 0, δ speªniona jest nierówno± : ( f(, y f( 0, y 0 f(, y f( 0, y 0 (4 Tak jak w rachunku funkcji jednej zmiennej minima i maksima lokalne funkcji dwóch zmiennych nazywamy ekstremami lokalnymi Twierdzenie 20 (warunek konieczny ekstremum funkcji wielu zmiennych Niech f : D R 2 R, gdzie D jest obszarem Je»eli funkcja f(, y jest ci gªa wraz ze swoimi pochodnymi cz stkowymi w otoczeniu punktu ( 0, y 0 D oraz osi ga w tym punkcie ekstremum lokalne to: ( 0, y 0 = 0, oraz y ( 0, y 0 = 0 (5 Twierdzenie 21 Niech wyznacznik pochodnych cz stkowych drugiego rz du funkcji f, w punkcie ( 0, y 0 tzw wyznacznik Hessa (hesjan, oznaczymy przez 2 : ( 2 = 2 0, y 0 2 f ( y 0, y 0 2 f ( y 0, y 0 2 f ( y 2 0, y 0 4

5 dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Je»eli funkcja f(, y posiada pochodne cz stkowe rz du drugiego na otoczeniu punktu ( 0, y 0 oraz obie pochodne cz stkowe pierwszego rz du w tym punkcie s równe zeru ( 0, y 0 = 0, y ( 0, y 0 = 0 Wówczas: a je±li 2 > 0 oraz 1 = 2 f 2 ( 0, y 0 > 0, to w punkcie ( 0, y 0 funkcja f ma wªa±ciwe minimum lokalne; b je±li 2 > 0 oraz 1 < 0, to w punkcie ( 0, y 0 funkcja f ma wªa±ciwe maksimum lokalne; c je»eli 2 < 0, to w punkcie( 0, y 0 funkcja f nie ma ekstremum lokalnego d je»eli 2 = 0 to badanie istnienia ekstremum w punkcie ( 0, y 0 przeprowadzamy innymi metodami W przypadku funkcji wi cej ni» dwóch zmiennych w celu znalezienia ekstremów lokalnych mo»emy stosowa równie» nast puj ce twierdzenia 24 i 25 Denicja 22 Niech f : D R, gdzie D jest otwartym podzbiorem w R k, gdzie k 2 Je»eli funkcja f ma ci gªe pochodne cz stkowe drugiego rz du w punkcie D, to funkcj : d 2 f((h = nazywamy form kwadratow funkcji f k i,j=1 Denicja 23 Form kwadratow d 2 f((h nazywamy: i j (h i h j, gdzie h R k (6 dodatnio okre±lon je»eli d 2 f((h > 0 dla ka»dego niezerowego h R k ; ujemnie okre±lon je»eli d 2 f((h < 0 dla ka»dego niezerowego h R k ; nieokre±lon je»eli przyjmuje warto±ci zarówno dodatnie jak i ujemne Twierdzenie 24 Niech f : D R, gdzie D jest otwartym podzbiorem w R k, gdzie k 2 Je-»eli funkcja f C 2 (D, 0 D ma ci gªe pochodne cz stkowe drugiego rz du w punkcie 0 D, i ( 0 = 0, dla i = 1, 2, k, wówczas: je»eli d 2 f( 0 (h jest form dodatnio okre±lon, to funkcja f ma w punkcie 0 wªa±ciwe minimum lokalne; je»eli d 2 f( 0 (h jest form ujemnie okre±lon, to funkcja f ma w punkcie 0 wªa±ciwe maksimum lokalne; je»eli d 2 f( 0 (h jest form nieokre±lon, to funkcja f ma w punkcie 0 nie posiada ekstremum lokalnego 5

6 dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Twierdzenie 25 (kryterium Sylwestera Niech d 2 f((h = k i,j=1 Wówczas forma d 2 f( 0 (h jest: i j (h i h j, b dzie forma kwadratow Rozwa»my macierz: A = 1 1 ( 0 k 1 ( 0 1 k ( 0 k k ( 0 dodatnio okre±lona je»eli wszystkie minory gªówne A i, i = 1, 2,, k macierzy A s dodatnie ujemnie okre±lona je»eli minory gªówne speªniaj warunki A 1 < 0, A 2 > 0, A 3 < 0, A 4 > 0, nieokre±lona w pozostaªych przypadkach Algorytm wyznaczania ekstremów globalnych (absolutnych funkcji dwóch zmiennych w obszarze domkni tym: 1 Wyznaczamy punkty krytyczne na istnienie ekstremów lokalnych wewn trz obszaru otwartego; 2 Wyznaczamy szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie ekstrema warunkowe W tym celu skªadamy funkcj dwóch zmiennych z funkcj okre±laj c brzeg obszaru (brzeg nale»y podzieli na sum cz ±ci, które mo»na opisa równaniami y = ϕ( lub = ψ(y 3 Porównujemy warto±ci funkcji w powy»szych punktach i ustalamy warto± najmniejsz i najwi ksz w tym obszarze domkni tym Twierdzenie 26 (metoda mno»ników Lagrange'a Niech f : D R n R Je»eli funkcja f( 1, 2,, n przy k (gdzie k < n warunkach postaci: g 1 ( 1, 2,, n = 0, g 2 ( 1, 2,, n = 0, g k ( 1, 2,, n = 0 (7 posiada w punkcie ( 1, 2,, n ekstremum lokalne, to istniej takie mno»niki λ 1,, λ k R,»e 1 ( 1, 2,, n + λ ( 1, 2,, n + + λ k k 1 ( 1, 2,, n = 0, 2 ( 1, 2,, n + λ ( 1, 2,, n + + λ k k 2 ( 1, 2,, n = 0, n ( 1, 2,, n + λ 1 1 n ( 1, 2,, n + + λ k k n ( 1, 2,, n = 0 Algorytm wyznaczania ekstremów warunkowych Niech f : D R n R Chc c wyznaczy ekstrema warunkowe funkcji f( 1, 2,, n przy k warunkach postaci (7 nale»y szuka punktów 1, 2,, n, w których mog istnie ekstrema lokalne funkcji: Φ( 1, 2,, n := f( 1, 2,, n + λ 1 g 1 ( 1, 2,, n + + λ k g k ( 1, 2,, n, 6

7 dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 gdzie λ 1,, λ k R s czynnikami (mno»nikami staªymi W tym celu z ukªadu n + k równa«: Φ 1 ( 1, 2,, n = 0, Φ n ( 1, 2,, n = 0, g 1 ( 1, 2,, n = 0, g k ( 1, 2,, n = 0 z n + k niewiadomymi 1, 2,, n, λ 1,, λ k wyznaczamy 1, 2,, n Twierdzenie 27 (twierdzenie o funkcji uwikªanej Niech funkcja F (, y b dzie okre±lona na otoczeniu punktu ( 0, y 0 Ponadto niech na otoczeniu tego punktu posiada ci gªe pochodne cz stkowe, y oraz F ( 0, y 0 = 0 i y ( 0, y 0 0 Wówczas: a w pewnym otoczeniu punktu 0 istnieje dokªadnie jedna funkcja y = y( speªniaj ca warunki y 0 = y( 0 i F (, y = 0 dla ka»dego z tego otoczenia; b funkcja y = y( jest ci gªa w pewnym otoczeniu punktu 0 i ma w nim ci gª pochodn dan wzorem: dy d = Uwaga 28 Dla funkcji uwikªanej trzech zmiennych F (, y, z o ile funkcja F jest ci gªa, posiada ci gªe pochodne cz stkowe,, oraz y z F ( 0, y 0, z 0 = 0 i y z ( 0, y 0, z 0 0, to w pewnym otoczeniu punktu ( 0, y 0 funkcja z = z(, y ma ci gªe pochodne cz stkowe pierwszego rz du, które wyra»aj si wzorami dz d =, z dz dy = y z Zadania 1 Wyznacz dziedziny naturalne funkcji: (a f(, y, z = 2 y 3 z sin y; (b f(, y = y 2 1; (c f(, y = 2 sin +y 3 1 ; 2 +y 2 9 (d f(, y = ln(4 + y; (e f(, y = arcsin +y (f f(, y, z = ln( 1 2 y 2 + z 2 7

8 dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 ( 2 Pokaza,»e dla funkcji f(, y = y granice iterowane lim +y 0 1 oraz nie istnieje granica lim f(, y lim f(, y y 0 = 1, lim y 0 ( lim f(, y = 0 ( ( 3 Pokaza,»e dla funkcji f(, y = 2 y 2 granice iterowane lim lim f(, y, lim lim f(, y 2 y 2 +( y 2 0 y 0 y 0 0 istniej i s równe, a nie istnieje granica lim f(, y ( ( 4 Pokaza,»e dla funkcji f(, y = (+y sin 1 sin 1 granice iterowane lim lim f(, y, lim lim f(, y y 0 y 0 y 0 0 nie istniej, a istnieje granica lim f(, y 5 Oblicz (o ile istniej granice: +y (a lim (b lim (,y (, 2 y+y 2 ( 2 (c lim y (d lim (e (g (i (,y (,a lim lim (,y (, 4 sin(y 2y (f lim 2 y 2 2 +y 2 (h lim lim ( y y 2 (j lim (,y (, 2 +y 2 4 +y y 2 1 cos( 2 +y 2 ( 2 +y 2 2 y 2 2 +y 4 2 +y 4 4 +y 2 6 Znale¹ punkty{ nieci gªo±ci (o ile istniej podanych funkcji: y { dla (, y (0, 0 (a f(, y = 2 +y y (b f(, y = 2 dla 2 + y 2 < 1 0 dla (, y = (0, 0 0 dla 2 + y 2 1 (c f(, y = { 3 y 3 2 +y 2 dla (, y (0, 0 0 dla (, y = (0, 0 (d f(, y = { 2 + y 2 dla 0 2 dla < 0 (e f(, y, z = { sin +sin y +sin z + y + z dla (, y, z (0, 0, 0 1 dla (, y, z = (0, 0, 0 7 Na podstawie denicji oblicz pochodne cz stkowe pierwszego rz du podanych funkcji w punkcie (0, 0 : (a f(, y = { 2 + y 2 dla y = 0 0 dla y 0; ; (b f(, y = y 3 ; (c f(, y = { 2 2 +y 2 1 dla (, y = (0, 0 0 dla (, y (0, 0 { y dla (, y (0, 0 8 Poka»,»e funkcja f(, y = 2 +y 2 posiada pochodne cz stkowe pierwszego rz du w ka»dym punkcie (, y R 2, ale nie jest ci gªa w punkcie (0, 0 dla (, y = (0, 0 0 8

9 dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja Oblicz pochodne cz stkowe pierwszego rz du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»- niczkowania: (a f(, y = 2 y 3 sin y; (b f(, y, z = 5 y 10 3 sin z + y 2 e z ; (c f(, y = y ; (d f(, y = (ln sin y ; (e f(, y, z = (2 + 3z yz ; (f f(, y, z = y z ; (g f(, y = ln sin( 2y; (h f(, y = (1 + y y ; (i f(, y = ye +y ; (j f(, y = ln( y 2 ; (k f(, y = ( + y ln 2 (1 y; (l f(, y = ln y 5+2y ln ; (m f(, y = e 3 arctg(y; (n f(, y = arcsin 2 y 2 (o f(u, v = ln(u 2 + v 2, gdzie u = y, v = y ; 2 +y 2 ; (p f(u, v = u2 v uv 2, gdzie u = sin y, v = y; 10 Oblicz pochodne cz stkowe drugiego rz du podanych funkcji: (a f(, y = 1 2 ln(2 + y 2 ; (b f(, y = arctg +y ; 1 y (c f(, y = sin y; (d f(, y = sin( + y + y cos( + y; (e f(, y, z = e yz ; (f f(, y, z = 2 + y 2 + z 2 11 Oblicz gradient podanej funkcji w podanym punkcie: (a f(, y = 5 2 y 3y 3 + y 4, ( 0, y 0 = (1, 2; (b f(, y = sin (π 2 + y 2 ( 0, y 0 = (3, 4; (c f(, y, z = y3 z 2 ( 0, y 0, z 0 = ( 2, 1, 3 12 Oblicz pochodn kierunkow podanej funkcji w punkcie ( 0, y 0 i okre±lonym kierunku (gdzie α to k t jaki tworzy wektor h z osi O: (a f(, y = y 2 + ln(y, ( 0, y 0 = (2, 1, h = [1, 1] (b f(, y = 2 + y + 3y 1, ( 0, y 0 = (1, 1, w kierunku punktu ( 1, y 1 = (2, 1; (c f(, y = 3 y 2, ( 0, y 0 = (0, 0, h = [ 2, 2 ]; 2 2 (d f(, y = y + y 3, ( 0, y 0 = (1, 2, α = 135 o ; (e f(, y = y, ( 0, y 0 = (1, 1, w kierunku wektora najszybszego wzrostu 13 Zbadaj ró»niczkowalno± { funkcji f(, y w punkcie (0, 0 : y 3 3 dla (, y (0, 0 (a f(, y = 2 +2y 2 0 dla (, y = (0, 0; ; (b f(, y = 3 y; { y dla (, y (0, 0 (c f(, y = y ; (d f(, y = 2 +y 2 0 dla (, y = (0, 0 (e f(, y = 2 3 y w punkcie (1, 0; (f f(, y = 3 y y 14 Zbadaj ci gªo± funkcji f(, y, istnienie i ci gªo± pochodnych cz stkowych oraz ró»niczkowalno± funkcji danej { wzorem: 3 +y 4 dla (, y (0, 0 (a f(, y = 2 +y 2 0 dla (, y = (0, 0; ; (b f(, y = 4 + y 4 ; 15 Napisz ró»niczk zupeªn podanych funkcji: (a f(, y = ; (b f(, y = ln tg( + y; 2 +y2 (c f(, y = ln 2 + y 2 ; w ( 0, y 0 = ( 4, 3 (d f(, y = sin( + z + z cos( + y; 9

10 dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja Napisz równanie pªaszczyzny stycznej i prostej normalnej do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: (a f(, y = 2 + y + y 2, P 0 = (0, 1, z 0 ; (b f(, y = sin + cos( + y, P 0 = ( π 6, π 6, z 0; (c f(, y = 2 2 y2, P 0 = (2, 1, z 0 ; (d f(, y = y ln(2 + 2 y y 2, P 0 = (2, 1, z 0 17 Korzystaj c z ró»niczki funkcji oblicz przybli»one warto±ci podanych wyra»e«: (a 1, 07 3,97 ; (b 0, , 01 3 ; (c arctg 1,02 0,95 (d ln(0, , 99 3 ; (e sin 29 o sin 46 o, zakªadaj c,»e π = 3142; (f cos 2, 36 arctan 0, ,05 ; 18 Rozwa»my cztery funkcje f 1 (, y = 2, f 2 (, y = 2 + y, f 3 (, y = 2 + y 3, f 4 (, y = 2 + y 4 o nieujemnie okre±lonych i ró»nych formach kwadratowych w punkcie (0, 0 Która z funkcji w punkcie (0, 0 : a posiada wªa±ciwe ekstremum lokalne; b posiada niewªa±ciwe ekstremum lokalne; c nie posiada ekstremum lokalnego, chocia» punkt (0, 0 jest punktem krytycznym; d punkt (0, 0 nie jest punktem krytycznym 19 Znajd¹ wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych: (a f(, y = 2 y + y y + 20; (b f(, y = 4 + y 4 2 2y y 2 ; (c f(, y, z = 2( 3 + y + yz 2 + y 2 + z 2 ; (d f(, y, z = 3 +y 3 +z 2 +12y+2z; (e f(, y = y + 5 ; (f f(, y = e 2 ( + y 2 (g f(, y = 2 + y 2 4y 2 ; (h f(, y = 2 y 2y 2 + y 5 20 Wyznacz najwi ksz i najmniejsz warto± funkcji f(, y = 2 y(2 y w trójk cie domkni tym ograniczonym prostymi = 0, y = 0, + y = 6 21 Wyznacz najwi ksz i najmniejsz warto± funkcji f(, y = 2 y w obszarze domkni tym ograniczonym krzywymi y = e 2, y = e, y = e 2 22 Wyznacz najmniejsz i najwi ksz warto± funkcji f(, y = 2 y w kole 2 + y Wyznacz ekstrema warunkowe funkcji f(, y = y 2 2 przy warunku y 2 = 1 { = y 2 24 Wyznacz odlegªo± punktu ( 1, 5, 0 od krzywej opisanej ukªadem + z = 1 25 Znajd¹ pierwsz pochodn funkcji uwikªanej y = y( okre±lonej równaniem 3 y y 3 = 4 26 Znajd¹ y (0 wiedz c,»e y = y( jest funkcj uwikªan zadan równaniem 2 y + 2y 2 + y 1 = 0 o ile y(0 = 1 27 Znajd¹ pierwsz i drug pochodn funkcji uwikªanej y = y( okre±lonej równaniem 2 + y y + 2 = 0 dla 0 = 1 28 Wyznacz ekstrema funkcji uwikªanej y = y( okre±lonej równaniem 3 + y 3 3y = 0 29 Wyznacz ekstrema funkcji uwikªanej z = z(, y okre±lonej równaniem 2 + y 2 + z y 4z 10 = 0 10