1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema

Transkrypt

1 Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema 1.1 Ró»niczka zupeªna Uwagi Ró»niczka pierwszego rz du funkcji n zmiennych x 1, x 2,..., x n jest funkcj 2n zmiennych x 1,..., x n oraz dx 1,..., dx n. Jednak, aby wyznaczy ró»niczk drugiego rz du traktujemy j jak funkcj zmiennych x j, 1 j n. Ró»niczka zupeªna drugiego rz du wyst puje w szeregu Taylora dla funkcji wielu zmiennych (z czynnikiem 1/2). Przydatna w badaniu istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych. Oczywi±cie mo»na bada ró»niczki wy»szych rz dów. Wyprowadzenie Dana jest funkcja n zmiennych f(x 1,..., x n ). Jej ró»niczka zupeªna df = g(x 1,..., x n, dx 1,..., dx n ) = Ró»niczka funkcji g (po zmienych x 1,..., x n ) dg = j=1 j=1 f(x 1,..., x n ) x j dx j. g(x 1,..., x n, dx 1,..., dx n ) x j dx j. Zatem (musi by wprowadzony nowy indeks) dg = d 2 f = j=1 x j k=1 f(x 1,..., x n ) x k dx k = j,k=1 2 f x j x k dx j dx k. Uwagi i przykªad W ogólnym przypadku kolejno± operatorów /x j oraz /x k nie mo»e by zmieniona.

2 Mo»na natomiast zmienia kolejno± w iloczynie dx k dx j, zatem dla ka»dej pary j < k mamy skªadnik ( 2 ) f + 2 f dx j dx k. x j x k x k x j dla j = k mamy pochodn cz stkow drugiego rz du funkcji f po zmiennej x j : 2 f/x 2 j (pomno»on przez dx2 j ). Dla funkcji dwóch zmiennych, x i y, mamy ( d 2 f = 2 f 2 ) f x 2 dx2 + xy + 2 f dxdy + 2 f yx y 2 dy Ekstrema funkcji wielu zmiennych WARUNKI KONIECZNE Je»eli w punkcie (x 0 1,..., x 0 n) funkcja ma ekstremum, to ma ekstremum (tego samego typu) dla ka»dej drogi (linii) przechodz cej przez ten punkt, a wszególno±ci, gdy jest rozpatrywana jako funkcja jednej ze zmiennych x j : g j (x j ) = f(x 0 1,..., x j,..., x 0 n) Poniewa» warunkiem koniecznym jest zerowa warto± pochodnej (ale nie jest to warunek dostateczny), zatem mamy ukªad n równa«: (1 j n) g j(x 0 j) = f x j (x 0 1,..., x 0 n) = 0. Wniosek: W punkcie ekstremum ró»niczka zupeªna pierwszego rz du ma warto± zero. O zmianie warto±ci funkcji decyduje znak d 2 f. EKSTREMA FUNKCJ DWÓCH ZMIENNYCH Uwagi Ró»niczka d 2 f musi mie ten sam znak niezale»nie od znaków przyrostów dx i dy. W przypadku jednej zmiennej o znaku ró»niczki d 2 f decydowaª znak drugiej pochodnej, gdy» d 2 f(x) = f (x) dx 2. Przypomnienie (dla ci gªych pochodnych): d 2 f = 2 f x 2 dx f xy dxdy + 2 f y 2 dy2. d 2 f jest zatem trójmianem kwadratowym ze wzgl du na oba przyrosty. 2

3 POWTÓRKA Pytanie: Kiedy trójmian kwadratowy ma ten sam znak niezale»nie od warto±ci zmiennej? Odpowied¹ Gdy jego wyró»nik jest liczb ujemn! (Ma wtedy dwa pierwiastki zespolone.) ZASTOSOWANIE Rozwi zanie Niech a = 2 f/x 2, b = 2 f/xy, c = 2 f/y 2 (wyliczone w punkcie stacjonarnym, w którym f x = f y = 0) Niech u = dx oraz v = dy. Wtedy trójmian ma posta : au 2 + 2buv + cv 2. Jego wyró»nik (ze wzgl du na zmienn u) I analogicznie dla zmniennej v: u = (2bv) 2 4acv 2 = 4v 2 (b 2 ac). v = (2bu) 2 4acu 2 = 4u 2 (b 2 ac). WARUNEK DOSTATECZNY Wnioski Oba wyró»niki s ujemne, gdy (ac b 2 ) jest dodatnie. Obie pochodne cz stkowe, a = 2 f/x 2 i c = 2 f/y 2, musz mie ten sam znak, gdy» w przeciwnym przypadku ich iloczyn ac byªby ujemny i wtedy (ac b 2 ) < 0. Dla (ac b 2 ) > 0 funkcja ma jednocze±nie maksimum (minimum) ze wzgl du na obie zmienne (zale»y od znaku a). Mo»na pokaza,»e jest to rzeczywi±cie ekstremum funkcji dwóch zmiennych. Trzeba bada dalej, gdy ac b 2 = 0. Je»eli ac b 2 < 0, to znak przyrostu funkcji zale»y od warto±ci (sko«czonych) przyrostów u, v. 3

4 PRZYKŠAD I f(x, y) = x 3 3xy + y 3 Punkty stacjonarne: rozwi zania ukªadu równa«czyli A(0, 0) i B(1, 1); 3x 2 3y = 0 3y 2 3x = 0, f xx = 6x = a, f yy = 6y = c, f xy = 3 = b; Punkt A: ac b 2 = 0 9 = 9, zatem brak ekstremum; Punkt B: ac b 2 = 36 9 > 0, a = 6 > 0, zatem minimum. WYKRES I PRZYKŠAD II f(x, y) = x 2 y 2 Punkty stacjonarne: rozwi zania ukªadu równa«czyli tylko (0, 0); 2x = 0 2y = 0, a = f xx = 2, c = f yy = 2, b = f xy = 0; ac b 2 = 4 0 = 4, zatem brak ekstremum; 4

5 WYKRES II 1.3 Uogólnienie MACIERZE i WYZNACZNIKI Z pochodnych cz stkowych wyliczonych w punkcie stacjonarnym (x 0, y 0 ) tworzymy macierz ( 2 f x (x 2 0, y 0 ) 2 f xy (x ) ( ) 0, y 0 ) a b 2 f yx (x = 0, y 0 ) 2 f y (x 2 0, y 0 ) b c Badane wyra»enie, ac b 2, jest wyznacznikiem tej macierzy. Macierz t nazywamy hesjanem (macierz Hessego). Warunkiem wystarczaj cym istnienia ekstremum jest jednoczesne speªnienie dwóch warunków: 1. wyznacznik hesjanu jest dodatni; 2. a 0, przy czym dla a dodatniego (ujemnego) mamy minimum (maksimum). Ekstrema funkcji wielu zmiennych Uwaga! Funkcja ma ci gªe pochodne pierwszego i drugiego rz du w otoczeniu punktów stacjonarnych P l. Dla ka»dego punktu stacjonarnego budujemy hesjan 2 f (P x 2 l )... 2 f 1 x 1x n (P l ) f x nx 1 (P l )... 2 f x (P 2 l ) n 5

6 Badamy znak wyznaczników (tzw. minorów) M k, 1 k n, zbudowanych z pierwszych k wierszy i kolumn hesjanu. 1. Wszystkie minory dodatnie minimum w punkcie P l. 2. Minory maj znaki naprzemienne: parzyste s dodatnie, nieparzyste ujemne maximum w punkcie P l. 3. Niektóre z minorów s zerowe oraz M n = 0, pozostaªe minory zachowuj si jak w pkt. 1 albo 2 brak rozstrzygni cia. 4. W pozostaªych przypadkach brak ekstremum. 2 Pochodna zupeªna 2.1 Wprowadzenie WPROWADZENIE Przypomnienie W przypadku funkcji jednej zmiennej mamy tylko jedn pochodn f (x), która jest zwi zana z ró»niczk (zupeªn?) df = f (x)dx. PROBLEM W przypadku funkcji wielu zmiennych mamy ró»niczk cz stkow i zupeªn oraz pochodne cz stkowe. Czym jest, o ile istnieje, pochodna zupeªna funkcji wielu zmiennych? Uwagi Nie ma sensu dzielenie wzoru na ró»niczk zupeªn przez sumy czy iloczyny ró»niczek dx j. A przez przez jedn? Cz sto u»ywamy funkcji zmiennych poªo»enia (x, y, z) oraz czasu t. Jednak wspóªrz dne mog zale»e od czasu. Wtedy mamy do czynienia z funkcj postaci f(x(t), y(t), z(t), t). 2.2 Zale»no± jawna i niejawna ZALE NO NIEJAWNA Brak jawnej zale»no±ci od czasu Dane s dwa punkty materialne o masach m i M. Ich energia potencjaln ma warto± E = G mm mm = G r x2 + y 2 + z, 2 gdzie x, y, z s wspóªrz dnymi wektora ª cz cego te punkty. We wzorze tym czas t nie wyst puje jawnie, ale energia (potencjalna) mo»e od czasu zale»e. 6

7 ZALE NO JAWNA Jawna zale»no± Je»eli w przewodniku pªynie pr d o nat»eniu I 0 sin ωt, to w odlegªo±ci r od niego nat»enie pola magnetycznego ma warto± H = I 0 2π sin ωt. r Uwaga W drugim przypadku mamy H/t = I 0 cos ωt/2πr. W pierwszym natomiast E/t = 0, cho energia mo»e zale»e od czasu. PROSTY PRZYKŠAD Przykªad: spadek swobodny Punkt materialny o masie m spada z wysoko±ci H bez pr dko±ci pocz tkowej. Jego wysoko± i energia potencjalna dane s wzorami: h(t) = H 1 2 gt2, E(h) = mgh. St d E/t = 0. Ale zast puj c h przez jawn zale»no± h(t) mamy 2.3 Denicja E(t) = mgh 1 2 mg2 t 2, de dt = Ė(t) = mg2 t. PROBLEM i ROZWI ZANIE Pytanie i odpowied¹ Jak to zrobi bez wstawiania? Potraktowa E(h(t)) jak funkcj zªo»on i wyznaczy de dt = E(h) dh(t) = (mg)( gt). h dt UOGÓLNIENIE Funkcja Niech dana b dzie funkcja f(x 1 (t),..., x n (t), t). Pochodna zupeªna Pochodn zupeªn po zmiennej t jest df dt = f dx 1 x 1 dt +... f dx n x n dt + f t = n j=1 f x j dx j dt + f t. Uwaga Poniewa» x j traktujemy jako funkcj jednej zmiennej, zatem u»ywamy symbolu dx j /dt, a nie x j /t. 7

8 ENERGIA MECHANICZA Problem A co si dzieje z energi, o któr maleje E p? Zamienia si w energi kinetyczn... Ale E k = mv 2 /2 i E/t = 0. Jednak szybko± v = gt i dv(t)/dt = g oraz E k (v)/t = mv = mgt, zatem de/dt = (g)(mgt) = de p /dt. HURA!!! I tak uratowali±my zasad zachowania energii. 3 Jeszczo jedno DWA RÓ NE (?) WZORY Energia potencjalna E = G mm r oraz E p = mgh. Rozwi zanie: szereg Taylora (Maclaurina) Niech r = R + h, gdzie h R, oraz x = h/r. Wtedy (g = GM/R 2 ) E(x) = m GM R x = mgr x. Bierzemy tylko wyraz liniowy. (1/1 + x) = (1 + x) 2, czyli (rozwijamy wokóª zera) E p (x) mgr(1 x), E p (h) = mg(h R). Interesuje nas ró»nica energii, st d wzór mgh. 8