Funkcje wielu zmiennych

Transkrypt

1 Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 3 : R 3 = { (x y z) : x R y R z R }. Elementy (x y z) tego zbioru nazywamy punktami przestrzeni i oznaczamy P = (x y z). Liczby x y z nazywamy wspó lrzȩdnymi punktu P. Definicja Odleg lość punktów P 1 P oznaczamy symbolem d(p 1 P ) i określamy : d(p 1 P ) = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) gdy P 1 = (x 1 y 1 z 1 ) P = (x y z 3 ) R 3. Odleg lość punktów P = ( 3 4) Q = (4 3 ) wynosi d(p Q) = (4 + ) + ( 3 3) + ( + 4) = 6 3. Definicja Otoczeniem punktu P 0 R 3 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór: U(P 0 r) = { P R 3 : d(p 0 P ) < r }. Otoczeniem punktu w przestrzeni jest kula otwarta o środku w punkcie P 0 i promieniu r. Uwaga Jeżeli promień otoczenia nie bȩdzie istotny w rozważaniach to zamiast U(P 0 r) bȩdziemy pisać U(P. Definicja S asiedztwem punktu P 0 R 3 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór: S(P 0 r) = { P R 3 : 0 < d(p 0 P ) < r }. Latwo zauważyć że S(P 0 r) = U(P 0 r) \ { P 0 }. Uwaga Jeżeli promień s asiedztwa nie bȩdzie istotny w rozważaniach to zamiast S(P 0 r) bȩdziemy pisać S(P. 1

2 14 Funkcje trzech zmiennych Definicja Funkcj a f trzech zmiennych określon a na zbiorze Ω R 3 o wartościach w R nazywamy przyporz adkowanie każdemu punktowi (x y z) Ω dok ladnie jednej liczby u = f(x y z) R. a) f(x y z) = ln(1 x y z ) b) g(x y z) = xyz c) F (x y z) = z(x )(y+1) Definicja Dziedzin a funkcji f nazywamy zbiór: D f = { (x y z) R 3 : u R u = f(x y z) }. Dziedziny funkcji podanych w poprzednim przyk ladzie s a nastȩpuj ace: a) D f = { (x y) R 3 : x + y + z < 1 } b) D g = { (x y) R 3 : xyz 0 } c) D F = R 3 \ { ( 1 0)}. (x ) +(y+1) +z. 15 Pochodne cz astkowe funkcji trzech zmiennych Definicja Niech P 0 = (x 0 y 0 z R 3 oraz niech funkcja f bȩdzie określona w otoczeniu U(P. Pochodn a cz astkow a pierwszego rzȩdu funkcji f wzglȩdem zmiennej x w punkcie P 0 określamy x (x f(x 0 + y 0 z f(x 0 y 0 z 0 y 0 z 0 Pochodn a cz astkow a pierwszego rzȩdu funkcji f wzglȩdem zmiennej y w punkcie P 0 określamy y (x 0 y 0 z 0 f(x 0 y 0 + z f(x 0 y 0 z Pochodn a cz astkow a pierwszego rzȩdu funkcji f wzglȩdem zmiennej z w punkcie P 0 określamy z (x 0 y 0 z 0 f(x 0 y 0 z 0 + ) f(x 0 y 0 z Pochodne cz astkowe oznacza siȩ także symbolami f x(x 0 y 0 z f y(x 0 y 0 z f z(x 0 y 0 z f x (x 0 y 0 z f y (x 0 y 0 z f z (x 0 y 0 z D 1 f(x 0 y 0 z D f(x 0 y 0 z D 3 f(x 0 y 0 z. Pochodne cz astkowe funkcji f(x y z) = (x y + z) 3 w punkcie (0 0 0) s a w laściwe (skończone) (0 0 0) x 0 (0 0 0) y 0 f( ) f(0 0 0) f( ) f(0 0 0) 0 0 () 3 0 ( ) () = 0 = lim 0 () = 0 f( ) f(0 0 0) () 3 0 (0 0 0) = 8 lim z () = 0 Pochodne funkcji f(x y) = 3 x y + z w punkcie (0 0 0) s a niew laściwe (0 0 0) x 0 f( ) f(0 0 0) ( 3 ) = +

3 (0 0 0) y 0 (0 0 0) z 0 f( ) f(0 0 0) f( ) f(0 0 0) Pochodne funkcji f(x y) = x + y + z w punkcie (0 0 0) nie istniej a 1 ( 3 ) = 3 ( 3 ) = + (0 0 0) x 0 (0 0 0) y 0 (0 0 0) z 0 f( ) f(0 0 0) f( ) f(0 0 0) f( ) f(0 0 0) nie istnieje nie istnieje nie istnieje Niech P = (x y z) R 3 oraz niech funkcja f bȩdzie określona w otoczeniu U(P ). Pochodn a cz astkow a pierwszego rzȩdu funkcji f wzglȩdem zmiennej x w punkcie P określamy (x y z) x 0 f(x + y z) f(x y z) Pochodn a cz astkow a pierwszego rzȩdu funkcji f wzglȩdem zmiennej y w punkcie P określamy (x y z) y 0 f(x y + z) f(x y z) Pochodn a cz astkow a pierwszego rzȩdu funkcji f wzglȩdem zmiennej z w punkcie P określamy (x y z) z 0 f(x y z + ) f(x y z) Funkcja f(x y) = (x y + z) 3 ma pochodne cz astkowe f x = 3(x y + z) f y = 3(x y + z) f z = 6(x y + z) Funkcja f(x y) = 3 x y + z ma pochodne cz astkowe f x = (x y + z) f y = (x y + z) f z = Funkcja f(x y) = x + y + z ma pochodne cz astkowe f x = x x + y + z f y = y x + y + z f z = 3 3 (x y + z) z x + y + z 16 Gradient funkcji trzech zmiennych Definicja Gradientem funkcji f w punkcie P 0 = (x 0 y 0 z nazywamy wektor określony gradf(x 0 y 0 z = [ ] f x(x 0 y 0 z f y(x 0 y 0 z f z(x 0 y 0 z 3

4 Gradient funkcji f oznacza siȩ także symbolem f(x 0 y 0 z. Definicja Gradientem funkcji f w punkcie P = (x y z) nazywamy wektor określony gradf(x y z) = [ ] f x(x y z) f y(x y z) f z(x y z) lub krócej gradf = [ ] f x f y f z Gradient funkcji f(x y z) = x 3 y 3 + z 3 w punkcie P 0 = (1 1 1) jest równy gradf(1 1 1) = [ ] Gradient funkcji f(x y z) = x 3 y 3 + z 3 w punkcie P = (x y z) jest równy gradf = [ 3x 3y 6z ] 17 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0 y 0 z oraz niech v = [v x v y v z ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji f w punkcie (x 0 y 0 z w kierunku wektora v określamy f(x f v(x 0 + tv x y 0 + tv y z 0 + tv z ) f(x 0 y 0 z 0 y 0 z. t 0 t Obliczymy pochodn a kierunkow a funkcji f(x y z) = xyz w punkcie P 0 = (1 3) w kierunku wektora v = [3 1]. Ponieważ f(1 3) = 6 oraz f(1+3t +t 3+t) = 6t 3 +6t +6t+6 wiȩc Twierdzenie P 0 = (x 0 y 0 z to 6t 3 + 6t + 6t f [31](1 3) = 6. t 0 t Jeżeli funkcja f ma ci ag le pochodne cz astkowe rzȩdu pierwszego w punkcie f v(x 0 y 0 z = f x(x 0 y 0 z v x + f y(x 0 y 0 z v y + f z(x 0 y 0 z v z. Uwaga Powyższy wzór można zapisać w postaci f v(x 0 y 0 z = gradf(x 0 y 0 z v. Obliczymy pochodn a kierunkow a funkcji f(x y) = xyz w punkcie P 0 = (1 3) w kierunku wektora v = [3 1]. Ponieważ f x = yz f y = xz f z = xy to f [31](1 3) = [6 3 ] [3 1] = = 6. 4

5 18 Pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu Niech P = (x y z) R 3 oraz niech funkcja f bȩdzie określona w otoczeniu U(P ). Pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu funkcji f w punkcie P określamy wzorami x = ( ) x x x y = ( ) x y x z = x ( ) z y x = y ( ) x y = y ( ) y y z = y ( ) z Uwaga z x = z ( ) x z y = z Powyższe wzory można zapisać w postaci ( ) y z = z ( ). z xx = (f x) x xy = (f y) x xz = (f z) x yx = (f x) y yy = (f y) y yz = (f z) y zx = (f x) z zy = (f y) z zz = (f z) z. Twierdzenie (Schwarza) Jeżeli funkcja f ma ci ag le pochodne mieszane f xy f yx f xz f zx f yz zy w punkcie P 0 = (x 0 y 0 z to xy(x 0 y 0 z = yx(x 0 y 0 z xz(x 0 y 0 z = zx(x 0 y 0 z yz(x 0 y 0 z = zy(x 0 y 0 z. Obliczymy pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu funkcji f(x y z) = xyz. Mamy kolejno f x = yz f y = xz f z = xy xx = 0 xy = z xz = y yx = z yy = 0 yz = x zx = y zy = x zz = 0. Obliczymy teraz pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu funkcji f(x y z) = x + y + z. Mamy kolejno f x = x f y = y f z = z xx = xy = 0 xz = 0 yx = 0 yy = yz = 0 zx = 0 zy = 0 zz =. 19 Ekstrema lokalne funkcji trzech zmiennych Definicja Funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0 y 0 z minimum lokalne jeżeli istnieje s asiedztwo S(P tego punktu takie że dla dowolnego P = (x y z) S(P zachodzi nierówność f(x y z) > f(x 0 y 0 z. Definicja Funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0 y 0 z maksimum lokalne jeżeli istnieje s asiedztwo S(P tego punktu takie że dla dowolnego P = (x y z) S(P zachodzi nierówność f(x y z) < f(x 0 y 0 z. Twierdzenie (warunek konieczny ekstremum) Jeżeli funkcja f spe lnia warunki: 5

6 ma ekstremum w punkcie P 0 = (x 0 y 0 z ma pochodne cz astkowe f x(x 0 y 0 z f y(x 0 y 0 z f z(x 0 y 0 z to Uwaga Uk lad równań f x(x 0 y 0 z = 0 f y(x 0 y 0 z = 0 f z(x 0 y 0 z = 0 f x(x 0 y 0 z = 0 f y(x 0 y 0 z = 0 f z(x 0 y 0 z = 0 można zapisać w postaci gradf(x 0 y 0 z = 0. Funkcja f(x y z) = e x y z ma maksimum w punkcie P 0 = (0 0 0) oraz f x = x e x y z f y = y e x y z f z = z e x y z co oznacza że f spe lnia warunek konieczny ekstremum f x(0 0 0) = 0 f y(0 0 0) = 0 f z(0 0 0) = 0. Funkcja f(x y z) = xyz nie ma ekstremum w punkcie P 0 = (0 0 0) ale f x = yz f y = xz f y = xy co oznacza że f spe lnia warunek konieczny ekstremum f x(0 0 0) = 0 f y(0 0 0) = 0 f z(0 0 0) = 0. Niech teraz gdzie P 0 = (x 0 y 0 z. [ ] A = det f xx(p [ ] B = det xx(p f xy(p f yx(p f yy(p f xx(p f xy(p f xz(p C = det f yx(p f yy(p f yz(p Twierdzenie (warunek dostateczny ekstremum) zx(p zy(p zz(p pierwszego i drugiego rzȩdu w punkcie P 0 = (x 0 y 0 z oraz jeżeli gradf(p = 0 A > 0 B > 0 C > 0 to f(p = f min ; jeżeli gradf(p = 0 A < 0 B > 0 C < 0 Jeżeli funkcja f ma ci ag le pochodne cz astkowe to f(p = f max ; jeżeli wyżej wymienione warunki odnośnie A B C nie s a spe lnione oraz gradf(p = 0 ABC 0 6

7 to f nie ma ekstremum w punkcie P 0 ; w pozosta lych przypadkach twierdzenie nie rozstrzyga. Wyznaczymy ekstrema funkcji f(x y z) = x + y + z xy + 3x + z. Ponieważ f x = x y + 3 f y = y x f z = z + to otrzymujemy uk lad równań x y + 3 = 0 y x = 0 z + = 0 który ma rozwi azanie P 0 = ( 1 1). Ponadto xx = xy = yx = 1 xz = zx = 0 yy = yz = zy = 0 zz = oraz A = det [] = > 0 [ ] 1 B = det = 3 > 0 1 a wiȩc f( 1 1) = f min = C = det = 6 > 0 7