Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
|
|
- Grzegorz Skrzypczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji w punkcie x 0 dla przyrostu x zmiennej niezale»nej x nazywamy wyra»enie x = (x 0 + x) (x 0 ). x Przykªad. a) (x) = x 3, x 0 =, x = 0, 1, b) (x) = ln x, x 0 = 1, x = 0, 4. Denicja. Niech : X R, X R, oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Pochodn unkcji w punkcie x 0 nazywamy wªa±ciw granic ilorazu ró»nicowego unkcji w punkcie x 0 przy przyro±cie argumentu zmierzaj cym do zera, tzn. (x 0 ) = lim x 0 (x 0 + x) (x 0 ). x Przykªad. a) (x) = x, x 0 R, b) (x) = sin x, x 0 R, c) (x) = e x, x 0 R. Interpretacja geometryczna pochodnej unkcji w punkcie x 0 : (x 0 ) = tgα, gdzie α jest k tem mi dzy styczn do wykresu unkcji w punkcie x 0 i osi OX. Denicja. Niech : X R, X R, oraz U (x 0, r) X dla pewnego r > 0. Pochodn lewostronn unkcji w punkcie x 0 (Pochodn prawostronn unkcji w punkcie x 0 ) nazywamy wªa±ciw lewostronn (prawostronn ) granic ilorazu ró»nicowego unkcji w punkcie x 0 przy przyro±cie argumentu zmierzaj cym do zera, tzn. (x (x 0 ) = lim 0+ x) (x 0) x 0 x. ( +(x (x 0 ) = lim 0+ x) (x 0) x 0 + x.) Przykªad. a) (x) = x, x 0 = 0, b) (x) = 3 x, x 0 = 0. Twierdzenie. Funkcja : X R, X R, ma pochodn w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (x 0 ) = +(x 0 ). Denicja. Niech : X R, X R, oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Funkcj nazywamy ró»niczkowaln w punkcie x 0, je±li istnieje pochodna (x 0 ) unkcji w punkcie x 0. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, to = (x 0 ) x + o( x), o( x) gdzie lim x 0 x = 0. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, to jest ci gªa w punkcie x 0. Denicja. Niech : X R, X R, oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ró»niczk unkcji w punkcie x 0 odpowiadaj c przyrostowi x zmiennej niezale»nej x, nazywamy liczb d(x 0, x) = (x 0 ) x. 1
2 oprac. Gra»yna Ciecierska REGUŠY RÓ NICZKOWANIA Wniosek. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, to (x 0 + x) (x 0 ) d(x 0, x) dla dostatecznie maªych przyrostów x. Przykªad. a) 3, b) 3 8, 01. (c) = 0 (x α ) = αx α 1, α R (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tgx) = 1 cos x (ctgx) = 1 sin x (sinhx) = coshx (coshx) = sinhx (tghx) = 1 (ctghx) = 1 cosh x sinh x (a x ) = a x ln a (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a (ln x) = 1 x (arcsinx) = 1 1 x (arccosx) = 1 1 x (arctgx) = 1 1+x (arcctgx) = 1 1+x (ar sinhx) = 1 1+x (ar coshx) = 1 x 1 (ar tghx) = 1 1 x, x < 1 (ar ctghx) = 1 1 x, x > 1 Reguªy ró»niczkowania Twierdzenie. Je±li unkcje 1, : X R, X R, s ró»niczkowalne w punkcie x 0 oraz α R, to unkcje 1 +, α 1 okre±lone wzorami: ( 1 + )(x) = 1 (x) + (x), (α 1 )(x) = α 1 (x) dla x X s ró»niczkowalne w punkcie x 0. Ponadto ( 1 + ) (x 0 ) = 1(x 0 ) + (x 0 ), (α 1 ) (x 0 ) = α 1(x 0 ). Przykªad. (x) = x 5 3x x Twierdzenie. Je±li unkcje 1, : X R, X R, s ró»niczkowalne w punkcie x 0, to unkcja 1 : X R, okre±lona wzorem: ( 1 )(x) = 1 (x) (x) dla x X jest ró»niczkowalna w punkcie x 0. Ponadto ( 1 ) (x 0 ) = 1(x 0 ) (x 0 ) + 1 (x 0 ) (x 0 ). Przykªad. (x) = 3x 3 x log 3 x Twierdzenie. Je±li unkcje 1, : X R, X R, s ró»niczkowalne w punkcie x 0 oraz (x 0 ) 0, to unkcja 1 : X \ {x : (x) = 0} R, okre±lona wzorem: 1 (x) = 1(x) (x), jest ró»niczkowalna w punkcie ( ) x 1 0. Ponadto (x0 ) = 1 (x0) (x0) 1(x0) (x0) [(x)]. Przykªad. (x) = cos x+ex 6+e x Twierdzenie. Je±li 1 : X 1 R, : X R, X 1 R, 1 (X 1 ) X R s unkcjami speªniaj cymi warunki: 1 jest ró»niczkowalna w punkcie x 0, jest ró»niczkowalna w punkcie 1 (x 0 ), to unkcja 1 : X 1 R jest ró»niczkowalna w punkcie x 0 oraz ( 1 ) (x 0 ) = ( 1 (x 0 )) 1(x 0 ). Przykªad. (x) = (8x 3 + 5x) 4 Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R jest ci gªa w U(x 0, r) dla pewnego r > 0, jest rosn ca (malej ca) w U(x 0, r), jest ró»niczkowalna w punkcie x 0 oraz (x 0 ) 0, to unkcja odwrotna 1 : (X) R jest ró»niczkowalna w punkcie (x 0 ) oraz ( 1) (y0 ) = 1 (x 0), gdzie y 0 = (x 0 ). Przykªad. (x) = tgx, x ( π, π ), 1 (y) = arctgy Denicja. Niech : X (0, + ) b dzie unkcj rózniczkowaln w punkcie x 0. Pochodn logarytmiczn unkcji w punkcie x 0 nazywamy pochodn zªo»enia ln unkcji i unkcji logarytmicznej ln w punkcie x 0, (ln ) (x 0 ) = (x 0) (x 0). Wniosek. Je±li : X (0, + ) jest unkcj rózniczkowaln w punkcie x 0, to (x 0 ) = (x 0 ) (ln ) (x 0 ). Wniosek. Je±li : X (0, + ), gdzie (x) = g(x) h(x) = e h(x) ln g(x) jest unkcj rózniczkowaln w punkcie x 0, to (x 0 ) = (x 0 ) [h (ln g)]) (x 0 ).
3 oprac. Gra»yna Ciecierska 3 POCHODNE WY SZYCH RZ DÓW Przykªad. (a) (x) = x x, x 0 = e (b) (x) = (1 + x ) cos x, x 0 = 3 Pochodne wy»szych rz dów Denicja. Niech : X R oraz : X 1 R, X 1 = {x X : (x) R} oraz U(x 0, r) X 1 dla pewnego r > 0. Pochodn rz du drugiego unkcji w punkcie x 0 nazywamy pochodn unkcji w punkcie x 0, tzn. (x 0 ) = ( ) (x 0 ). Denicja. Niech : X R, (n 1) : X n 1 R, X n 1 = {x X : (n 1) (x) R}, n N, n, U(x 0, r) X n 1 dla pewnego r > 0. Pochodn ntego rz du unkcji w punkcie x 0 nazywamy pochodn pochodnej (n 1) w punkcie x 0, tzn. (n) (x 0 ) = ( (n 1)) (x0 ). Przykªad. (a) (x) = x e x ; (b) (x) = x ln x; (c) (x) = sin x; (n) Oznaczenie. C[a, b] zbiór unkcji : [a, b] R ci gªych C 1 [a, b] zbiór unkcji : [a, b] R ró»niczkowalnych na [a, b] o ci gªej pochodnej, C n [a, b] zbiór unkcji : [a, b] R nkrotnie ró»niczkowalnych na [a, b] o ci gªej pochodnej (n) Twierdzenie (wzór Leibniza). ( ) Je±li 1, : X R, maj pochodne wªa±ciwe ntego rz du w punkcie x 0, to ( 1 ) (n) (x) = n n (k) k=0 k 1 (x 0 ) (n k) (x 0 ). Przykªad. (5), (x) = x cos x. Twierdzenie (Rolle). Je±li unkcja : [a, b] R, jest ci gªa i ró»niczkowalna w przedziale (a, b) oraz (a) = (b), to istnieje taki punkt c (a, b),»e (c) = 0. Twierdzenie (Lagrange). Je±li unkcja : [a, b] R, jest ci gªa i ró»niczkowalna w przedziale (a, b), to istnieje taki punkt c (a, b),»e = (c). (b) (a) b a Przykªad. (a) (x) = 1 x+ ; [ 1, ] (b) x 1+x < ln(1 + x) < x; x > 0 Wniosek. Je±li unkcja : [a, b] R, jest ci gªa i ró»niczkowalna w przedziale (a, b) oraz (x) > 0 ( (x) < 0) dla ka»dego x (a, b), to unkcja jest rosn ca (malej ca) w przedziale (a, b). Przykªad. (a) (x) = arctgx ln x (b) (x) = (x + 1)e x Wniosek. Je±li unkcja : [a, b] R, jest ci gªa i ró»niczkowalna w przedziale (a, b) oraz (x) = 0 dla ka»dego x (a, b), to jest unkcj staª. Przykªad. sin(arccosx) = 1 x ; x ( 1, 1) Twierdzenie (Taylor). Je±li C (n 1) [a, b] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (a, b), to istnieje taki punkt c (a, b),»e (b) = (a) + n 1 (k) (a) (b a) k + (n) (c) (b a) n. Wniosek. Je±li C (n 1) [x 0, x] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (x 0, x), to (x) = (x 0 ) + n 1 (k) (x 0) (x x 0 ) k + (n) (c) (x x 0 ) n, gdzie c (x 0, x). Denicja. Je±li C (n 1) [x 0, x] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (x 0, x), to wielomian W n 1 (x) = (x 0 ) + n 1 (k) (x 0) (x x 0 ) k nazywamy wielomianem Taylora rz du n 1 unkcji w punkcie x 0, za± R n (x) = (n) (c) (x x 0 ) n, gdzie c (x 0, x), nazywamy nt reszt we wzorze Taylora. 3
4 oprac. Gra»yna Ciecierska 3 POCHODNE WY SZYCH RZ DÓW Przykªad. (x) = x 5 x 4 + x 3 x + x 1; x 0 = 1 Wniosek. Je±li C (n 1) [x 0, x] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (x 0, x), to (x) (x 0 )+ (k) (x 0) (x x 0 ) k. n 1 Przykªad. (a) (x) = 1 x, x 0 =, n = 3, (b) (x) = e cos x, x 0 = π, n = Denicja. Je±li C (n 1) [0, x] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (0, x), to wzorem Maclaurina dla unkcji nazywamy wzór Taylora dla unkcji w punkcie x 0 = 0, tzn. (x) = (0) + n 1 (k) (0) x k + (n) (c) x n, gdzie c (0, x). Przykªad. (a) e x = 1 + x 1! + x! xn 1 (n 1)! + xn ec (b) sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! ( 1)n x n 3 (n 3)! + ( 1)n+1 x n 1 (n 1)! cos c (c) cos x = 1 x! + x4 4! x6 6! ( 1)n 1 x n (n )! + ( 1)n x n (n)! cos c (d) ln(1 + x) = x x + x3 3 x ( 1)n x n 1 n 1 + ( 1)n+1 x n n 1 (1+c) n Wniosek. Je±li C (n 1) [0, x] jest nkrotnie ró»niczkowalna w przedziale (0, x), to (x) (0) + n 1 (k) (0) x k. Przykªad. (x) = ln(1 + x); n = 4; ln 1, 0 Denicja. Niech 1, : X R, X R, S(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Wyra»enie 1(x) nazywamy (x) symbolem nieoznaczonym w punkcie x 0 typu 0 0, je±li lim 1 (x) = lim (x) = 0. x x 0 x x 0 Denicja. Niech 1, : X R, X R, S(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Wyra»enie 1(x) nazywamy (x) symbolem nieoznaczonym w punkcie x 0 typu, je±li lim 1 (x) =, x x 0 lim (x) =, gdzie x x 0 = + lub =. Twierdzenie (reguªa de l'hospitala). Je±li 1 oraz 1 punktu x 0, tzn. S(x 0, r) D( 1 ) D( 1 ) dla pewnego r > 0, punkcie x 0 typu 0 0 ( ) oraz istnieje granica lim lim x x 0 1 (x) (x). s unkcjami okre±lonymi w pewnym s siedztwie 1(x) (x) 1 (x) x x 0 (x), to istnieje lim jest symbolem nieoznaczonym w 1(x) x x. Ponadto 0 (x) lim 1(x) x x = 0 (x) Wniosek. Je±li 1 oraz 1 s unkcjami okre±lonymi w pewnym s siedztwie +, tzn. (a, + ) D( 1 ) D( 1 ) dla pewnego a R, 1(x) jest symbolem nieoznaczonym w + typu 0 (x) 0 ( ) oraz istnieje granica lim 1 (x) x + (x) to istnieje lim 1(x) x +. Ponadto lim 1(x) (x) x + = lim 1 (x) (x) x + (x). Wniosek. Je±li 1 oraz 1 (, b) D( 1 ) D( 1 ) dla pewnego b R, 1(x) istnieje granica lim x s unkcjami okre±lonymi w pewnym s siedztwie, tzn. 1 (x) (x), to istnieje lim Przykªad. (a) lim x 0 + ln(cos x) ln(cos x) x 3 (b) lim ln x x x 1 ln x jest symbolem nieoznaczonym w typu 0 (x) 0 ( ), 1(x). Ponadto lim 1(x) (x) x = lim 1 (x) (x) x (x). 4
5 oprac. Gra»yna Ciecierska 4 ZASTOSOWANIA POCHODNEJ 4 Zastosowania pochodnej Denicja. Niech S(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Funkcja : X R, X R osi ga maksimum lokalne w punkcie x 0, je±li δ > 0 x S(x 0, δ), ((x) (x 0 )). Denicja. Niech S(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Funkcja : X R, X R osi ga minimum lokalne w punkcie x 0, je±li δ > 0 x S(x 0, δ), ((x) (x 0 )). Denicja. Funkcja : X R, X R osi ga ekstremum lokalne w punkcie x 0, je±li osi ga w tym punkcie minimum lub maksimum lokalne. Twierdzenie (Fermat). Je±li unkcja : X R, X R jest ró»niczkowalna w punkcie x 0 i osi ga w tym punkcie ekstremum lokalne, to (x 0 ) = 0. Przykªad. (a) (x) = x 3, x 0 = 0 (b) (x) = x, x 0 = 0 Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: (x 0 ) = 0, δ > 0, [( x S (x 0, δ), (x) > 0) ( x S + (x 0, δ), (x) < 0)], to osi ga w punkcie x 0 maksimum lokalne. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: (x 0 ) = 0, δ > 0, [( x S (x 0, δ), (x) < 0) ( x S + (x 0, δ), (x) > 0)], to osi ga w punkcie x 0 minimum lokalne. Przykªad. (x) = ln x x Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna nkrotnie w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: n jest liczb parzyst, (x 0 ) = (x 0 ) =... = (n 1) (x 0 ) = 0, (n) (x 0 ) < 0 ( (n) (x 0 ) > 0), to osi ga w punkcie x 0 maksimum (minimum) lokalne. Przykªad. (a) (x) = x e x e x, x 0 = 0 Denicja. Niech : X R, X R b dzie unkcj dwukrotnie ró»niczkowaln w U(x 0, r), r > 0. Krzyw o równaniu y = (x) nazywamy wypukª w punkcie x 0, je±li istnieje s siedztwo S(x 0, δ), 0 < δ < r, takie,»e cz ± krzywej odpowiadaj ca temu s siedztwu le»y powy»ej stycznej do krzywej y = (x) w punkcie x 0. Denicja. Niech : X R, X R b dzie unkcj dwukrotnie ró»niczkowaln w U(x 0, r), r > 0. Krzyw o równaniu y = (x) nazywamy wkl sª w punkcie x 0, je±li istnieje s siedztwo S(x 0, δ), 0 < δ < r, takie,»e cz ± krzywej odpowiadaj ca temu s siedztwu le»y poni»ej stycznej do krzywej y = (x) w punkcie x 0. Denicja. Niech : X R, X R b dzie unkcj dwukrotnie ró»niczkowaln w U(x 0, r), r > 0. Punkt (x 0, (x 0 )) nazywamy punktem przegi cia krzywej L o równaniu y = (x) je±li istnieje s siedztwo S(x 0, δ), 0 < δ < r takie,»e L jest wypukªa (wkl sªa) w U (x 0, δ) oraz L jest wkl sªa (wypukªa) w U + (x 0, δ). Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest dwukrotnie ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz δ > 0 x S(x 0, δ), ( (x) > 0) to krzywa L o równaniu y = (x) jest wypukªa w punkcie x 0. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest dwukrotnie ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz δ > 0 x S(x 0, δ), ( (x) < 0), to krzywa L o równaniu y = (x) jest wkl sªa w punkcie x 0. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest dwukrotnie ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, jest ci gªa w punkcie x 0 oraz (x 0, (x 0 )) jest punktem przegi cia krzywej L o równaniu y = (x), to (x) = 0. Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest dwukrotnie ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: (x 0 ) = 0, δ > 0, [( x S (x 0, δ), (x) > 0) ( x S + (x 0, δ), (x) < 0)], 5
6 oprac. Gra»yna Ciecierska 4 ZASTOSOWANIA POCHODNEJ to (x 0, (x 0 )) jest punktem przegi cia krzywej L o równaniu y = (x). Przykªad. (x) = x 4 x 3 Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest dwukrotnie ró»niczkowalna w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: (x 0 ) = 0, δ > 0, [( x S (x 0, δ), (x) < 0) ( x S + (x 0, δ), (x) > 0)], to (x 0, (x 0 )) jest punktem przegi cia krzywej L o równaniu y = (x). Twierdzenie. Je±li unkcja : X R, X R, jest ró»niczkowalna nkrotnie w U(x 0, r), r > 0, oraz speªnione s warunki: n jest liczb nieparzyst, n 3, (x 0 ) = (3) (x 0 ) =... = (n 1) (x 0 ) = 0, (n) (x 0 ) 0, to (x 0, (x 0 )) jest punktem przegi cia krzywej L o równaniu y = (x). Przykªad. (x) = e x + e x + x x 1 8 x4, (0, ) Literatura 1. Bana± J., W drychowicz S., 015, Zbiór zada«z analizy matematycznej; WNT. Gewert M., Skoczylas Z., 01, Analiza matematyczna 1. Denicje, twierdzenia, wzory, Ocyna Wydawnicza GiS 3. Gewert M., Skoczylas Z., 01, Analiza matematyczna 1. Przykªady i zadania, Ocyna Wydawnicza GiS 4. Koªodziej W., 01, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN 5. Kaczor W. J., Nowak M. T., 015, Zadania z analizy matematycznej. Cz.. Funkcje jednej zmiennej - rachunek ró»niczkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN 6. Krysicki W., Wªodarski L., 015, Analiza matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Cz ± 1 7. Kuratowski K., 013, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy. Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe PWN 8. Leja F., 016, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy ze wst pem do równa«ró»niczkowych, Wydawnictwo Naukowe PWN 9. Musielakowie H. i J., 011, Analiza matematyczna. T.1, cz. 1,, Wydawnictwo Naukowe UAM 10. Rudin W., 01, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN 11. Rudnicki W., 01, Wykªady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN. 1. Stankiewicz W., 015, Zadania dla wy»szych uczelni technicznych, Cz ± A i B, Wydawnictwo Naukowe PWN 6
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowo( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb
Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoKolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoMatematyka dla studentów Zarz dzania UW. Marcin Kysiak, Roman Pol
Matematyka dla studentów Zarz dzania UW Marcin Kysiak, Roman Pol 14 grudnia 2012 2 Wst p Omawiany przez nas material obejmuje zagadnienia z rachunku ró»niczkowego i caªkowego przewidziane w programie studiów
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim
Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowosin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Bardziej szczegółowoSzereg Taylora Javier de Lucas. f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), k! (x x 0 ) k k!
Szereg Taylora Javier de Lucas Zadanie 1. Wyka»,»e e x > 1 + x dla ka»dego x 0. Rozwiazanie: Funkcja f : x R e x R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Z tego powodu, dla ka»dych x, x 0 R
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoFunkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoZestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Rachunek ró»niczkowy wersja wst na uwaga na bª dy!!! Zadania oznaczone R maj wskazówki lub rozwi zania na ko«cu liku. Zadania rozwi zywali: Grzegorz Cieciura, Katarzyna Grabowska,
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:
Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Przeglad własności funkcji elementarnych
Analiza Matematyczna. Przeglad własności Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk 4 marca
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Niec : R D R Niec D będzie punktem skupienia zboru D Oznaczenia: Ot,δ) K,δ) -δ, +δ) D ; S,δ) Ot,δ)-{
Bardziej szczegółowoFunkcje Elementarne. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.
Matematyka Funkcje Elementarne Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 8-300 Elblag Matematyka p. 1 Funkcje Elementarne Najnowsza wersja tego
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoWykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0
Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoWykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoMatematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia. Jolanta Rosiak
Matematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia Jolanta Rosiak 3 grudnia 2018 2 Geometria analityczna w przestrzeni Przestrzeni R 3 nazywamy zbiór wszystkich uporz dkowanych
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowo