KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH POPRAWNA ODPOWIED 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

Transkrypt

1 KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIED D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D

2 Zadanie ( pkt) MODEL OCENIANIA ZADAN OTWARTYCH Uzasadnij, e punkty przecicia dwusiecznych któw wewntrznych prostokta ABCD s wierzchołkami kwadratu. Rozwizanie D I C 45 o 45 o 45 o 45 o G 45 o 45 o H F A K B Czworokt EFGH jest kwadratem, poniewa : - posiada cztery kty proste, - IB = KC BF + FG + GI = CF + EF + EK Stad - BF = CF i GI = EK FG = EF, wic długoci boków czworokta EFGH s równe. 45 o E 45 o 45 o Zdajcy otrzymuje... pkt gdy narysuje dwusieczne któw i zaznaczy kty o mierze 45. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy wskae kty proste i stwierdzi, e otrzymana figura jest kwadratem Uwaga Jeli zdajcy nie zaznaczy któw 45 0, otrzymuje 0 pkt 45 o 45 o Zadanie ( pkt) W kwadracie ABCD dane s wierzchołek A=(,-) i rodek symetrii S=(,). Oblicz pole kwadratu ABCD. I sposób rozwizania: Obliczamy długo odcinka = ( ) + ( + ) = 0 AS. Obliczamy pole kwadratu P = dd, gdzie d = d = AS = 0, a zatem P = 0.

3 3 II sposób rozwizania: Obliczamy długo odcinka = ( ) + ( + ) = 0 AS. Obliczamy długo boku kwadratu AS = a, a zatem a = 5. Std otrzymujemy pole kwadratu P = 0. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: obliczy długo odcinka AS : AS = 0 obliczy długo odcinka AC : AC = 0 Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy lub poda pole kwadratu P = 0. Zadanie 3 ( pkt) Rzucamy czerwon i zielon szecienn kostk do gry. Oblicz prawdopodobiestwo zdarzenia polegajcego na wyrzuceniu takiej samej liczby oczek na obu kostkach. Rozwizanie A zdarzenie losowe polegajce na wyrzuceniu takiej samej liczby oczek na obu kostkach. Obliczamy liczb wszystkich zdarze elementarnych tego dowiadczenia Ω = 36. Obliczamy liczb zdarze elementarnych sprzyjajcych zdarzeniu losowemu A: A = 6. Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzenia losowego A: P( A) = 6 Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawnie obliczy Ω = 36 i A = 6 Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poda prawdopodobiestwo zdarzenia losowego A : P( A) = 6 Uwaga: Gdy zdajcy błdnie wyznaczy Ω lub A otrzymuje 0 punktów za całe zadanie.

4 4 Zadanie 4 ( pkt) Wiedzc, e α jest ktem ostrym i tg α + = 4, oblicz tg α tg α +. tgα Rozwizanie Równanie tgα + = 4 podnosimy stronami do kwadratu. tg α tg α + + tgα = 6 tg α tgα tg α + + = 6 tg α tg α + = 4 tg α Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: z podanego równania obliczy tg α, np.: tg α = 3 lub tg α = + 3 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błdy podniesie podane równanie do kwadratu: tg α + + tgα = 6 i dalej tg α tgα popełnia błdy Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawnie obliczy warto podanej sumy: tg α + = 4 tg α Zadanie 5 ( pkt) Wyznacz wszystkie liczby całkowite spełniajce nierówno x 3x 0 0. Rozwizanie Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej ( x) = x 3x 0 lub zapisujemy nierówno w postaci ( x 5)( x + ) 0. f : x 5 x = = Rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej i na jego podstawie odczytujemy rozwizania nierównoci: x, 5. Wyznaczamy wszystkie liczby całkowite nalece do przedziału, 5 : {,,0,,,3,4,5 } x.

5 5 Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: obliczy lub poda prawidłowo pierwiastki trójmianu kwadratowego x = 5, x = i na tym poprzestanie lub błdnie zapisze zbiór rozwiza nierównoci rozłoy trójmian kwadratowy na czynniki liniowe i na tym poprzestanie lub błdnie rozwie nierówno popełni błd rachunkowy przy obliczaniu wyrónika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błdu rozwie zadanie Zdajcy otrzymuje... pkt gdy wyznaczy wszystkie liczby całkowite spełniajce podan nierówno kwadratow x,,0,,,3,4,5 { } Zadanie 6 (4 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworoktnym o krawdzi podstawy 8 cm, kt midzy wysokociami przeciwległych cian bocznych ma miar =60 0. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Wykonaj odpowiedni rysunek i zaznacz kt. Rozwizanie S α D C E F A B Zauwamy, e EFS jest równoboczny, a zatem wysokociany bocznej h = 8cm. Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa: P = 4 a h, gdzie a = 8cm P = 8 = 648cm

6 6 Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Wykonanie rysunku ostrosłupa prawidłowego czworoktnego i zaznaczenie kta α. Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Zapisanie, e trójkt EFS jest równoboczny, a zatem wysoko ciany bocznej h = 8cm Zapisanie zwizku umoliwiajcego obliczenie długoci wysokoci ciany bocznej, α 9 np. sin = h Uwaga Jeeli zdajcy nieprawidłowo zapisze zwizek dla uytej funkcji trygonometrycznej, to nie pokonał zasadniczych trudnoci zadania i nie przyznajemy punktów za dalsz cz rozwizania zadania. Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. błdy rachunkowe)... 3 pkt Jeeli zdajcy przy obliczaniu pola ciany bocznej popełnił błd rachunkowy nie napisze ułamka we wzorze na pole trójkta i konsekwentnie rozwie zadanie do koca Jeeli zdajcy przy obliczaniu pola powierzchni bocznej ostrosłupa popełnił błd rachunkowy nie napisze 4 we wzorze na pole powierzchni bocznej i konsekwentnie rozwie zadanie do koca Rozwizanie pełne... 4 pkt Obliczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa P = 648cm. (Naley akceptowa równie wynik bez podania jednostki). Uwaga Przyznajemy 0 punktów za zadanie, gdy zdajcy zaznaczy inny kt lub narysuje inn brył. Zadanie 7 (5 pkt) Wyznacz wzór funkcji f ( x) = x + bx + c w postaci kanonicznej wiedzc, e jej miejsca zerowe s rozwizaniami równania x 3 = 5. Rozwizanie: Rozwizujemy równanie 5 x 3 = x 3 = 5 lub x 3 = 5 x = 8 lub x = A zatem f ( x) = ( x 8)( x + ) Obliczamy współrzdne wierzchołka paraboli x + x p =, std p = 3 q = f p = = ( ) ( )( ) 50 Posta kanoniczna funkcji kwadratowej f wyraa si wzorem ( ) ( 3) 50 f x = x.

7 7 Rozwizanie, w którym postp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania... pkt Rozwizanie równania x 3 = 5 : x = 8 lub x = Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zapisanie funkcji f w postaci iloczynowej f ( x) = ( x 8)( x + ) Wyznaczenie współczynników b, c trójmianu kwadratowego: b =, c = 3 = x x lub zapisanie funkcji w postaci ogólnej ( ) 3 f x Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... 3 pkt Obliczenie współrzdnych wierzchołka paraboli: p = 3 i q = 50 Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. błdy rachunkowe)... 4 pkt Zapisanie funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej z pominiciem współczynnika a : f ( x) = ( x 8 )( x + ) i konsekwentnie do popełnionego błdu rozwizanie zadania do koca Zapisanie funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej z błdem, np. f x = x 3, f ( x) = ( x + 3) + 50, f ( x) = ( x 3) + 50, f ( ) ( ) 50 ( x) = ( x + 3) 50 Rozwizanie równania x 3 = 5 z błdem rachunkowym i konsekwentne do popełnionego błdu rozwizanie zadania do koca Rozwizanie pełne... 5 pkt Zapisanie funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej: f ( x) = ( x 3) 50. Zadanie 8 (5 pkt) Szkoła zamówiła seans filmowy dla uczniów klas trzecich. Koszt seansu wyniósł 650zł. Poniewa do kina nie przyszło 5 uczniów, pozostali musieli dopłaci po zł za bilet. Jaka była planowana, a jaka rzeczywista cena biletów? Rozwizanie: Oznaczamy: x - liczba uczniów, x N y - planowana cena biletu, y > 0 Zapisujemy i rozwizujemy układ równa: xy = 650 x 5 y + = 650 ( )( ) 650 y = x xy + x 5y = 665 Po uproszczeniu otrzymujemy równanie x 5x 4750 = 0, którego rozwizaniami s x = 65 lub x = 50, odrzucamy ujemne rozwizanie.

8 8 Wyznaczamy rozwizanie układu równa x = 65 y = 0 Odpowied : Planowana cena biletu to 0zł, a rzeczywista cena wyniosła zł. Rozwizanie, w którym postp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania... pkt Zapisanie zalenoci midzy cen biletu oraz liczb uczniów, np.: xy = 650 lub x 5 y + =, gdzie x - liczba uczniów, y -planowana cena biletu ( )( ) 650 Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt xy = 650 Zapisanie układu równa z niewiadomymi x i y, np.: x 5 y + = 650 ( )( ) Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... 3 pkt Zapisanie równania z jedn niewiadom x lub y, np.: x 5x 4750 = 0 Uwaga Zdajcy nie musi zapisywa układu równa, moe bezporednio zapisa równanie z jedn niewiadom. Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. błdy rachunkowe)... 4 pkt Rozwizanie równania kwadratowego z niewiadom x bezbłdnie i nieobliczenie planowanej ceny biletu lub rzeczywistej ceny biletu Rozwizanie równania kwadratowego z niewiadom x z błdem rachunkowym i konsekwentne obliczenie ceny biletu Rozwizanie zadania do koca z błdem rachunkowym popełnionym w którejkolwiek fazie rozwizania (rozwizanie jest przeprowadzone konsekwentnie w stosunku do popełnionego błdu, a sam błd nie spowodował istotnej zmiany w sposobie rozwizania zadania, np.: nie spowodował, e zamiast równania kwadratowego otrzymujemy równanie liniowe). Rozwizanie pełne... 5 pkt Podanie prawidłowej odpowiedzi: Planowana cena biletu to 0zł, a rzeczywista cena wyniosła zł Uwaga Jeli zdajcy nie opisze wprowadzonych oznacze, a z przedstawionego rozwizania nie mona jednoznacznie zinterpretowa wprowadzonych niewiadomych (np. zapisy s wzajemnie sprzeczne), to oceniamy rozwizania na 0 punktów.

9 9 Zadanie 9 (6 pkt) Długoci boków trójkta prostoktnego tworz cig arytmetyczny, w którym rodkowy wyraz wynosi 8. Wyznacz długoci boków trójkta, oblicz jego pole oraz długo promienia okrgu opisanego na tym trójkcie. I sposób rozwizania Wykonujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy na nim odpowiednie oznaczenia. a c b Cig (a, b, c) jest cigiem arytmetycznym. a + c Z treci zadania i własnoci cigu arytmetycznego wynika, e b = i b=8, a + c zatem 8 =. Przekształcajc otrzymujemy a = 6 c. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa zapisujemy równanie a + b = c. Po podstawieniu i przekształceniach otrzymujemy równanie liniowe 3 c = 30, którego rozwizaniem jest c = 0. Obliczamy długo przyprostoktnej a = 6 0 = 6. Obliczamy pole trójkta P = ab = 6 8 = 4 0 Obliczamy promie okrgu opisanego na tym trójkcie R = c = = 5. Odpowied : Długoci boków trójkta s równe 6, 8, 0. Pole trójkta jest równe 4, a promie okrgu opisanego na tym trójkcie jest równy 5. II sposób rozwizania Wykonujemy rysunek pomocniczy i oznaczamy jego boki a, a + r, a + r. a a +r a +r Zapisujemy równania (lub układ równa): ( ) ( ) a + + = + i a + r 8. a r a r =

10 0 Obliczamy r =. Wyznaczamy długoci boków trójkta a = 6, a + r = 8, a + r = 0. Obliczamy pole trójkta P = a ( a + r) = 4. 0 Obliczamy długo promienia okrgu opisanego na tym trójkcie R = ( a + r) = = 5. Rozwizanie, w którym postp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania... pkt Wykorzystanie wzoru na n-ty wyraz cigu arytmetycznego do zapisania długoci boków trójkta prostoktnego: a, a + r, a + r i zapisanie warunku a + r = 8 a + c Wykorzystanie własnoci cigu arytmetycznego b = i zapisanie b = 8 Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zapisanie układu równa a ( ) ( ) + a + r = a + r i a + r = 8 a + c Zapisanie układu równa a + 8 = c i 8 = Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... 4 pkt Doprowadzenie do postaci równania z jedn niewiadom 3 r = 64 lub 3 c 30 = 0 i obliczenie długoci boków trójkta a = 6 lub c = 0. Uwagi Jeli zdajcy obliczy długo tylko jednego z boków trójkta, to otrzyma 3 pkt. Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. błdy rachunkowe)... 5 pkt Obliczenie jednej z dwóch wartoci P = 4 R = 5. Uwagi Jeeli zdajcy popełni błd rachunkowy nie przekrelajcy poprawnoci rozwizania i konsekwentnie z tym błdem rozwie zadanie do koca, to otrzymuje 5 pkt. Rozwizanie pełne... 6 pkt Długoci boków trójkta wynosz 6, 8, 0; P = 4 i R = 5. Uwagi Jeeli zdajcy błdnie zapisze twierdzenie Pitagorasa, to otrzymuje 0 pkt. Jeeli zdajcy przyjmie bok długoci 8 jako pierwszy lub trzeci wyraz cigu, to otrzyma 0 pkt. Jeeli zdajcy otrzyma ujemne długoci boków, to otrzymuje 0 pkt.