ZADANIA EGZAMINACYJNE Z MATEMATYKI dla kandydatów na studia w Politechnice Lubelskiej na kierunku: INYNIERIA RODOWISKA

Transkrypt

1 ZADANIA EGZAMINACYJNE Z MATEMATYKI dla kandydatów na studia w Politechnice Lubelskiej na kierunku: INYNIERIA RODOWISKA Promie kuli zwikszono -krotnie Ile razy zwikszyła si jej objto Znale długo przektnych równoległoboku zbudowanego na wektorach a 5m + n, b m n jeeli wiadomo, e m, Rozwi nierówno: 5 < 4 4 Zbada monotoniczno unkcji ( ) sin cos, π π, 4 4 π m 4 n oraz kt (, n) 5 Cen v pewnego produktu zwikszono o v, a nastpnie t now cen zmniejszono o 5% Ile wynosi cena tego produktu po obu zmianach? 6 Rozwiza układ równa log log y log9 y Oblicz, bez uycia kalkulatora, warto wyraenia 8 Co to jest schemat Bernoulliego? cos o o sin 5 Rzucamy trzykrotnie szecienn kostk do gry Jakie jest prawdopodobiestwo, e dwa razy wypadnie szóstka? 9 Dla jakiej wartoci parametru k wielomian jest podzielny przez dwumian -? 0 Okreli dziedzin unkcji ( ) w ( ) + k Pole koła opisanego na kwadracie wynosi π Oblicz pole koła wpisanego w ten kwadrat Dla jakich wartoci parametru róne pierwiastki rzeczywiste? 0, π m równanie sin m + + cos m 0 ma dwa

2 Napisz równanie prostej stycznej do wykresu unkcji y, która jest równoległa do osi O 4 Obliczy długo ciciwy okrgu + y zawartej w prostej y Rozwi równanie: Rozwiza równanie Uzasadnij, e okrgi s zewntrznie styczne + y 9 oraz + y 6 + 8y Zbada monotoniczno cigu o wyrazie ogólnym 9 Wyznacz, dla którego cig jest cigiem arytmetycznym n a n n + a log, a log ( + 4), a 4 0 Wykaza, korzystajc z deinicji, e unkcja ( ), (,) swej dziedzinie Oblicz bez uycia kalkulatora jest malejca w Naszkicuj wykres unkcji log π ( ) ( ), cos, π, < 0 0 π > π Oblicz obwód kwadratu wpisanego w okrg o równaniu + y 4 + 6y Znale współrzdne wierzchołków trójkta ABC majc dane współrzdne rodków jego boków K (, ), (,), 5 Oblicz lim( n n 5n ) n M (,4 ) N

3 6 Znale unkcj odwrotn do unkcji 7 Rozwiza równanie: 8 Rozwiza równanie ( ),, sin sin 0 > Napisz równanie stycznej do krzywej y cos + w punkcie o odcitej 0 0 Dla jakiej wartoci parametru k wektory a p + kq oraz b p + q s prostopadłe, jeeli p 5,, q kt ( p, q) π Czy wród 600 osób musz si znale osoby o jednakowych inicjałach (przyjmujemy, e alabet ma 4 litery)? Dana jest unkcja o g( ) 0 4 dla dla dla Czy ta unkcja jest cigła? Sporzd jej wykres Rozwi nierówno: 0 0 < < 4 Obliczy ( sin ctg5) lim Michał jedzie samochodem do pracy 0 minut, a Anna rowerem 0 minut t sam tras Po jakim czasie Michał dogoni Ann, jeeli wyjechał z domu 5 minut po niej? 6 W cigu arytmetycznym a 5, r Oblicz sum wyrazów od dziesitego do dwudziestego (włcznie) 7 Szecian o krawdzi długoci a przecito płaszczyzn, do której nale dokładnie trzy jego wierzchołki Oblicz pole otrzymanego przekroju 8 Wyznacz dziedzin unkcji ( ) log log ( 5 + 6) h

4 9 Dla jakich wartoci parametru a wektory [, ], 40 Wykaza, e unkcja ( ) 4 Wska liczb naturaln n, dla której 4 Rozwiza układ równa u v [ a + a] nie ma granicy w punkcie o n 5 log + log y log6 log log y log 4 4 Wyznacz dziedzin unkcji y log ( 4 ) 44 Rozwiza równanie 45 Rozwi nierówno 64 ( log 5 + ) log sin t lim t 0 t 5 cos, s prostopadłe? 46 Z półkola utworzono pobocznic stoka Znale kt rozwarcia tego stoka 47 Rozwinicie powierzchni bocznej walca jest kwadratem Oblicz stosunek objtoci tego walca do objtoci kuli, której promie jest równy promieniowi podstawy walca 48 Obliczy prawdopodobiestwo, e suma oczek przy rzucie trzema kostkami jest równa 7 49 Dane s okrgi: + y 4 + 6y + 0 oraz ( + ) + ( y 5) 0 Napisz równanie symetralnej odcinka łczcego rodki tych okrgów 50 Zbada monotoniczno unkcji ( ) sin + cos 5 Narysuj wykres unkcji y + 5 Poda ilustracj geometryczn zbiorów A \ B i A B, gdzie A B {(, y) : R y R y + } {(, y) : R y (, } 5 Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długoci cm i 4 cm wiedzc, e trapez ten mona opisa na okrgu 54 Znale ekstrema unkcji ( ) 4 + h

5 55 Rzucamy dwukrotnie kostk do gry Oblicz prawdopodobiestwo zdarzenia A polegajcego na tym, e suma wyrzuconych oczek spełnia nierówno + < Wyznacz dziedzin unkcji y log 57 Wykres unkcji ( ) + b + c 6 przechodzi przez punkt P(,-) Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie P wynosi - Wyznacz najmniejsz i najwiksz warto unkcji w przedziale <, > 58 Znale objto stoka wiedzc, e jego powierzchnia boczna po rozwiniciu jest półkolem o promieniu r 59 Znajd okres unkcji ( ) sin π, R 5 60 Rozwiza równanie + + log log 6 Z liczb,,,00 wybrano losowo jedn liczb, a nastpnie z pozostałych wybrano drug Oblicz prawdopodobiestwo, e za drugim razem wybrano liczb podzieln przez 5 6 Wykonaj wykres unkcji ( ) Ile pierwiastków ma równanie 0, R 64 Napisa równanie okrgu przechodzcego przez punkty (,0), ley na prostej y 0 65 Oblicz lim( ) A B (, ), którego rodek 66 Dla jakich wartoci parametru m nierówno + ( m + ) + 8m + > 0 spełniona dla kadego R? jest 67 Na bokach AB, BC i CA trójkta ABC obrano punkty K, L i M tak, e czworokt AKLM jest rombem Oblicz długo boku tego rombu, jeeli AB 9, CA 68 Znale punkt na krzywej o równaniu y, w którym styczna jest równoległa do osi 0 69 Napisz równanie stycznej do wykresu unkcji ( ) w punkcie (,) +

6 70 Poda i uzasadni zaleno miary łukowej od miary stopniowej kta 7 Ile liczb całkowitych spełnia nierówno Wymie wszystkie wielociany oremne 7 Oblicz reszt z dzielenia wielomianu przez 4 74 Wyznaczy przedziały, w których unkcja ( ) sin + cos + π jest rosnca 75 W trójkcie ABC dane s boki AB 4, BC 7, CA Oblicz miar kta przy wierzchołku A 76 Wyznaczy zbiór wartoci unkcji + y + 77 Na siedmiu klockach wyrzebiono litery A, A, A, B, B, R, R Bawic si nimi dziecko układa je w rzd Oblicz prawdopodobiestwo, e przypadkowo złoy ono słowo BARBARA 78 Rozwiza równanie 6cos + sin Czy unkcja okrelona wzorem ( ), R, jest róniczkowalna? 80 Znale punkt na wykresie unkcji ( ) 48 + prostopadła do prostej + 4 y Napisz równanie stycznej do wykresu unkcji ( ) ( ) 6, w którym styczna jest + w punkcie (,) 8 Górna podstawa trapezu jest o 40% krótsza od dolnej podstawy i pole trapezu wynosi cm Oblicz pole trójkta dobudowanego do trapezu przez przedłuenie boków nierównoległych trapezu 00 8 Oblicz lim Nakreli zbiór ( y) 85 Czy unkcja okrelona wzorem { : 4 log y}, ( ) dla dla 0 0 jest cigła? 86 Wyprowadzi wzór na pole n-kta oremnego opisanego na okrgu o promieniu R 87 Dla jakiej wartoci parametru b równanie

7 ma rozwizanie? 88 Rozwiza równanie sin b + cos sin, 0,π S 4 89 Narysuj wykres unkcji ( ) Naszkicowa wykres unkcji ( ) h 9 Wybierz najwiksz sporód liczb: sin o, sin 0 o, sin 0 o 9 Dla jakich m R nierówno + m m > 0 nie ma rozwiza? 9 Rozwi równanie Rzucamy dwoma kostkami do gry Jakie jest prawdopodobiestwo tego, e suma oczek bdzie podzielna przez 95 Dla jakich wartoci cig a n + 4 n jest zbieny? 96 Wyprowadzi równanie stycznej do okrgu k : r, + y w punkcie ( o yo ) k 97 Poda zaleno miary łukowej od miary stopniowej kta 98 Wyznaczy przedziały monotonicznoci unkcji ( ) 99 Obliczy sin 4 cos 4, jeeli cos 0,6 00 Dla jakiego parametru m prosta + y m 0 i okrg + y maj dwa punkty wspólne? 0 Narysowa zbiór ( y) {, : 4 log y} 0 Znale okres unkcji y + sin 0 Odległo punktu P(,) od prostej + y m wynosi Obliczy m 04 Majc dane sin + cos a, obliczy warto wyraenia sin + cos Dla jakich wartoci parametru a zadanie ma rozwizanie? 05 Dla jakich wartoci m R prawdziwa jest implikacja

8 06 Dana jest unkcja ( ) log 8 m sin π 4 + Rozwiza równanie 07 Obliczy y (0), jeeli y - sin + cos 08 Dla jakich m (,5) zbiór (, y) 09 Nakreli krzyw y log ( ) { : + y < m y } '( ) jest pusty? 8 0 Napisa równania asymptot wykresu unkcji danej wzorem ( ) Czy unkcja jest cigła w R? Dany jest układ równa ( ) 0 sin a + by c d + ey Omów metody rozwizywania takiego układu 0 0 Znajd najwiksz warto unkcji ( ) sin + cos, R 4 Wyznaczy kt pomidzy wektorami a i b, jeli długoci wektorów a + b oraz a b s takie same 5 Czy unkcja g ( ) spełnia warunek 0 ( ) g?, ( ), 0 < < < 6 Sporzdzi wykres unkcji y + 7 Czy zbiór punktów płaszczyzny, których współrzdne spełniaj nierównoci y + i y y + jest zbiorem wypukłym? π 8 Obliczy '( π ), jeli ( ) cos + 9 Ile punktów wspólnych z osi O ma wykres unkcji ( ) + +?

9 0 Dana jest unkcja ( ) Obliczy '( ) i '( ) Rozwiza w zalenoci od parametru a układ równa + ay a + y a Dla jakiej wartoci parametru m unkcja ( ) m + 8 ma ekstremum? Dla jakiej wartoci a wielomian + + a + jest podzielny przez 4 Poda warunek na to, aby okrg o równaniu + y + + by + c 0 był styczny do osi 0? 5 Czy unkcja ( ) ( log ) +, > 0, spełnia warunek ( ) 6 W zalenoci od parametru a rozwiza równanie a 7 Zbada parzysto unkcji h ( ) + 8 Dla jakich wartoci parametru m istnieje dla kadego rzeczywistego logarytm log m? 7 ( ) + ( 6 m) + ( m 9) log 9 Ile pierwiastków ma równanie 0 0, > 0? 0 Rozwiza nierówno + < 4 Z dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu o boku długoci a zakrelono koła, kade o promieniu długoci a Oblicz pole czci wspólnej tych kół Obliczy sum S a5 + a6 + + a0 wyrazów cigu geometrycznego, w którym a cos π oraz π q log 6 tg Czy unkcja dana wzorem ( ) 5 +, jest rosnca? + 4 Obliczy objto czworocianu oremnego o boku a 5 Obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia, e trzy losowo wybrane wierzchołki szecianu wyznaczaj trójkt równoboczny 6 Znale takie a, aby unkcja ( ) a + 5 minimum w punkcie 5, gdzie R, osigała 7 Gospodyni kupiła litr octu 0% Ile wody powinna dola, aby otrzyma roztwór 6%?

10 n 8 Rozwiza równanie 6 n 9 Czy równanie 4 sin cos + tg ma pierwiastki? 40 Rozwiza równanie cos cos 4 Czy odcinek AB, A(,), (, ) B ley w kole + y 4 4 Długo przektnej prostopadłocianu o podstawie kwadratowej wynosi c Jak najwiksz warto moe osign suma długoci wszystkich krawdzi? 4 Rozwiza nierówno ( )( ) ( ) 0 44 W koło o promieniu r wpisa trójkt równoramienny o najwikszym polu 45 Czy proste + y 5 0, + y 5 0, + y 0 przecinaj si w jednym punkcie? 46 Rozwiza nierówno: log sin <, ( 0, π ) 47 Zbada liczb pierwiastków równania 4 + a, w zalenoci od a 48 Rozwiza równanie sin + cos 49 Rozwiza równanie + π tg 50 Obliczy lim 0 π 5 W szeciokcie oremnym o polu równym S połczono rodki kolejnych boków Obliczy pole powstałego w ten sposób szeciokta 5 Rozwiza równanie log 4 log log 0 5 Czy trójkt o wierzchołkach A(,), B(,), C(5,-) jest prostoktny? 54 Sporzd wykres unkcji ( ) y sin + cos 55 W równoległoboku ABCD dane s AB [,4], C(,-) oraz rodek symetrii równoległoboku S(,) Wyznacz współrzdne pozostałych wierzchołków równoległoboku ABCD 56 Zbada róniczkowalno unkcji ( ) Znajd asymptoty wykresu unkcji ( ) 58 Czy unkcja ( ), R, jest róniczkowalna w punkcie 0?

11 59 Dane s unkcje: ( ) + i g( ) + wspólnych punktów wykresu unkcji i g Wyznacz współrzdne 60 Rozwiza równanie '( ) + ( ) cos, gdzie ( ) sin + cos 6 Wyznacz zbiór wartoci unkcji ( ) ( ) 6 Dla jakiej wartoci parametru m rozwizanie układu i R jest takie, e + y m 0 + y 0 tgα i y ctgα 6 Dany jest cig arytmetyczny (a n ), w którym: a, a 7 Który wyraz cigu (a n ) jest równy 497? 64 Wyznaczy wymiary walca wpisanego w kul o promieniu R tak, aby jego objto była maksymalna 65 Wyznacz pity wyraz cigu okrelonego wzorem a a n a + n oraz oblicz sum piciu pocztkowych wyrazów tego cigu 66 W kul o promieniu R wpisano ostrosłup prawidłowy trójktny Dla jakich wymiarów ostrosłupa jego objto jest najwiksza? 67 Odcinek A B jest obrazem odcinka AB o kocach A(,-), B(,) w jednokładnoci o skali k - i rodku w punkcie (0,0) Oblicz stosunek długoci odcinka AB do długoci odcinka A B 68 Obwód prostokta wynosi p Jaka powinna by długo jednego z boków prostokta, aby objto bryły otrzymanej przez obrót tego prostokta dookoła drugiego boku była najwiksz? 69 Trójkt ABC ma boki o długociach,4,6 Zbadaj, czy ten trójkt jest ostroktny, prostoktny czy rozwartoktny? 70 Rozwiza równanie sin 7 cos5 7 Czy 0,8 m papieru wystarczy na oklejenie pudełka bez przykrywki w kształcie prostopadłocianu o wymiarach dm, 4 dm, 5 dm? 7 Jakich przekształce trzeba dokona, aby z wykresu unkcji y otrzyma wykres + unkcji ( ) 5 y

12 7 Długoci ssiednich boków równoległoboku s równe 5 i 8 Kt pomidzy nimi wynosi 60 o Oblicz długoci przektnych rownoległoboku 74 Dla jakich wartoci c wektory a [,] i b [ c + c] równoległe? 75 Dla jakich wartoci parametru a unkcja ( ) a Rozwiza nierówno log > 4 6, s prostopadłe, a dla jakich jest rosnca? 77 Dane jest równanie + y 4 6y + m 4m + 0 Wyznacz te wartoci m R, dla których to równanie jest równaniem okrgu 78 Rozwiza nierówno > 79 Zbiór A jest zbiorem tych wartoci parametru m, dla których unkcja ( ) ( m ) + + m + ma dwa róne miejsca zerowe Zbiór B jest zbiorem rozwiza nierównoci m + Wyznacz ( A B)' 80 Dla jakiej wartoci a wykres unkcji 45 o? y przecina o odcitych pod ktem + a 8 Rozwiza równanie sin cos + 8 Pole igury ograniczonej okrgiem opisanym na szeciokcie oremnym i brzegiem szeciokta jest równe π cos 8 Rozwiza nierówno ( 0,) 84 Sporzd wykres unkcji ( ) sin Oblicz długo okrgu, R 85 W jakim układzie logarytmów log 00 jest o wikszy od log 5? 86 Rozwiza równanie sin + cos sin 87 Znale najwiksz i najmniejsz warto unkcji ( ) 4 + 5, <, > 88 Czy istnieje R, dla którego układ ma nieskoczenie wiele rozwiza? + ay a + y a

13 89 Nakreli wykres unkcji ( ) Dla jakiej liczby naturalnej n liczba 9 Obliczy sin 5 lim cos 0 5n + 9 5n + 7 jest liczb naturaln? 9 W walcu umieszczono czworocian oremny o boku a w ten sposób, e podstawa tego czworocianu jest wpisana w podstaw walca, a czwarty jego wierzchołek ley na drugiej podstawie walca Oblicz pole powierzchni bocznej walca, 9 Na wykresie unkcji ( ) sin + sin, < 0, > unkcja nie ma pochodnej a 4 π zaznaczy punkty, w których ta 94 W kwadracie ABCD dany jest wierzchołek A (,0 ) i wektor AC [ 4,] równania boków kwadratu 95 Zamieni na ułamek zwykły,(7) Znale 96 W jakiej odległoci od rodka kuli o promieniu naley przeci j płaszczyzn, aby stosunek powierzchni kuli do pola przekroju wyniósł 97 Zbada monotoniczno cigu o wyrazie ogólnym 6 n a n n Jaki prostokt o obwodzie 6cm ma najkrótsz przektn? 99 Dana jest unkcja ( ) + Rozwiza równanie 00 Czy istnieje wielokt, który ma tyle samo boków co przektnych? '()