Funkcje wielu zmiennych
|
|
- Jerzy Owczarek
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2 R n R} Funkcjąnmiennch określoną na biored R n o wartościach w R nawam prporądkowanie każdemu punktowi e bioruddokładnie jednej licb recwistej Funkcję taką onacam pre f:d R lub w=f( 1, 2,, n ), gdie( 1, 2,, n ) D Wartość funkcjif w punkcie( 1, 2,, n ) onacam pref( 1, 2,, n ) Dlan=2 mam funkcję dwóch miennch =f(,) R 2 (,) =f(,) R D R 2 (,) R =f(,) Dlan=3 mam funkcję trech miennch w=f(,,) R 3 (,,) w=f(,,) R D R 3 R 1 w=f(,,)
2 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 1 Diedina, wkres i warstwice funkcji wielu miennch Zbiór wsstkich punktów prestreni R n, dla którch funkcjaf jest określona nawam diediną funkcjifi onacam pred f Jeżeli dan jest wór określając funkcję, to biór punktów prestreni R n, dla którch wór ten ma sens, nawam diediną naturalną funkcji Prkład 11 (Prkład funkcji dwóch miennch) Niech f(,)= Niech f(,)= WówcasD f = R 2 WówcasD f ={(,): } Niech f(,)=arcsin WówcasD f ={(,): 1 1 0} Prkład 12 (Prkład funkcji trech miennch) Niech g(,,)= WówcasD g ={(,,): } 2
3 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 13 (Inne prkład funkcji wielu miennch) NatężenieI prądu w oporniku o oporerjest według prawa Ohma funkcją napięciau, prłożonego do acisków tego opornika, ora oporur, tn I= U R TemperaturaT w punkciep(,,) ogrewanego ciała w chwilitjest funkcją cterech miennch, mianowicie tego punktu ora casut, tn T=T(,,,t) Wkresem funkcjin-miennch nawam biór {( 1,, n,w): ( 1,, n ) D f w=f( 1,, n )} R n R Dlan=2 {(,,): (,) D f =f(,)} R 3 =f(,) D f Poiomicą wkresu funkcji dwóch miennch = f(, ) odpowiadającą poiomowi h R nawam biór {(,): (,) D f f(,)=h} R 2 =f(,) f(,)=h poiomica wkresu funkcjif Warstwicą wkresu funkcjif:d f R,n 3 odpowiadającą warstwieh R nawam biór {( 1,, n ) D f : ( 1,, n ) D f f( 1,, n )=h} R n 3
4 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 11 Wkres ważniejsch funkcji dwóch miennchf: R 2 R Wkresem funkcji =A+B+C jest płascna o wektore normalnm n=[ A, B,1], prechodąca pre punkt(0, 0, C) Wkresem funkcji =a( ) jest paraboloida obrotowa, tj powierchnia obrotowa powstała obrotu paraboli=a 2 (lub=a 2 ) wokół osio a>0 Wkresem funkcji =± R jest górna lub dolna półsfera o środku w pocątku układu współrędnch i promieniu R = R = R Wkresem funkcji =k jest stożek, tj powierchnia powstała obrotu półprostej= k,=0, dla 0 wokół osio k>0 4
5 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne ( ) Wkresem funkcji =h jest powierchnia obrotowa powstała obrotu wkresu funkcji =h(), =0, dla 0 wokół osio Wkresem funkcji =g() lub =k() jest powierchnia walcowa powstała presunięcia wkresu funkcji=g(), dla=0równolegle do osioy lub wkresu funkcji=k(), dla=0równolegle do osiox Wkres funkcji=f( a, b)+c powstaje wkresu funkcji=f(,) pre presunięcie o wektor v=[a,b,c] v=[a,b,c] Wkres funkcji= f(,) powstaje wkresu funkcji=f(,) pre smetrcne odbicie wględem płascn OXY 5
6 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 2 Powierchnie obrotowe ( ) Krwa obracająca się dookoła prostej ataca powierchnię obrotową Obróćm krwą o równaniu =(t), =(t), =(t), t a,b dookoła osioz Wówcas punktp((t 0 ),(t 0 ),(t 0 )) krwej atoc okrąg o równaniu ( ) =[(t 0 )] 2 +[(t 0 )] 2 leżąc na płascźnie =(t 0 ) Po eliminacjit 0 ( ) otrmujem równanie powierchni obrotowej atacane j pre krwą Prkład 21 (Prkład powierchni obrotowch) Niech linia prosta =t, =t, =2t, t R obraca się dookoła osioz Wówcas punktp(t 0,t 0,2t 0 ) prostej atoc okrąg o równaniu ( ) =2(t 0 ) 2 leżąc na płascźnie =2t 0 Po eliminacjit 0 ( ) otrmujem równanie powierchni obrotowej atacanej pre daną prostą = 2 2 < równanie stożka Niech okrąg =a+rcost, =0, =rsint, t R obraca się dookoła osioz Wówcas punktp(a+rcost 0,0,rsint 0 ) prostej atoc okrąg o równaniu ( ) =(a+rcost 0 ) 2 Po eliminacjit 0 ( ) otrmujem równanie ( a) =r 2 < równanie torusa; powierchni obrotowej atacanej pre okrąg =a+rcost, =0, =rsint, t R 6
7 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 3 Granice funkcji wielu miennch Niech(P k ( k1,, kn )) ki N będie ciągiem punktów w Rn Definicja 31 Mówim, że ciąg(p k ) dąż do punktup 0 ( 01,, 0n ) R n, jeżeli lim k i = 0i, dla każdegoi=1,2,,n, k i + onaca to bieżność dla każdej współrędnej ( ) 1 Prkład 32 NiechP n ( n, n )= n,( 1)n ciąg punktów w prestreni R 2 n Wówcas lim ( n, n )=(0,0) n + Niechf: R n R będie funkcjąn-miennch NiechP 0 ( 01,, 0n ) R n ora niech funkcjaf będie określona prnajmniej na S(P 0 ) def = gdier>0 jest pewną licbą { ( 1,, n ) R n : (1 01 ) 2 + +( n 0n ) 2 <r} \{P 0 }, ( k1,, kn ) ki 0i i=1,2,,n lim f( 1,, n )=g [ def ] lim k i = 0i,i=1,,n lim k 1,, kn )=g k i k i 31 Własności granic funkcji wielu miennch Twierdenie 33 Jeżeli funkcjef ig mają granice właściwe w punkciep 0 R n, to lim [f(p)±g(p)]= lim f(p)± lim g(p) lim c f(p)=c lim f(p) lim [f(p) g(p)]= lim f(p) lim g(p) lim f(p) f(p) lim g(p) = lim g(p), o ile lim g(p) 0 Twierdenie 34 Jeżeli funkcjeϕ i,i=1,,n if spełniają warunki: lim T T 0 ϕ i (T)= 0i, T R m T S(T 0 ) (ϕ 1 (T),,ϕ n (T)) ( 01,, 0n ) lim f(p)=g, to limf(ϕ 1 (T),,ϕ n (T))=g T T 0 7
8 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 4 Ciągłość funkcji wielu miennch Niechf: R n R będie funkcjąn-miennch Funkcja jest ciągła w punkciep 0 ( 01,, 0n ) def lim f( 1,, n )=f( 01,, 0n ) Twierdenie 41 Jeżeli funkcjef ig są ciągłe w punkciep 0 ( 01,, 0n ), to w tm punkcie ciągłe są także funkcje f+g, f g, c f,c R, f g, f g, o ileg(p 0) 0 Jeżeli funkcjeϕ i,i=1,,n są ciągłe w punkcie T 0 R m oraf jest ciągła w punkcie P 0 =(ϕ 1 (T 0 ),,ϕ n (T 0 )), to funkcja jest ciągła w T 0 f(ϕ 1 (t 1,,t m ),,ϕ n (t 1,,t m )) 8
9 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 5 Pochodne cąstkowe Niechf onaca funkcjęn-miennch określoną w otoceniu O punktup 0 ( 01,, 0n ) Smbolem i onacam prrost miennej nieależnej i,1 n n, różn od era i taki, żeb punkt P( 01,, 0i 1, 0i + i, 0i+1,, 0n ) należał do otocenia O Granicę właściwą f(p) f(p 0 ) lim i 0 i nawam pochodną cąstkową rędu pierwsego funkcjif wględem miennej i w punkciep 0 i onacam smbolem i (P 0 ) 51 Pochodne cąstkowe funkcji dwóch miennch Dla funkcji dwóch miennch f(, ) definicje pochodnch cąstkowch rędu pierwsego wględem miennchi w punkciep 0 ( 0, 0 ) są następujące (P 0) def f( 0 +, 0 ) f( 0, 0 ) = lim 0 ora (P 0) def f( 0, 0 + ) f( 0, 0 ) = lim 0 52 Interpretacja geometrcna pochodnch cąstkowch dla funkcji dwóch miennch Niechf: R 2 R, =f(,) Załóżm, żef ma pochodne cąstkowe rędu pierwsego w punkcie P 0 ( 0, 0 ) ( 0, 0 )=tgα ( 0, 0 )=tgβ α β ( 0, 0 ) jest miarą lokalnej sbkości wrostu wartości funkcjif wględem miennejpr ustalonej wartości miennej ( 0, 0 ) jest miarą lokalnej sbkości wrostu wartości funkcjif wględem miennejpr ustalonej wartości miennej Uwaga 1 Nie ma wiąku międ ciągłością funkcji wielu miennch a istnieniem pochodnch cąstkowch 9
10 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 51 (Prkład funkcji nieciągłej i mającej pochodne cąstkowe) Funkcja wielu miennch może mieć w punkcie obie pochodne cąstkowe pierwsego rędu i może nie bć ciągła w tm punkcie, 1, dla=0 np funkcjaf(,)= nie jest ciągła w punkcie(0,0), alef ma pochodne cąstkowe w 0, dla 0 punkcie(0,0): f(,0) f(0,0) 1 1 (0,0)= lim = lim 0 0 =0 i f(0, ) f(0,0) 1 1 (0,0)= lim = lim 0 0 =0 Prkład 52 (Prkład funkcji ciągłej nie mającej pochodnch cąstkowch) Niechf(,)= Funkcjaf jest ciągła w punkcie(0,0), gdż =0=f(0,0), ale lim (,) (0,0) i (0,0)= lim = lim (0,0)= lim = lim 0 0 nie istnieje nie istnieje Jeżeli funkcja ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w każdm punkcie bioru otwartego D R n, to funkcje ( 1,, n ), ( 1,, n ),, ( 1,, n ), 1 2 n gdie( 1,, n ) D, nawam pochodnmi cąstkowmi pierwsego rędu funkcjif na biore D i on,,, lub f 1 2 1,f 2,,f n n Prkład 53 Niech f(,)= e ln(+) Niech g(,,)= 3 arctg(+e ) 6 Pochodna kierunkowa funkcjif: D R n R Niechf onaca funkcjęn-miennch określoną w otoceniu O punktup 0 ( 01,, 0n ) D Pochodną kierunkową funkcjif w punkciep 0 w kierunku wersora v=[v 1,v 2,,v n ] określam worem df d v (P 0) def f( 01 +tv 1,, 0n +tv n ) f( 01,, 0n ) =lim t 0 t Pochodna kierunkowa df d v funkcjif w kierunku v jest też onacana następująco v lub f v 10
11 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Dlaf: D R 2 R Dlaf: D R 3 R df d i =, df d j = Prkład 61 Niechf(,,)= 2 2,P 0 (1,0, 1) i v= df d v (P 0) def = lim t 0 df d i =, df d j =, df d k = [ ] , 3, Wówcas 3 ( 1+ 1 ) ( 2 )( ) t t 1+ 3 t lim 3 t+1 9 t2 2 3 t 0 t 2 3t+ 15t = 2 t 3 Prkład 62 Niechf(,,)=e ++,P 0 (0,0,0) i v=[1,1,1] Wówcas df d v (P 0) def e 3t 1[ 0 0 =lim =lim ] 3e 3t t 0 t t 0 1 = 3 = ( 1 ) 3 61 Interpretacja geometrcna pochodnej kierunkowej funkcji dwóch miennch Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktu( 0, 0 ) Ponadto niechγonaca kąt nachlenia do płascn XOY półstcnej do krwej otrmanej w wniku prekroju wkresu funkcji f półpłascną prechodącą pre prostą ora równoległą do wersora v Wted = 0, = 0 df d v ( 0, 0 )=tgγ γ ( 0, 0,0) v Pochodna kierunkowa określa sbkość mian wartości funkcjif w kierunku v 7 Gradient funkcji Niechf: D R n R Gradientem funkcjif w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam wektor określon worem f(p 0 ) def = [ (P 0 ), (P 0 ),, ] (P 0 ) 1 2 n Gradient w punkciep 0 jest również onacan pre gradf(p 0 ) lub f (P 0 ), tak jak pochodna jednej miennej Prkład 71 Niechf(,)= ip 0 ( 2,1) Wówcas [ ] f=, =[ ,2 3 1], więc f( 2,1)=[15, 17] 11
12 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 71 Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Twierdenie 72 (wór do oblicania pochodnej kierunkowej) Niech pochodne cąstkowe i,i= 1,,n będą ciągłe w punkciep 0 ( 01,, 0n ) ora niech v będie dowolnm wersorem Wted df d v (P 0)= f(p 0 ) v Prkład 73 Niechf(,)= ,P 0 ( 2,1) i v= [ 1 2, 1 2 ] Wówcas [ df 1 d v ( 2,1)= f( 2,1) v=[15, 17] 2, 1 ] = Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie licona w kierunku gradientu ma wartość najwięksą spośród wsstkich pochodnch kierunkowch liconch w różnch kierunkach i df d f(p 0 ) (P 0)= f(p 0 ) 72 Interpretacja geometrcna gradientu funkcji dwóch miennch Gradient funkcji w punkcie wskauje kierunek najsbsego wrostu funkcji w tm punkcie ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) Gradient funkcji w punkcie jest prostopadł do poiomic funkcji prechodącej pre ten punkt 0 0 ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) 8 Pochodne cąstkowe drugiego rędu Niech funkcjaf ma pochodne cąstkowe i,i=1,2,,n, na obsare D R n ora niechp 0 ( 01, 02,, 0n ) D Pochodne cąstkowe drugiego rędu funkcjif w punkciep 0 określam worami: 2 ( ( )) f 2 (P 0 )= (P 0 ), i i i ( ( )) (P 0 )= (P 0 ), i j i j 12
13 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne dlai,j=1,2,,n Powżse pochodne onacam także odpowiednio pre f i i (P 0 ), f j i (P 0 ) lub f i i (P 0 ), f j i (P 0 ) Jeżeli funkcjaf ma pochodne cąstkowe drugiego rędu w każdm punkcie obsaru D R n, to funkcje 2 ( 1,, n ), i i j ( 1,, n ),i,j=1,2,,n gdie( 1,, n ) D, nawam pochodnmi cąstkowmi drugiego rędu funkcji f na obsare D i onacam odpowiednio pre 2 f 2 i, i j lub f i i, f j i 9 Pochodne cąstkowe wżsch rędów Jeżeli funkcjaf ma pochodne cąstkowe ręduk 2 prnajmniej na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) D R n, to ( ( )) k+1 f k f i s (P 0 )= j p l i s (P 0 ), j p l gdies+p=k Twierdenie 91 (Twierdenie Schwara) Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech pochodne cąstkowe pochodne cąstkowe i j, i j, j i istnieją na otoceniu punktup 0 j i, będą ciągłe w punkciep 0 Wted (P 0 )= 2 f (P 0 ),i j ii,j=1,2,,n i j j i Uwaga 2 Prawdiwe są analogicne równości dla pochodnch miesanch wżsch rędów 10 Różnickowalność funkcjin-miennch Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) ora niech istnieją pochodne cąstkowe i (P 0 ),i=1,,,n Funkcja f jest różnickowalna w punkciep 0 wted i tlko wted, gd spełnion jest warunek: lim ( 1,, n) (0,,0) gdiep=( ,, 0n + n ) f(p) f(p 0 ) 1 (P 0 ) 1 n (P 0 ) n =0, ( 1 ) 2 + +( n ) 2 Twierdenie 101 (Warunek koniecn różnickowalności funkcji) Jeżeli funkcja jest różnickowalna w punkcie, to jest ciągła w tm punkcie Uwaga 3 Twierdenie odwrotne nie jest prawdiwe Świadc o tm prkład funkcjif(,)= 2 + 2, która jest ciągła w punkcie(0, 0), ale nie jest w tm punkcie różnickowalna, gdż nie istnieją pochodne cąstkowe tej funkcji, patr Prkład 52 13
14 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Twierdenie 102 (Warunek wstarcając różnickowalności funkcji) Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech pochodne cąstkowe pochodne cąstkowe i,i=1,,n istnieją na otoceniu punktup 0 i,i=1,,n będą ciągłe w punkciep 0 Wted funkcjaf jest różnickowalna w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Różnickowalność funkcjif w punkcie( 0, 0 ) onaca, że istnieje płascna stcna (niepionowa) do wkresu tej funkcji w punkcie( 0, 0,f( 0, 0 )) =f(,) płascna stcna ( 0, 0, 0 ) Równanie płascn stcnej do wkresu funkcji Niech funkcjaf będie różnickowalna w punkciep 0 ( 0, 0 ) Równanie płascn stcnej do wkresu funkcjif w punkcie( 0, 0, 0 ), gdie 0 =f( 0, 0 ), ma postać: 11 Różnicka funkcjin-miennch 0 = ( 0, 0 )( 0 )+ ( 0, 0 )( 0 ) Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech funkcjaf ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Różnicką funkcjif w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam funkcję miennch 1, 2,, n określoną worem: df(p 0 )( 1, 2,, n ) def = n i=1 i (P 0 ) i, Różnickę funkcjif onaca się także predf( 01, 02,, 0n ) lub krótkodf 111 Zastosowanie różnicki funkcjin-miennch Niech funkcjaf będie różnickowalna w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Wted f( ,, 0n + n ) f(p 0 )+df(p 0 )( 1,, n ), pr cm błądδ( 1, 2,, n ) powżsego prbliżenia dąż sbciej do 0 niż ( 1 ) 2 +( 2 ) 2 + +( n ) 2, tn lim ( 1,, n) (0,,0) δ( 1, 2,, n ) ( 1 ) 2 +( 2 ) 2 + +( n ) 2=0 14
15 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 111 Wkorstując różnickę oblicm wartość prbliżoną wrażenia 2,1 8,05 Definiujem funkcję f(,)= Prjmujem 0 =2 0 =8 =0,1 i =0,05 Ponieważ =1 2 i =1 2,więc 2,1 8, , ,05=4, Zastosowanie różnicki funkcji do sacowania błędów pomiarów Niech wielkości ficne 1, 2,, n,będą wiąane ależnością=f( 1, 2,, n ) Ponadto niech i,i=1,2,,n onacają odpowiednio błęd bewględne pomiaru wielkości 1, 2,, n Wted błąd bewględn obliceń wielkościwraża się worem prbliżonm n i i=1 i Prkład 112 Pr pomoc menurki można mierć objętość ciała dokładnością V =0,1 cm 3, a pr pomoc wagi sprężnowej można ustalić jego masę dokładnością 1 g Objętość ciała mierona tm sposobem wnosiv =25 cm 3, a masam=200 g Z jaką w prbliżeniu dokładnością można oblicć gęstośćρtego ciała? Ponieważ ρ(m,v)= M V, więc ρ M =1 V i ρ V = M V 2, więc 113 Różnicka upełna ρ ρ M M+ ρ V V= ,1=0,072 Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech funkcjaf ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Prrost 1, 2,, n nawam różnickami miennch nieależnch 1, 2,, n, odpowiednio i onacam smbolami d 1, d 2,, d n Różnicką upełną funkcjif w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam wrażenie: df(p 0 ) def = n i=1 i (P 0 )d i 15
16 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 12 Różnickowalność odworowaniaf: R n R m Niech D R n będie otwartm niepustm podbiorem,p 0 D oraf=(f 1,,f m ):D R m Odworowanief=(f 1,,f n ):D R m nawam różnickowalnm w punkciep 0, gd istnieje macier a 11 a 1n, a m1 a mn taka że a 11 a 1n 1 f(p) f(p 0 )= + ε(p 0, 1,, n ), a m1 a mn n gdie = ( 1 ) 2 + +( n ) 2,P=( ,, 0n + n ) D,P 0 =( 01,, 0n ) D i lim 0 ε(p 0, 1,, n )=0 121 Pochodna odworowaniaf: R n R m Macier a 11 a 1n A=, a m1 a mn f(p) f(p taką że lim 0 ) A 0 =0, gdie = 1 ( 1 ) 2 + +( n ) 2, =, n P=( ,, 0n + n ) D, P 0 =( 01,, 0n ) D, nawam macierą Jacobiego (pochodną) odworowaniaf w punkciep 0 i onacam Df( 0 ) albo (f 1,,f m ) ( 1,, n ) lub D(f 1,,f m ) D( 1,, n ) 1 1 df(p 0, )=A =Df(P 0) n n nawam różnicką odworowaniaf w punkciep 0 dla prrostu Twierdenie 121 Odworowanief różnickowalne w punkciep 0 ma tlko jedną macier Jacobiego Twierdenie 122 Odworowanief różnickowalne w punkciep 0 jest ciągle w tm punkcie Twierdenie 123 Niech D R n będie otwartm niepustm podbiorem,p 0 D oraf=(f 1,,f m ): D R m będie różnickowalne wp 0 Wted funkcjef i : D R,i=1,,m mają pochodne cąstkowe i (P 0 ),i=1,,m,k=1,,n k ora macier 1 1 (P 0 ) 1 n (P 0 ) A=, m 1 (P 0 ) 16 m n (P 0 )
17 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne jest macierą Jacobiego (pochodną) odworowaniaf w punkciep 0 Jeżelim=n, to 1 1 detdf=det n 1 nawam jakobianem odworowaniafi onj 1 1 n = n n n 1 n n n Prkład odworowań i ich pochodne ( ) acost Prkład 124 Niechf : 0,2π) R 2 if(t)= Wted bsint [ ] asint0 Df(t 0 )= bcost 0 R t =acost =bsint R 2,t 0,2π) 1+t =1+t Prkład 125 Niechf: R R 3 if(t)= 2+2t Wted =2+2t t = t,t R Df(t 0 )= R 3 R t Prkład 126 Niechf: R R 3 if(t)= asint 0 acost 0 b acost asint Wted bt =acost =asint =bt,t R Df(t 0 )= 17
18 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne R 3 R t 0 +u 1 t 1 +v 1 t 2 Prkład 127 Niechf: R 2 R 3 if(t 1,t 2 )= 0 +u 2 t 1 +v 2 t 2 Wted 0 +u 3 t 1 +v 3 t 2 = 0 +u 1 t 1 +v 1 t 2 u 1 v 1 = 0 +u 2 t 1 +v 2 t 2,(t 1,t 2 ) R 2 Df(t 1,t 2 )= u 2 v 2 = 0 +u 3 t 1 +v 3 t 2 u 3 v 3 Prkład 128 Niechf: D R 2, D= 0,+ ) 0,2π) R 2 if(,ϕ)= = cosϕ = sinϕ,(,ϕ) D R 2 Df(,ϕ)= J= cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ = ) ( cosϕ Wted sinϕ [ ] cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ Prkład 129 Niechf: D R 2, D= 0,1 0,2π) R 2 if(,ϕ)= =a cosϕ =b sinϕ,(,ϕ) D R 2 18 ( ) a cosϕ Wted b sinϕ
19 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Df(,ϕ)= [ ] acosϕ a sinϕ J= bsinϕ b cosϕ acosϕ a sinϕ bsinϕ b cosϕ =ab cosϕ Prkład 1210 Niechf: D R 3, D= 0,+ ) 0,2π) R R 3 if(,ϕ,t)= sinϕ Wted t = cosϕ = sinϕ,(,ϕ) D R 3 =t cosϕ sinϕ 0 cosϕ sinϕ 0 Df(,ϕ,t)= sinϕ cosϕ 0 J= sinϕ cosϕ 0 = Prkład 1211 Niechf: D R 3, D= 0,+ ) 0,2π) π cosϕcosψ 2,π 2 R3 if(,ϕ,ψ)= sinϕcosψ sinψ Wted = cosϕcosψ = sinϕcosψ,(,ϕ) D R 3 = sinψ cosϕcosψ sinϕcosψ cosϕsinψ Df(,ϕ,ψ)= sinϕcosψ cosϕcosψ sinϕsinψ J= 2cosψ sinψ 0 cosψ 19
20 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 13 Ekstrema funkcji wielu miennch ( ) 131 Ekstrema lokalne Niechf:D f R,D f R n będie funkcjąn-miennch Niech U D f będie biorem otwartm i P 0 ( 01,, 0n ) U Definicja 131 Funkcjaf ma w punkciep 0 ( 01,, 0n ) minimum lokalne, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p) f(p 0 ) Funkcjaf ma w punkciep 0 minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0, takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p)>f(p 0 ) Definicja 132 Funkcjaf ma w punkciep 0 ( 01,, 0n ) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p) f(p 0 ) Funkcjaf ma w punkciep 0 ( 01,, 0n ) maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p)<f(p 0 ) Minima i maksima lokalne nawam EKSTREMAMI LOKALNYMI 132 Ekstrema globalne Definicja 133 Licbamjest najmniejsą wartością funkcjif na biorea D f, jeżeli istnieje punktp 0 ( 01,, 0n ) A, taki że f(p 0 )=m i dla każdego punktup A f(p) f(p 0 )=m Licbęmnawam minimum globalnm funkcjif na biorea Definicja 134 LicbaM jest najwięksą wartością funkcjif na biorea D f, jeżeli istnieje punktp 0 ( 01,, 0n ) A, taki że f(p 0 )=M i dla każdego punktup A f(p) f(p 0 )=M LicbęM nawam maksimum globalnm funkcjif na biorea Minimum i maksimum globalne nawam EKSTREMAMI GLOBALNYMI 20
21 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 133 Warunki na istnienie ekstremów funkcji wielu miennch Twierdenie 135 (Warunek koniecn istnienia ekstremum) Jeżeli to fma ekstremum w punkciep 0, istnieją pochodne i,i=1,,n cąstkowe w punkciep 0, 1 (P 0 )=0, 2 (P 0 )=0,, f(p 0 )=[0,0,,0]= 0 n (P 0 )=0 Uwaga 4 Z twierdenia tego wnika, że funkcja może mieć ekstrema tlko w punktach, w którch wsstkie jej pochodne cąstkowe są równe 0 albo w punktach, w którch prnajmniej jedna pochodna cąstkowa nie istnieje Zerowanie się pochodnch cąstkowch nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego Na prkład funkcje f(,)= 3, f(,)= 2 2 spełniają warunki (0,0)=0, (0,0)=0 i nie mają ekstremów w punkcie(0,0) Definicja 136 PunktP 0 R n, w którm prnajmniej jedna pochodna cąstkowa nie istnieje lub w którm wsstkie pochodne cąstkowe są równe ero nawam punktem krtcnm funkcjif Punkt krtcnp 0, w którm jest spełnion warunek nawam punktem stacjonarnm funkcjif f(p 0 )= 0 Definicja 137 Macier Hf:= n 1 n 2 1 n 2 n 2 n nawam HESJANEM funkcji f Hesjan jest macierą ależną od tch samch miennch, od którch ależ funkcja Roważm funkcjęf: R n R ora definiujm funkcje i := i i 2 1 i 2 i 2 i, i=1,,n Zauważm, że 1 := 2 f 2 1 i n =dethf 21
22 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Twierdenie 138 (Warunek wstarcając istnienia ekstremum) Załóżm, że (P 0 )=0, (P 0 )=0,, (P 0 )=0 (punktp 0 jest punktem stacjonarnm funkcjif) 1 2 n Jeżeli i (P 0 )>0, dlai=1,2,,n, to w punkciep 0 funkcjaf ma minimum lokalne właściwe 1 (P 0 )<0, 2 (P 0 )>0, 3 (P 0 )<0,, ( 1) i i (P 0 )>0,i=1,,n, to w punkciep 0 funkcjaf ma maksimum lokalne właściwe Uwaga 5 NiechP 0 będie punktem krtcnm funkcjif: R 2 R Jeżeli 2 (P 0 )<0, to w punkciep 0 funkcjaf nie ma ekstremum Np dlaf(,)= 2 2 mam (0,0)=0, (0,0)=0 i =dethf= 0 2 = 4<0, więc funkcjaf nie ma ekstremum w punkcie krtcnm(0,0) Prkład 139 Niechf: R 3 R i f(,,)= Wted =2 +1, =2, =2+2Ponieważ 2 +1=0 2 =0 2+2=0 więcp 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) jest punktem krtcnm funkcjif Ponadto = 2 3 = 1 3 = Hf= , i 1 (P 0 )=2>0, 2 (P 0 )=3>0, 3 (P 0 )=6>0, więc funkcjaf ma w punkciep 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) minimum lokalne, które wnosif min =f(p 0 )= 4 3 Prkład 1310 Niechf: R n R,n 2 i f( 1, 2,, n )= n 22
23 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Wted i = 2 i,i=1,,n Ponieważ 2 1 =0 2 n =0 1 =0 n =0, więcp 0 (0,,0) jest punktem krtcnm Ponadto Hf= i 1 (P 0 )= 2<0, 2 (P 0 )=4>0,, n (P 0 )=( 2) n, ( 1) i i (P 0 )=( 1) i ( 2) i =2 i >0, dlai=1,2,,n Zatem funkcjaf ma w punkciep 0 (0,,0) maksimum lokalne, które wnosif ma =f(p 0 )=0 NiechA R n if:a R JeżeliAjest domknięt i ogranicon, af jest funkcją ciągłą, to funkcjaf osiąga w biore A wartość najmniejsą i najwięksą 1331 Algortm najdowania ekstremów globalnch funkcji na obsare domkniętm Znajdujem wsstkie punkt krtcne wewnątr bioruaioblicm wartości funkcji w tch punktach Znajdujem punkt krtcne na bregu obsaruaioblicm wartości funkcji w tch punktach Porównujem otrmane wartości funkcji najdując wartość najmniejsą i najwięksą 23
24 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 1311 Niechf:A R 2 R i f(,)= , gdieajest trójkątem ograniconm prostmi=0,=0 i+=4 24
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem I, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2 R
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i Robotka sem I, rok ak 2008/2009 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R n def = {( 1, 2,, n ): 1 R 2 R n R } Funkcją n miennch
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoPochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:
ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych (c.d.)
Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Pochodne czastkowe. Pochodna kierunkowa. Gradient. Różniczka zupełna. Pochodna odwzorowania. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo,..., u x n. , 2 u x 2 1
. Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu
J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe
Matematka Element anali wektorowej c I Pole wektorowe Literatura M.Gewert Z.Skoclas; Element anali wektorowej; Oficna Wdawnica GiS Wrocław 000 W.Żakowski W.Kołodiej; Matematka c II; WNT Warsawa 1984 W.Leksiński
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot
- podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Baza Jordana
Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoP K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).
Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich
Bardziej szczegółowoPowierzchnie stopnia drugiego
Algebra WYKŁAD 3 Powierchnie sopnia drugiego Deinicja Powierchnią sopnia drugiego kwadrką nawam biór punków presreni rójwmiarowej, spełniającch równanie A B C D E F G H I K gdie A, B,, K są sałmi i prnajmniej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoPOTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y
POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam
Bardziej szczegółowof x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n
Bardziej szczegółowonapór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )
5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka
Bardziej szczegółowoI. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.
Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowo1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił
. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoRóniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi
Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna
Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:
PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci
Bardziej szczegółowoZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowoElementy algebry i analizy matematycznej II
Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu
Bardziej szczegółowo14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe
. Krwe stożkowe i form kwdrtowe.. Kwdrki Powierchnią stopni drugiego, lub krótko kwdrką, nwm biór punktów P(,,), którch współrędne spełniją równnie: 33 3 3 kwdrt wr miesne 3 wr liniowe wr woln gdie. 33
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią 2012/2013
Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : 2 4 3 4 3 2 3 3 5 7 3 3 6 3 Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn.
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych (c.d.)
Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40 Minimum lokalne
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoOptymalizacja (w matematyce) termin optymalizacja odnosi się do problemu znalezienia ekstremum (minimum lub maksimum) zadanej funkcji celu.
TEMATYKA: Optymaliacja nakładania wyników pomiarów Ćwicenia nr 6 DEFINICJE: Optymaliacja: metoda wynacania najlepsego (sukamy wartości ekstremalnej) rowiąania punktu widenia określonego kryterium (musimy
Bardziej szczegółowoZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE
KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie
J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch
Bardziej szczegółowoBelki złożone i zespolone
Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki
Bardziej szczegółowocz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321
Wkład 8: Brła stwna c. Dr inż. Zbigniew Sklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 skla@agh.edu.pl http://laer.uci.agh.edu.pl/z.sklarski/ 05.04.08 Wdiał nformatki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatka
Bardziej szczegółowoDodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY
Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowo(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)
Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.
Bardziej szczegółowo2.1. ZGINANIE POPRZECZNE
.1. ZGINNIE POPRZECZNE.1.1. Wprowadenie Zginanie poprecne (ginanie e ścinaniem) wstępuje wted, gd ociążenie ewnętrne pręta redukuje się do momentu ginającego M i sił poprecnej. W prekroju takim wstępują
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoPrzykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a
Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W
Bardziej szczegółowoGRUPY SYMETRII Symetria kryształu
GRUPY SYMETRII Smetria krstału Zamknięte (punktowe) operacje smetrii (minimum jeden punkt prestreni nie porusa się wskutek astosowania amkniętej operacji smetrii): Obrot i obrot inwersjne; Inwersja (smetria
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoGraficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4
Wkład 4 Podstawowe pojęcia i definicje . Modelowanie. Definicja Model awiera wsstkie dane i obiekt ora wiąki pomięd nimi, które są niebędne do prawidłowego wświetlenia i realiowania interakcji aplikacją,
Bardziej szczegółowoPrzykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.
Prkład.7. Naprężenia tcne pr ginaniu belki cienkościennej. Wnac rokład naprężenia tcnego w prekroju podporowm belki wpornikowej o prekroju cienkościennm obciążonej na wobodnm końcu pionową iłą P. Siła
Bardziej szczegółowoEPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B
Hamiltonian spinow Elektronow reonans paramanetcn jest wiąan absorpcją pola wsokiej cęstotliwości, która towars mianie orientacji spin w ewnętrnm polu manetcnm. Niesparowane spinowe moment manetcne µ s
Bardziej szczegółowoFunkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.
Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoZadania z AlgebryIIr
Zadania AlgebrIIr Seria () Rowia ι ać uk lad równań: + + t = + = 7 + + t = ; + + = ; + 7 6t = + = 7 + + = 8 = 8 + + t = + 9 = 9 ; + 7t = + = 7 + + t = + 8 7 = () Podać bae ι prestreni rowia ι ań uk ladu:
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła
Bardziej szczegółowo4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej
4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n
Bardziej szczegółowoA = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych
3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3.. Dokładne metod anali pola Dokładne metod anali pola powalają na uskanie dokładnego rowiąania równania róŝnickowego lub całkowego w dowolnm punkcie obsaru diałania
Bardziej szczegółowoKONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA
ĆWICZENIE 5 KONWENCA ZNAKOWANIA OENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA Wektor momentu pr ginaniu ukośnm można rutować na osie,, będące głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju. Prjmujem konwencję nakowania
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoPRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA
MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY Rok skoln 08/09 ETAP REJONOWY 0 grudnia 08 roku PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA adanie odpowiedź punkt B 3 C 3 3 A 3 4 B 3 5 E 3 6 B 3 7 E 3 8 C 3 9 D 3 0 A 3 7 adania
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoPRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowo1. Podstawy rachunku wektorowego
1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle
Bardziej szczegółowoWyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla
Ćwicenie 13 Wnacanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprewodnikach metodą efektu alla Cel ćwicenia Celem ćwicenia jest aponanie się e jawiskiem alla, stałoprądową metodą badania efektu alla,
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoTransformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowo