14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe

Transkrypt

1 . Krwe stożkowe i form kwdrtowe.. Kwdrki Powierchnią stopni drugiego, lub krótko kwdrką, nwm biór punktów P(,,), którch współrędne spełniją równnie: kwdrt wr miesne 3 wr liniowe wr woln gdie. 33 > Kżdą powierchnię stopni drugiego możn pomocą trnslcji (presunięci) i obrotu sprowdić do postci knonicnej, tn. tkiej, gdie w równniu nie wstępują wr miesne, licb wrów liniowch jest jk njmniejs..

2 Mm pięć tpów kwdrk:. Tp elipsoidln b c elipsoid punkt biór pust Elipsoid to powierchni, której wsstkie prekroje płskie są elipsmi. Scególnm prpdkiem elipsoid jest elipsoid obrotow, powierchni ogrnicon powstł pre obrót elips wokół włsnej osi smetrii. Dl bc elipsoid jest sferą o promieniu..

3 . Tp hiperboloidln b c hiperboloid jednopowłokow stożek hiperboloid dwupowłokow Hiperboloid jednopowłokow - powierchni drugiego stopni otrmn w nstępując sposób: dną hiperbolę H obrc się dookoł jej osi smetrii L równoległej do kierownic tej hiperboli, uskując w ten sposób powierchnię obrotową nwną hiperboloidą jednopowłokową obrotową. Prekrój hiperboloid jednopowłokowej płscną równoległą do L jest hiperbolą lub prą precinjącch się prostch, jej prekroje płscnmi prostopdłmi do L są elipsmi (lub okręgmi) wjemnie do siebie podobnmi. Elips otrmn pre prekrój hiperboloid jednopowłokowej płscną prostopdłą do.3

4 L i prechodącą pre jej środek smetrii nw się elipsą sjną. Pre kżd punkt hiperboloid jednopowłokowej prechodą dwie proste wierjące się w niej. Hiperboloid dwupowłokow.

5 .5 3. Tp prboloidln p, p,. Tp prboloidlno-eliptcn wlec eliptcn urojon ) prost ( wlec eliptcn prboloid eliptcn b wlec prbolicn płscn różne i równoległe płscn podwójn płscn urojone różne i równoległe

6 5. Tp prboloidlno-hiperbolicn b prboloid hiperbolic n wlec prbolic n precinj ące się plscn..6

7 Kstłt prboloid hiperbolicnej prpomin siodło. Jest to powierchni prostokreśln, pre kżd jej punkt prechodą dwie różne proste leżące w cłości n tej powierchni.. Powierchnie obrotowe Niech będie dn krw K or dowoln prost m. Powierchnią obrotową o osi obrotu m nwm biór okręgów otrmnch w wniku obrotu kżdego punktu P K dookoł prostej m. W prpdku, gd krw K jest dn równniem uwikłnm, osią obrotu odpowiedni oś ukłdu współrędnch, to równnie powierchni obrotowej możn wprowdić w sposób preentown w tbeli: Równnie krwej K Oś obrotu Równnie Powierchni obrotowej F(,) i OX ( ) F, F(,) i OY ( ) F, F(,) i OY ( ) F,.7

8 F(,) i OZ ( ) F, ( ) F(,) i OX F, F(,) i OZ ( ) F, Prkłd Npisć równnie powierchni powstłej w wniku obrotu dookoł osi OY : ) krwej i, b) prostej dnej równniem prmetrcnm t, t, t, t R. Rowiąnie ) Równnie krwej jest nstępujące i. Poniewż osią obrotu jest oś OY, więc postwim do równni krwej w miejsce wrżenie. Otrmujem stąd równnie prboloid..8

9 . b) Pr obrocie dnej prostej dookoł osi OY współrędne kżdego punktu tej prostej spełniją ukłd równń ( ) t t t. Wlicjąc drugiej leżności t i podstwijąc do drugiego równni otrmujem równnie stożk Prkłd Sprowdić do postci knonicnej równnie 3 3. Rowinie Grupujem wr w tki sposób, b możn bło utworć pełne kwdrt: ( ) 3 3 ( ) ( ) 3

10 Stąd dokonując podstwieni: u, v, ( 3) w hiperbolicnej otrmujem równnie knonicne prboloid v u w. Prkłd Dl powierchni wncć krwe precięci płscnmi ukłdu or punkt precięci osimi ukłdu. Rowiąnie W pierwsej kolejności wncm krwe precięci płscnmi ukłdu:. Z płscną OXY. Do równni powierchni podstwim. Stąd lub pisując w innej postci: ( ) 6. Ztem, krwą precięci rowżnej powierchni płscną OXY jest okrąg o środku w punkcie (,) i promieniu..

11 . Z płscną OXZ. Do równni powierchni podstwim i otrmujem równnie prboli Z płscną OYZ. Do równni powierchni podstwim. Tutj krwą precięci (co jest łtwe do sprwdeni) jest prbol o równniu knonicnm ( ) 8. Ntomist punkt precięci powierchni osimi ukłdu otrmm podstwijąc do równni powierchni odpowiednio : ) i pr wncniu punktu n osi OX, co nm dje ( ) punkt 3,,, ( 3,, ). b) i pr wncniu punktu n osi OY, co nm dje punkt (,, ), ( 6, ),. c) i pr wncniu punktu n osi OZ, co nm dje punkt (, 6),..

12 Prkłd Z pomocą nierówności opisć biór punktów ogrniconch powierchnimi: ) i ( ) dl <,, b), dl i >. Rowiąnie ) Rowiąujem ukłd ( ) w celu wnceni krwej precięci prboloid e stożkiem ( ). Podstwijąc do drugiego równni w miejsce, wrżenie, otrmujem równnie ( ) którego rowiąniem są licb i. Poniewż <, więc krwą precięci obu powierchni będie okrąg o równniu. Ztem bór punktów ogrnicon podnmi powierchnimi możn opisć nstępującm ukłdem nierówności:.

13 .3. b) Dw pierwse równni,tj. i, są równnimi sfer, ntomist trecie równnie,tj., jest równniem stożk. Ab wncć krwe precięci obu sfer e stożkiem nleż rowiąć nstępujące dw ukłd: i Podstwijąc w obu ukłdch do równni pierwsego w miejsce wrżenie, otrmujem odpowiednio równni or. Stąd rowiąniem pierwsego ukłdu jest okrąg, drugiego ukłdu okrąg. Uwględnijąc dodtkowe łożeni, biór punktów ogrnicon podnmi powierchnimi możem pisć nstępującmi ukłdmi nierówności:

14 ., lub,..3. Zdni.. Npisć równnie powierchni powstłej pre obrót dookoł osi dnej krwej: ) ) oś OZ, prost: t, t, t, b) oś OZ, krw:, c) oś OX, prost: t, t, 3t 6, d) oś OY, prost:,, e) oś OZ, krw:, f) oś OX i oś OY, krw: b,

15 g) oś OX i oś OY, krw: b, h) oś OX i oś OY, krw: e... Wncć współrędne środk i promień sfer dnej równniem: ), b) 6, c) 3. W kżdm prpdku nleźć precięcie sfer osimi i płscnmi ukłdu..3. W ukłdie OXYZ nrsowć powierchnie: ), b) 6, c), d) 5 5, e), f) 8, g) 8. Dl podnch powierchni nleźć punkt precięci osimi ukłdu or krwe precięci płscnmi ukłdu... Sprowdić do postci knonicnej równni: ) 6, b), c) 6 8, d) 3, e) 6 3 6, f), g) Wncć rut n płscn ukłdu krwej powstłej w wniku precięci dnej powierchni płscną:.5

16 ), 3 8 8, b) 6 6, 5, c), 3, d),,, 3,..6. Dne są powierchnie o równnich: ), ), 3), ). Znleźć równni krwch powstłch precięci wsstkich pr dnch powierchni..7. Z pomocą nierówności opisć biór punktów ogrnicon powierchnimi: ), 3,,,,, b),,,,, c),, d),,, dl, > i, e) R, R..8. Z pomocą nierówności opisć biór punktów ogrnicon wsstkimi cterem powierchnimi dni.6..6