Funkcje wielu zmiennych
|
|
- Wacława Lipińska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i Robotka sem I, rok ak 2008/2009 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R n def = {( 1, 2,, n ): 1 R 2 R n R } Funkcją n miennch określoną na biore D R n o wartościach w R nawam prporądkowanie każdemu punktowi e bioru D dokładnie jednej licb recwistej Funkcję taką onacam pre f : D R lub w = f ( 1, 2,, n ), gdie ( 1, 2,, n ) D Wartość funkcji f w punkcie ( 1, 2,, n ) onacam pre f ( 1, 2,, n ) Dla n = 2 mam funkcję dwóch miennch = f(, ) R 2 (, ) = f(, ) R R 2 D (, ) R = f(, ) Dla n = 3 mam funkcję trech miennch w = f(,, ) R 3 (,, ) w = f(,, ) R D R 3 R w = f(,, ) 1
2 Automatka i Robotka 1 Diedina, wkres i warstwice funkcji wielu miennch Zbiór wsstkich punktów prestreni R n, dla którch funkcja f jest określona nawam diediną funkcji f i onacam pre D f Jeżeli dan jest wór określając funkcję, to biór punktów prestreni R n, dla którch wór ten ma sens, nawam diediną naturalną funkcji Prkład 11 (Prkład funkcji dwóch miennch) Niech f(, ) = arc sin Wówcas D f = {(, ) : 1 1 0} Prkład 12 (Prkład funkcji trech miennch) Niech g(,, ) = Wówcas D g = {(,, ) : } Wkresem funkcji n-miennch nawam biór {( 1,, n, w) : ( 1,, n ) D f w = f( 1,, n )} R n R Dla n = 2 {(,, ) : (, ) D f = f(, )} R 3 = f(, ) D f 2 Opracowała: Małgorata Wrwas
3 Automatka i Robotka Poiomicą wkresu funkcji dwóch miennch = f(, ) odpowiadającą poiomowi h R nawam biór {(, ) : (, ) D f f(, ) = h} R 2 = f(, ) f(, ) = h poiomica wkresu funkcji f Warstwicą wkresu funkcji f : D f R, n 3 odpowiadającą warstwie h R nawam biór {( 1,, n ) D f : ( 1,, n ) D f f( 1,, n ) = h} R n 11 Wkres ważniejsch funkcji dwóch miennch f : R 2 R Wkresem funkcji = A + B + C jest płascna o wektore normalnm n = [ A, B, 1], prechodąca pre punkt (0, 0, C) Wkresem funkcji = a( ) jest paraboloida obrotowa, tj powierchnia obrotowa powstała obrotu paraboli = a 2 (lub = a 2 ) wokół osi O a > 0 3 Opracowała: Małgorata Wrwas
4 Automatka i Robotka Wkresem funkcji = ± R współrędnch i promieniu R jest górna lub dolna półsfera o środku w pocątku układu = R = R Wkresem funkcji = k jest stożek, tj powierchnia powstała obrotu półprostej = k, = 0, dla 0 wokół osi O k > 0 ( ) Wkresem funkcji = h jest powierchnia obrotowa powstała obrotu wkresu funkcji = h(), = 0, dla 0 wokół osi O Wkresem funkcji = g() lub = k() jest powierchnia walcowa powstała presunięcia wkresu funkcji = g(), dla = 0 równolegle do osi OY lub wkresu funkcji = k(), dla = 0 równolegle do osi OX 4 Opracowała: Małgorata Wrwas
5 Automatka i Robotka Wkres funkcji = f( a, b) + c powstaje wkresu funkcji = f(, ) pre presunięcie o wektor v = [a, b, c] v = [a, b, c] Wkres funkcji = f(, ) powstaje wkresu funkcji = f(, ) pre smetrcne odbicie wględem płascn OXY 12 Funkcje f : R n R m Jeżeli funkcja prjmuje wartości w biore R m f : R n R m to obok n miennch nieależnch ( 1,, n ) będiem mieli m miennch ależnch 1,, m Taką funkcję możem opiswać: 1 = f 1 ( 1,, n ) f 1 ( 1,, n ) = f() = m = f m ( 1,, n ) f m ( 1,, n ) Prkład 13 Niech (, ) R 2 Niech r będie odległością punktu P (, ) od pocątku układu współrędnch (0, 0), aś ϕ będie kątem jaki twor odcinek P O dodatnią półosią OX r P = r cos ϕ Wted równanie ϕ definiuje funkcję = r sin ϕ f : 0, + ) 0, 2π) R 2, gdie f(r, ϕ) = = r cos ϕ r sin ϕ mienne, są miennmi ależnmi od miennch r i ϕ 5 Opracowała: Małgorata Wrwas
6 Automatka i Robotka 13 Funkcje f : R R n Funkcje adane na biore licb recwistch (lub jego podbiore) można uważać a opis parametrcne krwch w R n Niech f : 0, 2π) R 2, gdie f(t) = = a cos t a sin t Wted f jest opisem parametrcnm okręgu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu a a a Niech g : R R 3, gdie t g(t) = = t t Wted g jest opisem parametrcnm prostej prechodącej pre pocątek układu współrędnch (0, 0, 0) i równoległej do wektora [ 1, 1, 1] ( 1, 1, 1) (0, 0, 0) 6 Opracowała: Małgorata Wrwas
7 Automatka i Robotka 2 Powierchnie obrotowe Krwa obracająca się dookoła prostej ataca powierchnię obrotową Obróćm krwą o równaniu = (t), = (t), = (t), t a, b dookoła osi OZ Wówcas punkt P ((t 0 ), (t 0 ), (t 0 )) krwej atoc okrąg o równaniu ( ) = [(t 0 )] 2 + [(t 0 )] 2 leżąc na płascźnie = (t 0 ) Po eliminacji t 0 ( ) otrmujem równanie powierchni obrotowej atacane j pre krwą Prkład 21 (Prkład powierchni obrotowch) Niech linia prosta = t, = t, = 2t, t R obraca się dookoła osi OZ Wówcas punkt P (t 0, t 0, 2t 0 ) prostej atoc okrąg o równaniu ( ) = 2(t 0 ) 2 leżąc na płascźnie = 2t 0 Po eliminacji t 0 ( ) otrmujem równanie = 2 2 < równanie stożka powierchni obrotowej atacanej pre daną prostą 7 Opracowała: Małgorata Wrwas
8 Automatka i Robotka Niech okrąg = a + r cos t, = 0, = r sin t, t R obraca się dookoła osi OZ Wówcas punkt P (a + r cos t 0, 0, r sin t 0 ) prostej atoc okrąg o równaniu ( ) = (a + r cos t 0 ) 2 Po eliminacji t 0 ( ) otrmujem równanie ( a) = r 2 < równanie torusa; powierchni obrotowej atacanej pre okrąg = a + r cos t, = 0, = r sin t, t R 3 Pregląd powierchni stopnia drugiego Definicja 31 Powierchnią stopnia drugiego nawam biór punktów prestreni trójwmiarowej, które spełniają równanie: A 2 + B 2 + C 2 + D + E + F + G + H + I + K = 0, (1) gdie A, B,, K są stałmi Ponadto prnajmniej jedna e stałch A, B, C, D, E, F musi bć różna od era Równanie (1) to równanie ogólne powierchni stopnia drugiego Prkład 32 Prkład powierchni stopnia drugiego Równanie = 1 opisuje sferę o środku w punkcie O(0, 0, 0) i promieniu 1 Równanie = 0 opisuje sferę o środku w punkcie S( 1, 0, 3) i promieniu 2 Twierdenie 33 Każdą powierchnie stopnia drugiego można tak obrócić i presunąć, ab miała ona jedno następującch równań: 2 a b c 2 = 1 < elipsoida 2 a b 2 2 = 1 < hiperboloida jednopowłokowa c2 2 a 2 2 b 2 2 c 2 = 1 < hiperboloida dwupowłokowa 2 a b 2 = 2 c 2 < stożek = 2 a b 2 < paraboloida eliptcna = 2 a 2 2 b 2 < paraboloida hiperbolicna 2 a b 2 = 1 < walec eliptcn 2 a 2 2 = 1 < walec hiperbolicn b2 = a 2 < walec parabolicn 8 Opracowała: Małgorata Wrwas
9 Automatka i Robotka Równania 2 a b c 2 = 1, 2 a b 2 2 c 2 = 1, 2 a 2 2 b 2 2 c 2 = 1, 2 a b 2 = 2 c 2, = 2 a b 2, = 2 a 2 2 b 2, 2 a b 2 = 1, 2 a 2 2 b 2 = 1, = a2, nawam równaniami kanonicnmi powierchni stopnia drugiego (niedegenerowanch) Uwaga 1 W niektórch prpadkach ogólne równanie powierchni stopnia drugiego może predstawiać biór punktów prestreni, będąc biorem pustm, biorem jednopunktowm, prosta, suma dwóch prostch, płascna, suma dwóch płascn Powierchnie takie nawam degenerowanmi Kstałt powierchni opisanch w twierdeniu można ocenić na podstawie ich prekrojów płascnami równoległmi do płascn układu współrędnch Rsunki podstawowch powierchni stopnia drugiego patr osobna kartka Powierchnię utworoną pre rodinę prostch równoległch do danej prostej i prechodącch pre punkt krwej L nawam powierchnią walcową Krwą L nawam kierownicą, a każda prostą tej rodin - tworąca powierchni walcowej Prkład 34 Równanie 2 a b 2 = 1 na płascźnie OXY opisuje elipsę, w prestreni równanie to opisuje powierchnię walcowa, której kierownicą jest elipsa a tworące sa równoległe do osi OZ Powierchnie ta nawam walcem eliptcnm 4 Granice funkcji wielu miennch Niech (P k ( k1,, kn )) ki N będie ciągiem punktów w Rn Definicja 41 Mówim, że ciąg (P k ) dąż do punktu P 0 ( 01,, 0n ) R n, jeżeli lim k i = 0i, dla każdego i = 1, 2,, n, k i + onaca to bieżność dla każdej współrędnej ( ) 1 Prkład 42 Niech P n ( n, n ) = n, ( 1)n ciąg punktów w prestreni R 2 n Wówcas Niech f : R n R będie funkcją n-miennch lim ( n, n ) = (0, 0) n + Niech P 0 ( 01,, 0n ) R n ora niech funkcja f będie określona prnajmniej na S(P 0 ) def { = ( 1,, n ) R n : (1 01 ) ( n 0n ) 2 < r} \ {P 0 }, gdie r > 0 jest pewną licbą ( k1,, kn ) ki 0i i = 1, 2,, n lim f( 1,, n ) = g P P 0 def [ lim k i = 0i, i = 1,, n k i ] lim f( k 1,, kn ) = g k i 9 Opracowała: Małgorata Wrwas
10 Automatka i Robotka 41 Własności granic funkcji wielu miennch Twierdenie 43 Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie P 0 R n, to lim [f(p ) ± g(p )] = lim f(p ) ± lim g(p ) P P 0 P P 0 P P 0 lim c f(p ) = c lim f(p ) P P 0 P P 0 lim [f(p ) g(p )] = lim f(p ) lim g(p ) P P 0 P P 0 P P 0 f(p ) lim P P 0 g(p ) = lim f(p ) P P 0 lim g(p ), o ile P P 0 lim g(p ) 0 P P 0 Twierdenie 44 Jeżeli funkcje ϕ i, i = 1,, n i f spełniają warunki: lim ϕ i (T) = 0i, T T 0 T R m T S(T 0 ) (ϕ 1 (T),, ϕ n (T)) ( 01,, 0n ) lim f(p ) = g, P P 0 to lim f (ϕ 1 (T),, ϕ n (T)) = g T T 0 5 Ciągłość funkcji wielu miennch Niech f : R n R będie funkcją n-miennch Twierdenie 51 Funkcja jest ciągła w punkcie P 0 ( 01,, 0n ) def lim f( 1,, n ) = f( 01,, 0n ) P P 0 Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie P 0 ( 01,, 0n ), to w tm punkcie ciągłe są także funkcje f + g, f g, c f, c R, f g, f g, o ile g(p 0) 0 Jeżeli funkcje ϕ i, i = 1,, n są ciągłe w punkcie T 0 R m ora f jest ciągła w punkcie P 0 = (ϕ 1 (T 0 ),, ϕ n (T 0 )), to funkcja f (ϕ 1 (t 1,, t m ),, ϕ n (t 1,, t m )) jest ciągła w T 0 10 Opracowała: Małgorata Wrwas
11 Automatka i Robotka 6 Pochodne cąstkowe Niech f onaca funkcję n-miennch określoną w otoceniu O punktu P 0 ( 01,, 0n ) Smbolem i onacam prrost miennej nieależnej i, 1 n n, różn od era i taki, żeb punkt P ( 01,, 0i 1, 0i + i, 0i+1,, 0n ) należał do otocenia O Granicę właściwą f(p ) f(p 0 ) lim i 0 i nawam pochodną cąstkową rędu pierwsego funkcji f wględem miennej i w punkcie P 0 i onacam smbolem (P 0 ) i 61 Pochodne cąstkowe funkcji dwóch miennch Dla funkcji dwóch miennch f(, ) definicje pochodnch cąstkowch rędu pierwsego wględem miennch i w punkcie P 0 ( 0, 0 ) są następujące (P 0) def f( 0 +, 0 ) f( 0, 0 ) = lim 0 ora (P 0) def f( 0, 0 + ) f( 0, 0 ) = lim 0 62 Interpretacja geometrcna pochodnch cąstkowch dla funkcji dwóch miennch Niech f : R 2 R, = f(, ) Załóżm, że f ma pochodne cąstkowe rędu pierwsego w punkcie P 0 ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) = tg α ( 0, 0 ) = tg β α β ( 0, 0 ) jest miarą lokalnej sbkości wrostu wartości funkcji f wględem miennej pr ustalonej wartości miennej ( 0, 0 ) jest miarą lokalnej sbkości wrostu wartości funkcji f wględem miennej pr ustalonej wartości miennej Uwaga 2 Nie ma wiąku międ ciągłością funkcji wielu miennch a istnieniem pochodnch cąstkowch 11 Opracowała: Małgorata Wrwas
12 Automatka i Robotka Prkład 61 (Prkład funkcji nieciągłej i mającej pochodne cąstkowe) Funkcja wielu miennch może mieć w punkcie obie pochodne cąstkowe pierwsego rędu i może nie bć ciągła w tm punkcie, 1, dla = 0 np funkcja f(, ) = nie jest ciągła w punkcie (0, 0), ale f ma pochodne cąstkowe w 0, dla 0 punkcie (0, 0): i f(, 0) f(0, 0) (0, 0)= lim = lim 0 = 0 f(0, ) f(0, 0) 1 1 (0, 0)= lim = lim 0 0 = 0 Prkład 62 (Prkład funkcji ciągłej nie mającej pochodnch cąstkowch) Niech f(, ) = Funkcja f jest ciągła w punkcie (0, 0), gdż = 0 = f(0, 0), ale lim (,) (0,0) (0, 0)= lim = lim 0 0 nie istnieje i 0 (0, 0)= lim = lim 0 0 nie istnieje Jeżeli funkcja ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w każdm punkcie bioru otwartego D R n, to funkcje 1 ( 1,, n ), 2 ( 1,, n ),, n ( 1,, n ), gdie ( 1,, n ) D, nawam pochodnmi cąstkowmi pierwsego rędu funkcji f na biore D i on 1, Prkład 63 Niech f(, ) = 2,, n lub f 1, f 2,, f n e ln( + ) Niech g(,, ) = 3 arc tg( + e ) 7 Pochodna kierunkowa funkcji f : D R n R Niech f onaca funkcję n-miennch określoną w otoceniu O punktu P 0 ( 01,, 0n ) D Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P 0 w kierunku wersora v = [v 1, v 2,, v n ] określam worem df d v (P 0) def f( 01 + tv 1,, 0n + tv n ) f( 01,, 0n ) = lim t 0 t 12 Opracowała: Małgorata Wrwas
13 Automatka i Robotka Pochodna kierunkowa df d v Dla f : D R 2 R funkcji f w kierunku v jest też onacana następująco Dla f : D R 3 R v lub f v df d i =, df d j = Prkład 71 Niech f(,, ) = 2 2, P 0 (1, 0, 1) i v = df d v (P 0) def = lim t 0 df d i =, [ 1 3 3, 3, ( ) ( 2 ) ( ) t t t lim 3 t t2 2 3 t 0 t 2 3t + 15t = 2 t 3 Prkład 72 Niech f(,, ) = e ++, P 0 (0, 0, 0) i v = [1, 1, 1] Wówcas df d v (P 0) def e 3t 1 [ 0 0 = lim = ] 3e 3t lim t 0 t t 0 1 = 3 df d j =, ] 5 Wówcas 3 = ( 1 ) 3 df d k = 71 Interpretacja geometrcna pochodnej kierunkowej funkcji dwóch miennch Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu ( 0, 0 ) Ponadto niech γ onaca kąt nachlenia do płascn XOY półstcnej do krwej otrmanej w wniku prekroju wkresu funkcji f = 0, półpłascną prechodącą pre prostą ora równoległą do wersora v Wted = 0 df d v ( 0, 0 ) = tg γ ( 0, 0, 0) v γ Pochodna kierunkowa określa sbkość mian wartości funkcji f w kierunku v 8 Gradient funkcji Niech f : D R n R Gradientem funkcji f w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam wektor określon worem f(p 0 ) def = [ (P 0 ), (P 0 ),, ] (P 0 ) 1 2 n 13 Opracowała: Małgorata Wrwas
14 Automatka i Robotka Gradient w punkcie P 0 jest również onacan pre gradf(p 0 ) lub f (P 0 ), tak jak pochodna jednej miennej Prkład 81 Niech f(, ) = i P 0 ( 2, 1) Wówcas [ f=, ] = [ , 2 3 1], więc f( 2, 1)=[15, 17] 81 Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Twierdenie 82 (wór do oblicania pochodnej kierunkowej) Niech pochodne cąstkowe 1,, n będą ciągłe w punkcie P 0 ( 01,, 0n ) ora niech v będie dowolnm wersorem Wted df d v (P 0) = f(p 0 ) v Prkład 83 Niech f(, ) = , P 0 ( 2, 1) i v = [ 1 2, 1 2 ] Wówcas [ df 1 d v ( 2, 1) = f( 2, 1) v = [15, 17] 2, 1 ] = i, i = Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie licona w kierunku gradientu ma wartość najwięksą spośród wsstkich pochodnch kierunkowch liconch w różnch kierunkach i df d f(p 0 ) (P 0) = f(p 0 ) 82 Interpretacja geometrcna gradientu funkcji dwóch miennch Gradient funkcji w punkcie wskauje kierunek najsbsego wrostu funkcji w tm punkcie ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) Gradient funkcji w punkcie jest prostopadł do poiomic funkcji prechodącej pre ten punkt 0 ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) 0 14 Opracowała: Małgorata Wrwas
15 Automatka i Robotka 9 Pochodne cąstkowe drugiego rędu Niech funkcja f ma pochodne cąstkowe i, i = 1, 2,, n, na obsare D R n ora niech P 0 ( 01, 02,, 0n ) D Pochodne cąstkowe drugiego rędu funkcji f w punkcie P 0 określam worami: dla i, j = 1, 2,, n 2 ( ( )) f 2 (P 0 ) = (P 0 ), i i i ( ( )) (P 0 ) = (P 0 ), i j i j Powżse pochodne onacam także odpowiednio pre f i i (P 0 ), f j i (P 0 ) lub f i i (P 0 ), f j i (P 0 ) Jeżeli funkcja f ma pochodne cąstkowe drugiego rędu w każdm punkcie obsaru D R n, to funkcje 2 ( 1,, n ), i i j ( 1,, n ), i, j = 1, 2,, n gdie ( 1,, n ) D, nawam pochodnmi cąstkowmi drugiego rędu funkcji f na obsare D i onacam odpowiednio pre 2 f 2 i, i j lub f i i, f j i 10 Pochodne cąstkowe wżsch rędów Jeżeli funkcja f ma pochodne cąstkowe rędu k 2 prnajmniej na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) D R n, to gdie s + p = k k+1 ( ( f k )) f i s (P 0 ) = j p l i s (P 0 ), j p l Twierdenie 101 (Twierdenie Schwara) Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech pochodne cąstkowe pochodne cąstkowe i j, i j, j i istnieją na otoceniu punktu P 0 j i, będą ciągłe w punkcie P 0 Wted i j (P 0 ) = 2 f j i (P 0 ), i j i i, j = 1, 2,, n Uwaga 3 Prawdiwe są analogicne równości dla pochodnch miesanch wżsch rędów 11 Różnickowalność funkcji n-miennch Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) ora niech istnieją pochodne cąstkowe i (P 0 ), i = 1,,, n Funkcja f jest różnickowalna w punkcie P 0 wted i tlko wted, gd spełnion jest warunek: lim ( 1,, n) (0,,0) gdie P = ( ,, 0n + n ) f(p ) f(p 0 ) 1 (P 0 ) 1 n (P 0 ) n =0, ( 1 ) ( n ) 2 15 Opracowała: Małgorata Wrwas
16 Automatka i Robotka Twierdenie 111 (Warunek koniecn różnickowalności funkcji) Jeżeli funkcja jest różnickowalna w punkcie, to jest ciągła w tm punkcie Uwaga 4 Twierdenie odwrotne nie jest prawdiwe Świadc o tm prkład funkcji f(, ) = 2 + 2, która jest ciągła w punkcie (0, 0), ale nie jest w tm punkcie różnickowalna, gdż nie istnieją pochodne cąstkowe tej funkcji, patr Prkład 62 Twierdenie 112 (Warunek wstarcając różnickowalności funkcji) Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech pochodne cąstkowe pochodne cąstkowe i, i = 1,, n istnieją na otoceniu punktu P 0 i, i = 1,, n będą ciągłe w punkcie P 0 Wted funkcja f jest różnickowalna w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) Różnickowalność funkcji f w punkcie ( 0, 0 ) onaca, że istnieje płascna stcna (niepionowa) do wkresu tej funkcji w punkcie ( 0, 0, f( 0, 0 )) = f(, ) płascna stcna ( 0, 0, 0 ) Równanie płascn stcnej do wkresu funkcji Niech funkcja f będie różnickowalna w punkcie P 0 ( 0, 0 ) Równanie płascn stcnej do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, 0, 0 ), gdie 0 = f( 0, 0 ), ma postać: 12 Różnicka funkcji n-miennch 0 = ( 0, 0 )( 0 ) + ( 0, 0 )( 0 ) Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech funkcja f ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) Różnicką funkcji f w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam funkcję miennch 1, 2,, n określoną worem: df(p 0 )( 1, 2,, n ) def = n i=1 i (P 0 ) i, Różnickę funkcji f onaca się także pre df( 01, 02,, 0n ) lub krótko df 16 Opracowała: Małgorata Wrwas
17 Automatka i Robotka 121 Zastosowanie różnicki funkcji n-miennch Niech funkcja f będie różnickowalna w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) Wted f( ,, 0n + n ) f(p 0 ) + df(p 0 )( 1,, n ), pr cm błąd δ( 1, 2,, n ) powżsego prbliżenia dąż sbciej do 0 niż ( 1 ) 2 + ( 2 ) ( n ) 2, tn lim ( 1,, n) (0,,0) δ( 1, 2,, n ) ( 1 ) 2 + ( 2 ) ( n ) 2 = 0 Prkład 121 Wkorstując różnickę oblicm wartość prbliżoną wrażenia 2,1 8,05 Definiujem funkcję f(, ) = Prjmujem 0 =2 0 =8 =0,1 i =0,05 Ponieważ = 1 2 i = 1 2,więc 1 2, 1 8, ,1 + 0,05 = 4, Zastosowanie różnicki funkcji do sacowania błędów pomiarów Niech wielkości ficne 1, 2,, n, będą wiąane ależnością = f( 1, 2,, n ) Ponadto niech i, i = 1, 2,, n onacają odpowiednio błęd bewględne pomiaru wielkości 1, 2,, n Wted błąd bewględn obliceń wielkości wraża się worem prbliżonm n i i=1 i Prkład 122 Pr pomoc menurki można mierć objętość ciała dokładnością V = 0,1 cm 3, a pr pomoc wagi sprężnowej można ustalić jego masę dokładnością 1 g Objętość ciała mierona tm sposobem wnosi V = 25 cm 3, a masa M = 200 g Z jaką w prbliżeniu dokładnością można oblicć gęstość ρ tego ciała? Ponieważ ρ(m, V ) = M V, więc ρ M = 1 V i ρ V = M V 2, więc 123 Różnicka upełna ρ ρ M M + ρ V V = ,1 = 0,072 Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech funkcja f ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) Prrost 1, 2,, n nawam różnickami miennch nieależnch 1, 2,, n, odpowiednio i onacam smbolami d 1, d 2,, d n Różnicką upełną funkcji f w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam wrażenie: df(p 0 ) def = n i=1 i (P 0 )d i 17 Opracowała: Małgorata Wrwas
18 Automatka i Robotka 13 Różnickowanie funkcji łożonch Twierdenie 131 Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cąstkowe i, i = 1,, n, na obsare D R n, funkcje 1 = 1 (t), 2 = 2 (t),, n = n (t), będą różnickowalne na prediale (a, b) R ora ( 1 (t),, n (t)) D dla każdego t (a, b) Wted funkcja łożona F (t) = f( 1 (t), 2 (t),, n (t)) jest różnickowalna na prediale (a, b) ora df n dt = d i i dt Prkład 132 Niech F (t) = f((t), (t)), gdie f(, ) = 2, = e t i = e 2t Wówcas i=1 df dt (t)= 2 (t)e t + (2(t)(t) 1)2e 2t = e 3t + 2(2e t 1)e 2t Dla t 0 = 0 mam (0) = 1 i (0) = 1, więc Twierdenie 133 Niech df dt (0)=1 funkcja f ma ciągłe pochodne cąstkowe i, i = 1,, n, na obsare D R n, funkcje 1 = 1 (t 1,, t m ),, n = 2 (t 1,, t m ), mają pochodne cąstkowe k = 1,, m na obsare U R m i t k, i = 1,, n, Wted funkcja łożona F (t 1,, t m ) = f( 1 (t 1,, t m ),, n (t 1,, t m )) ma na obsare U następujące pochodne cąstkowe I-ego rędu: F n i =, k = 1,, m t k i=1 i t k Prkład 134 Niech F (u, v) = f((u, v), (u, v)), gdie f(, ) = 2 + 2, = u + v i = u v Wówcas F u (1, 1)= (2(u, v) (u, v)) + ( (u, v) + 2(u, v)) (1,1) = (4 0) + ( 2 + 0) = 2, F v (1, 1)= (2(u, v) (u, v)) + ( (u, v) + 2(u, v)) ( 1) (1,1) = (4 0) + ( 2 + 0) ( 1) = 6 18 Opracowała: Małgorata Wrwas
19 Automatka i Robotka 14 Różnickowalność odworowania f : R n R m Niech D R n będie otwartm niepustm podbiorem, P 0 D ora f = (f 1,, f m ) : D R m Odworowanie f = (f 1,, f n ) : D R m nawam różnickowalnm w punkcie P 0, gd istnieje macier taka że a 11 a 1n, a m1 a mn a 11 a 1n 1 f(p ) f(p 0 ) = + ε(p 0, 1,, n ), a m1 a mn n gdie = ( 1 ) ( n ) 2, P = ( ,, 0n + n ) D, P 0 = ( 01,, 0n ) D i lim 0 ε(p 0, 1,, n ) = Pochodna odworowania f : R n R m Macier taką że a 11 a 1n A =, a m1 a mn f(p ) f(p lim 0 ) A 0 = 0, gdie = ( 1 ) ( n ) 2, = P =( ,, 0n + n ) D, P 0 =( 01,, 0n ) D, nawam 1, n macierą Jacobiego (pochodną) odworowania f w punkcie P 0 i onacam Df( 0 ) albo (f 1,, f m ) ( 1,, n ) lub D(f 1,, f m ) D( 1,, n ) 1 1 df(p 0, )=A =Df(P 0) n n nawam różnicką odworowania f w punkcie P 0 dla prrostu Twierdenie 141 Odworowanie f różnickowalne w punkcie P 0 ma tlko jedną macier Jacobiego Twierdenie 142 Odworowanie f różnickowalne w punkcie P 0 jest ciągle w tm punkcie 19 Opracowała: Małgorata Wrwas
20 Automatka i Robotka Twierdenie 143 Niech D R n będie otwartm niepustm podbiorem, P 0 D ora f = (f 1,, f m ) : D R m będie różnickowalne w P 0 Wted funkcje f i : D R, i = 1,, m mają pochodne cąstkowe i (P 0 ), i = 1,, m, k = 1,, n k ora macier 1 1 (P 0 ) 1 n (P 0 ) A = m 1 (P 0 ) m n (P 0 ) jest macierą Jacobiego (pochodną) odworowania f w punkcie P 0, Jeżeli m = n, to 1 1 det Df = det n 1 nawam jakobianem odworowania f i on J 1 n 1 = n n n 1 n n n Pochodna funkcji łożonej Niech f : R n R m ora g : R p R n Wówcas F = (f g) : R p R m i DF = D(f g) = Df Dg ( Prkład 144 Niech f(, ) = 2 ln i g(t 1, t 2, t 3 ) = t 1 + t ) 2, t 1 + t 2 + t 3 t 3 [ ] Wówcas Df = 2 ln 2, Dg = 1 1 t 2 t 3 t 2 3 ora DF = D(f g) = Df Dg = [ 2 ln ] t 2 t 3 t 2 3 = Prkład 145 Wkaać, że funkcja u = sin + F (sin sin ) spełnia równanie różnickowe cąstkowe u u cos + cos = cos cos Niech g(, ) = (sin, sin sin ) i f(a, b) = a + F (b) Wówcas u(, ) = (f g)(, ) Ponieważ [ ] df Df = 1, Dg = cos 0 ora db cos cos Zatem L = u u cos + Du = D(f g) = Df Dg = cos = Du cos = cos cos df cos db [ cos df db cos cos cos + df db df ] db cos cos cos = cos cos = P 20 Opracowała: Małgorata Wrwas
21 Automatka i Robotka 143 Prkład odworowań i ich pochodne Prkład 146 Niech f : 0, 2π) R 2 i f(t) = a cos t Wted b sin t Df(t 0 ) = a sin t 0 b cos t 0 R t = a cos t = b sin t R 2, t 0, 2π) 1 + t = 1 + t Prkład 147 Niech f : R R 3 i f(t) = 2 + 2t Wted = 2 + 2t t = t 1, t R Df(t 0 ) = 2 1 R 3 R t Prkład 148 Niech f : R R 3 i f(t) = a sin t 0 a cos t 0 b a cos t a sin t Wted bt = a cos t = a sin t, t R Df(t 0 ) = = bt R 3 R t 21 Opracowała: Małgorata Wrwas
22 Automatka i Robotka 0 + u 1 t 1 + v 1 t 2 Prkład 149 Niech f : R 2 R 3 i f(t 1, t 2 ) = 0 + u 2 t 1 + v 2 t 2 Wted 0 + u 3 t 1 + v 3 t 2 = 0 + u 1 t 1 + v 1 t 2 = 0 + u 2 t 1 + v 2 t 2 = 0 + u 3 t 1 + v 3 t 2, (t 1, t 2 ) R 2 Df(t 1, t 2 ) = u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 Prkład 1410 Niech f : D R 2, D = 0, + ) 0, 2π) R 2 i f(ϱ, ϕ) = ϱ cos ϕ Wted ϱ sin ϕ = ϱ cos ϕ, (ϱ, ϕ) D R 2 Df(ϱ, ϕ) = cos ϕ = ϱ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ϱ sin ϕ J = sin ϕ ϱ cos ϕ = ϱ ϱ sin ϕ ϱ cos ϕ Prkład 1411 Niech f : D R 2, D = 0, 1 0, 2π) R 2 aϱ cos ϕ i f(ϱ, ϕ) = Wted bϱ sin ϕ = aϱ cos ϕ, (ϱ, ϕ) D R 2 = bϱ sin ϕ Df(ϱ, ϕ) = a cos ϕ b sin ϕ aϱ sin ϕ a cos ϕ J = bϱ cos ϕ b sin ϕ aϱ sin ϕ bϱ cos ϕ = abϱ 22 Opracowała: Małgorata Wrwas
23 Automatka i Robotka ϱ cos ϕ Prkład 1412 Niech f : D R 3, D = 0, + ) 0, 2π) R R 3 i f(ϱ, ϕ, t) = ϱ sin ϕ Wted t = ϱ cos ϕ = ϱ sin ϕ, (ϱ, ϕ) D R 3 = t cos ϕ ϱ sin ϕ 0 cos ϕ ϱ sin ϕ 0 Df(ϱ, ϕ, t) = sin ϕ ϱ cos ϕ 0 J = sin ϕ ϱ cos ϕ 0 = ϱ Prkład 1413 Niech f : D R 3, D = 0, + ) 0, 2π) π 2, π ϱ cos ϕ cos ψ 2 R3 i f(ϱ, ϕ, ψ) = ϱ sin ϕ cos ψ ϱ sin ψ Wted = ϱ cos ϕ cos ψ = ϱ sin ϕ cos ψ, (ϱ, ϕ) D R 3 = ϱ sin ψ cos ϕ cos ψ ϱ sin ϕ cos ψ ϱ cos ϕ sin ψ Df(ϱ, ϕ, ψ) = sin ϕ cos ψ ϱ cos ϕ cos ψ ϱ sin ϕ sin ψ J = ϱ2 cos ψ sin ψ 0 ϱ cos ψ 23 Opracowała: Małgorata Wrwas
24 Automatka i Robotka 15 Ekstrema funkcji wielu miennch 151 Ekstrema lokalne Niech f : D f R, D f R n będie funkcją n-miennch Niech U D f będie biorem otwartm i P 0 ( 01,, 0n ) U Definicja 151 Funkcja f ma w punkcie P 0 ( 01,, 0n ) minimum lokalne, jeżeli istnieje otocenie U D f punktu P 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność f(p ) f(p 0 ) Funkcja f ma w punkcie P 0 minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otocenie U D f punktu P 0, takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność f(p ) > f(p 0 ) Definicja 152 Funkcja f ma w punkcie P 0 ( 01,, 0n ) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otocenie U D f punktu P 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność f(p ) f(p 0 ) Funkcja f ma w punkcie P 0 ( 01,, 0n ) maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otocenie U D f punktu P 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność f(p ) < f(p 0 ) Minima i maksima lokalne nawam EKSTREMAMI LOKALNYMI 152 Ekstrema globalne Definicja 153 Licba m jest najmniejsą wartością funkcji f na biore A D f, jeżeli istnieje punkt P 0 ( 01,, 0n ) A, taki że f(p 0 ) = m i dla każdego punktu P A f(p ) f(p 0 ) = m Licbę m nawam minimum globalnm funkcji f na biore A Definicja 154 Licba M jest najwięksą wartością funkcji f na biore A D f, jeżeli istnieje punkt P 0 ( 01,, 0n ) A, taki że f(p 0 ) = M i dla każdego punktu P A f(p ) f(p 0 ) = M Licbę M nawam maksimum globalnm funkcji f na biore A Minimum i maksimum globalne nawam EKSTREMAMI GLOBALNYMI 24 Opracowała: Małgorata Wrwas
25 Automatka i Robotka 153 Warunki na istnienie ekstremów funkcji wielu miennch Twierdenie 155 (Warunek koniecn istnienia ekstremum) Jeżeli to f ma ekstremum w punkcie P 0, istnieją pochodne i, i = 1,, n cąstkowe w punkcie P 0, 1 (P 0 ) = 0, 2 (P 0 ) = 0,, n (P 0 ) = 0 f(p 0 ) = [0, 0,, 0] = 0 Uwaga 5 Z twierdenia tego wnika, że funkcja może mieć ekstrema tlko w punktach, w którch wsstkie jej pochodne cąstkowe są równe 0 albo w punktach, w którch prnajmniej jedna pochodna cąstkowa nie istnieje Zerowanie się pochodnch cąstkowch nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego Na prkład funkcje f(, ) = 3, f(, ) = 2 2 spełniają warunki (0, 0) = 0, (0, 0) = 0 i nie mają ekstremów w punkcie (0, 0) Definicja 156 Punkt P 0 R n, w którm prnajmniej jedna pochodna cąstkowa nie istnieje lub w którm wsstkie pochodne cąstkowe są równe ero nawam punktem krtcnm funkcji f Punkt krtcn P 0, w którm jest spełnion warunek f(p 0 ) = 0 nawam punktem stacjonarnm funkcji f Definicja 157 Macier Hf := n n 2 2 f 1 n 2 n 2 n nawam HESJANEM funkcji f Hesjan jest macierą ależną od tch samch miennch, od którch ależ funkcja Roważm funkcję f : R n R ora definiujm funkcje i := i i 2 1 i 2 i 2 i, i = 1,, n Zauważm, że 1 := 2 f 2 1 i n = dethf 25 Opracowała: Małgorata Wrwas
26 Automatka i Robotka Twierdenie 158 (Warunek wstarcając istnienia ekstremum) Załóżm, że (P 0 ) = 0, (P 0 ) = 0,, (P 0 ) = 0 (punkt P 0 jest punktem stacjonarnm funkcji 1 2 n f) Jeżeli i (P 0 ) > 0, dla i = 1, 2,, n, to w punkcie P 0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe 1 (P 0 ) < 0, 2 (P 0 ) > 0, 3 (P 0 ) < 0,, ( 1) i i (P 0 ) > 0, i = 1,, n, to w punkcie P 0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe Uwaga 6 Niech P 0 będie punktem krtcnm funkcji f : R 2 R Jeżeli 2 (P 0 ) < 0, to w punkcie P 0 funkcja f nie ma ekstremum Np dla f(, ) = 2 2 mam (0, 0) = 0, (0, 0) = 0 i = dethf = 0 2 = 4 < 0, więc funkcja f nie ma ekstremum w punkcie krtcnm (0, 0) Prkład 159 Niech f : R 3 R i f(,, ) = Wted = 2 + 1, = 2, = Ponieważ = 0 2 = 0 = 2 3 = 1 3, = 0 = 1 więc P 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) jest punktem krtcnm funkcji f Ponadto i Hf = (P 0 ) = 2 > 0, 2 (P 0 ) = 3 > 0, 3 (P 0 ) = 6 > 0, więc funkcja f ma w punkcie P 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) minimum lokalne, które wnosi f min = f(p 0 ) = Opracowała: Małgorata Wrwas
27 Automatka i Robotka Prkład 1510 Niech f : R n R, n 2 i Wted f( 1, 2,, n ) = n i = 2 i, i = 1,, n Ponieważ 2 1 = 0 1 = 0, 2 n = 0 n = 0 więc P 0 (0,, 0) jest punktem krtcnm Ponadto Hf = i 1 (P 0 ) = 2 < 0, 2 (P 0 ) = 4 > 0,, n (P 0 ) = ( 2) n, ( 1) i i (P 0 ) = ( 1) i ( 2) i = 2 i > 0, dla i = 1, 2,, n Zatem funkcja f ma w punkcie P 0 (0,, 0) maksimum lokalne, które wnosi f ma = f(p 0 ) = 0 Niech A R n i f : A R Jeżeli A jest domknięt i ogranicon, a f jest funkcją ciągłą, to funkcja f osiąga w biore A wartość najmniejsą i najwięksą 1531 Algortm najdowania ekstremów globalnch funkcji na obsare domkniętm Znajdujem wsstkie punkt krtcne wewnątr bioru A i oblicm wartości funkcji w tch punktach Znajdujem punkt krtcne na bregu obsaru A i oblicm wartości funkcji w tch punktach Porównujem otrmane wartości funkcji najdując wartość najmniejsą i najwięksą 27 Opracowała: Małgorata Wrwas
28 Automatka i Robotka Prkład 1511 Niech f : A R 2 R i f(, ) = , gdie A jest trójkątem ograniconm prostmi = 0, = 0 i + = 4 Prkład 1512 Niech f : A R 2 R i gdie A = { (, ) : } f(, ) = , 16 Ekstrema warunkowe Definicja 161 Ekstrema funkcji f : D R n R ograniceniem g( 1, 2,, n ) = 0 nawam ekstremami warunkowmi lub wględnmi Jeżeli potrafim wlicć równania ( ) g( 1, 2,, n ) = 0 jedną e miennch, np n = φ( 1, 2,, n ), to możem podstawić tę ależność amiast miennej n do woru badanej funkcji, redukując w ten sposób licbę miennch o jeden Cęsto jednak nie potrafim rowikłać równania ( ), wówcas będiem stosowali tw metodę mnożników Lagrange a 28 Opracowała: Małgorata Wrwas
29 Automatka i Robotka 161 Metoda mnożników Lagrange a wnacania ekstremów warunkowch Funkcję L(λ, 1,, n ) = f( 1,, n ) + λ g( 1, 2,, n ) nawam funkcją Lagrange a Załóżm, że g( 01, 02,, 0n ) = 0 i g( 01, 02,, 0n ) [0,, 0] Twierdenie 162 Jeżeli P 0 ( 01, 02,, 0n ) jest punktem ekstremalnm, to istnieje λ, taka że ( λ, P 0 ) L jest punktem krtcnm funkcji Lagrange a, tn λ ( λ, L P 0 ) = 0, ( λ, P 0 ) = 0, i = 1,, n i Macier 0 g g HL = 1 2 g n g 1 2 L L L n 1 g g n 2 2 L L 2 L n 2 n 2 L 2 L n 2 2 L 2 n jest hesjanem funkcji Lagrange a Zdefiniujm 0 g g W i := g 1 2 i g 1 2 L L L i 1 g g i 1 i 2 i 2 2 L L 2 L L 2 L i 2 2 L 2 i, i = 2, 3,, n Twierdenie 163 (Warunek wstarcając istnienia ekstremum warunkowego) Załóżm, że L λ ( λ, L P 0 ) = 0, ( λ, P 0 ) = 0, i = 1,, n (( λ, P 0 ) jest punktem krtcnm funkcji Lagrange a) i Jeżeli W i (P 0 ) < 0, dla i = 2, 3,, n, to w punkcie P 0 funkcja f osiąga minimum lokalne warunkowe pr warunku g( 1, 2,, n ) = 0 ( 1) i W i (P 0 ) > 0, dla i = 2, 3,, n, to w punkcie P 0 funkcja f osiąga maksimum lokalne warunkowe pr warunku g( 1, 2,, n ) = 0 29 Opracowała: Małgorata Wrwas
30 Automatka i Robotka Wniosek 164 Niech n = 2 i niech ( λ, 0, 0 ) będie punktem krtcnm funkcji Lagrange a L(λ,, ) = L f(, ) + λ g(, ), tn λ ( λ, L 0, 0 ) = 0, ( λ, L 0, 0 ) = 0, ( λ, 0, 0 ) = 0 Jeżeli dethl( λ, 0, 0 ) < 0, to w punkcie ( 0, 0 ) funkcja f osiąga minimum lokalne warunkowe pr warunku g(, ) = 0 dethl( λ, 0, 0 ) > 0, to w punkcie ( 0, 0 ) funkcja f osiąga maksimum lokalne warunkowe pr warunku g(, ) = 0 Prkład 165 Wnacm ekstrema lokalne funkcji f : R 2 R i pr ograniceniu = 0 f(, ) = Prkład 166 Wnacm ekstrema lokalne funkcji f : R 2 R i pr ograniceniu 2 2 = 1 f(, ) = Opracowała: Małgorata Wrwas
31 Automatka i Robotka 17 Funkcje uwikłane Definicja 171 Funkcją uwikłaną określoną pre warunek F (, ) = 0 nawam każdą funkcję = ϕ(), spełniającą równość F (, ϕ()) = 0 dla wsstkich pewnego prediału I R Podobnie określa się funkcję uwikłaną = ψ(), gdie J R Wówcas F + F = 0 = F F Prkład 172 Funkcja = 1 2 jest funkcją uwikłaną określoną w prediale 1, 1 a pomocą równania = 0 ponieważ dla każdego 1, 1 spełnion jest warunek 2 + ( 1 2) 2 1 = 0 Równanie = 0 nie określa żadnej funkcji Twierdenie 173 (o istnieniu i różnickowalności funkcji uwikłanej) Jeżeli funkcja F ma ciągłe pochodne cąstkowe pierwsego rędu na otoceniu punktu ( 0, 0 ) i spełnia warunki 1 F ( 0, 0 ) = 0 2 F ( 0, 0 ) 0, to na pewnm otoceniu O punktu 0 istnieje jednonacnie określona funkcja uwikłana = ϕ() spełniająca warunki: F (, ϕ()) = 0 dla każdego tego otocenia, ϕ( 0 ) = 0, F (, ϕ()) = ϕ () = F, dla każdego O (, ϕ()) Prkład 174 Niech + sin = Oblic (0) i (0) 31 Opracowała: Małgorata Wrwas
32 Automatka i Robotka Niech = + ln Oblic i Napis równanie stcnej do krwej określonej równaniem + 3 = w punkcie A(1, 1) Twierdenie 175 (o ekstremach funkcji uwikłanej) Niech funkcja F będie określona na otoceniu punktu ( 0, 0 ) i niech ma tam ciągłe pochodne cąstkowe rędu drugiego Ponadto niech 1 F ( 0, 0 ) = 0 2 F ( 0, 0 ) = 0, F ( 0, 0 ) 0, 2 F 3 A = 2 ( 0, 0 ) 0 F ( 0, 0 ) Wted funkcja uwikłana = ϕ() określona pre równanie F (, ) = 0 ma w punkcie ( 0, 0 ) ekstremum lokalne właściwe: minimum, gd A > 0 maksimum, gd A < 0 2 F Uwaga 7 Równość F ( 0, 0 ) = 0 jest warunkiem koniecnm, a nierówność 2 ( 0, 0 ) 0 jest warunkiem wstarcającm istnienia ekstremum funkcji uwikłanej Prawdiwe jest także analogicne twierdenie o ekstremach funkcji uwikłanej postaci = ψ() 171 Algortm najdowania ekstremów lokalnch funkcji uwikłanej 1 Punkt, w którch funkcja uwikłana może mieć ekstrema, najdujem korstając warunku koniecnego istnienia ekstremum W tm celu rowiąujem układ warunków: F (, ) = 0, F F (, ) = 0, (, ) 0, 2 W otrmanch punktach ( 0, 0 ) sprawdam warunek wstarcając istnienia ekstremum, tj określam nak wrażenia A = 2 F 2 ( 0, 0 ) 0 Na podstawie naku tego wrażenia ustalam rodaj ekstremum F ( 0, 0 ) Prkład 176 Wnacć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej = ϕ() określonej pre warunek = 0 32 Opracowała: Małgorata Wrwas
33 Automatka i Robotka 18 Informacje o równaniach różnickowch cąstkowch Definicja 181 Równaniem różnickowm cąstkowm nawam równanie postaci F (,,, u, u, u,, 2 u 2, 2 ) u, w którm niewiadomą jest funkcja u = u(,, ) dwóch lub więksej licb miennch i w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna castkowa tej funkcji Prkład 182 (Prkład równań różnickowch cąstkowch) Równania są równaniami różnickowmi cąstkowmi u u = u 2 u t 2 = 2 u 2 2 u u 2 = 0 Definicja 183 Licbę n 1 nawam rędem równania różnickowego cąstkowego jeżeli wstępuje w tm równaniu pochodna castkowa rędu n funkcji niewiadomej, natomiast nie wstępuje pochodna cąstkowa rędu wżsego niż n Definicja 184 Rowiąaniem scególnm lub całką scególną równania różnickowego cąstkowego rędu n w obsare D nawam funkcję mającą ciągłe pochodne cąstkowe do rędu n włącnie w obsare D ora spełniająca dane równanie w każdm punkcie obsaru D Prkład 185 Funkcja u = 2 jest całką scególną równania u u = u w dowolnm obsare D R 2, ponieważ ma ciągle pochodne cąstkowe w obsare D ora dla każdego punktu (, ) D (2 ) (2 ) = 2, Definicja 186 Rowiąaniem ogólnm lub całką ogólną równania różnickowego cąstkowego nawam biór wsstkich całek scególnch tego równania Całka ogólna równania różnickowego cąstkowego ależ od pewnej licb funkcji dowolnch, dostatecnie regularnch, którch każda jest funkcją tej samej licb argumentów o jeden mniejsej od licb argumentów rowiąania = 0, 33 Opracowała: Małgorata Wrwas
34 Automatka i Robotka Prkład 187 Weźm pod uwagę równanie 2 u = 0 Posukujem całki ogólnej tego równania Ponieważ ( ) u = 0, więc pochodna u nie ależ od miennej Wnika stąd, że u = g(), gdie g jest dowolną funkcją różnickowalną w sposób ciągł w prediale (, + ) Onacm pre G dowolną funkcją pierwotną funkcji g w R ora pre h() dowolną funkcję mającą ciągłe pochodne do rędu drugiego w R Wówcas u(, ) = h() + G() Znaleiona całka ogólna ależ od dwóch dowolnch, ale dostatecnie regularnch funkcji, którch każda jest funkcją jednej miennej 181 Równania różnickowe cąstkowe liniowe rędu drugiego Równaniem różnickowm cąstkowm liniowm rędu drugiego funkcją niewiadomą u = u( 1, 2,, n ) nawam równanie n n 2 u n A ij (P ) + B i (P ) u + C(P )u + F (P ) = 0, i=1 j=1 i j i=1 i pr cm A ij (P ), B i (P ), C(P ) i F (P ) są danmi funkcjami mającmi ciągłe pochodne cąstkowe do rędu drugiego i określonmi w każm punkcie P ( 1, 2,, n ) pewnego obsaru D 182 Klasfikacja równań różnickowch cąstkowch liniowch rędu drugiego funkcją niewiadomą u = u(, ) Definicja 188 Mówim, że równanie różnickowe cąstkowe A(, ) 2 u 2 + 2B(, ) 2 u + C(, u ) 2 + a(, ) u 2 jest w biore D tpu hiperbolicnego wted i tlko wted, gd + b(, ) u + c(, )u + d(, ) = 0, δ(, ) = A(, )C(, ) B 2 (, ) < 0 dla każdego (, ) D parabolicnego wted i tlko wted, gd δ(, ) = A(, )C(, ) B 2 (, ) = 0 dla każdego (, ) D eliptcnego wted i tlko wted, gd δ(, ) = A(, )C(, ) B 2 (, ) > 0 dla każdego (, ) D 34 Opracowała: Małgorata Wrwas
35 Automatka i Robotka Prkład u Równanie fali płaskiej (równanie strun) 2 2 u = 0, funkcją niewiadomą u = u(, t), jest t2 równaniem tpu hiperbolicnego w dowolnm obsare płaskim Równanie prewodnictwa 2 u 2 u = 0, funkcją niewiadomą u = u(, t), jest równaniem tpu t parabolicnego w dowolnm obsare płaskim Równanie Laplace a na płascźnie 2 u u = 0, jest równaniem tpu eliptcnego w dowolnm 2 obsare płaskim Twierdenie 1810 Jeżeli wsstkie współcnniki A ij w równaniu ( ) n n A ij i=1 j=1 2 u + i j n i=1 B i (P ) u i + C(P )u + F (P ) = 0, są stałe, to istnieje prekstałcenie sprowadić do postaci kanonicnej ξ = n b ki i, k = 1, 2,, n a mocą którego równanie ( ) można i=1 n i=1 λ i 2 u ξ 2 i + n i=1 B i1 (P ) u ξ i + C 1 u + F 1 = 0, gdie wsstkie współcnniki λ i są równe ±1 lub 0, B i1 = n B j b ij, i = 1, 2,, n, C 1 = C, F 1 = F Definicja 1811 Mówim, że równanie j=1 ( ) n n 2 u n A ij (P ) + B i (P ) u + C(P )u + F (P ) = 0, i=1 j=1 i j i=1 i jest w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) D tpu hiperbolicnego wted i tlko wted, gd po sprowadeniu równania ( ), o współcnnikach A ij (P 0 ) do postaci kanonicnej wsstkie współcnniki λ i są różne od era i wsstkie wjątkiem jednego mają ten sam nak parabolicnego wted i tlko wted, gd po sprowadeniu równania ( ), o współcnnikach A ij (P 0 ) do postaci kanonicnej wsstkie współcnniki λ i wjątkiem jednego λ k są różne od era i mają ten sam nak ora współcnnik pr u ξ k jest różn od era eliptcnego wted i tlko wted, gd po sprowadeniu równania ( ), o współcnnikach A ij (P 0 ) do postaci kanonicnej wsstkie współcnniki λ i są różne od era i mają ten sam nak 35 Opracowała: Małgorata Wrwas
36 Automatka i Robotka Prkład 1812 Równanie drgań membran 2 u u 2 2 u t 2 = 0, funkcją niewiadomą u = u(,, t), która predstawia wchlenie punktu (, ) płaskiej membran w chwili t, jest równaniem tpu hiperbolicnego w dowolnm obsare tw casoprestreni Ot Równanie fal sfercnch 2 u u u 2 2 u t 2 = 0, funkcją niewiadomą u = u(,,, t), która predstawia amplitudę fali w punkcie (,, ) w chwili t, jest równaniem tpu hiperbolicnego w dowolnm obsare prestreni Ot Równanie prewodnictwa na płascźnie 2 u u 2 u t = 0, funkcją niewiadomą u = u(,, t), która predstawia temperaturę środowiska w punkcie (, ) w chwili t, jest równaniem tpu parabolicnego w dowolnm obsare casoprestreni Ot Równanie prewodnictwa w prestreni 2 u u u 2 u t = 0, funkcją niewiadomą u = u(,,, t), która predstawia temperaturę środowiska w punkcie (,, ) w chwili t, jest równaniem tpu parabolicnego w dowolnm obsare prestreni Ot Równanie Laplace a w prestreni 2 u u u 2 = 0, funkcją niewiadomą u = u(,, ), jest równaniem tpu eliptcnego w dowolnm obsare prestreni O Równanie takie spełnia np potencjał elektrostatcn wtworon pre ładunki elektrcne w obsare nie awierającm tch ładunków 36 Opracowała: Małgorata Wrwas
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem I, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2 R
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowo,..., u x n. , 2 u x 2 1
. Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoPowierzchnie stopnia drugiego
Algebra WYKŁAD 3 Powierchnie sopnia drugiego Deinicja Powierchnią sopnia drugiego kwadrką nawam biór punków presreni rójwmiarowej, spełniającch równanie A B C D E F G H I K gdie A, B,, K są sałmi i prnajmniej
Bardziej szczegółowoPochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:
ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot
- podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoPOTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y
POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Baza Jordana
Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe
Matematka Element anali wektorowej c I Pole wektorowe Literatura M.Gewert Z.Skoclas; Element anali wektorowej; Oficna Wdawnica GiS Wrocław 000 W.Żakowski W.Kołodiej; Matematka c II; WNT Warsawa 1984 W.Leksiński
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoP K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).
Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu
J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia
Bardziej szczegółowoPrzykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a
Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W
Bardziej szczegółowo1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił
. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 15: Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe (1) Sprawdzić, czy następujące odwzorowania ξ : R 3 R 3 R: x y. x y z. f(x)g(x)dx.
Zestaw adań 5: Funkcjonał dwuliniowe i form kwadratowe () Sprawdić, c następujące odworowania ξ : R 3 R 3 R: x x a) ξ( x, c) ξ( x, x ) = xx + + ; b) ξ(, x ) = xx + 2 + ; d) ξ( x, x x ) = x + x + 2; ) =
Bardziej szczegółowoZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowo14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe
. Krwe stożkowe i form kwdrtowe.. Kwdrki Powierchnią stopni drugiego, lub krótko kwdrką, nwm biór punktów P(,,), którch współrędne spełniją równnie: 33 3 3 kwdrt wr miesne 3 wr liniowe wr woln gdie. 33
Bardziej szczegółowoI. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.
Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości
Bardziej szczegółowoOptymalizacja (w matematyce) termin optymalizacja odnosi się do problemu znalezienia ekstremum (minimum lub maksimum) zadanej funkcji celu.
TEMATYKA: Optymaliacja nakładania wyników pomiarów Ćwicenia nr 6 DEFINICJE: Optymaliacja: metoda wynacania najlepsego (sukamy wartości ekstremalnej) rowiąania punktu widenia określonego kryterium (musimy
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią 2012/2013
Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : 2 4 3 4 3 2 3 3 5 7 3 3 6 3 Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn.
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE
. UKOŚNE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Ukośne ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego pręta redukuje się do momentu ginającego, którego
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoFunkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna
Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje
Bardziej szczegółowoElementy algebry i analizy matematycznej II
Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoGRUPY SYMETRII Symetria kryształu
GRUPY SYMETRII Smetria krstału Zamknięte (punktowe) operacje smetrii (minimum jeden punkt prestreni nie porusa się wskutek astosowania amkniętej operacji smetrii): Obrot i obrot inwersjne; Inwersja (smetria
Bardziej szczegółowonapór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )
5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie
J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch
Bardziej szczegółowof x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Bardziej szczegółowoPRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA
MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY Rok skoln 08/09 ETAP REJONOWY 0 grudnia 08 roku PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA adanie odpowiedź punkt B 3 C 3 3 A 3 4 B 3 5 E 3 6 B 3 7 E 3 8 C 3 9 D 3 0 A 3 7 adania
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoZadania z AlgebryIIr
Zadania AlgebrIIr Seria () Rowia ι ać uk lad równań: + + t = + = 7 + + t = ; + + = ; + 7 6t = + = 7 + + = 8 = 8 + + t = + 9 = 9 ; + 7t = + = 7 + + t = + 8 7 = () Podać bae ι prestreni rowia ι ań uk ladu:
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoEPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B
Hamiltonian spinow Elektronow reonans paramanetcn jest wiąan absorpcją pola wsokiej cęstotliwości, która towars mianie orientacji spin w ewnętrnm polu manetcnm. Niesparowane spinowe moment manetcne µ s
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoRóniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi
Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór
Bardziej szczegółowoRozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A
Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowo23. CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA
. CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA Płat powiechniow o ównaniach paametcnch: ( ) ( ) ( ) () gdie oba jet obaem eglanm nawam płatem gładkim (płatem eglanm) gd w każdm pnkcie tego płata itnieje płacna
Bardziej szczegółowox od położenia równowagi
RUCH HARMONICZNY Ruch powtarając się w regularnch odstępach casu nawa ruche okresow. Jeżeli w taki ruchu seroko rouiane odchlenie od stanu równowagi ( np. odchlenie as podcepionej do sprężn, wartość wektora
Bardziej szczegółowoBUDOWA ATOMU cd. MECHANIKA KWANTOWA
BUDOWA ATOMU cd. ajmuje się opisem ruchu cąstek elementarnch, układ można opiswać posługując się współrędnmi określającmi położenie bądź pęd, współrędne określa się pewnm prbliżeniem, np. współrędną dokładnością
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie. PROSTE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Proste ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego
Bardziej szczegółowoZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE
KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne
Bardziej szczegółowo4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej
4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami
Bardziej szczegółowoKONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA
ĆWICZENIE 5 KONWENCA ZNAKOWANIA OENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA Wektor momentu pr ginaniu ukośnm można rutować na osie,, będące głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju. Prjmujem konwencję nakowania
Bardziej szczegółowoDodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowocz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321
Wkład 8: Brła stwna c. Dr inż. Zbigniew Sklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 skla@agh.edu.pl http://laer.uci.agh.edu.pl/z.sklarski/ 05.04.08 Wdiał nformatki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatka
Bardziej szczegółowoPRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY
Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoMechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 2 Opis położenia i orientacji efektora Model geometryczny zadanie proste
Katedra Robotki i Mechatroniki Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie Mechanika Robotów Wojciech Lisowski Opis położenia i orientacji efektora Model geometrcn adanie proste Mechanika Robotów KRIM, AGH w Krakowie
Bardziej szczegółowoBUDOWA ATOMU cd. MECHANIKA KWANTOWA
BUDOWA ATOMU cd. ajmuje się opisem ruchu cąstek elementarnch, układ można opiswać posługując się współrędnmi określającmi położenie bądź pęd, współrędne określa się pewnm prbliżeniem, np. współrędną dokładnością
Bardziej szczegółowo2.1. ZGINANIE POPRZECZNE
.1. ZGINNIE POPRZECZNE.1.1. Wprowadenie Zginanie poprecne (ginanie e ścinaniem) wstępuje wted, gd ociążenie ewnętrne pręta redukuje się do momentu ginającego M i sił poprecnej. W prekroju takim wstępują
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Hipotezy wytężeniowe.
HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE Wtężenie i jego miara Wkres rociągania stali miękkiej pokauje że punkt materialn najdując się w jednoosiowm stanie naprężenia prechodi w trakcie więksania naprężenia pre kolejne stan
Bardziej szczegółowoPrzykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.
Prkład.7. Naprężenia tcne pr ginaniu belki cienkościennej. Wnac rokład naprężenia tcnego w prekroju podporowm belki wpornikowej o prekroju cienkościennm obciążonej na wobodnm końcu pionową iłą P. Siła
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstaw wtrmałości materiałów IMiR -IA- Wkład Nr 9 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstaw wtrmałości materiałów IMiR - MiBM - Wkład Nr 5 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO
IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Modelowanie matematyczne Metody modelowania
Modelowanie i oblicenia technicne Modelowanie matematycne Metody modelowania Modelowanie matematycne procesów w systemach technicnych Model może ostać tworony dla całego system lb dla poscególnych elementów
Bardziej szczegółowoIII. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Bardziej szczegółowoG:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fale wodnem.doc. Drgania i fale III rok Fizyki BC. Model: - długi kanał o prostokątnym przekroju i głębokości h,
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Fale wodne: Drgania i fale III rok Fiki BC Model: - długi kanał o prostokątnm prekroju i głębokości h, - ruch fali wdłuż, nieależn od x, wchlenia wdłuż, - woda nieściśliwa
Bardziej szczegółowoINSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCESOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI STOSOWANEJ POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA ĆWICZENIE NR MR-2
INTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCEOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI TOOWANEJ POLITECHNIKA CZĘTOCHOWKA LABORATORIUM Z PRZEDMIOTU METODY REZONANOWE ĆWICZENIE NR MR- EPR JONÓW Ni W FLUOROKRZEMIANIE NIKLU I.
Bardziej szczegółowoFunkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.
Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =
Bardziej szczegółowo