Funkcje wielu zmiennych (c.d.)

Transkrypt

1 Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Pochodne czastkowe. Pochodna kierunkowa. Gradient. Różniczka zupełna. Pochodna odwzorowania. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/54

2 Pochodne czastkowe Niechf oznacza funkcjęn-zmiennych określoną w otoczeniu O punktup 0 (x 01,...,x 0n ). Symbolem x i oznaczamy przyrost zmiennej niezależnejx i, 1 n n, różny od zera i taki, żeby P(x 01,...,x 0i 1,x 0i + x i,x 0i+1,...,x 0n ) O. f(p) f(p 0 ) Granicę właściwą lim nazywamy x i 0 x i pochodna czastkow a rzędu pierwszego funkcjif względem zmiennejx i w punkciep 0 i oznaczamy symbolem f x i (P 0 ). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 2/54

3 Pochodne czastkowe funkcji dwóch zmiennych Dla funkcji dwóch zmiennychf(x,y) definicje pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego względem zmiennychxiy w punkciep 0 (x 0,y 0 ) są następujące oraz f x (P 0) def = lim x 0 f(x 0 + x,y 0 ) f(x 0,y 0 ) x f y (P 0) def = lim y 0 f(x 0,y 0 + y) f(x 0,y 0 ) y. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 3/54

4 Interpretacja geometryczna pochodnych czastkowych dla funkcji dwóch zmiennych Niechf: R 2 R, z=f(x,y). Załóżmy, żef ma pochodne rzędu pierwszego w punkciep 0 (x 0,y 0 ). f x (x 0,y 0 ) =tgα z z x α y x β f y (x 0,y 0 ) =tgβ f x (x 0,y 0 ) jest miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcjif wzgl. zmiennejxprzy ustalonej wartościy. f y (x 0,y 0 ) jest miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcjif wzgl. zmiennejyprzy ustalonej wartościx. y Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 4/54

5 UWAGA: Nie ma zwiazku między ciagłości a funkcji wielu zmiennych a istnieniem pochodnych czastkowych. Funkcja wielu zmiennych może mieć w punkcie obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i może nie być ciągła w tym punkcie, np. funkcjaf(x,y)= 1, dlaxy=0 0, dlaxy 0 nie jest ciągła w punkcie(0,0), alef ma pochodne cząstkowe w punkcie(0,0): f x (0,0)=lim x 0 f( x,0) f(0,0) x = lim x x =0 i f y (0,0)=lim y 0 f(0, y) f(0,0) y = lim y y =0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 5/54

6 Przykład funkcji ciagłej nie majacej pochodnych czastkowych Niechf(x,y)= x 2 +y 2. Funkcjaf jest ciągła w punkcie(0,0), gdyż x2 +y 2 =0=f(0,0), ale lim (x,y) (0,0) f x (0,0)=lim x 0 x x = lim x 0 x x nie istnieje i f y (0,0)=lim y y 2 0 y = lim y 0 y y nie istnieje. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 6/54

7 Jeżeli funkcja ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego D R n, to funkcje f x 1 (x 1,...,x n ), f x 2 (x 1,...,x n ),..., f x n (x 1,...,x n ), gdzie(x 1,...,x n ) D, nazywamy pochodnymi czastkowymi pierwszego rzędu funkcjif na zbiorze D i ozn. f x 1, f x 2,..., f x n lub f x 1,f x 2,...,f x n. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 7/54

8 Przykłady Niechf(x,y)= e x ln(x+y). Niechg(x,y,z)= 3 arctg(x+e yz ). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 8/54

9 Pochodna kierunkowa funkcji f: D R n R Niechf oznacza funkcjęn-zmiennych określoną w otoczeniu O punktup 0 (x 01,...,x 0n ) D. Pochodna kierunkowa funkcjif w punkciep 0 w kierunku wersora v=[v x1,v x2,...,v xn ] określamy wzorem df d v (P 0) def f(x 01 +tv x1,...,x 0n +tv xn ) f(x 01,...,x 0n ) =lim t 0 t df d v jest też oznaczana następująco f v lub f v. Dlaf: D R 2 R Dlaf: D R 3 R df d i = f x, df d j = f y. df d i = f x, df d j = f y, df d k = f z. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 9/54

10 Przykład Niechf(x,y,z)=x 2 2yz,P 0 (1,0, 1) i v= , 3,. Wówczas 3 df d v (P 0) def = lim t 0 1+ lim t 0 ( 1+ 1 ) 2 ( 3 t 2 0 )( 3 3 t 1+ t 2 3 t+1 9 t t+ 15t t ) 5 3 t = = ( 1 3 ) Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 10/54

11 Przykład Niechf(x,y,z)=e x+y+z,p 0 (0,0,0) i v=[1,1,1]. Wówczas df d v (P 0) def e 3t 1 =lim t 0 t [ 0 0 ] =lim t 0 3e 3t 1 = 3 Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 11/54

12 Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej funkcji dwóch zmiennych Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktu(x 0,y 0 ). Ponadto niechγ oznacza kąt nachylenia do płaszczyznyxoy półstycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju { x=x 0, wykresu funkcjif półpłaszczyzną przechodzącą przez prostą oraz równoległą do y=y 0 wersora v. Wtedy df d v (x 0,y 0 ) =tgγ. z γ y (x 0,y 0,0) v x Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji f w kierunku v. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 12/54

13 Gradient funkcji Niechf: D R n R. Gradientem funkcjif w punkciep 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) nazywamy wektor określony wzorem f(p 0 ) def = [ f x 1 (P 0 ), f x 2 (P 0 ),..., f x n (P 0 ) Gradient w punkciep 0 jest również oznaczany przezgradf(p 0 ) lub f (P 0 ),tak jak pochodna jednej zmiennej. Przykład: Niechf(x,y)=x 3 y 2 +3x y ip 0 ( 2,1). Wówczas [ ] f f= x, f =[3x 2 y 2 +3,2x 3 y 1], więc f( 2,1)=[15, 17] y ]. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 13/54

14 Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Twierdzenie (wzór do obliczania pochodnej kierunkowej): Niech pochodne cząstkowe f x i,i=1,...,n będą ciągłe w punkciep 0 (x 01,...,x 0n ) oraz niech v będzie dowolnym wersorem. Wtedy df d v (P 0)= f(p 0 ) v. Przykład: Niech f(x,y)=x 3 y 2 +3x y,p 0 ( 2,1) i v= [ 1 df d v ( 2,1)= f( 2,1) v=[15, 17] 2, 1 2 [ 1 ] 2, 1 2. Wówczas ] = Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 14/54

15 Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie liczona w kierunku gradientu ma wartość największą spośród wszystkich pochodnych kierunkowych liczonych w różnych kierunkach i df d f(p 0 ) (P 0)= f(p 0 ). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 15/54

16 Interpretacja geometryczna gradientu funkcji dwóch zmiennych Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie. z y x (x 0,y 0 ) f(x 0,y 0 ) Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 16/54

17 Interpretacja geometryczna gradientu funkcji dwóch zmiennych Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt. y y 0 x 0 (x 0,y 0 ) f(x 0,y 0 ) x Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 17/54

18 Pochodne czastkowe drugiego rzędu Niech funkcjaf ma pochodne cząstkowe f x i,i=1,2,...,n, na obszarze D R n oraz niechp 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) D. Pochodne czastkowe drugiego rzędu funkcjif w punkciep 0 określamy wzorami: 2 f x 2 i (P 0 )= ( x i ( f x i )) (P 0 ), 2 f x i x j (P 0 )= ( x i ( f x j )) (P 0 ), dlai,j=1,2,...,n. Powyższe pochodne oznaczamy także odpowiednio przez f x i x i (P 0 ), f x j x i (P 0 ) lub f xi x i (P 0 ), f xj x i (P 0 ). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 18/54

19 Pochodne czastkowe drugiego rzędu na obszarze Jeżeli funkcjaf ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu w każdym punkcie obszaru D R n, to funkcje 2 f x 2 i (x 1,...,x n ), 2 f x i x j (x 1,...,x n ),i,j=1,2,...,n gdzie(x 1,...,x n ) D, nazywamy pochodnymi czastkowymi drugiego rzędu funkcji f na obszarze D i oznaczamy odpowiednio przez 2 f x 2 i f x j x i., 2 f x i x j lub f x i x i, Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 19/54

20 Pochodne czastkowe wyższych rzędów Jeżeli funkcjaf ma pochodne cząstkowe rzęduk 2 przynajmniej na otoczeniu punktu P 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) D R n, to k+1 f x i x s j x p l (P 0 )= x i k f x s j x p l (P 0 ), gdzies+p=k. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 20/54

21 Twierdzenie Schwarza Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Ponadto niech pochodne cząstkowe 2 f x i x j, 2 f istnieja na x j x i otoczeniu punktup 0 pochodne cząstkowe punkciep 0. 2 f x i x j, 2 f x j x i, będą ciągłe w Wtedy 2 f x i x j (P 0 )= 2 f x j x i (P 0 ),i j ii,j=1,2,...,n UWAGA: Prawdziwe są analogiczne równości dla pochodnych mieszanych wyższych rzędów. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 21/54

22 Różniczkowalność funkcji n-zmiennych Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktup 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) oraz niech istnieją pochodne cząstkowe f x i (P 0 ),i=1,,...,n. Funkcja f jest różniczkowalna w punkciep 0 wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: lim ( x 1,..., x n ) (0,...,0) f(p) f(p 0 ) f x 1 (P 0 ) x 1 f x n (P 0 ) x n =0 ( x 1 ) 2 + +( x n ) 2 gdziep=(x 01 + x 1,...,x 0n + x n ). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 22/54

23 Warunek konieczny różniczkowalności funkcji Twierdzenie: Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciagła w tym punkcie. Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym przykład funkcji f(x,y)= x 2 +y 2, która jest ciągła w punkcie (0,0), ale nie jest w tym punkcie różniczkowalna. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 23/54

24 Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji Twierdzenie: Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktup 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Ponadto niech pochodne cząstkowe f x i,i=1,...,n istnieją na otoczeniu punktup 0 pochodne cząstkowe f x i,i=1,...,n będą ciągłe w punkciep 0. Wtedy funkcjaf jest różniczkowalna w punkciep 0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 24/54

25 Interpretacja geometryczna funkcji dwóch zmiennych różniczkowalnej w punkcie Różniczkowalność funkcjif w punkcie(x 0,y 0 ) oznacza, że istnieje płaszczyzna styczna (niepionowa) do wykresu tej funkcji w punkcie(x 0,y 0,f(x 0,y 0 )). z z=f(x,y) płaszczyzna styczna (x 0,y 0,z 0 ) y x Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 25/54

26 Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji Niech funkcjaf będzie różniczkowalna w punkcie P 0 (x 0,y 0 ). Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif w punkcie(x 0,y 0,z 0 ), gdzie z 0 =f(x 0,y 0 ), ma postać: z z 0 = f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+ f y (x 0,y 0 )(y y 0 ). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 26/54

27 Różniczka funkcjin-zmiennych Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Ponadto niech funkcjaf ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkciep 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Różniczka funkcjif w punkciep 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) nazywamy funkcję zmiennych x 1, x 2,..., x n określoną wzorem: df(p 0 )( x 1, x 2,..., x n ) def = n i=1 f x i (P 0 ) x i, Różniczkę funkcjif oznacza się także przez df(x 01,x 02,...,x 0n ) lub krótkodf. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 27/54

28 Zastosowanie różniczki funkcjin-zmiennych Niech funkcjaf będzie różniczkowalna w punkcie P 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Wtedy f(x 01 + x 1,...,x 0n + x n ) f(p 0 )+df(p 0 )( x 1,..., x n ), przy czym błądδ( x 1, x 2,..., x n ) powyższego przybliżenia dąży szybciej do 0 niż ( x 1 ) 2 +( x 2 ) 2 + +( x n ) 2, tzn. lim x i 0,i=1,...,n δ( x 1, x 2,..., x n ) ( x 1 ) 2 +( x 2 ) 2 + +( x n ) 2=0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 28/54

29 Przykład Wykorzystując różniczkę obliczymy wartość przybliżoną wyrażenia 2,1 8,05. Definiujemy funkcjęf(x,y)= xy. Przyjmujemyx 0 =2 y 0 =8 x=0,1 i y=0,05. Ponieważ f y x =1 2 x i f y =1 x 2 y,więc 2,1 8, , ,05=4,1125. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 29/54

30 Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów Niech wielkości fizycznex 1,x 2,...,x n,y będą związane zależnościąy=f(x 1,x 2,...,x n ). Ponadto niech xi,i=1,2,...,n oznaczają odpowiednio błędy bezwzględne pomiaru wielkościx 1,x 2,...,x n. Wtedy błąd bezwzględny y obliczeń wielkościy wyraża się wzorem przybliżonym y n i=1 f x x i. i Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 30/54

31 Przykład Przy pomocy menzurki można zmierzyć objętość ciała z dokładnością V =0,1 cm 3, a przy pomocy wagi sprężynowej można ustalić jego masę z dokładnością 1 g. Objętość ciała zmierzona tym sposobem wynosiv=25 cm 3, a masam=200 g. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć gęstośćρtego ciała? Ponieważ ρ(m,v)= M V, więc więc ρ ρ M M+ ρ M =1 V i ρ V = M V 2, ρ V V= ,1=0, Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 31/54

32 Różniczka zupełna Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Ponadto niech funkcjaf ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkciep 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Przyrosty x 1, x 2,..., x n nazywamy różniczkami zmiennych niezależnychx 1,x 2,...,x n, odpowiednio i oznaczamy symbolami dx 1, dx 2,...,dx n. Różniczka zupełna funkcjif w punkciep 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) nazywamy wyrażenie: df(p 0 ) def = n i=1 f x i (P 0 )dx i. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 32/54

33 Różniczkowanie funkcji złożonych Twierdzenie: Niech funkcjaf ma ciągłe pochodne cząstkowe f x i, i=1,...,n, na obszarze D R n, funkcjex 1 =x 1 (t),x 2 =x 2 (t),...,x n =x n (t), będą różniczkowalne na przedziale(a, b) R oraz (x 1 (t),...,x n (t)) D dla każdegot (a,b). Wtedy funkcja złożonaf(t)=f(x 1 (t),x 2 (t),...,x n (t)) jest różniczkowalna na przedziale(a,b) oraz df dt = n i=1 f x i dx i dt. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 33/54

34 Przykład NiechF(t)=f(x(t),y(t)), gdzief(x,y)=xy 2 y, x=e t iy=e 2t. Wówczas df dt (t)= y2 (t)e t +(2x(t)y(t) 1)2e 2t = e 3t +2(2e t 1)e 2t. Dlat 0 =0mamyx(0)=1iy(0)=1, więc df dt (0)=1. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 34/54

35 Różniczkowanie funkcji złożonych Twierdzenie: Niech funkcjaf ma ciągłe pochodne cząstkowe f x i, i=1,...,n, na obszarze D R n, funkcjex 1 =x 1 (t 1,...,t m ),...,x n =x 2 (t 1,...,t m ), mają pochodne cząstkowe x i t k,i=1,...,n,k=1,...,m na obszarze U R m. WtedyF(t 1,...,t m )=f(x 1 (t 1,...,t m ),...,x n (t 1,...,t m )) ma na obszarze U następujące pochodne cząstkowe I-ego rzędu: F = t k n i=1 f x i x i t k, k=1,...,m. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 35/54

36 Przykład NiechF(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)), gdzie f(x,y)=x 2 xy+y 2,x=u+v iy=u v. Wówczas F u (1,1)=(2x(u,v) y(u,v))+( x(u,v)+2y(u,v)) (1,1) = (4 0)+( 2+0)=2, F v (1,1)=(2x(u,v) y(u,v))+( x(u,v)+2y(u,v)) ( 1) (1,1) = (4 0)+( 2+0) ( 1)=6. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 36/54

37 Różniczkowalność odwzorowania f: R n R m Niech D R n będzie otwartym niepustym podzbiorem,p 0 D orazf=(f 1,...,f m ):D R m. Odwzorowaniefnazywamy różniczkowalnym w punkciep 0, gdy istnieje macierz taka że f(p) f(p 0 )= a a 1n a m1... a mn a a 1n , x 1. + x ε(p 0, x), gdzie x = a m1... a mn ( x 1 ) 2 + +( x n ) 2, x n P=(x 01 + x 1,...,x 0n + x n ),P 0 =(x 01,...,x 0n ) D i lim ε(x 0, x)=0.. x 0 Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 37/54

38 Pochodna odwzorowania f: R n R m MacierzA= a a 1n ,taką że lim x 0 f(p) f(p 0 ) A x x =0, gdzie x = a m1... a mn ( x 1 ) 2 + +( x n ) 2, x= x 1., x n P=(x 01 + x 1,...,x 0n + x n ),P 0 =(x 01,...,x 0n ) D, nazywamy macierza Jacobiego (pochodną ) odwzorowaniaf w punkciep 0 i oznaczamy Df(x 0 ) albo (f 1,...,f m ) (x 1,...,x n ) lub D(f 1,...,f m ) D(x 1,...,x n ). df(p 0, x)=a x 1. =Df(P 0 ) x 1. : różniczka odwzorowaniaf wp 0 dla przyrostu x. x n x n Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 38/54

39 Różniczkowalność odwzorowania f: R n R m Twierdzenie: Odwzorowanief różniczkowalne w punkciep 0 ma tylko jedną macierz Jacobiego. Twierdzenie: Odwzorowanief różniczkowalne w punkciep 0 jest ciągle w tym punkcie. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 39/54

40 Pochodna odwzorowania f: R n R m Twierdzenie: Niech D R n będzie otwartym niepustym podzbiorem,p 0 D orazf=(f 1,...,f m ):D R m będzie różniczkowalne wp 0. Wtedy funkcjef i : D R,i=1,...,m mają pochodne cząstkowe f i x k (P 0 ),i=1,...,m,k=1,...,n oraz macierz A= f 1 f 1 x 1 (P 0 )... x n (P 0 )..... f m x 1 (P 0 )... f m x n (P 0 ) jest macierzą Jacobiego (pochodną) odwzorowaniaf w punkciep 0., Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 40/54

41 Pochodna odwzorowaniaf: R n R m Jeżelim=n, to detdf=det f 1. x f n x 1... f 1 x n. f n x n = f 1. x f n x 1... f 1 x n. f n x n nazywamy jakobianem odwzorowaniaf i ozn.j. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 41/54

42 Pochodna funkcji złożonej Niechf: R n R m orazg: R p R n. Wówczas F=(f g):r p R m i DF=D(f g)=df Dg. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 42/54

43 Niech Przykład f(x,y)=x 2 lny ig(t 1,t 2,t 3 )= WówczasDf = oraz [2xlny x2 y DF=D(f g)=df Dg= ],Dg= ( t 1 + t ) 2,t 1 +t 2 +t 3 t 3 [2xlny x2 y 1 1 t 3 t ] t t 3 t t 2 3. =... Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 43/54

44 Przykład Wykazać, że funkcja u = sin x + F(sin y sin x) spełnia równanie różniczkowe cząstkowe u y cosx+ u x cosy=cosx cosy. Niechg(x,y)=(sinx,siny sinx) if(a,b)=a+f(b). Wówczas [ [ ] df cosx 0 u(x,y)=(f g)(x,y). Ponieważ Df= 1, Dg= db cosx cosy ] oraz Du=D(f g)=df Dg= [ cosx df db cosx df db cosy ]. Zatem cosy=du [ L= u cosy y cosx+ u x cosx cosxcosy df db cosxcosy+df db cosycosx=cosxcosy=p. ] = Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 44/54

45 Przykład Niechf: 0,2π) R 2 if(t)= x=acost y=bsint acost. Wtedy bsint,t 0,2π) Df(t 0 )= asint 0 bcost 0 y R 2 R t x Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 45/54

46 Przykład Niechf: R R 3 if(t)= x=1+t y=2+2t z= t 1+t 2+2t. Wtedy t,t R Df(t 0 )= R t x z R 3 y Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 46/54

47 Przykład Niechf: R R 3 if(t)= x=acost y=asint z=bt acost asint. Wtedy bt,t R Df(t 0 )= asint 0 acost 0 z b R 3 R t x y Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 47/54

48 Niechf: R 2 R 3 if(t 1,t 2 )= x=x 0 +u 1 t 1 +v 1 t 2 Przykład x 0 +u 1 t 1 +v 1 t 2 y 0 +u 2 t 1 +v 2 t 2. Wtedy z 0 +u 3 t 1 +v 3 t 2 y=y 0 +u 2 t 1 +v 2 t 2,(t 1,t 2 ) R 2 Df(t 1,t 2 )= z=z 0 +u 3 t 1 +v 3 t 2 u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 48/54

49 Przykład Niechf: D R 2, D= 0,+ ) 0,2π) R 2 i f(,ϕ)= cosϕ. Wtedy sinϕ x= cosϕ y= sinϕ,(,ϕ) D R 2 Df(,ϕ)= cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ J= cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ = Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 49/54

50 Przykład Niechf: D R 2, D= 0,1 0,2π) R 2 i f(,ϕ)= a cosϕ. Wtedy b sinϕ x=a cosϕ y=b sinϕ,(,ϕ) D R 2 Df(,ϕ)= acosϕ a sinϕ J= bsinϕ b cosϕ acosϕ a sinϕ bsinϕ b cosϕ =ab Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 50/54

51 Przykład Niechf: D R 3, D= 0,+ ) 0,2π) R R 3 i f(,ϕ,t)= cosϕ sinϕ. Wtedy t x= cosϕ y= sinϕ z=t,(,ϕ) D R 3 Df(,ϕ,t)= cosϕ sinϕ 0 sinϕ cosϕ 0 J= cosϕ sinϕ 0 sinϕ cosϕ = Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 51/54

52 Przykład Niechf: D R 3, D= 0,+ ) 0,2π) f(,ϕ,ψ)= cosϕcosψ sinϕcosψ. Wtedy sinψ x= cosϕcosψ y= sinϕcosψ z= sinψ π 2,π 2,(,ϕ) D R 3 R 3 i Df(,ϕ,ψ)= cosϕcosψ sinϕcosψ cosϕsinψ sinϕcosψ cosϕcosψ sinϕsinψ J= 2cosψ sinψ 0 cosψ Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 52/54

53 Podsumowanie Pochodne cząstkowe. Pochodna kierunkowa. Gradient. Różniczka. Pochodna odwzorowania. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 53/54

54 Dziękuję za uwagę Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 54/54