MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH

Transkrypt

1 Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła iałająca włuż osi pręta, ecując o rociąganiu bąź ściskaniu eementu. Innmi słow, to suma naprężeń normanch na powierchni całego prekroju: (.) Rs.. Umowne nakowanie sił normanej Kopac, Łogowski, Pawłowski, Płotkowiak, mber

2 Korstając e woru (.) i prawa Hooke a można napisać aeżności a wcinaka pręta o ługości s: s Rs.. Prrost ługości pręta u ε ε u s E E s E Gie E- mouł Younga - poe powirchni prekroju Całkowita praca sił normanej w pręcie o ługości : Eement prac sił normanej: E s (.) E s (.3) Kopac, Łogowski, Pawłowski, Płotkowiak, mber

3 3 Praca momentów ginającch oment ginając prpomnienie: Def ( ) (.4) Jest to para sił równo oaonch o siebie, którch wnikiem iałania jest ściskanie cęści włókien i roćiąganie poostałch.: > rociąganie onch włókien < rociąganie górnch włókien Rs. 3. Umowne nakowanie momentó ginającch W prekroju wstępują naprężenia stałe (o sił normanej) i mienne (o momentu ginającego) Rs. 4. aprężenia stałe i mienne stałe naprężenia normane mienne naprężenia o momentu Kopac, Łogowski, Pawłowski, Płotkowiak, mber

4 4 aprężenia wstępujące o momentu ginającego ecują o ściskaniu cęści włókien i rociąganiu poostałej cęści: h h hg Rs. 5. aprężenia mienne o momentu ginającego Górna ręna naprężenia o momentu g Górna ręna naprężenia o momentu Korstając e woru (.4) i aeżności geometrcnch (twierenie aesa) otrmujem: (.5) h h h h I (.6) Wobec tego: h I (.7) Kopac, Łogowski, Pawłowski, Płotkowiak, mber

5 5 Biegun chwiowego obrotu promień krwin xs Rs. 6. ieskońcenie mał eement, poan momentowi ginającemu na wsokości ϕ ρ- promień krwin, - połowa kąta awartego mię promieniami krwin, s s ρ ϕ (.8) ϕ ρ Prrost ługości s jest smetrcn wgęem promienia krwin, atego prrośt po jenej stronie wnosi: ϕ ϕ ϕ (.9) Prrost s jest okstałceniem iniowm, atego korstając prawa Hooke a można apisać reacje mię prrostem włókna a naprężeniami. Kopac, Łogowski, Pawłowski, Płotkowiak, mber

6 6 ε s ε ( ) (.) E s s E Postawiając wór na naprężenie (.7) i na kąt obrotu (.9) otrmujem: s E I ϕ (.) ϕ s E I Wkorstując wór (.) i prawo Hooke a otrmujem reację mię krwiną (χ) a momentem: ϕ χ s ρ χ- to owrotność promienia krwin. E I (.) Eement prac momentu ginającego, któr iała na obrocie wnosi: ϕ s s (.3) E I E I Całkowita praca momentu w pręcie o ługości : E I s (.4) Kopac, Łogowski, Pawłowski, Płotkowiak, mber

7 7 Praca sił poprecnch Siła poprecna prpomnienie Siła poprecna jest sumą wsstkich naprężeń stcnch w prekroju Ineks pierws okreśa płascnę na jakiej iała siła Ineks rugi okreśa kierunek oatniej osi naprężeń stcnch τ x x τ I x x S ( ) b( ) (.5) W powżsm siła iała na płascźnie x o kierunku. Sstem nakowania sił poprecnej > kręci ociętą cęścią w prawo < kręci ociętą cęścią w ewo Rs. 7. Sstem nakowania sił poprecnej Kopac, Łogowski, Pawłowski, Płotkowiak, mber

8 8 h b() Rs. 8. Rsunek pogąow iałania sił poprecnej Wnikiem iałania sił stcnch jest eformacja prestawiona na rsunku (w ecowanej presaie) γ x s Rs. 9. Reutat iałania sił poprecnej na eemencie: a) γ- kąt okstałcenia postaciowego, b) - wnik iałania sił stcnch t γ τ x γ x G We wore (.6) G jest moułem okstałcenia postaciowego Kirchhoffa. x s (.6) Kopac, Łogowski, Pawłowski, Płotkowiak, mber

9 9 E G (.7 ( +ν ) E- mouł Younga, ν- współcnnik Poissona Równanie prac jest prestawione włącnie a poetka, w którm wstępują eement sił poprecnej. Jeżei chciałob się otrmać całkowitą pracę, naeżałob sumować wsstkie poetka - ci scałkować. τ (.8) Prrost prac eementu sił poprecnej prpaającej na poetko eżące na włóknie b() a eementarnego wcinka pręta o ługości s τ x γ xs x S ( ) x I b( ) G I G I S ( ) s b ( ) S ( ) s b( ) (.9) Prrost prac całej sił poprecnej w prekroju a wcinka s: S G I b ( ) ( ) (.) Wprowaam uprascając apis na ścinanie: S ( ) κ I (.) b ( ) κ s G γ śr s (.) Kopac, Łogowski, Pawłowski, Płotkowiak, mber

10 Wór (.3) w nawiąaniu o poprenich (praca i praca ) można pre anaogię interpretować jako pracę sił poprecnej na uśrenionm premiesceniu wwołanm okstałceniem postaciowm (γ śr s) γ śr τ G śr κ G (.3) Całkowita praca na ługości pręta uwgęnieniem współcnnika ścinania wnosi: κ s (.4 G Posumowanie Roaje wstępującch sił w prekroju F- uogóniona siła, - uogónione premiescenie ( s) ε s F( s) ( s) δ ( s) χ( s) s ϕ (.5) ( s) γ śr ( s) s Wsstkie współcnniki charakterują się baro poobną strukturą- siła/ stwność (na rociąganie, ginanie, ścinanie) ε E χ EI κ γ śr G (.6) Wór na całkowitą pracę sił wewnętrnch jest sumą prac tch wsstkich sił w pręcie: κ s + s + s EI E G (.7) Kopac, Łogowski, Pawłowski, Płotkowiak, mber

11 Kopac, Łogowski, Pawłowski, Płotkowiak, mber