Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
|
|
- Liliana Łukasik
- 9 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 arek isyński BO UŁ Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n n mn n n n n n ma ma b b m () () (3) Jest to adanie PL w którym występuje funkji elu. Zakładamy Ŝe adanie (-3) jest niesprene i posiada skońone rowiąanie optymalne dla kaŝdej funkji elu. Dla kaŝdej funkji elu posukujemy wartośi najwięksej (ma). Wsystkie funkje elu moŝemy potraktować jako jedną funkję wektorową F() i apisać je jako: F ( ) ( ) ( ) ma Stąd biere się ęsto spotykane określenie adania WPL jako adania liniowej optymaliaji wektorowej. Jak kaŝde adanie PL tak i adanie WPL moŝe być ropatrywane w dwóh prestreniah: w prestreni deyji R n tj e wględu na mienne n ora w prestreni kryteriów R tj. e wględu na kryteria. Stosownie do tego podiału onaymy biory rowiąań dopusalnyh: X - biór rowiąań dopusalnyh adania WPL w prestreni deyji ora Y - biór rowiąań dopusalnyh adania WPL w prestreni kryteriów. JeŜeli jakaś funkja elu k ma oryginalnie kierunek posukiwań min (Ŝądanie naleienia wartośi najmniejsej) to wystary pomnoŝyć ją pre -
2 arek isyński BO UŁ Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [] PRZYŁAD (opis sytuaji deyyjnej) Rafineria naftowa otrymała amówienie na dwa rodaje spejalnyh paliw węglowodorowyh X ora Y. Zamówienie opiewa na minimum galonów paliwa X i minimum 400 galonów paliwa Y. Paliwa te mogą być wytwarane niealeŝnie w dwóh proesah: P i P. W iągu godiny trwania proesu P uŝywa się baryłkę ropy A ora 3 baryłki ropy B i otrymuje 00 galonów paliwa X ora 30 galonów paliwa Y. W iągu godiny trwania proesu P uŝywa się 4 baryłki ropy A ora baryłki ropy B i otrymuje 50 galonów paliwa X ora 40 galonów paliwa Y. Zasób ropy A wynosi 30 baryłek a ropy B 40 baryłek. Zysk godiny produkji według proesu P wynosi 00$ a kosty 800$. Zysk godiny produkji według proesu P wynosi 500$ a kosty 00$. PRZYŁAD (-kryterialne WPL wariant trywialny) Dla sytuaji deyyjnej opisanej w prykładie sef produkji posukuje takiej kombinaji proesów P i P (tn. he ustalić na ile godin uruhomić proes P a na ile P) aby osiągnąć: maksymalny ysk ora maksymalną ilość paliw X i Y. Onamy: - as trwania proesu P ora - as trwania proesu P. odel deyyjny w prykładie będie następująy: ma ma ( ysk) ( paliwa) ( paliwo X ) ( paliwo Y ) ( ropa A) ( ropa B) Na rysunku predstawiono biór rowiąań dopusalnyh w prestreni deyji.
3 arek isyński BO UŁ Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [3] Prestreń deyji B ropa A C proes P paliwo X A ropa B 0 paliwo Y proes P Rys.. Ilustraja bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni deyji adania WPL w prykładie W tabeli podane są współrędne punktów wierhołkowyh bioru deyji dopusalnyh w prestreni deyji. abela. Współrędne punktów wierhołkowyh bioru deyji dopusalnyh w prestreni deyji w prykładie. współrędne wierhołki A B C D (proes P) (proes P) Problem WPL moŝe być ropatrywany w dwóh prestreniah tj. : w prestreni deyji ora w prestreni kryteriów. wierdenie Zbiór rowiąań dopusalnyh adania w prestreni kryterialnej jest wielośianem wypukłym. aŝdy wierhołek tego wielośianu jest obraem pewnego wierhołka bioru deyji dopusalnyh w prestreni deyyjnej natomiast poostałe punkty to biór wsystkih kombinaji wypukłyh punktów wierhołkowyh. D Obie prestrenie są w ogólnośi róŝnyh wymiarów. Prestreń deyyjna to R n natomiast prestreń kryterialna to R. W rowaŝanym prykładie tylko dla elów ilustrayjnyh pryjęto n yli oba biory są ilustrowane prestreni R.
4 arek isyński BO UŁ Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [4] Współrędne wierhołków w prestreni kryterialnej będąe odpowiednikami wierhołków prestreni deyji są wektorami któryh składowe wynaane są pre wartośi kolejnyh funkji elu k (k ) dla danego wierhołka prestreni deyji. Nieh wierhołkiem w prestreni deyji będie wierhołek r. Wówas współrędne jego odpowiednika w prestreni kryteriów wyliymy jako: F ( ) r y y y r r r W tabeli podane są wartośi funkji elu dla kolejnyh punktów wierhołkowyh e bioru deyji dopusalnyh w prestreni kryteriów tj. dla odpowiedników prestreni deyji. abela. Wartośi funkji elu dla punktów wierhołkowyh e bioru deyji dopusalnyh w prestreni kryteriów w prykładie. funkje elu wartośi w wierhołkah A B C D y (ysk) y (paliwa) Prestreń kryteriów D' C' paliwa B' ysk Rys.. Ilustraja bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów adania WPL w prykładie
5 arek isyński BO UŁ Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [5] Nieroerwalnym pojęiem wiąanym WPL jest pojęie rowiąania idealnego. Rowiąanie idealne w prestreni kryterialnej jest to punkt (I) którego współrędne odpowiadają maksymalnym wartośiom funkji elu. F I y y y ma ma ma r r r Rowiąanie takie najęśiej nie naleŝy do bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów. W prykładie rowiąanie idealne ilustruje rysunek 3. Prestreń kryteriów D' Idealne C' paliwa B' ysk Rys. 3. Ilustraja rowiąania idealnego w prestreni kryteriów adania WPL w prykładie Rowiąanie idealne naleŝy tutaj do bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów. Jest to punkt C którego obraem w prestreni deyji jest punkt C. Punkt C wskauje na deyję optymalną: proes P 3 godiny proes P 7 god. Optymalne wartośi fukji elu wynosą: ysk 4000 $ paliwa 0640 galonów.
6 arek isyński BO UŁ Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [6] PRZYŁAD 3 (-kryterialne WPL wariant nietrywialny) Dla sytuaji deyyjnej opisanej w prykładie sef produkji posukuje takiej kombinaji proesów P i P (tn. he ustalić na ile godin uruhomić proes P a na ile P) aby osiągnąć: maksymalny ysk ora minimalny kost. Zadanie WPL ma tutaj postać: ma min ( ysk) ( kosty) ( paliwo X ) ( paliwo Y ) ( ropa A) ( ropa B) Po unifikaji kierunku posukiwań w WPL (maksymaliaja) adanie ma ostateną postać: ' ma ma ( ysk) ( kosty) ( paliwo X ) ( paliwo Y ) ( ropa A) ( ropa B) Zbiór rowiąań dopusalnyh w prestreni deyji poostaje w tym prykładie be mian (por. prykład ). Zmiany w biore funkji kryterialnyh prowadą jednak do miany bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów. W tabeli 3 pokaano współrędne punktów wierhohłkowyh tego bioru. abela 3. Wartośi funkji elu dla punktów wierhołkowyh bioru deyji dopusalnyh w prestreni deyji w prykładie 3. funkje elu wartośi w wierhołkah A B C D (ysk) (-kosty)
7 arek isyński BO UŁ Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [7] Na rysunku 4 pokaano biór rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów dla prykładu 3 ora anaono połoŝenie rowiąania idealnego. Jak widać rowiąanie idealne nie naleŝy do bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów. W takim prypadku nie jesteśmy w stanie wskaać jednonanie rowiąania najlepsego (optymalnego w sensie WPL) dla problemu prykładu 3. Prestreń kryteriów D' Idealne kosty B' C' ysk Rys. 4. Ilustraja bioru rowiąań dopusalnyh ora rowiąania idealnego w prestreni kryteriów adania WPL w prykładie 3 StoŜki rowiąań dominująyh i dominowanyh Zanamy w prestreni kryteriów dowolny punkt Y. Punkt taki podieli prestreń na tery obsary (stoŝki). Będą to w sensie WPL następująe stoŝki: stoŝek punktów (rowiąań) dominująyh punkt Y stoŝek punktów (rowiąań) dominowanyh pre punkt Y ora dwa stoŝki punktów (rowiąań) nieporównywalnyh punktem Y. Ilustraję takih stoŝków pokaano na rysunku 5.
8 arek isyński BO UŁ Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [8] y StoŜek rowiąań nieporównywalnyh Y StoŜek rowiąań dominująyh Y Y StoŜek rowiąań dominowanyh pre Y StoŜek rowiąań nieporównywalnyh Y y Rys. 5. Ilustraja stoŝków rowiąań WPL w prestreni kryteriów (R ). Rowiąanie niedominowane w prestreni kryteriów i rowiąania sprawne w prestreni deyji Def. Rowiąania w prestreni deyyjnej odpowiadająe rowiąaniom niedominowanym naywamy rowiąaniami sprawnymi. Są to rowiąania optymalne WPL w sensie Pareto (rowiąania Pareto-optymalne). Na rysunku 5 rowiąaniem niedominowanym w prestreni kryteriów będie punkt Y. W prykładie 3 biór rowiąań niedominowanyh w prestreni kryteriów pokaano na rysunku 6 (pogrubione krawędie). Zbiorem tym są wsystkie punkty leŝąe na łamanej D ' B' B' C'. Niedominowanymi punktami wierhołkowymi bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów są wierhołki D ' ora C '. Wierhołkowymi rowiąaniami sprawnymi są ih odpowiedniki w prestreni deyji tj. wierhołki D A ora C (rowiąania wierhołkowe Pareto-optymalne). Na rysunku 7 pokaano w prestreni deyji biór rowiąań sprawnyh dla prykładu 3 (pogrubione krawędie). Zbiorem tym są wsystkie punkty leŝąe na łamanej DA AB BC.
9 arek isyński BO UŁ Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [9] Prestreń kryteriów D' kosty B' C' ysk Rys. 6. Ilustraja bioru rowiąań niedominowanyh w prestreni kryteriów adania WPL w prykładie 3 Prestreń deyji B C 60 P 40 A Rys. 7. Ilustraja bioru rowiąań sprawnyh w prestreni deyji adania WPL w prykładie 3 (rowiąania Pareto-optymalne). P D
10 arek isyński BO UŁ Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. [0] Rowiąanie optymalne adania WPL JeŜeli rowiąanie idealne w prestreni kryteriów jest rowiąaniem dopusalnym to adanie WPL posiada rowiąanie optymalne i jest nim obra (wierhołek) tego rowiąania w prestreni deyji. JeŜeli rowiąanie idealne w prestreni kryteriów nie jest rowiąaniem dopusalnym to adanie WPL nie posiada jednonanego rowiąania optymalnego. Rowiąaniem optymalnym WPL będie wówas dowolne rowiąanie sprawne które będie rowiąaniem kompromisowo-optymalnym. Wybrane metody generowania rowiąań sprawnyh (skalaryaja WPL) - następny wykład Rowiąanie sprawne adania WPL moŝemy otrymać międy innymi popre: śiągnięie punktu idealnego do bioru rowiąań dopusalnyh w prestreni kryteriów uŝyie dowolnej funkji elu (rowiąanie adania jednokryterialnego) waŝenie wsystkih funkji elu ustalenie dla - kryteriów satysfakjonująyh poiomów hierarhiaję kryteriów wykorystanie podejśia optymaliaji elowej wykorystanie metody interaktywnej itp.
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego
Bardziej szczegółowoPRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Bardziej szczegółowoTransformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych
Bardziej szczegółowoDocument: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych
Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydiał Mechanicny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane
Bardziej szczegółowoDodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowo2... Pˆ - teoretyczna wielkość produkcji (wynikająca z modelu). X X,..., b b,...,
Główne zynniki produkji w teorii ekonoii: praa żywa (oznazenia: L, ), praa uprzediotowiona (kapitał) (oznazenia: K, ), zieia (zwłaszza w rolnitwie). Funkja produkji Cobba-Douglasa: b b b P ˆ b... k 0 k
Bardziej szczegółowoW takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
achunek prawdopodobieństwa MP6 Wydiał Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab.. Jurlewic Prykłady do listy : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMetody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa
Metody dokładne w astosowaniu do rowiąywania łańcuchów Markowa Beata Bylina, Paweł Górny Zakład Informatyki, Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Plac Marii Curie-Skłodowskiej 5, 2-31
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1]
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] Co to są badania operacyjne? Termin "badanie operacji" (Operations' Research) powstał podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii
Bardziej szczegółowo1. Wprowadzenie... 2. 2. Oznaczenia... 4. 3. Model obliczeniowy i granice stosowania... 5
Informaje uupełniająe: Projektowanie podstawy słupa utwierdonego W tym dokumenie predstawiono asady dotyąe projektowania podstaw słupów utwierdonyh. Zasady te ograniają się do symetrynyh, nieustywnionyh
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoProgramowanie ilorazowe #1
Programowanie ilorazowe #1 Problem programowania ilorazowego (PI) jest przykłaem problemu programowania matematyznego nieliniowego, który można skuteznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako
Bardziej szczegółowoA = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyka A, kolokwium trzecie, 1 czerwca 2010, rozwia. a b. y = = ( 2) 13 5 ( 5) = 1, wie c macierz
Matematyka A, kolokwium treie, erwa 00, rowia ania. 0 pt. Wykaać, że dla dowolnyh lib a lkowityh a, b istnieja takie liby a lkowite, y, że 5 5 3 y = a b 5 Znaleźć wartośi i wektory w lasne maiery A = 5
Bardziej szczegółowoAlgorytmy graficzne. Kwantyzacja wektorowa obrazów cyfrowych
Algorytmy graficne Kwantyaca wektorowa obraów cyfrowych Kwantyaca wektorowa Kwantyaca wektorowa est uogólnieniem kwantyaci skalarne. W takim prypadku wielowymiarowe prestrenie (np. trówymiarowa prestreń
Bardziej szczegółowoMES W ANALIZIE SPRĘŻYSTEJ UKŁADÓW PRĘTOWYCH
MES W ANALIZIE SPRĘŻYS UKŁADÓW PRĘOWYCH Prykłady obliceń Belki Lidia FEDOROWICZ Jan FEDOROWICZ Magdalena MROZEK Dawid MROZEK Gliwice 7r. 6-4 Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek
Bardziej szczegółowoZastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami
Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric
Bardziej szczegółowoZaproszenie do współpracy przy organizacji wydarzeń społecznych (CSR) w zakresie warsztatów edukacyjnych na PGE Narodowym
Zaprosenie do współpracy pry organiacji wydareń społecnych (CSR) w akresie warstatów edukacyjnych na m WSTĘP Na podstawie Umowy dierżawy i powierenia arądania Stadionem m w Warsawie awartej pre PL.202+
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy
FUNKCJA KWADRATOWA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Wykres funkji y = ax + bx+ przehodzi przez punkty: A = (, ), B= (, ), C = (,) a) Wyznaz współzynniki a, b, (6 pkt) b) Zapisz wzór funkji w postai kanoniznej
Bardziej szczegółowoORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE
P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym
Bardziej szczegółowoZadania z AlgebryIIr
Zadania AlgebrIIr Seria () Rowia ι ać uk lad równań: + + t = + = 7 + + t = ; + + = ; + 7 6t = + = 7 + + = 8 = 8 + + t = + 9 = 9 ; + 7t = + = 7 + + t = + 8 7 = () Podać bae ι prestreni rowia ι ań uk ladu:
Bardziej szczegółowoInformacje uzupełniające: Wyboczenie z płaszczyzny układu w ramach portalowych. Spis treści
S032a-PL-EU Informacje uupełniające: Wybocenie płascyny układu w ramach portalowych Ten dokument wyjaśnia ogólną metodę (predstawioną w 6.3.4 E1993-1-1 sprawdania nośności na wybocenie płascyny układu
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:
Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te
Bardziej szczegółowoFunkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.
Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE
DR ADAM SOJDA Czasem istnieje wiele kryteriów oceny. Kupno samochodu: cena prędkość maksymalna spalanie kolor typ nadwozia bagażnik najniższa najwyższa najniższe {czarny*, czerwony, } {sedan, coupe, SUV,
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Modelowanie matematyczne Metody modelowania
Modelowanie i oblicenia technicne Modelowanie matematycne Metody modelowania Modelowanie matematycne procesów w systemach technicnych Model może ostać tworony dla całego system lb dla poscególnych elementów
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu
J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia
Bardziej szczegółowoOptymalizacja (w matematyce) termin optymalizacja odnosi się do problemu znalezienia ekstremum (minimum lub maksimum) zadanej funkcji celu.
TEMATYKA: Optymaliacja nakładania wyników pomiarów Ćwicenia nr 6 DEFINICJE: Optymaliacja: metoda wynacania najlepsego (sukamy wartości ekstremalnej) rowiąania punktu widenia określonego kryterium (musimy
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład IV Twierdzenia całkowe
4. Twierdenie Greena. Wykład IV Twierdenia całkowe Płascyną orientowaną będiemy określać płascynę wyróżnionym na nie obrotem, wanym obrotem dodatnim. Orientację płascyny preciwną wględem danej orientacji
Bardziej szczegółowoFraktale - wprowadzenie
Fraktale - wprowadenie Próba definici fraktala Jak określamy biory naywane fraktalami? Prykłady procedur konstrukci fraktali W aki sposób b diała aą algorytmy generaci nabardie nanych fraktali? Jakie własnow
Bardziej szczegółowoMODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ ETAP SZKOLNY KONKURSU GEOGRAFICZNEGO
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ ETAP SZKOLNY KONKURSU GEOGRAFICZNEGO Nr adania 1. 2. Prewidywana odpowiedź Punktacja Zasady oceniania Skala mapy Ali: C. 1:50 000 Skala mapy Iy: H. 1:200 000
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Baza Jordana
Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE GRANICZNYCH ZAGADNIEŃ ODWROTNYCH DO OKREŚLANIA DOPUSZCZALNYCH STĘŻEŃ SUBSTANCJI CHEMICZNYCH NA POWIERZCHNI TERENU
Zastosowanie granicnych agadnień INFRASTRUKTURA I EKOLOGIA TERENÓW WIEJSKICH INFRASTRUCTURE AND ECOLOGY OF RURAL AREAS Nr 9/2008, POLSKA AKADEMIA NAUK, Oddiał w Krakowie, s. 217 226 Komisja Technicnej
Bardziej szczegółowoRozważa się dwa typy odwzorowań: 1. Parametryzacja prosta
WYKŁAD MODELOWANIE I WIZUALIZACJA TEKSTURY. Co to jest tekstra obiekt T(,, (,, t( =... tn(,,,, Plan wkład: Co to jest tekstra? Generowanie worów tekstr Wialiaja tekstr Filtrowanie tekstr Co może oiswać
Bardziej szczegółowoZARZĄDZENIE NR 5 / 2015
ZARZĄDZENIE NR 5 / 2015 Dyrektora Wielkopolskiego Parku Narodowego w sprawie asad wędkowania na jeiorach WPN w 2014 roku. 1 Na podstawie art. 8a ust. 1 pkt. 2 ustawy o ochronie pryrody dnia 16 kwietnia
Bardziej szczegółowoANALIZA ROZDZIAŁU SIŁ HAMOWANIA POJAZDU HYBRYDOWEGO Z NAPĘDEM NA KOŁA TYLNE W ASPEKCIE REKUPERACJI ENERGII
Zesyty Problemowe Masyny Elektrycne Nr 9/211 15 Marcin Fice, Rafał Setlak Politechnika Śląska, Gliwice ANALIZA ROZDZIAŁU SIŁ HAMOWANIA POJAZDU HYBRYDOWEGO Z NAPĘDEM NA KOŁA TYLNE W ASPEKCIE REKUPERACJI
Bardziej szczegółowoJakie nowe możliwości daje właścicielom i zarządcom budynków znowelizowana Ustawa termomodrnizacyjna
dr inż. Wiesław Sarosiek mgr inż. Beata Sadowska mgr inż. Adam Święcicki Katedra Podstaw Budownictwa i Fiyki Budowli Politechniki Białostockiej Narodowa Agencja Posanowania Energii S.A. Filia w Białymstoku
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 13. Wyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla. Cel ćwiczenia
Ćwicenie 13 Wynacanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprewodnikach metodą efektu alla Cel ćwicenia Celem ćwicenia jest aponanie się e jawiskiem alla, stałoprądowa metoda badania efektu alla,
Bardziej szczegółowo2.3.1. Iloczyn skalarny
2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n
Bardziej szczegółowoAnaliza transformatora
ĆWICZENIE 4 Analia transformatora. CEL ĆWICZENIA Celem ćwicenia jest ponanie bodowy, schematu astępcego ora ocena pracy transformatora.. PODSTAWY TEORETYCZNE. Budowa Podstawowym adaniem transformatora
Bardziej szczegółowo2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie
05-0-5. Opis różnicę pomiędy błędem pierwsego rodaju a błędem drugiego rodaju Wyniki eksperymentu składamy w dwie hipotey statystycne: H0 versus H, tak, by H0 odrucić i pryjąć H. Jeśli decydujemy, że pryjmujemy
Bardziej szczegółowoRegulamin Promocji kredytu gotówkowego Oprocentowanie niższe niż najniższe - edycja świąteczna. Obowiązuje od 13.11.2014 r. do 30.04.2015 r.
Regulamin Promocji kredytu gotówkowego Oprocentowanie niżse niż najniżse - edycja świątecna Obowiąuje od 13.11.2014 r. do 30.04.2015 r. 1. Organiator Promocji 1. Promocja Oprocentowanie niżse niż najniżse
Bardziej szczegółowoW siła działająca na bryłę zredukowana do środka masy ( = 0
Popęd i popęd bryły Bryła w ruchu posępowym. Zasada pędu i popędu ma posać: p p S gdie: p m v pęd bryły w ruchu posępowym S c W d popęd siły diałającej na bryłę w ruchu posępowym aś: v c prędkość środka
Bardziej szczegółowoUZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE NARZĘDZIEM JEDNOOSTRZOWYM
MODELOWANIE INŻYNIESKIE ISSN 896-77X 40, s. 7-78, Gliwice 00 UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE NAZĘDZIEM JEDNOOSTZOWYM PIOT FĄCKOWIAK Instytut Technologii Mechanicnej, Politechnika
Bardziej szczegółowoUmowa licencyjna na dane rynkowe - poufne
ZAŁĄCZNIK NR 4 do UMOWY LICENCYJNEJ NA DANE RYNKOWE (obowiąujący od dnia 30 cerwca 2017) CENNIK Wsystkie Opłaty predstawione w Cenniku dotycą i będą nalicane godnie e Scegółowymi Zasadami Korystania i
Bardziej szczegółowoAnimowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.
Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollb.pl Transformacje 3D Podobnie jak w prestreni -wymiarowej, dla prestreni 3-wymiarowej definijemy transformacje RST: presnięcie miana skali obrót
Bardziej szczegółowo>> ω z, (4.122) Przybliżona teoria żyroskopu
Prybliżona teoria żyroskopu Żyroskopem naywamy ciało materialne o postaci bryły obrotowej (wirnika), osadone na osi pokrywającej się osią geometrycną tego ciała wanej osią żyroskopową. ζ K θ ω η ω ζ y
Bardziej szczegółowoSZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ
SZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ ZAKŁAD ELEKTROENERGETYKI Ćwicenie: URZĄDZENIA PRZECIWWYBUCHOWE BADANIE TRANSFORMATORA JEDNOFAZOWEGO Opracował: kpt.dr inż. R.Chybowski Warsawa
Bardziej szczegółowoPrzykład: Projektowanie poŝarowe nieosłoniętego słupa stalowego według standardowej krzywej temperatura-czas
Dokument Ref: SX043a-PL-EU Strona 1 5 Prykład: Projektowanie poŝarowe nieosłoniętego słupa stalowego według standardowej krywej temperatura-cas Wykonał Z. Sokol Data styceń 006 Sprawdił F. Wald Data styceń
Bardziej szczegółowoMODEL MUNDELLA-FLEMINGA
Danuta Miłasewic Uniwersytet Sceciński MODEL MUNDELLA-FLEMINGA 1. OPIS MODELU MUNDELLA-FLEMINGA Model ten, stworony na pocątku lat seśćdiesiątych XX wieku pre Roberta A. Mundella i Markusa Fleminga, opisuje
Bardziej szczegółowoAIESEC Polska. Budowanie wizerunku,pracodawcy. www.aiesec.pl
AIESEC Polska Budowanie wierunku,pracodawcy www.aiesec.pl Dni Kariery to najwiękse targi pracy, praktyk i staży skierowane do społecności studenckiej. Targi odbywają się już od ponad 20 lat w 11 najwięksych
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoAutomatyczna kompensacja mocy biernej z systemem monitorowania kopalnianej sieci 6 kv
dr inż MARIAN HYLA Politechnika Śląska w Gliwicach Automatycna kompensacja mocy biernej systemem monitorowania kopalnianej sieci 6 kv W artykule predstawiono koncepcję, realiację ora efekty diałania centralnego
Bardziej szczegółowoREGULAMIN ORGANIZACYJNY GRY MIEJSKIEJ pt. GRA O WOLNOŚĆ 1 ORGANIZATOR
REGULAMIN ORGANIZACYJNY GRY MIEJSKIEJ pt. GRA O WOLNOŚĆ 1 ORGANIZATOR 1. Regulamin (dalej: Regulamin ) określa warunki ucestnictwa i asady gry miejskiej w projekcie pt. Gra o Wolność 2019 (dalej Projekt
Bardziej szczegółowoPROWIZJA I AKORD1 1 2
PROWIZJA I AKORD 1 1 1. Pracodawca może ustalić wynagrodenie w formie prowiji lub akordu. 2. Prowija lub akord mogą stanowić wyłącną formę wynagradania lub występować jako jeden e składników wynagrodenia.
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n
Bardziej szczegółowo,..., u x n. , 2 u x 2 1
. Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać
Bardziej szczegółowoLp. Czy wojewódzki PZG ma podpisane umowy/ porozumienia umożliwiające korzystanie z pomocy tłumacza migowego z placówkami udzielającymi świadczeń
Lp. ojeódto Data płyu odpoiedi Cy osoby niesłysące mogą korystać pomocy PZG kontakcie e śiadceniodacą? Cy każda osoba głucha może korystać pomocy PZG 1. dolnośląskie 06.08.2014 TAK NIE tylko cłonkoie 2.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2
Bardziej szczegółowoPrzedmiot przedsięwzięcia i jego lokalizacja
Predmiot predsięwięcia i jego lokaliacja Predmiotem opisanego predsięwięcia jest opracowanie koncepcji programowo-prestrennej Trasy Mostu Północnego od węła ulicą Marymoncką do węła ulicą Modlińską wra
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru Równanie niezależne od czasu w trzech wymiarach współrzędne prostokątne
Równanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru Równanie nieależne od casu w trech wymiarach współrędne prostokątne ψ ψ ψ h V m + + x y + ( x, y, ) ψ = E ψ funkcja falowa ψ( x, y, ) Energia potencjalna
Bardziej szczegółowoALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 1.nb 1. Wykład 1
ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad.nb Wykład. Sformułowanie problemu optymalizacyjnego Z ksiąŝki Practical Optimization Methods: With Mathematica Applications by: M.A.Bhatti, M.Asghar Bhatti ü Przykład. (Zagadnienie
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS
ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS Cel ćwicenia: aponanie budową i asadą diałania podstawowych typów asilacy UPS ora pomiar wybranych ich parametrów i charakterystyk. 5.1. Podstawy teoretycne 5.1.1. Wstęp
Bardziej szczegółowoCzego nas uczą wypadki i katastrofy
Cego s ucą wypadki i katastrofy Tadeus Missala Premysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów PIAP w Warsawie Strescenie: Predstawiono skrótowy opis dwóch katastrof lokalnych polskich (pożar w EC Żerań i katastrofa
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA WARSZAWSKA. Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych ROZPRAWA DOKTORSKA. mgr inż. Paweł Chudzian
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Elektroniki i Tehnik Informayjnyh ROZPRAWA DOKTORSKA mgr inż. Paweł Chudzian Optymalizaja parametrów przekształenia jadrowego w zadaniah klasyfikaji Promotor prof. nzw.
Bardziej szczegółowoZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE
KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne
Instrukja do ćwizeń laboratoryjnyh z przedmiotu: adania operayjne Temat ćwizenia: Komputerowe wspomaganie rozwiązywania zadań programowania liniowego, dobór struktury asortymentowej Zahodniopomorski Uniwersytet
Bardziej szczegółowoURZĄD MIEJSKI W SŁUPSKU Wydział Zdrowia i Spraw Społecznych. SPRAWOZDANIE (CZĘŚCIOWE*/KOŃCOWE*)1) z wykonania zadania publicznego...
SPRAWOZDANIE (CZĘŚCIOWE*/KOŃCOWE*)1) wykonania adania publicnego... (nawa adania) w okresie od... do..., określonego w umowie nr..., awartej w dniu..., pomiędy... a... (nawa organu lecającego) (nawa organiacji
Bardziej szczegółowo1. Podstawowe pojęcia
1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 2 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD ALGEBRA Lcbę espoloną możemy predstawć w postac gde a b ab ( ) rcos sn r moduł lcby espolonej, argument lcby espolonej. Defncja Predstawene Lcby espolone r cos sn naywamy postacą trygonometrycną
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 13. PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Optymalizacja poszukiwanie
Bardziej szczegółowoWybrane stany nieustalone transformatora:
Wybrane stany nieustalone transformatora: Założenia: - amplituda napięcia na aciskach pierwotnych ma wartość stałą nieależnie od jawisk achodących w transformatore - warcie występuje równoceśnie na wsystkich
Bardziej szczegółowoFunkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowoczyli politropa jest w tym przypadku przemianą przy stałym ciśnieniu nazywaną izobarą. Równanie przemiany izobarycznej ma postać (2.
remiany_gau_dosk Charakterystyne remiany gau doskonałego. Premiana oitroowa Premianą oitroową naywamy remianę o równaniu idem (. ub V idem (. gdie V / m. W równaniah (. i (. jest wykładnikiem oitroy. Podstawowe
Bardziej szczegółowoSTEROWANIE ADAPTACYJNE RUCHEM ROBOTA PODWODNEGO W PŁ ASZCZYŹ NIE PIONOWEJ
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLVII NR 4 (167) 2006 Jery Garus Akademia Marynarki Wojennej STEROWANIE ADAPTACYJNE RUCHEM ROBOTA PODWODNEGO W PŁ ASZCZYŹ NIE PIONOWEJ STRESZCZENIE W artykule
Bardziej szczegółowoGry o sumie niezerowej
Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a
Bardziej szczegółowoZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowoSystem pomiaru parametrów środowiskowych Ze zdalnym raportowaniem i sterowaniem przez sieć komórkową NOTATNIK KONSTRUKTORA
NOTATNIK KONSTRUKTORA System pomiaru parametrów środowiskowych Ze dalnym raportowaniem i sterowaniem pre sieć komórkową W artykule opisano aprojektowany i wykonany pre autora prototypowy system M2M. System
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Określenie współczynnika strat mocy i sprawności przekładni ślimakowej.
Laboratorium Podstaw Konstrukcji Masyn - - Ćw. 5. Określenie współcynnika strat mocy i sprawności prekładni ślimakowej.. Podstawowe wiadomości i pojęcia. Prekładnie ślimakowe są to prekładnie wichrowate,
Bardziej szczegółowoHigiena, ochrona i pielęgnacja skóry ze szczególnym uwzględnieniem skóry rąk
Higiena, ochrona i pielęgnacja skóry e scególnym uwględnieniem skóry rąk Łatwo wsyscy, gdy jesteśmy drowi, dajemy dobre rady chorym. (-) Terencjus Higiena i mycie rąk Aneta Klimberg, Jery T. Marcinkowski
Bardziej szczegółowoZapytanie o informację na ofertę przygotowania wideorelacji z wybranych wydarzeń odbywających się na PGE Narodowym
Zapytanie o informację na ofertę prygotowania wideorelacji wybranych wydareń odbywających się na m WSTĘP Na podstawie Umowy dierżawy i powierenia arądania Stadionem m w Warsawie awartej pre PL.202+ sp.
Bardziej szczegółowoLiniowe Zadanie Decyzyjne model matematyczny, w którym zarówno funkcja celu jak i warunki
Liniowe Zadanie Decyzyjne model matematyczny, w którym zarówno funkcja celu jak i warunki ograniczające są funkcjami liniowymi ekonomiczne wykorzystanie Programowania Liniowego do opisu sytuacji decyzyjnej
Bardziej szczegółowoDWUCZĘŚCIOWE ŁOŻYSKO POROWATE
PROBLEMY NIEKONWENCJONALNYCH UKŁADÓW ŁOŻYSKOWYCH Łódź, 1 14 maja 1999 r. Karol Kremiński Politechnika Warsawska DWUCZĘŚCIOWE ŁOŻYSKO POROWATE SŁOWA KLUCZOWE: łożysko śligowe, tuleja porowata, prepuscalność
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Predmiot: informatyka akres podstawowy Klasy: pierwse LO i TE Program naucania: Informatyka nie tylko dla ucniów. Podręcnik. Zakres podstawowy Realiowany w Zespole Skół Ekonomicnych
Bardziej szczegółowoŁ Ł Ś ź ń ź ź ź Ś Ł Ę Ę Ś ż Ś ń Ą Ś Ą Ł ż ż ń ż ć ż ż ż ź ż ć ź Ę Ę ń ć ż Ł ń ż ż ż Ś ż Ś ż ż ż ż ż ż ż ń ń ż ż ż ć ż ń ż ń ź ż ć ż ż ć ń ż Ę Ę ć ń Ę ż ż ń ń ź Ę ź ż ń ż ń ź ż ż ż ń ż ż ż ż ż ż ż ż ń ń
Bardziej szczegółowoŚ Ł Ą Ś Ś ź Ś ń ż ż Ó ż ż Ś Ł ż ń ń ń ż ń Ś ń ć ŚĘ Ó Ł Ę Ł Ś Ę Ę ń ń ń ń ń Ź ń ń ń ń ń ż ń ń ń ń ń Ę ż ż ć Ść ń ń ż Ń ż ż ń ń Ś Ą ń Ś ń ń ż Ó ż Ź ń ż ń Ś Ń Ó ż Ł ż Ą ź ź Ś Ł ć Ś ć ż ź ż ć ć Ę Ó Ś Ó ż ż
Bardziej szczegółowoŁ Ł Ś Ę ź ń ź ź Ś Ę Ę Ś Ą Ś Ę Ż Ł ń Ę Ś ć ć ń ć ń ń ń ź ń Ę ź ń ń ń ź ź Ś ź ź ć ń ń ń ń Ś ć Ś ń ń Ś ź ń Ę ń Ś ź ź ź ź ź Ę Ę Ę Ś ń Ś ć ń ń ń ń ń ń Ę ń ń ń ń ć ń ń ń ń ć ń Ś ć Ł ń ń ń ć ń ć ź ń ź ć ń ń ć
Bardziej szczegółowoŻ ż Ł ż ż ż Ż Ś ż ż ż Ł Ż Ż ć ż Ż Ż Ż Ń Ż Ź ż Ź Ź ż Ż ż ż Ż Ł Ż Ł Ż ż Ż ż Ż Ż Ń Ą Ż Ń Ż Ń ć ż Ż ź Ś ć Ł Ł Ź Ż Ż ż Ł ż Ż Ł Ż Ł ź ć ż Ż Ż ż ż Ó ż Ł Ż ć Ż Ż Ę Ż Ż Ż ż Ż ż ż Ś ż Ż ż ż ź Ż Ń ć Ż ż Ż Ż ż ż ż
Bardziej szczegółowoKatedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego. WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Mazurski
Katedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Maurski Mechanika Gruntów dr inż. Ireneus Dyka http://pracownicy.uwm.edu.pl/i.dyka e-mail: i.dyka@uwm.edu.pl
Bardziej szczegółowoUkłady równań - Przykłady
Układy równań - Prykłady Dany układ równań rowiąać trea sposobai: (a) korystając e worów Craera, (b) etodą aciery odwrotnej, (c) etodą eliinacji Gaussa, + y + = y = y = (a) Oblicy wynacnik deta aciery
Bardziej szczegółowoPLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH
Matematyka plusem dla gimnajum PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
Bardziej szczegółowoTomasz Grębski. Liczby zespolone
Tomas Grębsk Lcby espolone Kraśnk 00 Sps Treśc: Lcby espolone Tomas Grębsk- Wstęp. Podstawowe wadomośc o lcbe espolonej.. Interpretacja geometrycna lcby espolonej... Moduł lcby espolonej. Lcby sprężone..
Bardziej szczegółowo