Algebra z geometrią 2012/2013

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algebra z geometrią 2012/2013"

Dominik Wolski
4 lat temu
Przeglądów:

1 Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn. Dana macier M, można udowodnić, że { } r rankm span {M,..., M j,..., M k } span M,..., λ i M i,..., M k, gdie λ j i M i, i {,..., k}, są kolumnami macier M. Z tego wnika, że ranka : rank i Zauważm, że ani pierwsa kolumna nie jest liniową kombinacją innch ani innej kolumnej nie można napisać jako liniowej kombinacji awiarającej tę pierwsą kolumnę. To [ ] 2 2 rank A : + rank + rank 2 + rank Sposób: Można udowodnić, że rąd macier to wmiar najwięksej podmacier, której wnacnik jest różn od era. Dla A, mam jeden wnacnik podmacier 4 4, cli Za pomocą rowinięcia Laplace a i korstając właściwości wnacnika, to ( ) Więc, rank A < 4. Natomiast następując wnacnik podmacier macier A nie jest równ eru:

2 To rąd równa się 3. Macier B: Sposób: rankb : rank Sposób rank Więc, rąd równa się cter rank 5 Zadanie 2. Rowiąać układ równań: Rowiąania: Układ ma rowiąania, gd Skoro rank rank 2 + rank , [ rąd tej macier równa się cter. Więc, skoro ten wnacnik podmacier macier , ] 4. 5( 23)+2 2. to ta macier ma co najmiej rąd cter. Ponadto, jej rąd jest mniejs od 5, to ma rąd cter. Wobec twierdenia Kronekera Capelliego, układ ma rowiąanie. Rowiąanie można oblicć a pomocą reguł Kramera. Ro:, 2 2, 3 5/3, 4 4/3. 2

3 Zadanie 3. W ależności od parametrów a, λ R rowiąać układ równań: + + a 2 + a + a + +, ( + λ) + + λ 2 + 3λ + ( + λ) + λ 3 + 3λ ( + λ) λ 4 + 3λ 3 Rowiąanie: Drugi układ ma rowiąanie, gd + λ rank + λ + λ + λ λ 2 + 3λ + λ λ 3 + 3λ 2 + λ λ 4 + 3λ 3 + λ + λ + λ λ λ λ λ + λ λ λ λ λ + 2 λ 3 + 3λ 2. Gd λ / {, 3}, układ ma jedne rowiąanie. Za pomocą reguł Kramera, to λ 2 + 3λ λ 3 + 3λ 2 + λ λ 4 + 3λ 3 + λ + λ + λ + λ + λ λ 2 + 3λ λ 3 + 3λ 2 λ 4 + 3λ 3 + λ + λ + λ + λ + λ λ 2 + 3λ + λ λ 3 + 3λ 2 λ 4 + 3λ 3 + λ + λ + λ Gd, λ, to rank 6λ2 + 2λ 3 3λ 4 λ λ 3λ2 λ 3 λ 3 + 3λ 2 λ + 3 3λ2 + 5λ 3 + 2λ 4 λ 3 + 3λ λ + 2λ2 λ λ 2. 2λ 3λ2 4λ 3 + 5λ 4 + 5λ 5 + λ 6 λ 3 + 3λ 2 λ + 2λ 2 + λ 3., rank. Więc, układ ma rowiąania. Właśnie, + +, to rowiąania są +,, R. Gd, λ 3, to rank , rank

4 Więc, ma rowiąania wobec twierdenia Kronekera Capelli ego (wanego też twierdeniem Rouche a Frobenius a) , R. Zadanie 4. Niech k będie ciałem, A, A M i j (k), B M j m (k). Udowodnij następujące własności: a) rank(a + A ) rank(a) + rank(a ), b) rank(ab) min{rank(a), rank(b)}, c) rank(b) j rank(ab) rank(a), d) rank(a) i rank(ab) rank(b). Rowiąanie: Korstam tego, że rąd macier w pewnch baach jest równ rądowi prekstałcenia liniowego. To możem roumieć A, A i B jako odworowania liniowe. To, a) rank(a + A ) dim Im(A + A ). Jeśli v Im(A + A ), to istnieje v k m taki, że Więc, Im(A + A ) ImA + ImA i dim Im(A + A ) dim(ima + ImA ) Z tego v (A + A )v v Av + A v ImA + ImA. dim(ima) + dim(ima ) dim(ima ImA ) dim(ima) + dim(ima ). rank(a + A ) dim Im(A + A ) dim(ima) + dim(ima ) ranka + ranka. b) Skoro B(k m ) k j, to rank(ab) dim(imab) dim(ab(k m )) dim(a(k j )) ranka. Skoro dla każdego liniowego prekstałcenia f : k j k i to dim Imf j, to rank(ab) dim(imab) dim(ab(k m )) dim(ima B(k m )) dim(b(k m )) rankb, gdie A B(k m ) : v B(k m ) Av k j. Więc, rank(ab) min(ranka, rankb). c) Jeżeli rankb k j, to B(k m ) k j i AB(k m ) A(k j ). Z tego wnika, że rank(ab) dim(imab) dim(ima(k j )) ranka. d) Jeżeli rank A k i, to A(k j ) k i i A to iomorfim. Z tego wnika, że dim ImA V dim V, gdie A V : v V k j Av k i i V to podprestreń liniowa. To rank(ab) dim(imab) dim(ab(k m )) dim(a B(k m )) dim B(k m ) rankb. 4

5 Zadanie 5. Niech V i W będą skońcenie-wmiarowmi prestreniami wektorowmi. Udowodnij, że rąd odworowania liniowego f : V W jest równ rędowi macier F odworowania liniowego f więtej wględem dowolnch ba V i W. Rowiąanie Bądź v,..., v n będie baą prestreni V i w,..., w r będie baą W. Dane f(e ),..., f(e k ), gdie e,..., e k V, to k λ i f(e i ) λ i c ij f(v j ) i i j r λ i c ij F mj w m λ i c ij F mj, ( m) λ i c ij F j, i j m i j i j gdie F j to j-tej kolumna macier F. Z tego wnika, że kied f(e ),..., f(e r ) są liniowo nieależne, cli λ... λ k k i λ i f(e i ) to kombinacja liniowa kolumn n j c ij F j, dla i,..., k są liniowo nieależne i odwrotnie. Zatem rankf rank F. Zadanie 6. Pokaż, że istnieje więcej niż jedno ciało k, dla którego istnieją odworowania liniowe f : k k i k \ {} takie, że równanie f() ma dokładnie 24 różnch rowiąań. Rowiąanie: Jeżeli równanie f() ma 24 rowiąanie, to k musi bć skońconm ciałem. Inacej, to ker f miałob nieskońcenie wiele elementów i równanie f() miałob nieskońcenie wiele rowiąań. Łatwo auważć, że jeżeli k Z/2Z i ustalim baę e (,,..., ), e 2 (,,,..., ),..., e (,...,, ) i odworowanie f(e ) e i f(e j ) dla rest, cli f jest wiąana macierą , w baach {e,..., e }, to ker f e 2,..., e ma 2 24 elementów i równanie f() e ma 24 rowiąań. Inne ciało skońcone, to k 4 F 2 []/ 2 + +, gdie F 2 [] to pierścień wielomianów o współcnnikach w Z/2Z. Zauważ, że jest nierokładalne jako wielomian o współcnnikach w Z/2Z. Takie ciało ma 4 element:,,, +. To jedne takie ciało cteroma elementami. Właśnie, podobnie są budowane wsstkie ciała p n elementami, gdie p to licba pierwsa i n N. Analogicnie, możem definiować inne prekstałcenie f : k 4... k 4 (ra) k 4... k 4 (ra) w postaci gdie ostatnie 5 kolumn mają współcnniki równe. Jądro tego odworowania ma elementów. Jeżeli k 4... k 4 (ra) to f() ma 24 rowiąań kied Imf. 5

Podobne dokumenty

Rozdział 9. Baza Jordana

Rozdział 9. Baza Jordana Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,