Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

Transkrypt

1 Rchunek cłkow funkcji jednej zmiennej wkłd z MATEMATYKI Automtk i robotk studi stcjonrne sem. I, rok k. 2009/200 Ktedr Mtemtki Wdził Informtki Politechnik Biłostock Cłkinieoznczone. Funkcjepierwotne Definicj.. Funkcję F nzwm funkcją pierwotną funkcji f n przedzile(, b) wted itlkowted,gd F ()=f(), dlkżdego (,b). Uwg.2. Funkcj pierwotn nie jest wznczon jednozncznie. Przkłd.3.FunkcjeF ()=3 cos 2 if 2 ()=2 2 cos2sąfunkcjmipierwotnmifunkcji f()=sin2. Twierdzenie.4(o funkcjch pierwotnch). Jeżeli funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile(, b), to funkcjg()=f()+c,c R,jestfunkcjąpierwotnąfunkcjifn(,b), 2 kżdą funkcję pierwotną funkcji f n przedzile(, b) możn przedstwić w postci F()+D, gdzie D jest pewną stłą rzeczwistą. Twierdzenie.5(wrunek dostteczn istnieni funkcji pierwotnej). Jeżeli funkcj f jest ciągł n pewnm przedzile, to m n tm przedzile funkcję pierwotną. Uwg.6. Funkcj pierwotn funkcji elementrnej nie musi bć funkcją elementrną. N przkłd funkcje pierwotne funkcji e 2, nie są funkcjmi elementrnmi sin, + 3,cos 2, 23 ln, sin

2 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki.2 Cłkinieoznczone Definicj.7. Cłką nieoznczoną z funkcji f n przedzile(, b) nzwm zbiór wszstkich funkcji pierwotnch funkcji f. Oznczm: f()d=f()+c =F()+C 4 =F()+C 3 =F()+C 2 cłk nieoznczon funkcji f =F()+C =F() Z definicji wnik, że: ( ) =f(), f()d f ()d=f()+c..2. Cłki nieoznczone wżniejszch funkcji elementrnch 0d=C=const,dl R. d=+c,dl R. α. α d= α+ α+ +C,dlα R\{ },zkreszmiennejjestustlonwzleżnościod d=ln +C,dl R\{0}. sind= cos+c,dl R. cosd=sin+c,dl R. cos 2 d=tg+c,dl π +kπ,k Z. 2 sin 2 d= ctg+c,dl kπ,k Z. e d=e +C,dl R. d= ln +C,dl0<, R. 24

3 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki + 2d=rctg+C,dl R. 2 d=rcsin+c,dl (,)..3 Twierdzeni o cłkch nieoznczonch Twierdzenie.8(o liniowości cłki nieoznczonej). Jeżeli funkcje f i g mją funkcje pierwotne, to: (f()+g())d= f()d+ g()d. (f() g())d= f()d g()d. [c f()]d=c f()d. Przkłd.9. ( 2e )d = d =... Twierdzenie.0(o cłkowniu przez części). Jeżeli funkcje f i g mją ciągłe pochodne n przedzile, to f() g ()d=f() g() f () g()d. Przkłd.. ( e )d =... 2 sind =... d =... cos 2 25

4 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki Twierdzenie.2(o cłkowniu przez podstwienie). Jeżeli funkcjf:i RjestciągłnprzedzileI 2g:J ImciągłąpochodnąnprzedzileJ, to f()d= f(g(t))g (t)dt. Przkłd.3. (2 5) 7 d = d =... Jeżeli f()d=f()+c,to f(+b)d= F(+b)+C. f () f() d=ln f() +C. f () f() d=2 f()+c. 26

5 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki.4 Cłkownie funkcji wmiernch Definicj.4. Funkcją wmierną nzwm ilorz postci w()= P() Q(), gdziepiqsąwielominmi,przczmqniejestwielominemzerowm. Jeżeli wielomin te są rzeczwiste, to mówim o funkcjch wmiernch rzeczwistch. Jeśli stp < stq, to mówim, że funkcj wmiern jest włściw. W przeciwnm przpdku mówim, że funkcj wmiern jest niewłściw. Funkcj wmiern w jest określon n zbiorze D w = R\{: Q()=0}. Funkcjmi wmiernmi są n przkłd wrżeni 2 +, Pierwsze z tch wrżeń jest funkcją wmierną niewłściwą, drugie wrżenie jest funkcją wmierną włściwą. Kżd funkcj wmiern niewłściw jest sumą niezerowego wielominu i funkcji wmiernej włściwej. Podn w twierdzeniu rozkłd możn zwsze znleźć, wkonując dzielenie licznik funkcji wmiernej przez jej minownik(zwkłe dzielenie wielominów z resztą). Czsmi udje się dokonć rozkłdu prz użciu elementrnch przeksztłceń, np.: = = (+)+(+) 3 + = Ułmkiproste Kżdą funkcję wmierną włściwą możn z kolei przedstwić w postci sum pewnch specjlnch funkcji wmiernch, zwnch ułmkmi prostmi. Definicj.5. Rzeczwistm ułmkiem prostm pierwszego rodzju nzwm funkcję wmierną postci A ( ) n,gdziea, R,n N. Definicj.6. Rzeczwistm ułmkiem prostm drugiego rodzju nzwm funkcję wmierną postci A+B ( 2 +p+q) n, gdziea,b,p,q R,n Nip 2 4q<0(trójminkwdrtowwminownikujestnierozkłdln). 27

6 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki.4.2 Rozkłd funkcji wmiernej n ułmki proste Niechw()= P() Q() będzieniezerowąrzeczwistąfunkcjąwmiernąwłściwą.złóżm,żeminownik Q m nstępując rozkłd n rzeczwiste cznniki nierozkłdlne: Q()= n ( ) k ( r ) kr ( 2 +p +q ) l ( 2 +p s +q s ) ls. Wówczsw()jestsumąn =k +k k r rzeczwistchułmkówprostchpierwszego rodzjuorzn 2 =l +l 2 + +l s rzeczwistchułmkówprostchdrugiegorodzju. Wrozkłdzietmkżdemucznnikowi ( i ) k i, i=,...,rodpowidsumk i rzeczwistch ułmków prostch postci A i i + A ik 2 ( i ) 2+ + A iki ( i ) k i ntomistkżdemucznnikowi ( 2 +p j +q j ) l j, j=,...,sodpowidsuml j rzeczwistch ułmków prostch drugiego rodzju postci, B j +C j 2 +p j +q j + B j2+c j2 ( 2 +p j +q j ) 2+ + B jl j +C jl j ( 2 +p j +q j ) l j. w()= A + + A k ( ) k + + A r r + + A rkr ( r ) kr+ + B +C 2 +p +q + + B l +C l ( 2 +p +q ) l + B s+c s 2 +p s +q s + + B sl s +C sls ( 2 +p s +q s ) ls. Powższ rozkłd jest jednoznczn z dokłdnością do kolejności skłdników. Przkłd.7. Rozkłd funkcji wmiernej postci ( 3) 3 (+2) n ułmki proste jest nstępując: ( 3) 3 (+2) = A 3 + B C D ( 3) 2+ ( 3) Minownik funkcji wmiernej jest ilocznem dwóch dwuminów, z którch jeden wstępuje w trzeciej, drugi w pierwszej potędze. Otrzmujem trz ułmki proste odpowidjące dwuminowi 3orzjedenułmekprostodpowidjącdwuminowi+2. Przkłd.8. Rozkłd funkcji ( 2 ++2) 2 n ułmki proste jest nstępując: ( 2 ++2) 2=A + B+C D+E ( 2 ++2) 2 Minownik funkcji wmiernej jest ilocznem jednominu stopni pierwszego orz drugiej potęgi trójminu nierozkłdlnego. Otrzmujem jeden ułmek prost odpowidjąc jednominowi orzdwułmkiprosteodpowidjącetrójminowi

7 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki.4.3 Cłki z ułmków prostch pierwszego rodzju Do obliczni cłek z ułmków prostch pierwszego rodzju stosujem podstwienie + = t i otrzmujem: A + d=aln + +C. A A (+) nd= (n )(+) n +C,n Cłki z ułmków prostch drugiego rodzju Cłki z ułmków prostch drugiego rodzju obliczm w nstępując sposób: d GdB=0 obliczmcłkę ( 2 +p+q) : n i stosujem pod- Sprowdzmtrójmin 2 +p+qdopostciknonicznej stwienie+ p 2 = 4q p 2 t. 4 dt Dln=korzstmzewzoru t 2 + =rctgt+c : dt t Dln 2 (t 2 +) n= (2n 2)(t 2 +) n +2n 3 2n 2 ( + p ) 2 p 2 4q 2 4 dt (t 2 +) n +C. GdB 0 licznikzpisujemwpostcib+c=p(2+p)+q,gdziepiqsąodpowiednio dobrnmi stłmi, po czm cłkę zpisujem nstępująco: B+C ( 2 +p+q) nd=p 2+p ( 2 +p+q) nd+q d ( 2 +p+q) n idocłki 2+p ( 2 +p+q) nd stosujempodstwieniet= 2 +p+q. 29

8 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki.5 Cłkownie funkcji trgonometrcznch Dooblicznicłekpostci sin n,cos m,gdzien,m Nstosujempodstwieni n=2l+. Wkorzstujemtożsmośćsin 2 = cos 2.Wówczs sin 2l+ = ( cos 2 ) l sin ipodstwim cos=t. 2m=2k+. Wkorzstujemtożsmośćcos 2 = sin 2.Wówczs ipodstwim sin=t. 3n,m przste. cos 2k+ = ( sin 2 ) l cos Wkorzstujemtożsmościsin 2 = 2 ( cos2)icos2 = 2 (+cos2). Przkłd.9. sin 2 d =... sin 3 d =... Dooblicznicłekpostci sincosb, sinsinb, coscosb stosujemtożsmości sincosb= 2 [sin(+b)+sin( b)]. sinsinb= 2 [cos( b) cos(+b)]. coscosb= 2 [cos(+b)+cos( b)]. Przkłd.20. sin2cos4d =... sinsin3d =... 30

9 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki 2 Cłkioznczone 2. Podstwowepojęci 2.. Podził P przedziłu, b Niech f będzie funkcją ogrniczoną n przedzile, b. 2 3 k n = k k... n n =b 2 3 k n PodziłPprzedziłu,b : = 0 < < 2 <...< n < n =b. Długośćk-tegopodprzedziłu: k = k k. Średnic podziłu P(długość njdłuższego podprzedziłu): δ(p) = m kn k. Punktpośrednipodziłu(dowolnpunktzk-tegopodprzedziłu): k, k k, k Sumcłkow Niech funkcj f będzie ogrniczon n przedzile, b orz niech P będzie podziłem tego przedziłu,a def ={, 2,..., n }zbiorempunktówpośrednich. Definicj 2.(sum cłkow). Sum cłkową z funkcji f n przedzile, b odpowidjącą podziłowi P i punktom pośrednim A nzwm liczbę n f( k ) k. k= 2..3 Interpretcj geometrczn sum cłkowej Jeżeli funkcj f przjmuje wrtości nieujemne n przedzile, b, to sum cłkow jest przbliżeniem pol trpezu krzwoliniowego ogrniczonego wkresem funkcji f, osią OX i prostmi =, =bprzezsumępólprostokątówopodstwch k iwsokościchf( k),gdzie k n. 3

10 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki ( 3,f( 3 )) =f() = =b =f() =f() = 0 n =b n=8 = 0 n =b n=30 =f() =f() = 0 n =b n=60 = 0 n =b n=00 32

11 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki 2.2 Cłk oznczon Riemnn Definicj 2.2. Niech funkcj f będzie ogrniczon n przedzile, b. Cłką oznczoną Riemnn z funkcji f n przedzile, b nzwm liczbę, którą oznczm smbolem b f()d i definiujem wzorem: b n f()d def = lim f( k ) k, δ(p) 0 k= oilegrnicpoprwejstronieznkurównościjestwłściwiniezleżodsposobupodziłup przedziłu,b niodsposobuwborupunktówpośrednich k,gdzie k n. Przjmujem: f()d def =0, b b f()d def = f()d,dl<b Interpretcj geometrczn cłki oznczonej Riemnn Niech f będzie funkcją ciągłą i nieujemną n przedzile, b. Wówczs polufigurogrniczonejwkresemfunkcjif,osiąoxorzprostmi=i=b. b f()d jestrówn D={(,): b 0 f()} b b f()d= D =f() Twierdzenie 2.3(Newton-Leibniz). Jeżelifunkcjfjestciągłnprzedzile,b,to b D={(,): b f() 0} b f()d= D b =f() b f()d=f() b =F(b) F(), gdzie F ozncz dowolną funkcję pierwotną funkcji f n tm przedzile. Przkłd ( 3 +)d=... 33

12 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki 2 e d=... Twierdzenie 2.5(włsności cłki oznczonej). Jeżelifunkcjefigsącłkowlnenprzedzile,b,to: b (f()+g())d= b f()d+ b g()d. b (f() g())d= b f()d b g()d. b [c f()]d=c b f()d,c R. Przkłd (2 3e )d=... Twierdzenie 2.7(o ddtwności cłki względem przedziłów cłkowni). Jeżelifunkcjfjestcłkowlnnprzedzile,b orzc,b,to b f()d= c f()d+ b c f()d. Przkłd 2.8. d=... Twierdzenie 2.9(o cłkowniu przez części). Jeżelifunkcjefigmjąciągłepochodnenprzedzile,b,to Przkłd 2.0. b f() g ()d=f() g() b b f () g()d. ln3 0 e d=... π 0 sind=... 34

13 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki e ln 2 d=... Twierdzenie 2.(o cłkowniu przez podstwienie). Jeżeli funkcjfjestciągłnprzedzile,b 2ϕ: α,β,b mciągłąpochodnąnprzedzile α,β, n 3ϕ(α)=,ϕ(β)=b, to b f()d= β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Przkłd d= e 2 d= Wrtość średni funkcji Definicj 2.3. Wrtością średnią funkcji f n przedzile, b nzwm liczbę def f śr = b f()d. b Uwg 2.4. Wrtość średni funkcji f n przedzile, b jest wsokością prostokąt o podstwie długości b, którego pole jest równe polu trpezu krzwoliniowego ogrniczonego wkresem funkcji f,osiąoxorzprostmi=,=b. =f() f śr b Przkłd 2.5. Poziom wod w zbiorniku wrż się(w metrch) wzorem przbliżonm h(t) = 0+2sin πt 24,gdzie0t24oznczczsliczonwgodzinch.Obliczśrednipoziomwodw tm zbiorniku w czsie dob. 35

14 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki Twierdzenie 2.6. Jeżeli funkcj f jest ciągł n przedzile, b, to w tm obszrze istnieje punktc (,b),tkiże f śr =f(c),tzn. b f()d=(b )f(c). 2.4 Funkcj górnej grnic cłkowni Definicj2.7.Niechfunkcjfbędziecłkowlnnprzedzile,b orzniechc,b. Funkcję F()= c f(t)dt, gdzie, b, nzwm funkcją górnej grnic cłkowni. Twierdzenie 2.8. Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile, b, to funkcj górnej grnic cłkownif()= c f(t)dt,gdzie,b,jestciągłn,b Interpretcj geometrczn funkcji górnej grnic cłkowni =f() F()=pole c b Uwg2.9.Zuwżm,żeF(c)=0. Twierdzenie Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile, b orz jest ciągł w punkcie 0,b,tofunkcjgórnejgrniccłkowniF()= włściwąwpunkcie 0 orz F ( 0 )=f( 0 ). c f(t)dt,gdzie,b,mpochodną 36

15 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki 2.5 Zstosowni geometrczne cłek oznczonch Poletrpezukrzwoliniowego Niechfunkcjeforzgbędąciągłenprzedzile,b orzniechf() g()dlkżdego,b. Wted pole trpezu krzwoliniowego D ogrniczonego wkresmi funkcji f i g orz prostmi =,=bwrżsiewzorem: D = b [g() f()]d. =g() D D={(,): b f() g()} =f() b Niechfunkcjeporzqbędąciągłenprzedzile c,d orzniechp() q()dlkżdego c,d. Wted pole trpezu krzwoliniowego D ogrniczonego wkresmi funkcji p i q orz prostmi = c, =dwrżsiewzorem: D = d c [q() p()]d. d =p() c D =q() D={(,): c d p() q()} Długośćłukukrzwej Niech funkcj f m ciągłą pochodną n przedzile, b. WteddługośćłukukrzwejΓ={(,f()):,b }wrżsiewzorem: Γ = b +[f ()] 2 d. 37

16 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki Γ =f() Γ={(,f()):,b } b Objętośćbrłobrotowej Niech funkcj nieujemn f będzie ciągł n przedzile, b. Niech T ozncz trpez krzwoliniow ogrniczonwkresemfunkcjif,osiąoxorzprostmi=,=b. WtedobjętośćbrłVpowstłejzobrotutrpezuTwokółosiOXwrżsiewzorem: b V =π [f()] 2 d. =f() b Polepowierzchniobrotowej Niech funkcj f m ciągłą pochodną n przedzile, b. Wted pole powierzchni Σ powstłej z obrotu wkresu funkcji f wokół osi OX wrż sie wzorem: b Σ =2π f() +[f ()] 2 d. =f() b 38

17 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki 3 Cłkiniewłściwe 3. Cłki niewłściwe pierwszego rodzju Definicj3..Niechfunkcjf :,+ ) Rbędziecłkowlnnprzedziłch,T dl kżdegot>. Cłkę niewłściwą pierwszego rodzju funkcji f n przedzile, + definiujem wzorem: + f()d def = lim T T + f()d. Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest skończon, to mówim, że cłk niewłściw b f()djestzbieżn.jeżeligrnictjestrówn+ lub,tomówim,żecłkjest rozbieżn odpowiednio do + lub. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk jest rozbieżn. Definicj3.2.Niechfunkcjf :(,b Rbędziecłkowlnnprzedziłch S,b dl kżdegos<b. Cłkę niewłściwą pierwszego rodzju funkcji f n przedzile(, b definiujem wzorem: b f()d def = lim b S S f()d. Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest skończon, to mówim, że cłk niewłściw + f()djestzbieżn.jeżeligrnictjestrówn+ lub,tomówim,żecłkjest rozbieżn odpowiednio do + lub. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk jest rozbieżn. Definicj3.3.Niechfunkcjf : R Rbędziecłkowlnnprzedziłch S,T dls,t, tkichże <S<T<+. Cłkę niewłściwą pierwszego rodzju funkcji f n przedzile(, + definiujem wzorem: + f()d def = f()d+ + f()d,gdzie R. Jeżeli obie cłki po prwej stronie znku równości są zbieżne, to mówim, że cłk + f()d jestzbieżn.jeżelijednztchcłekjestrozbieżndo lub+,drugjestzbieżnlbo rozbieżnodpowiedniodo lub+,tomówim,żecłkjestrozbieżndo lub+.w pozostłch przpdkch mówim, że cłk t jest rozbieżn. 39

18 Automtk i robotk studi stcjonrne sem I, 2009/200 MATEMATYKA- wkłd Ktedr Mtemtki 3.2 Cłki niewłściwe drugiego rodzju Definicj 3.4. Niech funkcj f:(, b R będzie nieogrniczon n prwostronnm sąsiedztwie punktuorzcłkowlnnprzedziłch +ε,b dlkżdego0<ε<b. Cłkę niewłściwą drugiego rodzju funkcji f n przedzile(, b definiujem wzorem: b f()d def = lim b ε 0 + +ε f()d. Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest skończon, to mówim, że cłk niewłściw b f()djestzbieżn.jeżeligrnictjestrówn+ lub,tomówim,żecłkjest rozbieżn odpowiednio do + lub. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk jest rozbieżn. Definicj 3.5. Niech funkcj f:, b) R będzie nieogrniczon n lewostronnm sąsiedztwie punktuborzcłkowlnnprzedziłch,b ε dlkżdego0<ε<b. Cłkę niewłściwą drugiego rodzju funkcji f n przedzile, b) definiujem wzorem: b f()d def = lim ε 0 + b ε f()d. Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest skończon, to mówim, że cłk niewłściw b f()djestzbieżn.jeżeligrnictjestrówn+ lub,tomówim,żecłkjest rozbieżn odpowiednio do + lub. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk jest rozbieżn. Definicj3.6.Niechfunkcjf:,b \{c} R,gdziec (,b),będzienieogrniczonnobustronnchsąsiedztwchpunktucorzcłkowlnnprzedziłch,c ε, c+ε,b dlkżdego0<ε<m Cłkę niewłściwą drugiego rodzju funkcji f n przedzile, b definiujem wzorem: b f()d def = c f()d+ b c f()d. Jeżeli obie cłki po prwej stronie znku równości są zbieżne, to mówim, że cłk b f()djest zbieżn.jeżelijednztchcłekjestrozbieżndo lub+,drugjestzbieżnlbo rozbieżnodpowiedniodo lub+,tomówim,żecłkjestrozbieżndo lub+.w pozostłch przpdkch mówim, że cłk t jest rozbieżn. 40