Materiały do kursu Matematyka na kierunku Informatyka studia stacjonarne

Transkrypt

1 Mteriły do kursu Mtemtyk n kierunku Informtyk studi stcjonrne Ryszrd Rębowski 9 mrc 09 Wstęp Przedstwiony poniżej mterił nleży rozumieć jko uzupełnienie do wykłdu z Mtemtyki w rmch kursu Mtemtyk przeprowdzonego w semestrze zimowym 08/09 n kierunku Informtyk studi stcjonrne w PWSZ w Legnicy. Zprezentowny mterił dotyczy temtyki rchunku różniczkowego i cłkowego. Od Czytelnik wymg się znjomości: ogólnej teorii ciągów, metod bdni zchowni się funkcji n sąsiedztwie w sensie teorii Heinego i n otoczeniu (ciągłość funkcji), zsdy podzielności wielominów w zkresie podnym n wykłdzie. Skłd tekstu wykonno w systemie L A TEX. Wprowdzeni do pojęci pochodnej Zczniemy od przykłdu, z który spotykmy się już n początku nszej edukcji. Przykłd (Prędkość średni chwilow) Będziemy nlizowli kinemtyczny spekt ruchu, czyli zminę położeni obiektu w funkcji czsu. Uprościmy sytucję do przypdku jednowymirowego, czyli ruchu prostoliniowego, co mtemtycznie opiszemy nstępująco [t p, t k ] t (t) R, () Wydził Nuk Technicznych i Ekonomicznych Pństwowej Wyższej Szkoły Zwodowej im. Witelon w Legnicy, e mil: rebowskir@pwsz-legnic.eu Ze względu n dużą zbieżność kursów mtemtyki, mteril ten możn również wykorzystć n kierunku ZiP.

2 WPROWADZENIA DO POJĘCIA POCHODNEJ gdzie [t p, t k ] ozncz przedził czsowy w jkim obserwujemy ten ruch, (t) położenie n osi rzeczywistej poruszjącego się obiektu. Ustlmy n osi czsu dwie chwile t p < t < t < t k. W ustlonych chwilch obiekt będzie znjdowł się odpowiednio w punkcie A i B osi liczbowej. Pokon on więc w czsie t t odcinek drogi równy długości odcink AB, czyli (t ) (t ). Wtedy ilorz (t ) (t ) t t () przedstwi mirę tzw. prędkości średniej obserwownego ruchu n odcinku AB. Ustlmy wrtość chwili t. Jeśli zczniemy terz zmienić t, to wrtość () może ulec zminie, o ile funkcj nie będzie liniow. Istotnie, jeśli np. (t) = t + b dl pewnych, b R, to (t ) (t ) t t = t + b (t + b) t t = (t t ) t t =. Weźmy terz w miejsce t chwile strsze od t postci t n = t +, więc tkie, n że mmy zbieżność t n t. 3 Skrcjąc horyzont czsowy, w którym obserwujemy ruch zczynmy brdziej precyzyjniej opisywć go z pomocą jego prędkości średniej. W rozwżnej sytucji dostniemy (t n ) (t ) = (t n) (t ). t n t Widzimy terz z jką sytucją mmy do czynieni: z ntury ruchu (t n ) (t ) i jednocześnie ciąg w minowniku również zbieżny jest do zer. Mmy więc sytucję nieoznczoną, bowiem 0. Nie tego nleżło się spodziewć. Przecież procedur 0 jką przeprowdziliśmy powinn zkończyć się jednoznczym wynikiem, bowiem prowdzi on do prędkości w chwili t, któr ze względu n nturę zjwisk musi istnieć. Z drugiej strony, przykłdy (t) = t + b, (t) = t pokzują, że wszystko jest w porządku grnic ilorzu () istnieje i wynosi odpowiednio, i t. I tk jest zwsze, bowiem decyduje o tym pewn włsność junkcji t (t), którą to włsnością zjmiemy się dlej. n Czytelnik zchęc się by powtórzył rchunek dl przypdku kiedy (t) = t i porównł wynik z otrzymnym wyżej. 3 Brdziej precyzyjnie, zbieżność ciągu t n do t m miejsce z prwej strony.

3 3 POJĘCIE POCHODNEJ FUNKCJI 3 Pojęcie pochodnej funkcji Zczniemy od uogólnieni pojęć przytoczonych w Przykłdzie. Definicj (Pojęcie ilorzu różnicowego) Niech dn będzie funkcj f : (, b) R orz o (, b). Dl kżdego rzeczywistego h 0, tkiego, że o +h (, b) przez i o f(h) oznczymy liczbę f(o+h) f( o). h Tk zdefiniowną funkcję i o f określoną n pewnym sąsiedztwie S(0, δ), δ > 0, nzwiemy ilorzem różnicowym funkcji f dl rgumentu o, czyli S(0, δ) h i o f(h) = f( o + h) f( o ). (3) h Definicj wymg kilku uwg i odpowiedniej ilustrcji geometrycznej. Uwg (Inn równowżn postć ilorzu różnicowego) Pokżemy inne, równowżne wersje sposobu definiowni ilorzu różnicowego. Dl h S(0, δ) niech = o + h. Wtedy S( o, δ) i n odwrót, kżde S( o, δ) wyzncz jednozncznie h = 0 S(0, δ). Dltego ilorz (3) możemy zpisć w postci równowżnej. i o f(h) = f( o + h) f( o ) h = i o f() = f() f( o) o, S( o, δ). (4) Jeśli terz przyjmiemy oznczenie = o = h, orz o f( ) = f( o + ) f( o ), to otrzymmy trzeci sposób definiowni ilorzu różnicowego i o f( ) = o f( ), (5) gdzie o f( ) nzywmy przyrostem wrtości funkcji f w punkcie o dl przyrostu rgumentu. Uwg (Interpretcj geometryczn ilorzu różnicowego) Rysunek przedstwi wykres funkcji f. Przez punkty A i B przechodzi prost, zwn sieczną wykresu. Zuwżmy, że kąt nchyleni prostej s do osi O jest tki, że jego tngens jest równy wrtości ilorzu różnicowego w punkcie o dl przyrostu o. Czs n kilk przykłdów. 3

4 3 POJĘCIE POCHODNEJ FUNKCJI f s B f() A f(o) C α o Rysunek : ilustrcj geometryczn ilorzu różnicowego Przykłd Npiszemy ilorzy różnicowe dl funkcji: f() =, g() =, e() = e w punkcie o wykorzystując wszystkie zprezentowne formty. o o = o + h o h = o + o, o > 0, h 0, 0. o o = e e o o o+h o h = eo+h e o h = o+ o, o 0, h 0, 0. = eo+ e o, o R, h 0, 0. Możemy terz zdefiniowć liczbę, któr w Przykłdzie pretendowł do min miry prędkości chwilowej. Definicj (Pochodnej funkcji w punkcie) Niech f, o,, h, orz i o f mją znczenie jk w Definicji. Powiemy, że funkcj f m w punkcie o pochodną, którą oznczymy przez f ( o ), jeśli istnieje grnic jej ilorzu różnicowego f() f( o ) lim i o f() = lim o o. (6) o 4

5 3 POJĘCIE POCHODNEJ FUNKCJI Z Uwgi, wrunek (6) Definicji jest równowżny nstępującym lim i o f() = lim i o f(h) = lim i o f( ). (7) o h 0 0 Przykłd 3 Obliczymy grnice ilorzów dl funkcji z Przykłdu. Dostniemy kolejno: dl funkcji wykorzystmy pierwszą postć ilorzu, czyli o o. Z definicji Heinego grnicy funkcji weźmy ciąg ( n ) S( o, δ) spełnijący wrunek n o. Wtedy odpowidjący mu ciąg wrtości ilorzu różnicowego po przeksztłceniu będzie mił postć n o = ( n o )( n + o ) n o ( n + o )( n o ) = n + o. Z złożeni, że n o i twierdzeni o rytmetyce grnic dl ciągów wynik, że lim i o f() = o, dl o > 0, o co pokzuje, że funkcj m pochodną dl kżdego o > 0. Dlej będziemy też pisli ( ) =o = o ; dl funkcji skorzystmy z drugiej postci ilorzu o+h o h Z definicji Heinego grnicy funkcji weźmy ciąg (h n ) S(0, δ) spełnijący wrunek h n 0. Wtedy odpowidjący mu ciąg wrtości ilorzu różnicowego po przeksztłceniu będzie mił postć o+h n o h n = o ( o + h n ) h n ( o + h n ) o =. ( o + h n ) o Z złożeni, że h n 0 i twierdzeni o rytmetyce grnic dl ciągów wynik, że lim i o f(h) =, dl h 0 o 0, o co pokzuje, że funkcj m pochodną dl kżdego o 0, czyli ( ) =o = ; o 5

6 3 POJĘCIE POCHODNEJ FUNKCJI dl funkcji e skorzystmy z trzeciej postci ilorzu e o+ e 0 Z definicji Heinego grnicy funkcji weźmy ciąg n S(0, δ) spełnijący wrunek n 0. Wtedy odpowidjący mu ciąg wrtości ilorzu różnicowego po przeksztłceniu będzie mił postć e o+ n e 0 n = e o e n n. Z złożeni, że n 0 i fktu, że ln, o ile 0, > 0, wynik, że lim 0 i o f( ) = e o, dl o R, co pokzuje, że funkcj e m pochodną dl kżdego o R, czyli (e ) =o = e o. Uwg 3 (Interpretcj geometryczn pochodnej w punkcie) Pokżemy terz znczenie geometryczne grnicy ilorzu różnicowego funkcji. Procedur Heinego grnicy funkcji zstosown do ilorzu różnicowgo ozncz, że punkt B z rysunku zbliż się nieskończenie blisko to punktu A. Obserwujemy wtedy obrót stycznej wokół punktu A. Istnienie grnicy ozncz wtedy, że istnieje grniczne położenie siecznych, które w teorii pochodnej nzywne jest styczną do wykresu. Wtedy tngens kąt jej nchyleni do osi O jest wrtością tej pochodnej. Ztem wystwinie do wykresu stycznej, o ile jest to możliwe, prowdzi do metody geometrycznej wyznczni pochodnej w punkcie. Ilustruje to rysunek, gdzie styczn do wykresu oznczon jest przez t. 6

7 4 PODSTAWY RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO f s B t f() A f(o) C α o Rysunek : ilustrcj geometryczn pochodnej funkcji w punkcie 4 Podstwy rchunku różniczkowego Wyzncznie pochodnej funkcji w punkcie metodą Definicji m zsdniczą wdę wymg stosowni prtu umożliwijącego wyzncznie grnicy funkcji. Pokżemy terz metodę, któr umożliwi osiągnięcie celu o wiele szybciej i mniejszym nkłdem prcy. Będzie to zbiór procedur, który nzywmy rchunkiem różniczkowym. Definicj 3 (Pochodnej funkcji) Jeśli funkcj f określon n przedzile (, b) m pochodną w kżdym punkcie o (, b), to powiemy, że jest różniczkowln n (, b), przyporządkownie (, b) f () nzwiemy pochodną funkcji i oznczymy przez f. Oczywiście wtedy f ( o ) = f =o. Procedurę relizującą przeksztłcenie f f nzywmy rchunkiem różniczkowym. Twierdzenie (I reguł rchunku różniczkowego) Funkcje elementrne włściwe są różniczkowlne n kżdym przedzile otwrtym zwrtym w dziedzinie. Co więcej mmy: 7

8 4 PODSTAWY RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO f f r, r R r r, > 0 ln ln sin cos cos sin tg cos Sprwdźmy jk to dził. ( ) = ( ) = =. Podobnie ( ) = ( ) = =. Ntomist dl eksponenty mmy (e ) = e ln e = e. Kolejn reguł pokzuje jk pordzić sobie z funkcjmi, które powstją z funkcji elementrnych włściwych w wyniku opercji lgebricznych. Twierdzenie (II reguł rchunku różniczkowego) Niech dne będą funkcje f i g określone n przedzile. Jeśli f i g są różniczkowlne, to f + g, f g orz fg są różniczkowlne orz (f + g) = f + g, (f g) = f g, (fg) = fg + f g, gdzie powyższe równości spełnione są n tym przedzile. Jeśli dodtkowo istnieje ilorz f, to jest on również różniczkowlny i zchodzi równość g ( f g ) = f g fg g. N początek zróżniczkujemy funkcję tngens. Z Twierdzeni znmy odpowiedź. Oczywiście w ten sposób możemy to udowodnić. Dostniemy kolejno ( ) sin (tg ) (sin ) cos sin (cos ) = =. cos cos Jeśli posłużymy się Twierdzeniem, to (tg ) = cos + sin = cos cos. Istnieją funkcje rzeczywiste, które mją strukturę inną, niżeli t, o której mówi Twierdzenie. N przykłd:,, e i wiele innych. Dltego zestw reguł różniczkowni musimy uzupełnić o jeszcze jedną o zsdę różniczkowni funkcji złożonej. N przykłdch wyjśnimy niezbędne szczegóły. Twierdzenie 3 (III reguł różniczkowni) Jeśli f i g są różniczkowlne n przedziłch orz istniej złożenie g f, to jest ono różniczkowlne i n przedzile zchodzi równość (g f) () = f ()g (f()). 8

9 4 PODSTAWY RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO N uwgę zsługuje metodologi zstosowni tej reguły. Wżny jest krok identyfikcj funkcji złożonej i jej rozkłd. Zdemonstrujemy to n sygnlizownym przykłdzie. Funkcj h() = określon jest dl > 0. Dltego dl tych, h() > 0. Po zlogrytmowniu otrzymmy ln h() = ln. Z reguły II, n podstwie reguły I wynik, że funkcj złożon ln h jest różniczkowln. Stąd różniczkowln jest funkcj h i możemy stosowć regułę III. Zczniemy od rozkłdu: njpierw definiujemy liczbę logrytmowną h() = s; tk zdefiniowną liczbę s logrytmujemy s ln s. Dje to nm oczekiwny rozkłd n funkcje proste. Kżd z nich jest różniczkowln, więc z zsdy III mmy (ln h) () = h ()(ln s) s=h() = h () h(). Z drugiej strony, z reguły różniczkowni iloczynu dostniemy ( ln ) = ln +, dltego z równości h () h() = ln + otrzymujemy h () = (ln + ). Zróżniczkujemy terz funkcję f() =. Skorzystmy z fktu, że f() = jest funkcją złożoną. Jej rozkłd n funkcje proste wygląd wtedy nstępująco: = t, t t, dltego ( ) = ( ) ( t) t= = =, dl 0. Mmy sytucję wyjątkową reguły różniczkowni nie pordziły sobie z wszystkimi rgumentmi funkcji f. Musimy indywidulnie zbdć przypdek rgumentu o = 0. Do dyspozycji mmy tylko definicję. Poniewż i 0 f() = orz lim 0 =, widzimy, że funkcj f nie jest różniczkowln w zerze. 9 lim 0 + =,

10 5 ĆWICZENIA Weźmy terz przykłd brdziej złożony, f() = ln sin. Zczynmy od rozkłdu funkcji złożonej: sin = t t t = w w ln w. W tym przypdku zstosownie reguly III ozncz, że f () = (sin ) ( t) t=sin (ln w) w= t t=sin 5 Ćwiczeni Zdnie = cos = cos sin sin sin. Npisć ilorzy różnicowe dl podnych funkcji w punkcie o, gdzie f() = 3, o =, 5; f() =, o = 3; f() =, o =. Zdnie Korzystjąc z definicji pochodnej obliczyć f ( o ), jeśli: f() = 3, o = ; f() = +, o = ; f() =, o = 4. Zdnie 3 Zróżniczkowć nstępujące funkcje: f() = e ; f() = ; f() = sin /; f() = (sin ) cos. f() = ; f() = g(), gdzie g jest różniczkowln. 0

11 6 WPROWADZENIE DO POJĘCIA CAŁKI 6 Wprowdzenie do pojęci cłki Ustlmy n początku jedno n pewno nie będziemy zgłębili się w istotę cłki n poziomie definicji. Zleży nm ntomist n podniu idei związnej ze zjwiskiem cłkowni, podkreśljąc związek cłki z geometrią. 4 Zczniemy od sytucji njprostszej przedstwionej n rysunku 3. Mmy tm ilustrcję podzbioru płszczyzny, który powstje w wyniku ogrniczeni wykresem funkcji ciągłej f : [, b] R określonej n przedzile obustronnie domkniętym [, b]. 5 W teorii cłki tk powstły zbiór figurę geometryczną nzywmy trpezem krzywoliniowym i oznczmy go przez T. f T b Rysunek 3: trpez krzywoliniowy Podstwowe twierdzenie o cłce Newton-Cuchy ego-riemnn orzek, że Twierdzenie 4 (O cłce Newton-Cuchy ego-riemnn) Istnieje procedur, C, któr przeksztłc C([, b]) zbiór wszystkich funkcji ciągłych określonych n przedzile [, b] w zbiór liczb rzeczywistych, czyli w tki sposób, że:. liczb C(f) wyznczon jest jednozncznie; C([, b]) f C(f) R (8) 4 Cłk, którą zjmiemy się jest relizcją pierwszej koncepcji cłki. Związn jest z tkimi postcimi jk: I. Newton, A. Cuchy czy B. Riemnn. Dl potrzeb współczesnej mtemtyki czy fizyki okzł się on niewystrczjąc. Dopiero powstł n początku XX w. i rozwijn dlej tzw. teori miry i cłki Lebesgue ten problem rozwiązł. 5 Złożenie ciągłości funkcji określonej n przedzile skończonym jest dl teorii omwinej cłki brdzo istotne. Celem otrzymni czytelnej interpretcji przyjęliśmy, że funkcj przyjmuje wrtości dodtnie. Dlej nie będzie to milo znczeni.

12 6 WPROWADZENIE DO POJĘCIA CAŁKI. jeśli funkcj f jest nieujemn, to C(f) 0; 3. opercj dn przez (8) m włsność liniowości, czyli dl dowolnych dwóch funkcji ciągłych f, g n przedzile [, b] i liczby α mmy: C(αf) = αc(f), (9) C(f + g) = C(f) + C(g), (0) 4. dl kżdej nieujemnej funkcji f C([, b]), liczb C(f) jest mirą powierzchni trpezu krzywoliniowego T, co zpisujemy T = C(f). () Co więcej, jeśli trpez krzywoliniowy jest jedną ze znnych figur geometrycznych (trójkątem, rombem, równoległobokiem, trpezem i ogólnie wielobokiem, kołem, wycinkiem kołowym, itp.), to pomir tkiej figury metodą opercji (8) pokryw się z wynikmi strożytnych. Dlej przyjmiemy oznczenie C(f) = b f() d, () i liczbę C(f) oznczną przez b f() d nzwiemy cłką z funkcji f po przedzile [, b], lbo w grnicch cłkowni od do b. Postć cłkow opercji C(f) pozwl sformułowć jeszcze jedną włsność ddytywność cłki, któr mówi, że cłkownie po przedzile możn zwsze sprowdzić do brni sumy cłek po podprzedziłch, czyli dl dowolnych trzech liczb < c < b b f() d = c f() d + b c f() d. (3) Dl kżdej f C([, b]) istnieje wtedy co njmniej jedn różniczkowln funkcj F tk, że n przedzile (, b) zchodzi równość F = f orz b f() d = F b = F (b) F (). (4) Kżdą funkcję o włsności funkcji F nzywmy funkcją pierwotną do f. Funkcj pierwotn do f wyznczon jest z dokłdnością do stłej, czyli F = G = f F = G + C, gdzie C ozncz funkcję stłą. (5) Zstosownie powyższego twierdzeni wyjśnimy n kilku przykłdch.

13 6 WPROWADZENIE DO POJĘCIA CAŁKI Przykłd 4 Metodą cłki zmierzymy wielkość prostokąt o bokch długości α, β. N przedzile [, b], gdzie b = α definiujemy funkcję f wzorem f() = β. Wtedy trpez T jest prostokątem, którego powierzchnię zmierzymy cłką T = co z liniowości cłki ozncz, że b f() d = T = β +α +α d. β d, Poniewż funkcj F () = jest pierwotną do funkcji stłej o wrtości, z (4) dostniemy T = β +α d = β( + α ) = αβ. Przykłd 5 Czs n trójkąt. Zczniemy od prostokątnego o przyprostokątnych α, β. Wyzncz go trpez T powstły z funkcji f() = β dl [0, α], co jest α łtwo sprwdzić. Dltego T = α Poniewż ( ) =, więc z (4) dostniemy T = β α α 0 0 β α d = β α d. α 0 d = β α (α 0) = αβ. Przykłd 6 Zmierzymy terz trójkąt o kątch ostrych przy podstwie. Przyjmijmy, że podstw m długość α, wysokość opuszczon n tę podstwę wynosi β. Niech mir jednego z kątów ostrych wynosi ϕ. Skonstruujemy funkcję, któr d trpez wyznczjący bdny trójką. Czytelnik prosi się o sprwdzenie, że wtedy (ptrz rysunek 4) funkcj definiując trpez m postć (tg ϕ), dl [0, ( ) f() = β β tg ϕ α β tg ϕ β tg ϕ ]; + β, dl [ β tg ϕ, α]. (6) Wtedy z włsności ddytywności cłki dostniemy T = α 0 f() d = 0 β tg ϕ (tg ϕ) d + α β tg ϕ ( ( β α β β ) ) + β d. tg ϕ tg ϕ Czytelnikowi pozostwimy sprwdzenie, że obie cłki dją αβ, co potwierdz wynik strożytnych. 3

14 6 WPROWADZENIE DO POJĘCIA CAŁKI β Φ 0 β/tgφ α Rysunek 4: przypdek trójkąt ostrokątnego Przykłd 7 Czs n koło. Oczywiście wystrczy zmierzyć tylko tzw. ćwirtkę. T część koł wyznczon jest przez funkcję f() = r, dl [0, r], gdzie r ozncz promień koł. Wtedy r T = 4 r d. 0 Tym rzem znlezienie funkcji pierwotnej jest trudniejsze. Nie d się jej odgdnąć jest zbyt skomplikown. Ntomist możn ją wyznczyć, o czym powiemy później. Terz tylko npiszemy jej postć r r d = (r rcsin r + r ) r 0. 0 Powyższ równość wymg komentrz. Chodzi o funkcję rcus sinus, czyli o odwzorownie [, ] rcsin [ π, π ], rozuminą jko funkcj odwrotn do funkcji [ π, π ] t sin t [, ], więc spełnijąc wrunek rcsin = t sin = t. N przykłd, rcsin = π, bowiem sin π =. Dltego r 0 r d = (r rcsin + r r ) r 0 = r π, więc T = πr. Wróćmy do teorii. Pojęcie cłki jkie przedstwiliśmy m dw nturlne ogrniczeni: po stronie funkcji cłkowlnej, wiemy że musi być ciągł i po stronie przedziłu po którym cłkujemy, musi być ogrniczony. W zstosownich 6 brdzo często trzeb cłkowć po przedziłch nieogrniczonych, n przykłd wżn jest cłk + d. e Zczniemy od nstępującej definicji. 6 W teorii prwdopodobieństw istnieje potrzeb cłkowni po cłej prostej. 4

15 6 WPROWADZENIE DO POJĘCIA CAŁKI Definicj 4 (Cłki po półprostej) Niech liczb będzie dn, f będzie funkcją ciągłą n półprostej [, + ). Dl kżdego t > weźmy funkcję określoną cłką (, + ) t t f() d. (7) Jeśli istnieje grnic włściw funkcji określonej (7) przy t +, to oznczmy ją przez + f() d i nzywmy cłką niewłściwą, czyli t + lim f() d = f() d. (8) t + Anlogicznie w przypdku półprostej (, b] dl zdnej liczby b. Jeśli istnieje grnic włściw funkcji określonej (, b) t b t f() d przy t, to oznczmy ją przez b f() d i nzywmy cłką niewłściwą. Cłkownie po cłej prostej uzyskuje się z wersji zsdy ddytywności. Mmy bowiem nstępującą definicję. Definicj 5 (Cłki niewłściwej n prostej) Dl funkcji ciągłej f n R, jeśli dl kżdej liczby istnieją cłki niewłściwe f() d i + f() d, to ich sumę oznczmy + f() d i nzywmy cłką niewłściwą po prostej. Przykłd 8 Sprwdzimy, czy funkcj dl jest cłkowln. Zgodnie z Definicją 4, nleży zbdć grnice funkcji t d dl t >. Poniewż t d = t = t widzimy, że bdn cłk istnieje i jest równ., gdy t +, Przykłd 9 Możn udowodnić, że + e d = π, co m fundmentlne znczenie w teorii prwdopodobieństw. 5

16 7 UWAGI NA TEMAT WYZNACZANIA FUNKCJI PIERWOTNYCH 7 Uwgi n temt wyznczni funkcji pierwotnych Wiemy, że obliczenie cłki po przedzile [, b] z funkcji ciągłej f sprowdz się do wyznczeni funkcji pierwotnej F. Dlej wszystko jest proste, bowiem b f() d = F b. Wiemy też, że funkcj F nie jest określon jednozncznie, dokłdniej mmy odpowiedniość f {F + C : C R}, gdzie F = f. (9) Procedur wyznczni funkcji pierwotnej poleg n wyznczeniu wszystkich funkcji pierwotnych do dnej funkcji. Pojedynczą funkcję pierwotną uzyskujemy w wyniku uwzględnieni wrunku C = 0. Wtedy zbiór {F + C : C R} oznczmy przez f() d i nzywmy cłką nieoznczoną. 7 Dlej będziemy pisli f() d = F () + C, C R, dl [, b]. (0) W szczególności f () d = f() + C, C R, dl [, b]. () W tym momencie powinniśmy zwrócić uwgę n jeszcze jeden szczegół. W rchunku różniczkowym wyrżenie f ()d m wżne znczenie. Nzywmy je różniczką funkcji i oznczmy przez df. W prktyce proces różniczkowni sprowdz się do domnożeni pochodnej funkcji przez przyrost zmiennej niezleżnej, czyli czynnik d. Dltego z (0) możemy npisć df d = f() + C, C R, dl [, b]. () Przykłd 0 d d = +C, C R, le już z cłką d tk prosto nie jest! Dlej, n kilku wybrnych przykłdch pokżemy specyfikę tej opercji, czyli cłkowni nieoznczonego. Przykłd Poniższe cłki nieoznczone biorą się bezpośrednio z tbeli do Twierdzeni. r d = r + r+ + C dl r ; d = ln + C, > 0; d = ln ( ) + C, < 0. 7 Dltego b f() d nzywmy cłką oznczoną. 6

17 7 UWAGI NA TEMAT WYZNACZANIA FUNKCJI PIERWOTNYCH Osttnie dwie clki możemy zpisć nstępująco d = ln + C, 0. W rchunku cłkowym dwie funkcje odgrywją szczególną rolę, z grupy tzw. funkcji cyklometrycznych. Są to rcus tngens odwrotn do pierwszej głęzi funkcji tngens ( R rctg = t π, π ) ( π, π ) t = tg t R; [ ] orz rcus sinus odwrotn do funkcji sinus ogrniczonej do przedziłu π, π, 8 [ [, ] rcsin = t π, π ] [ π, π ] t sin t = [, ]. Z funkcjmi cyklometrycznymi związne są nstępujące cłki: d = rctg + C, R; (3) + d = rcsin + C, (, ); (4) Wróćmy do symboliki różniczki funkcji. Przykłd Weźmy cłkę e d. Tym rzem prób zstosowni tbeli z Twierdzeni nie ud się. Ale możemy spróbowć inczej. Zuwżmy, że z definicji różniczki funkcji d( ) = d. W tkim rzie przyjmując s =, po zróżniczkowniu stronmi ds = d. Podstwmy te dne do cłki, czyli ( e d = e s ) ds = e s ds = s= s= e + C. Różniczkując wynik powyższego rchunku łtwo jest sprwdzić, że dje e, co potwierdz, że jest on poprwny. Sm metod również! Nzyw się cłkowniem prze zminę zmiennych, lbo krótko przez podstwinie. Przykłd 3 Obliczymy terz metodą przez podstwinie dwie cłki związne z (3) i (4). Zczniemy od d dl > 0. Poniewż + d + = d + ( ), 8 Sugeruje się by Czytelnik spróbowł nrysowć wykresy tych funkcji. 7

18 7 UWAGI NA TEMAT WYZNACZANIA FUNKCJI PIERWOTNYCH więc po podstwieniu t = i zróżniczkowniu dt = d z (3) otrzymmy d + ( = dt = ) + t rctg + C, R. Dltego Podobnie dostniemy t= d + = rctg + C, R, 0. (5) d = rcsin + C, (, ), > 0. (6) Kolejn metod, chociżby z powodu swojej nzwy clkownie przez części, jest niestndrdow. W zrozumieniu metody pomoże nm jej wyprowdzenie. Weźmy w tym celu dwie funkcje różniczkowlne w sposób ciągły 9 u, v n zdnym przedzile (, b). Z zsdy różniczkowni iloczynu i pojęci różniczki mmy d(uv) = vdu + udv. Stąd i z (), po scłkowniu stronmi dostniemy uv = v du + u dv. (7) Jest to treść tzw. reguły cłkowni przez części. W (7) mmy dwie cłki, le tylko jedn jest tą, którą chcemy wyliczyć. Jest ztem częścią cłości. T drug w tkim rzie pozwoli nm wyliczyć tę nieznną. Ztem powinn być co njmniej nie trudniejsz od tej do wyliczeni. I dokłdnie tk nleży rozumieć tę regułę. Dl ułtwieni zstosowni (7) odseprujemy te clki od siebie, pisząc po lewej stronie równości postć cłki, którą próbujemy wyliczyć. D nm to postć finlną reguły cłkowni przez części. u dv = uv v du. (8) Pokżemy n przykłdzie jk dził wzór (8). Przykłd 4 Obliczymy ln d. W tym celu musimy tk dobrć wrtości u, dv, by po wyliczeniu du, v, cłk po prwej stronie w (8) co njmniej nie był trudniejsz od tej, którą liczymy. Bierzemy 9 Czyli pochodne tych funkcji są ciągłe. 8

19 7 UWAGI NA TEMAT WYZNACZANIA FUNKCJI PIERWOTNYCH Dltego u = ln dv = d (9) du =? v =? u = ln dv = d (30) du = d v =. Wtedy v du = d, ztem cel zostł osiągnięty i z (8), ln d = ln +C. Przed nmi zdecydownie njtrudniejsz z rozwżnych cłek, t któr pozwolił nm zmierzyć powierzchnię koł, czyli I = d, > 0. Przykłd 5 Do obliczeni cłki I zstosujemy podstwienie = sin t, dl t (0, π ). Wtedy d = cos tdt, więc po zminie zmiennych dostniemy I = ( sin t) cos t dt, = sin t skąd po redukcji i skorzystniu z podstwowej tożsmości trygonometrycznej otrzymmy I = cos t dt = I, gdzie I = cos = sin t = t dt. sin t Pokżemy jk wyliczyć cłkę I. Z tożsmości trygonometrycznej cos t = cos t sin t = cos t, cos t = ( + cos t), dltego I = ( + cos t) dt = (t + ) sin t + C. Stąd i z definicji funkcji rcsin dostniemy I = (t + ) sin t + C = = (rcsin sin t + ) sin t + C. = sin t Wykonmy terz opercję sin t. Dostniemy kolejno = sin t sin t = sin t sin t = = sin t = sin t =. W tkim rzie wrtość obliczonej cłki wynosi d = ( rcsin ) + + C, dl [, ]. (3) 9

20 8 ĆWICZENIA N koniec oprcowni wspomnimy o jeszcze jednej metodzie, o cłkowniu funkcji wymiernych. Przypomnijmy, przez funkcję wymierną rozumiemy ilorz dwóch wielominów. Z zsdy podzielności w pierścieniu wielominów R[] dobrze widomo, że kżdy ilorz wielominów możn przedstwić w postci sumy wielominu i funkcji wymiernej, 0 gdzie stopień wielominu w liczniku tej funkcji jest mniejszy od stopni wielominu w minowniku. Dlej będziemy zkłdli, że mmy tką sytucję. Z liniowości cłki niewłściwej wystrczy zjąć się tylko skłdnikiem wymiernym. Istotą cłkowni funkcji wymiernych włściwych jest ich rozkłd n tzw. ułmki proste i cłkownie tych ułmków. Przykłd 6 Obliczymy d. Zczniemy od rozkłdu n ułmki proste = ( )( + ) = A + B +, gdzie stłe A, B wyznczymy znną ze szkoły metodą współczynników nieoznczonych. Po przemnożeniu osttniej równości przez ( )( + ), z porównni dwóch wielominów, = (A + B) + A B, dostniemy A + B =, A B = 0, skąd A = B =. Dltego d = co z zsdy cłkowni logrytmu dje 8 Ćwiczeni Zdnie 4 d + + d, d = ln ( )( + ) + C, / {, }. Nrysowć trpez krzywoliniowy ogrniczony krzywymi y =, y = + 3. Zdnie 5 Obliczyć pole figury z zdni 4. Zdnie 6 Obliczyć pole figury ogrniczonej wykresem funkcji y = e, 0 i osimi ukłdu współrzędnych. Zdnie 7 Obliczyć nstępujące cłki nieoznczone ln d; (5 3) 09 d; 0 Nzywmy ją funkcją wymierną włściwą. + ( ) d. 0