Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P

Transkrypt

1 Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile orz P ędzie podziłem tego przedziłu. Sumą cłową ucji odpowidjącą podziłowi P orz putom pośredim,, tego podziłu, zywmy liczę:, P *

2 Sum cłow jest przyliżeiem pol oszru ogriczoego wyresem ucji y= wrtości ieujeme, osią O i prostymi = orz = przez sumę prostoątów o podstwch i wysoości. De.. cł ozczo Riem Niech ucj ędzie ogriczo przedzile. Cłę ozczoą Riem z ucji przedzile deiiujemy wzorem: d lim P 0 * o ile po prwej stroie rówości gric istieje orz ie zleży od sposou podziłu P przedziłu i od sposou wyoru putów pośredich,. Podto d 0 orz d d, Tw.. wrue wystrczjący cłowlości ucji

3 Jeżeli ucj jest ogriczo przedzile i m tym przedzile sończo liczę putów ieciągłości I rodzju, to jest im cłowl. Tw.. Newto-Leiiz, I główe twierdzeie rchuu cłowego Jeżeli ucj jest ciągł przedzile to d F F gdzie F jest dowolą ucją pierwotą ucji tym przedzile. Zpis: F F F F F F Iterpretcj cłi ozczoej:. Pole trpezu rzywoliiowego-ptrz iterpretcj sumy cłowej. Iterpretcj izycz: Niech S ozcz drogę przeytą w przedzile czsowym put poruszjący się ze zmieą prędością vt, przez. Drog S

4 jest gricą sumy dróg elemetrych przeytych przez put w czsie z prędością stłą, gdy dąży do 0. S lim S lim P 0 P 0 v * t v t dt Drog S jest polem trpezu rzywoliiowego ogriczoego wyresem ucji vt, osią Ot orz prostymi t=, t=. Tw.. Jeżeli ucje i g są cłowle przedzile to: g d d g d A d A d, AR

5 Tw. Jeżeli ucje u i v mją ciągłe pochode przedzile to: u v' d u v u' v d Tw. 5. Jeżeli. ucj :JR jest ciągł J=. ucj :KJ m ciągłą pochodą K=. to d t ' t dt Tw. 6.

6 Jeżeli ucj jest cłowl przedzile orz d to d d d d d Zstosowi :. Pole igury płsiej:, g ciągłe g S g d. Ojętość ryły orotowej-ptrz iterpretcj geometrycz Niech V ozcz ryłę ogriczoą powierzchią powstłą przez orót wyresu ucji ieujemej y=,, woół osi O orz płszczyzmi = orz =. Ojętość ryły jest gricą sumy ojętości wlców przyliżjących te ryłę, gdy średic podziłu P dąży do 0.

7 P P d V V * 0 0 lim lim d V Przyłd: Oliczyć ojętość ryły powstłej przez orót rgmetu prostej 0 0 d V. Pole powierzchi oczej orotowej powstłej przez orót j.w.

8 P ' d Przyłd: Oliczmy pole powierzchi oczej stoż z poprzediego przyłdu: P 0 d Długość rzywej. Złdmy, że jest ciągł L ' d Uwg: Dooujemy podziłu odci j w De.. Łączymy łmą puty Jej długość, wrz ze wzrostem, jest corz liższ długości rzywej w tym przedzile. Jeśli weźmiemy pod uwgę trójąty prostoąte o

9 przyprostoątych to długość odci łmej od putu do putu jest rów Zuwżmy, że z twierdzei Lgrge istieje put s, ti, że Stąd Otrzymujemy stąd sumę cłową postci: l, P ' s tórej gricą jest powyższ cł, przy złożeich logiczych j w De.. Przyłd: Oliczyć długość rzywej opisej rówością

10 l ' ' e d d d L e e e e 5. omet sttyczy i ezwłdości. Środe ciężości. Dy jest trpez rzywoliiowy ogriczoy prostymi: y=0, =, = i rzywą y=. Wyoy jest o z jedorodego mteriłu o gęstości p. omety sttycze i ezwłdości względem osi O i Oy. y y d p B d p B d p d p,, Środe ciężości: y d p,, Przyłd: Zleźć środe ciężości igury ogriczoej osią O orz rzywą

11 . Gęstość przyjąć rówą , d d d y Stąd środe ciężości to put 0;,6 Cł ozczo iewłściw De.. Niech ucj ędzie oreślo. Cłą iewłściwą I rodzju zywmy cłę dą wzorem: - 9 0;,6

12 d lim d T T Jeśli gric jest włściw to mówimy, że cł jest zież. Jeśli gric jest iewłściw, to mówimy, że cł jest rozież. Alogiczie deiiujemy cłę iewłściwą I rodzju d d lim S S De. 5. Niech ucj ędzie oreślo R. Cłę iewłściwą I rodzju ziorze R oreślmy wzorem: d d d, R Uwg: Cł t jest zież, gdy o słdii są zieże. De. 6. cł iewłściw II rodzju

13 Niech ucj jest oreślo i ieogriczo tylo. Wówczs d d lim A A Jeśli gric jest włściw to mówimy, że cł jest zież. Alogiczie deiiujemy cłę iewłściwą II rodzju ucji oreśloej i ieogriczoej tylo : d d lim B B De. 7. cł iewłściw II rodzju c.d. Niech ucj oreślo ziorze ędzie ieogriczo tylo Wówczs c d d d c