Matematyka II dla studentów Technologii Chemicznej

Transkrypt

1 Mtemtyk II dl studentów Technologii Chemicznej Ilon IglewskNowk 17 lutego 16 r.

2

3 Cªki oznczone Denicj 1 Podziªem odcink [, b] n n cz ±ci, n N, nzywmy zbiór gdzie = x < x 1 < < x n = b. P = {x, x 1,..., x n }, Denicj Niech funkcj f b dzie ogrniczon n przedzile [, b] orz niech P b dzie podziªem tego przedziªu. Sum cªkow funkcji f odpowidj c podziªowi P orz punktom po±rednim ξ k tego podziªu, gdzie ξ [x k, x k ] dl 1 k n, nzywmy liczb n S = f(ξ k ) x k, gdzie x k = x k x k. Przykªd 3 k=1 1. We¹my funkcj f(x) = 3 n odcinku [1, ]. Niech P b dzie pewnym podziªem tego odcink n n cz ±ci orz ξ k dowolnym elementem przedziªu [x k, x k ]. Wówczs n n S = f(ξ k ) (x k x k ) = 3(x k x k ) = 3(x n x ) = 3() = 3. k=1 k=1. We¹my funkcj f(x) = x n odcinku [1, ]. Niech P b dzie podziªem tego odcink n n równych cz ±ci orz ξ k = x k. Wówczs n n S = f(x k ) (x k x k ) = x k 1 n k=1 = x k n n k=1 k=1 n ( ) k=1 1 + (k 1) 1 n = = n + 1 n n k=1 (k 1) = 1 + n n = 1 + n 1 n. 3 1 (+n) n n n

4 4 CAŠKI OZNACZONE 3. We¹my funkcj f(x) = x n odcinku [1, ]. Niech P b dzie podziªem tego odcink n n równych cz ±ci orz ξ k = x k. Wówczs n n S = f(x k ) (x k x k ) = x k 1 n k=1 = x k n n k=1 k=1 n ( ) k=1 1 + k n = = n + 1 n (1+n) n = 1 + n + 1 n n n. Denicj 4 Niech funkcj f b dzie ogrniczon n przedzile [, b]. Cªk oznczon Riemnn z funkcji f n przedzile [, b] deniujemy jko b f(x) = lim δ(p ) k=1 n f(ξ k ) x k, gdzie δ(p ) = mx 1 k n { x k }, o ile po prwej stronie znku równo±ci grnic jest wª±ciw orz nie zle»y od sposobu podziªu P przedziªu ni od sposobu wyboru punktów po±rednich ξ k. Pondto przyjmujemy f(x) = orz b f(x) = b f(x) dl < b. Przykªd 5 Dl funkcji f(x) = x n odcinku [1, ] orz podziªu P n odcink n n równych cz ±ci mmy lim δ(p ) =. n Przy wyborze ξ k = x k grnic sum cªkowych wynosi ( lim S = lim S = lim 1 + n 1 ) = δ(p ) n n n = 3. Przy wyborze ξ k = x k grnic sum cªkowych wynosi ( lim S = lim S = lim 1 + n + 1 ) = δ(p ) n n n = 3. Mo»n udowodni,»e grnic t nie zle»y od podziªu odcink (dopuszczlne s równie» podziªy nierównomierne) ni od wyboru punktów ξ k. Mmy Przykªd 6 Funkcj 1 x = 3. 1 dl x Q f(x) = dl x R \ Q

5 5 jest niecªkowln w sensie Riemnn. Dl dowolnego podziªu odcink punkty po±rednie mo»n zrówno wybr tk, by f(ξ k ) = 1, jk i f(ξ k ) =, ztem sumy cªkowe s zle»ne od wyboru punktów. Denicj 7 Punkt nieci gªo±ci funkcji f nzywmy pierwszego rodzju, je»eli istniej sko«czone grnice lewostronn i prwostronn funkcji f w tym punkcie. W przeciwnym wypdku mówimy o nieci gªo±cich drugiego rodzju. Twierdzenie 8 Je»eli funkcj f jest ogrniczon n przedzile [, b] i m n tym przedzile sko«czenie wiele nieci gªo±ci, wszystkie pierwszego rodzju, to jest n nim cªkowln. Przykªd 9 Funkcj f(x) = x jest n odcinku [1, ] ci gª. Jest ztem cªkowln, tzn. grnic sum cªkowych istnieje i nie zle»y od podziªu odcink ni od wyboru punktów ξ k. Stosuj c powy»sze twierdzenie nie musimy tego udowdni n gruncie rchunku grnic. Twierdzenie 1 (NewtonLeibnitz) Je»eli funkcj f jest ci gª w przedzile [, b], to b f(x) = F (b) F (), gdzie F ozncz dowoln funkcj pierwotn funkcji f w tym przedzile. Przykªd 11 Niech F orz G b d funkcjmi pierwotnymi funkcji f. Wówczs istnieje stª C, tk»e F (x) = G(x) + C dl k»dego x. St d wynik F (b) F () = [G(b) + C] [G() + C] = G(b) + C G() C = G(b) G(). Twierdzenie 1 Cªki oznczone s ddytywne wzgl dem przedziªu cªkowni, tzn. je»eli b c, to zchodzi c f(x) = b f(x) + c b f(x).

6 6 CAŠKI OZNACZONE Przykªd x = x = = 7 1 = 6, 3x = x = = 56 7 = 9, 3x = x = = 56 1 = 55 = Uwg 14 Symbol F (x) b ozncz F (b) F (). Je±li w wyr»eniu F (x) wyst puje sum, u»ywmy nwisów kwdrtowych: [ ] b Twierdzenie 15 Cªkownie jest opercj liniow, tzn. 1. jest ddytywne: b. orz jednorodne: [f(x) + g(x)] = b Przykªd 16 [ x (x 3 + 7) = 3 + 7x = ] b [c f(x)] = c f(x) + b b f(x). g(x) = = x = x = x3 Twierdzenie 17 (Cªkownie przez cz ±ci) Je»eli funkcje u i v mj w przedzile [, b] ci gªe pochodne, to b Przykªd 18 π/ u = x x sin x = v = sin x = + [sin x] π/ = 1. b u(x)v (x) = [u(x)v(x)] b u (x)v(x). u = 1 v = cos x = [ x cos x] π/ + π/ 7 cos x

7 7 Twierdzenie 19 (Cªkownie przez podstwinie) Je»eli 1. funkcj g m w przedzile (, b) ci gª pochodn,. funkcj f jest ci gª w przedzile [g(), g(b)], to zchodzi b f (g(x)) g (x) = g(b) g() Przykªd π/ sin t = sin x x cos x = = dt = cos x f(t) dt. 1 [ t t 3 dt = 3 ] 1 = 1 3. Uwg 1 Przy cªkowniu przez podstwinie trzeb pmi t o zminie grnic cªkowni. Z tego powodu cz sto ªtwiej jest obliczy przez podstwinie cªk nieoznczon, nst onie podstwi wrto±ci ko«ców przedziªu. Twierdzenie Niech funkcj f b dzie cªkowln w przedzile [, b] orz niech funkcj g ró»ni si od funkcji f tylko w sko«czonej liczbie punktów tego przedziªu. Wtedy funkcj g jest równie» cªkowln w przedzile [, b] orz b Zstosowni cªki oznczonej g(x) = b f(x). Twierdzenie 3 Je»eli w przedzile [, b] funkcj f jest ci gª orz f(x), to pole obszru ogrniczonego ªukiem krzywej y = f(x), odcinkiem osi X orz prostymi x = i x = b wynosi b f(x). Przykªd 4 Oblicz pole gury poni»ej wykresu funkcji f(x) = x+1, pomi dzy prostymi x = 1 orz x =. Rozwi znie. f(x) >, mmy P = 1 [ x (x + 1) = + x ] 1 Poniew» dl x [1, ] zchodzi = = 5.

8 8 CAŠKI OZNACZONE Z drugiej strony gur t jest trpezem o podstwch dªugo±ci (przy x = 1) orz 3 (przy x = ) i wysoko±ci 1. St d P = ( + 3) 1 = 5. Denicj 5 Trpez krzywoliniowy jest to gur ogrniczon dwiem krzywymi, nieprzecinj cymi si, i dwiem prostymi równolegªymi. Twierdzenie 6 Niech funkcje f i g b d ci gªe n przedzile [, b] orz niech f(x) g(x) dl k»dego x [, b]. Wówczs pole trpezu krzywoliniowego ogrniczonego wykresmi funkcji f i g orz prostymi x = i x = b wyr» si wzorem P = b [g(x) f(x)]. Przykªd 7 Oblicz pole gury zwrtej pomi dzy krzywymi y = x 1 i y = x + 1. Rozwi znie. Figur t jest trpezem krzywoliniowym, zwrtym pomi dzy prostymi x = i x = 1. Pondto dl x (, 1) zchodzi x + 1 > x 1. Ztem P = 1 [ x + 1 (x 1)] = = = 3. 1 [ x ( x 3 + ) = 3 ] 1 + x Twierdzenie 8 Niech funkcj f m ci gª pochodn n przedzile [, b]. Wtedy dªugo± krzywej {( x, f(x) ) : x [, b] } wyr» si wzorem 1 L = b 1 + f (x). Przykªd 9 Dªugo± ªuku krzywej y = 1 x dl x [, 1] wynosi ( ) y x = 1 x = 1 x = x 1 x 1 ( ) x 1 1 L = 1 + = 1 + x 1 x 1 x = = 1 1 x = rcsin x 1 = π π = π. 1 x + x 1 x

9 9 Zuw»my,»e krzyw t jest póªokr giem o promieniu 1. Jej dªugo± obliczon w sposób elementrny wynosi π. Twierdzenie 3 Niech funkcj nieujemn f b dzie ci gª w przedzile [, b] orz niech T ozncz trpez krzywoliniowy ogrniczony wykresem funkcji f, osi OX orz prostymi x = i x = b. Wówczs 1. obj to± bryªy powstªej z obrotu trpezu krzywoliniowego T, ogrniczonego osi OX, prostymi x = i x = b orz wykresem nieujemnej funkcji f, wokóª osi OX wyr» si wzorem V = π b f (x),. obj to± bryªy powstªej z obrotu trpezu krzywoliniowego T, ogrniczonego osi OY, wykresem funkcji f, monotonicznej n przedzile [, b], orz prostymi y = f() i y = f(b), wokóª osi OY wyr» si wzorem V = π b xf(x). Twierdzenie 31 Niech funkcj nieujemn f m ci gª pochodn n przedzile [, b]. Wówczs 1. pole powierzchni powstªej z obrotu wykresu funkcji f wokóª osi OX wyr» si wzorem P = π b f(x) 1 + f (x),. pole powierzchni powstªej z obrotu wykresu funkcji f wokóª osi OY wyr» si wzorem P = π b x 1 + f (x). Przykªd 3 1. Oblicz pole powierzchni gury powstªej z obrotu ªuku krzywej y = 1 x, x [, 1],

10 1 CAŠKI OZNACZONE wokóª osi OX orz obj to± wyznczonej przez ni bryªy. Rozwi znie. P = π V = π = π x = π 1 = 4π, 1 x ( 1 1 x ) = π (1 x ) = π ( 1 1 ) () = 4π 3. ] 1 [x x3 3 Figur t jest sfer o promieniu 1. Wyznczone elementrnie pole i obj to± wynosz odpowiednio 4π i 4π 3.. Oblicz pole powierzchni gury powstªej z obrotu ªuku krzywej y = 1 x, x [, 1], wokóª osi OY orz obj to± wyznczonej przez ni bryªy. Rozwi znie. 1 1 P = π x 1 x = u = 1 x du = π du = x 1 u = π [ u ] = π( 1) = π, 1 1 V = π x 1 x = u = 1 x = π du = x [ ] u 3/ = π = π 3 3 ( 1) = π u du Figur t jest póªsfer o promieniu 1. Wyznczone elementrnie pole i obj to± wynosz odpowiednio π i π 3. Cªki niewª±ciwe Denicj Niech funkcj f b dzie okre±lon n przedzile [, ). Cªk niewª±ciw I rodzju funkcji f n [, ) deniujemy wzorem f(x) = lim T T f(x).. Niech funkcj f b dzie okre±lon n przedzile (, b]. Cªk niewª±ciw I rodzju funkcji f n (, b] deniujemy wzorem b f(x) = b lim T T f(x).

11 3. Niech funkcj f b dzie okre±lon n przedzile (, ). Cªk niewª±ciw I rodzju funkcji f n (, ) deniujemy wzorem f(x) = gdzie jest dowoln liczb rzeczywist. f(x) + f(x), Je»eli grnic jest wª±ciw, mówimy,»e cªk jest zbie»n. Je»eli grnic jest równ ±, mówimy,»e cªk jest rozbie»n odpowiednio do lub +. W pozostªych przypdkch mówimy,»e cªk jest rozbie»n. Przykªd x = lim T T 1 [ ] T ( ) x = lim = lim T x T 1 T + 1 = 1 xe x = xe x + xe x = u = x du = x = 1 ( ) ( e u du + e u du = 1 T ) lim e u du + lim e u du T T T = 1 ( ) lim T eu T + lim T eu T = 1 ( ) lim T et lim T e T = T cos x = lim cos x = lim sin T T x T = lim sin T T nie istnieje Denicj Niech funkcj f okre±lon n przedzile (, b] b dzie nieogrniczon w prwostronnym s siedztwie punktu. Cªk niewª±ciw II rodzju funkcji f n (, b] deniujemy wzorem b f(x) = lim ɛ + b +ɛ f(x).. Niech funkcj f okre±lon n przedzile [, b) b dzie nieogrniczon w lewostronnym s siedztwie punktu b. Cªk niewª±ciw II rodzju funkcji f n [, b) deniujemy wzorem b f(x) = lim ɛ + b ɛ f(x).

12 1 CAŠKI OZNACZONE 3. Niech funkcj f okre±lon n przedzile [, c) (c, b] b dzie nieogrniczon w s siedztwie punktu c. Cªk niewª±ciw II rodzju funkcji f n [, b] deniujemy wzorem b f(x) = c f(x) + b c f(x). Przykªd = lim = lim x 1 x ɛ + ɛ x ɛ + ɛ = lim (1 ɛ) = ɛ x = lim ɛ + ɛ x = lim ɛ + ( ɛ 3 = lim x ɛ + = lim ɛ + ( 3 3 ɛ x 1 ɛ ( = lim + 1 ) = ɛ + ɛ 1 ) 3 + lim x ɛ 3 = 3 3 ɛ x x lim + lim + ɛ x ɛ + ɛ + ɛ ) ɛ = = 4. 1 ɛ x 3 = lim 1 ɛ + x 3 + lim ɛ + ɛ x 3 = lim ɛ + = lim ɛ + ɛ lim 1 ɛ + ɛ x ɛ + lim ɛ + x 1 ɛ T cªk nie istnieje. Trzeb zwróci uwg,»e pierwszego i osttniego wyr»eni nie mo»n skróci, poniew» s niesko«czone.

13 Cªki funkcji wymiernych, niewymiernych i trygonometrycznych Cªki funkcji wymiernych Denicj 37 Funkcj wymiern q(x) = n k= kx k m k= b kx k nzywmy wª±ciw, gdy n < m. Denicj Funkcj wymiern postci A (x + b) n, gdzie, b R, orz n N, nzywmy uªmkiem prostym pierwszego rodzju.. Funkcj wymiern postci Ax + B (x + bx + c) n, gdzie, b, c R, b 4c < orz n N, nzywmy uªmkiem prostym drugiego rodzju. 13

14 14CAŠKI FUNKCJI WYMIERNYCH, NIEWYMIERNYCH I TRYGONOMETRYCZNYCH Twierdzenie 39 K»d funkcj wymienr wª±ciw rzeczywist jest sum uªmków prostych. Przedstwienie to jest jednoznczne. Funkcj wymiern wª±ciw P (x) (x x 1 ) k1 (x x ) k (x x r ) kr (x + p 1 x + q 1 ) l1 (x + p x + q ) l (x + p s x + q s ) ls jest sum k 1 + k + + k r uªmków prostych pierwszego rodzju orz l 1 + l + + l s uªmków prostych drugiego rodzju, przy czym czynnikowi (x x j ) kj odpowid sum k j uªmków prostych pierwszego rodzju postci A j1 A j + x x 1 (x x 1 ) + + A jkj (x x 1 ), kj gdzie A j1, A j,..., A jkj R dl j = 1,,..., r, czynnikowi (x +p j x+q j ) lj odpowid sum l j uªmków prostych drugiego rodzju postci B j1 x + C j1 x + B jx + C j + p j x + q j (x + p j x + q j ) + + B jl j x + C jlj (x + p j x + q j ), lj gdzie B j1, B j,..., B jlj, C j1, C j,..., C jlj R dl j = 1,,..., s. Niech dn b dzie funkcj wymiern n k= q(x) = kx k m k= b kx k Aby obliczy cªk z tej funkcji post pujemy nst puj co: 1. Je»eli stopie«licznik n jest wi kszy lub równy stopniowi minownik m, to licznik dziekimy przez mienownik i funkcj podcªkow przedstwimy jko sum wielominu i funkcji wymiernej, w której stopie«licznik jest mniejszy od stopni minownik.. Je»eli n < m, to funkcj podcªkow rozkªdmy n sum uªmków prostych. 3. Cªk z k»dego z uªmków prostych obliczmy osobno. Twierdzenie 4 (Cªkownie uªmków prostych pierwszego rodzju)

15 A x + b = A ln x + b + C, A (x + b) n = A + C,, n N \ {1} (n 1)(x + b) n Dowód. 1. A x + b = t = x + b dt = = A dt t = A ln t +C = A ln x+b +C. A (x + b) n = t = x + b dt = = A A = (n 1)(x + b) n + C t n dt = A t n+1 n C Twierdzenie x + = 1 rctg x + C, > (x + 1) n = x 3 (n 1)(x +n + 1) n n (x, n N \{1} + 1) n Przykªd 4 1. Oblicz cªk x x+. Rozwi znie. Trójmin kwdrtowy w minowniku m wyró»nik 4, jest ztem nierozkªdlny. Mo»n go przedstwi jko sum dwóch kwdrtów: x x + = (x 1) + 1. St d wynik x x + = (x 1) + 1 = t = x 1 dt = = dt t + 1 = rctg t + C = rctg (x 1) + C. 1

16 16CAŠKI FUNKCJI WYMIERNYCH, NIEWYMIERNYCH I TRYGONOMETRYCZNYCH. (x + x + 5) 3 = ((x + 1) + 4) 3 = t = x+1 = dt = (n=3) = 1 6 = dt (n=) t = 7 (t + 1) + 3 [ t 7 1(t + 1) + 1 t = 7 (t + 1) + 3t 8 (t + 1) rctg t + C = = 7 ( ( x+1 x+1 ) + 1 ) + 8 ( ( x+1 ( [ ]) 4 (x+1) 3 = dt (t + 1) 3 = 1 [ t 5 (t + 1) ] dt t x+1 ) ) + 3 ( x rctg x (x + x + 5) + 3(x + 1) 7 (x + x + 5) rctg Cªkownie uªmków prostych drugiego rodzju ( x + 1 ( ( 4 3 x+1 ) ) ) + C ) + C Przy cªkowniu uªmków prostych drugiego rodzju stosujemy to»smo± P x + Q (x + px + q) n = P ( x + p (x + px + q) n + Q P p ) 1 (x + px + q) n W pierszym uªmku po prwej stronie licznik jest pochodn minownik, stosujemy ztem podstwienie t = x + px + q, cªk z drugiego uªmk obliczmy z zstosowniem Twierdzeni 41. Przykªd ] dt (t + 1) Cªki funkcji niewymiernych Cªkownie funkcji zwierj cych pierwistki z wyr»eni liniowego 1. Je»eli funkcj podcªkow jest funkcj wymiern pot g zmiennej x o wykªdnikch postci p/q, gdzie liczby p i q s wzgl dem siebie pierwsze, to wykonujemy podstwienie x = t N,

17 17 gdzie N jest njmniejszym wspólnym minownikiem uªmków p/q. Przykªd 44 x + 3 x = x 1/ + x = x = t 6 6t 5 dt t 3 = 1/3 = 6t 5 dt t 3 + t = 6 dt t + 1 ( = 6 t t ) ( ) t 3 dt = 6 t t + t ln(t + 1) + C = t 3 3t + 6t 6 ln(t + 1) + C = x 3 3 x x 6 ln( 6 x + 1) + C, x >. Je»eli funkcj podcªkow jest funkcj wymiern zmiennej x orz pot g dwuminu x+b o wykªdnikch postci p/q, gdzie liczby p i q s wzgl dem siebie pierwsze, to wykonujemy podstwienie x + b = t N, gdzie N jest njmniejszym wspólnym minownikiem uªmków p/q. Przykªd 45 () 4 3x 7 = 3x 7 = t 4 = 4t 3 dt = 4 3 t3 dt = t 4 3 t3 dt = 4 3 t5 5 + C = 4 15 (3x 7)5/4 + C, x 7 3 (b) x x 5 = t x 5 = = t dt = (t + 5) t t dt x = t + 5 ( = (t 4 + 5t ) dt = t t3 t C = 5 + 5t 3 ( ) ( (x 5) 5(x 5) x x = C = 5 3 ) t + C 5 x ) + C

18 18CAŠKI FUNKCJI WYMIERNYCH, NIEWYMIERNYCH I TRYGONOMETRYCZNYCH 3. Je»eli funkcj podcªkow jest funkcj wymiern zmiennej x orz pot g funkcji homogrcznej x + b, gdzie d bc, cx + d o wykªdnikch postci p/q, gdzie liczby p i q s wzgl dem siebie pierwsze, to wykonujemy podstwienie x + b cx + d = tn, gdzie N jest njmniejszym wspólnym minownikiem uªmków p/q. Przykªd 46 3 x + 1 x 1 x + 1 = = 6 = 3 = 3 t = 3 t x+1 x = t3 x = t3 +1 t 3 = 6t dt (t 3 ) t = t dt = 3 6t (t 3 ) t 3 +1 t dt dt (t 3 1)(t t 3 1) t (t 3 1) = [ dt t + 1 dt 3 t 1 1 ] (t + 1) dt 3 t + t + 1 ln t (t + 1) dt t + t dt (t + 1 ) ln t ln t + t rctg t C, 3 3 gdzie t = 3 x + 1 x 1 zprszm do znlezieni bª du w tych obliczenich, poniew» odpowied¹ jest inn ni» w ksi»ce Cªki funkcji zwierj cych pierwistek kwdrtowy z trójminu kwdrtowego Twierdzenie x = rcsin x + C,

19 19. x x + k = ln + x + k + C, k, x + k >, x = x x + rcsin x + C, x x = x x + rcsin x + C, x + k = x x + k+ k x ln + x + k +C, k, x +k, 6. x x + k = x x + k k x ln + x + k +C, k, x +k >. Przykªd = 4 x x = = x + 1 = 5 t 5 (x + 1) = 5 dt = 5 dt 5 5t dt x + 1 = rcsin t + C = rcsin + C, x + 1 < 5 1 t 5. x 6x + 15 = (x 3) + 6 = t = x 3 dt = dt = t + 6 ( ( ) = ln t + ) ( t C = ln x 3 + ) x 6x C, ( ) t + t + 6 > x x = (x + 1) = t = x = t dt dt = = t 4 t + rcsin t + C = x x x + rcsin x C, x [ 3, 1]

20 CAŠKI FUNKCJI WYMIERNYCH, NIEWYMIERNYCH I TRYGONOMETRYCZNYCH 4. x (x x + 5 = 1) + 4 = t ( ln t + ) t C t = x 1 dt = = t = x 1 ( x x ln x 1 + ) x x C = t + 4 dt 5. (3x t = x + + ) x + x + 1 = (3x + ) 1 ( ) = x = t (x + 1 ) t = 3t dt 4 t dt = t dt t dt = dt t t t [ ( t = 3 t )] ( ln t + t t ) ln t + t C 4 ( ) 3t = 3 t + 3 ( ) ( ) ln t + t C 4 = 3 4 (x 3) x + x (x 8 ln ) x + x C Metod wspóªczynników nieoznczonych Twierdzenie 49 p n (x) x + bx + c = p n(x) x + bx + c + α gdzie p n i p n to wielominy ntego i (n 1)ego stopni. x + bx + c, Przykªd 5 Aby obliczy 6x 3 x + 1x 7, x 4x + 3 gdzie x (, 1) (3, ), zkªdmy,»e cªk t b dzie nst puj cej postci: 6x 3 x + 1x 7 x 4x + 3 (x +bx+c) x 4x + 3+α x 4x + 3.

21 1 Nle»y ustli wspóªczynniki trójminu kwdrtowego orz stª przy cªce. W tym celu ró»niczkujemy obie strony i otrzymujemy 6x 3 x + 1x 7 x 4x + 3 (x + b) x 4x (x x 4 + bx + c) x 4x α x 4x + 3, sk d po porównniu wspóªczynników mmy 6x 3 x + 1x 7 = (x x + 3) x 4x x 4x + 3 x 4x + 3. Osttni cª obliczmy stosuj c jeden z wy»ej omówionych wzorów i osttecznie 6x 3 x + 1x 7 = (x x+3) x 4x + 3+ ln x + x 4x + 3 +C. x 4x + 3 Cªki funkcji trygonometrycznych Twierdzenie sin n x = 1 n sinn x cos x + n 1 n sin n x, n,. cos n x = 1 n cosn x sin x + n 1 n Przykªd 5 1. sin 6 x = 1 6 sin5 x cos x = 1 6 sin5 x cos x + 5 ( 6 sin 4 x 1 4 sin3 x cos x = 1 6 sin5 x cos x 5 4 sin3 x cos x cos n x, n. ) sin x ( 1 sin x cos x + 1 = 1 6 sin5 x cos x 5 4 sin3 x cos x 5 5 sin x cos x x + C ). sin 4 x cos 3 x = sin 4 x(1 sin t = sin x x) cos x = dt = cos x = t 4 (1 t ) dt = t 4 dt t 6 dt = t5 5 t7 7 + C = sin5 x sin7 x + C 5 7

22 CAŠKI FUNKCJI WYMIERNYCH, NIEWYMIERNYCH I TRYGONOMETRYCZNYCH 3. sin 4 x cos x = sin 4 x(1 sin x) = sin 4 x sin 6 x = = 1 6 sin5 x cos x 1 4 sin3 x cos x 1 1 sin x cos x x + C Uwg 53 Przy cªkch z sin m x cos n x, gdzie jeden z wykªdników jest przysty, drugi nieprzysty, stosujemy metod zprezentown w przykªdzie, je±li ob wykªdniki s przyste, stosujemy metode przedstwion w przykªdzie 3. Sprowdznie cªek trygonometrycznych do cªek funkcji wymiernych Denicj 54 Funkcj, któr mo»n przedstwi w postci ilorzu wielominów dwóch zmiennych, nzywmy funkcj wymiern dwóch zmiennych. Twierdzenie 55 Niech R b dzie funkcj wymiern dwóch zmiennych. Wówczs do obliczni cªek postci stosuje si nst puj ce podstwieni: R(sin x, cos x) 1. Je±li R( u, v) = R(u, v), podstwimy t = cos x, sin x = 1 t, = dt 1 t.. Je±li R(u, v) = R(u, v), podstwimy t = sin x, cos x = 1 t, = 3. Je±li R( u, v) = R(u, v), podstwimy t = tg x, sin x = 4. W pozostªych przypdkch podstwimy dt 1 t. t, cos x = 1 dt, = 1 + t 1 + t 1 + t. t = tg x, sin x = t 1 t dt, cos x =, = 1 + t 1 + t 1 + t (podstwienie uniwerslne).

23 3 Przykªd sin 3 x 1 + cos x = dt ( ) 1 + cos x, ( ) (1 cos x) sin x = 1 + cos x ( ) t 1 = [t = cos x] = t + 1 dt dt t = t rctg t + C = cos x rctg cos x + C + 1 ( ) (1 cos x)( sin x) 1 + cos = (1 cos x) sin x x 1 + cos x sin 3 [ x ( ) 1 + cos = t = tg t ] 8t 3 dt = x (t + 1) (t 4 + 1) = [u = t ] ( ) 4u du = (u + 1) (u + 1) = (u + 1) + (u du + 1) = 1 + u = rctg u + C = ( 1 + tg x = rctg tg x ) + C Rchunki przy drugim sposobie rozwi zni s dªu»sze. Cªki obliczone z pomoc tych dwóch podstwie«s równe w przedziªch okre±lono±ci ich obu, co mo»n wykz poprzez ich ró»niczkownie. Punkty osobliwe w drugiej cªce (tzn. punkty, w których tg x jest nieokre±lony), s osobliwo±cimi usuwlnymi, tzn. grnice funkcji w tych punktch istniej, tk»e mo»n t funkcj przedªu»y, przypisuj c jej wrto±ci równe wrto±ciom grnic cos x = ( ) = [t = tg x] = 3 du 3u + 3 = 1 3 = 1 3 rctg dt 1+t 1 + = 1+t du u + 1 = 1 t + C = 1 rctg 3 3 rctg u + C 3 ( ) 1 3 tg x + C dt [ t + 3 = t = ] 3 u ( ) 1 + cos x, ( cos x) = 1 + cos x

24 4CAŠKI FUNKCJI WYMIERNYCH, NIEWYMIERNYCH I TRYGONOMETRYCZNYCH 3. [ ( ) = t = tg x ] = + cos x ( ) = 3 rctg ( 1 3 tg x ) + C dt 1+t = + 1 t 1+t dt t + 3 ( ) + cos x ( ) jk w przykªdzie 3.

25 Równni ró»niczkowe zwyczjne rz du pierwszego Denicj 57 Równnie postci F (x, y, y ) =, gdzie y = y(x) jest funkcj zmiennej x okre±lon w przedzile I, nzywmy równniem ró»niczkowym zwyczjnym rz du pierwszego. Przykªd 58 Równnimi ró»niczkowymi zwyczjnymi rz du pierwszego s y + y sin x =, (y ) = x, ln(y ) = e y + x. Nie s równnimi ró»niczkowymi zwyczjnymi rz du pierwszego: y + y + x =, y(x) = x + 7. Przykªd 59 Rozwi» równnie y + x =, gdzie niewidom jest y = y(x). Rozwi znie y + x = y = x y = ( x) y = x + C y = x + C jest równniem rodziny funkcji. Nzywmy je rozwi zniem ogólnym lub cªk ogóln równi ró»niczkowego. 5

26 6 RÓWNANIA RÓ NICZKOWE ZWYCZAJNE RZ DU PIERWSZEGO Denicj 6 Rozwi zniem ogólnym (cªk ogóln ) równni F (x, y, y ) = nzywmy funkcj y = y(x), zle»n od prmetru C, speªnij c to równie. Rozwi zniem szczególnym (cªk szczególn ) równni ró»niczkowego nzywmy k»d funkck e, któr otrzymujemy z rozwi zni ogólnego zst puj c stª C liczb rzeczywist. Przykªd 61 Rozwi» równnie gdzie y = y(x). y y =, Rozwi znie y y = y y y = 1 y = 1 ln y = x + C y = e x+c = e x e C = Ce x, C R+. St d: y = Ce x cªk ogóln równni y y =. Sprwdzenie: y = Ce x = y = Ce x = y y = Ce x Ce x =. Równni ró»niczkowe o zmiennych rozdzielonych Denicj 6 Równnie postci y = f(x) g(y), gdzie g = g(y), tkie»e g(y), jest funkcj ci gª w przedzile I 1 orz f = f(x) jest funkcj ci gª w przedzile I, nzywmy równniem ró»niczkowym o zmiennych rozdzielonych. Uwg 63 Przykªd 64 y = f(x) g(y) dy = f(x) g(y) y + x = dy = x g(y) dy = f(x). dy = ( x) y = x + C.

27 7 Równni ró»niczkowe jednorodne wzgl dem x i y Denicj 65 Niech f = f(u) b dzie funkcj okre±lon i ci gª w przedzile I, pondto f(u) u. Równnie postci ( y y = f x) nzywmy równniem ró»niczkowym jednorodnym ze wzgl du n x i y. Uwg 66 W celu rozwi zni równni ( y y = f x) stosujemy podstwinie Zchodzi wówczs st d u(x) = y(x) x. y(x) = x u(x), y (x) = u(x) + x u (x). Przykªd 67 Rozwi» równnie Rozwi znie x + yy =. x + yy = y = x y y = 1 y. x Podstwim u = y x. Wówczs y = xu orz y = u + xu. Równnie przeksztªc si nst puj co: x + xu (u + xu ) = x uu = x xu xu du = (1 + u ) 1 u 1 + u du = x 1 ln(1 + u ) = ln x + ln C ln(1 + u ) = ln C x ln(1 + u ) = ln C x x + y = C 1 + u = C x y 1 + x = C x (cªk ogóln równi x + yy = w postci uwikªnej)

28 8 RÓWNANIA RÓ NICZKOWE ZWYCZAJNE RZ DU PIERWSZEGO Równni ró»niczkowe liniowe jednorodne Denicj 68 Niech p b dzie funkcj ci gª n przedzile I. Równnie y + p(x) y = nzywmy równniem ró»niczkowym liniowym jednorodnym. Uwg 69 Zuw»my,»e równnie to jest równniem o zmiennych rozdzielonych. dy y + p(x) y = y = p(x) y y = p(x) ln y = p(x) = P (x) + C y = e P (x)+c = e P (x) e C = C P (x) e y = C e p(x) cªk ogóln równni liniowego jednorodnego. Przykªd 7 1. y y tg x =.. y y ctg x =. Równni ró»niczkowe liniowe niejednorodne Denicj 71 Niech p i q b d funkcjmi ci gªymi n przedzile i. równnie y + p(x) y = q(x) nzywmy równniem ró»niczkowym liniowym niejednorodnym. Metod uzmiennini stªej Zªó»my,»e funkcj P (x) y(x) = u(x) e jest cª ogóln równni y + p(x) y = q(x), gdzie P jest dowoln ustlon funkcj pierwotn funkcji p. Wyznczmy funckjk u: y = u (x) e P (x) + u(x) e P (x) ( P (x)) = u (x) e P (x) u(x) e P (x) p(x).

29 9 Podstwij c do równni ró»niczkowego otrzymujemy y + p(x) y = q(x) u (x) e P (x) u(x) p(x) e P (x) + p(x) u(x) e P (x) = q(x) u (x) e P (x) = q(x) u(x) = q(x) e P (x) = Q(x) + C, u (x) = q(x) e P (x) gdzie Q jest dowoln ustlon funkcj. Ztem funkcj y(x) = u(x) e P (x) P (x) = (Q(x) + C) e jest cªk ogóln równni niejednorodnego lub inczej: P (x) P (x) y(x) = u(x) e P (x) = (Q(x) + C) e P (x) = Q(x) e + }{{}} C e {{}. CSRNJ CORJ Przykªd 7 Rozwi» równnie 1. y y tg x = cos x.. y y ctg x = sin 3 x, y ( π ) = 1 Równni ró»niczkowe Bernoulliego Denicj 73 Niech p i q b d funkcjmi ci gªymi n przedzile I. Równnie y + p(x) y = q(x) y r, gdzie r jest dowoln stª, nzywmy równniem ró»niczkowym Bernoulliego. W celu rozwi zni równni Bernoulliego stosujemy podstwienie z(x) = y(x) 1 r. Przykªd 74 y + 1 x y = ln x x y.

30 3 RÓWNANIA RÓ NICZKOWE ZWYCZAJNE RZ DU PIERWSZEGO Równni ró»niczkowe Clirut Denicj 75 Niech p b dzie funkcj ró»niczkowln n przedzile I. Równnie y = xy + p(y ) nzywmy równniem ró»niczkowym Clirut. Po zró»niczkowniu obu stron równni otrzymujemy y = y + xy + f (y ) y, czyli St d Przykªd 76 = [x + f (y )] y. = x + f (y ) lub = y. y = xy 1 + (y ).

31 Równni ró»niczkowe zwyczjne rz du drugiego Denicj 77 Równnie postci F (x, y, y, y ) =, gdzie y = y(x) jest funkcj zmiennej x okre±lon w przedzile I, nzywmy równniem ró»niczkowym zwyczjnym rz du drugiego. Równni typu F (x, y, y ) = Stosujemy podstwienie y (x) = u(x). Przykªd 78 xy + y =. Równni typu F (y, y, y ) = Stosujemy podstwienie y (x) = u(y). Przykªd 79 yy = (y ). 31

32 3 RÓWNANIA RÓ NICZKOWE ZWYCZAJNE RZ DU DRUGIEGO Równni ró»niczkowe liniowe rz du drugiego Denicj 8 Niech p i q b d funkcjmi ci gªymi n przedzile I. Równnie postci y + p(x)y + q(x)y = (1) nzywmy równniem ró»niczkowym liniowym jednorodnym rz du drugiego. Denicj 81 Niech y 1 i y b d dwiem cªkmi szczególnymi równni jednorodnego (1) n przedzile I. Je»eli n tym przedzile wyzncznik y W (x) = 1 (x) y (x) y 1(x) y (x) jest niezerowy, to mówimy,»e cªki y 1 i y tworz ukªd podstwowy cªek równni jednorodnego (1). Twierdzenie 8 Je»eli cªki y 1 orz y tworz ukªd podstwowy cªek równi jednorodnego (1) n przedzile I, to y = Ay 1 (x) + By (x), gdzie A i B s dowolnymi stªymi, jest cªk ogóln równni jednorodnego. Denicj 83 Niech p, q i f b d funkcjmi ci gªymi n przedzile I. Równie postci y + p(x)y + q(x)y = f(x) () nzywmy równiem ró»niczkowym liniowym niejednorodnym rz du drugiego. Metod uzmiennini stªych Niech y = Ay 1 (x)+by (x) b dzie cªk ogóln równni jednorodnego odpowidj cego równniu niejednorodnemu (), gdzie y 1 i y tworz ukªd podstwowy cªek rónni jednorodnego. Dobierzemy funkcje A i B tk, by funkcj y(x) = A(x)y 1 (x) + B(x)y (x) stnowiª cªk ogóln równni niejednorodnego (). Mmy y = A y 1 + Ay 1 + B y + By.

33 33 Zªó»my dodtkowo,»e A y 1 + B y =. (3) Wówczs y = Ay 1 + By orz y = A y 1 + Ay 1 + B y + By. Podstwij c y, y, y do równni () mmy A y 1 + Ay 1 + B y + By + p [Ay 1 + By ] + q [Ay 1 + By ] = f A [y 1 + py 1 + qy 1 ] + B [y + py + qy ] + A y 1 + B y = f. Poniew» y 1 i y tworz ukªd podstwowy cªek równni jednorodnego, zchodzi y 1 + py 1 + qy 1 =, y + py + qy =. Ztem z równni niejednorodnego otrzymujemy równnie A y 1 + B y = f. Bior c pod uwg zªo»enie (3), otrzymujemy ukªd równ«a (x) y 1 (x) + B (x) y (x) =, A (x) y 1(x) + B (x) y (x) = f(x). Jest to ukªd równ«liniowych ze wzgl du n A i B. Jego wyzncznik gªówny y 1 y y 1y jest ró»ny od, mo»emy ztem wyznczy A i b, z kt ych po scªkowniu otrzymmy A i B. W dlszej cz ±ci wykªdu korzyst b dziemy równie» z nst puj cego twierdzeni. Twierdzenie 84 Je»eli funkcj z(x) = u(x) + iv(x) (zmiennej rzeczywistej x o wrto±cich zespolonych) jest cªk szczególn równni (1), to u i v s cªkmi szczególnymi tego równni.

34 34 RÓWNANIA RÓ NICZKOWE ZWYCZAJNE RZ DU DRUGIEGO Dowód.... Denicj 85 Równie postci y + py + qy =, (4) gdzie p, q R, nzywmy równniem ró»niczkowym liniowym jednorodnym rz du drugiego o stªych wspóªczynnikch. Niech y(x) = e rx b dzie cªk szczególn równni (4). Wówczs y (x) = re rx orz y (x) = r e rx. Podstwij c do równni mmy r e rx + pre rx + qe rx = e rx [r + pr + q] = r + pr + q =. Równnie r + pr + q = nzywmy równniem chrkterystycznym równni (4). Przypdek 1. = p 4q > Równnie chrkterystyczne m dw ró»ne pierwistki rzeczywiste r 1 i r. St d y 1 (x) = e r1x orz y (x) = e rx s cªkmi szczególnymi równni jednorodnego (4). Poniew» y W (x) = 1 (x) y (x) y 1(x) y (x) = e r1x e rx r 1 e r1x r e rx = (r r 1 ) e (r1+r) x, cªki te stnowi ukªd podstwowy cªek równni (4). Ztem n podstwie Twierdzeni?? y(x) = Ae r1x + Be rx jest cªk ogóln równni (4). Przypdek. = p 4q = Przypdek 3. = p 4q <

35 Funkcje wielu zmiennych Denicj 86 Przestrzeni dwuwymirow (pªszczyzn ) nzywmy zbiór R = {(x, y) : x R, y R}. Denicj 87 nzywmy zbiór 1. Otoczeniem o promieniu r punktu P (, b) n pªszczy¹nie O(P ) = {(x, y) : (x ) + (y b) < r}.. S siedztwem o promieniu r punktu P (, b) n pªszczy¹nie nzywmy zbiór S(P ) = O(P ) \ {P } Denicj 88 Funkcj f dwóch zmiennych okre±lon n zbiorze A R o wrto±cich w R nzywmy jednoznczne przyporz dkownie k»demu elementowi zbioru A liczby rzeczywistej. Funkcj tk oznczmy przez f : A R, z = f(x, y), gdzie (x, y) A. Wrto± funkcji f w punkcie (x, y) oznczmy przez f(x, y). Zbiór A jest dziedzin funkcji i oznczmy go przez D(f). Przykªd f : R R R, dl y x f(x, y) = 1(y x) dl y > x 35

36 36 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. g : R R {,, 1}, 1 gdy x i y s wymierne g(x, y) = gdy x i y s niewymierne gdy jedn z liczb jest wymiern, drug niewymiern 3. h : R R R, h(x, y) = y(x 1) Uwg 9 Je»eli funkcj dwóch zmiennych jest okre±lon z pomoc jednego wzoru, np. f(x, y) = xy, to rozumiemy to w ten sposób,»e funkcj t jest okre±lon w tym zbiorze, w którym wzór m sens (tzw. dziedzinie nturlnej). W tym przypdku mmy D(f) = {(x, y) R : (x i y ) lub (x i y )}. Denicj 91 Wykresem funkcji dwóch zmiennych f nzywmy zbiór tych punktów w przestrzeni R 3, dl których z = f(x, y), {(x, y, z) : (x, y) D(f), z = f(x, y)}. Uwg 9 N ogóª wykresem funkcji dwóch zmiennych jest pewn powierzchni w przestrzeni trójwymirowej. Denicj 93 Funkcj dwóch zmiennych, zdeniown w pewnym s siedztwie punktu (x, y ), m w punkcie (x, y ) grnic z, je»eli dl k»dego (dowolnie mªego) ɛ > istnieje δ >, tkie»e dl k»dego punktu (x, y) ró»nego od (x, y ) i speªnij cego nierówno± (x x ) + (y y ) < δ zchodzi f(x, y) z < ɛ. Uwg 94 Funkcj nie musi by zdeniown w punkcie (x, y ). Przykªd Rozptrzmy funkcj x 3 +y 3 x f(x, y) = +y, (x, y) (, ),, (x, y) = (, ).

37 37 Jej grnic w punkcie (, ) jest. Dl dowolnego ɛ > i (x, y) (, ) mmy f(x, y) < ɛ x 3 + y 3 x + y < ɛ x 3 + y 3 < ɛ (x + y ) = x 3 < ɛ x y 3 < ɛ y x < ɛ y < ɛ = x + y < ɛ. Ztem je±li wybierzemy δ = ɛ, speªnione s wrunki denicji grnicy.. Rozptrzmy funkcj x y x f(x, y) = +y, (x, y) (, ),, (x, y) = (, ). Nie m on grnicy w punkcie (, ). Dl k»dego punktu (x, y) = (, ), mmy f(x, y) =, ntomist dl k»dego punktu (x, y) = (, ), mmy f(x, y) = 1. A ztem dl k»dego δ > w kole o promieniu δ i ±rodku (, ) funkcj przyjmuje wrto±ci 1 orz. Nie istnieje wi c grnic w punkcie (, ), gdy» nie jest prwd,»e ɛ > : f(x, y) < ɛ. Denicj 96 Ci giem punktów n pªszczy¹nie nzywmy odwzorownie P : N R. Wrto± tego odwzorowni dl liczby nturlnej n nzywmy ntym wyrzem ci gu i oznczmy przez P n = (x n, y n ). Sm ci g oznczmy symbolem (P n ) lub ((x n, y n )). Denicj 97 Ci g (P n ) = ((x n, y n )) jest zbie»ny do punktu P = (x, y ), je»eli Zpisujemy to jko lim x n = x orz lim y n = y. n n Przykªd 98 lim P n = P lub lim (x n, y n ) = (x, y ). n n 1. Ci g (1, 1 + ()n n ) jest zbie»ny do punktu (1, 1).. Ci g (1, 1 + () n ) jest rozbie»ny.

38 38 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Denicj 99 Niech (x, y ) R orz niech funkcj f b dzie okre±lon dl pewnego s siedztw S(x, y ). Liczb z jest grnic wª±ciw funkcji f w punkcie (x, y ), je»eli dl k»dego ((x n, y n )) S(x, y ) zchodzi lim (x n, y n ) = (x, y ) = n lim f(x n, y n ) = z. n Oznczmy to jko lim f(x, y) = z. (x,y) (x,y ) Uwg 1 Denicj t jest równow»n Denicji 93. Przykªd Rozptrzmy funkcj x 3 +y 3 x f(x, y) = +y, (x, y) (, ),, (x, y) = (, ). Jej grnic w punkcie (, ) jest. Niech ((x n, y n )) b dzie dowolnym ci giem zbie»nym do (, ). Wówczs x 3 n x n yn 3 yn = x3 n x n + y n y 3 n x n + y n = x3 n + yn 3 x n + yn f(x n, y n ).. Rozptrzmy funkcj x y x f(x, y) = +y, (x, y) (, ),, (x, y) = (, ). Nie m on grnicy w punkcie (, ). We¹my ci g (x n, y n ) = ( 1 n, 1 n), zbie»ny do (, ). Mmy ( 1 lim f n n, 1 ) = lim n =. n Ntomist dl ci gu (x n, y n ) = ( 1 n, ) zchodzi ( ) 1 lim f n n, = lim 1 = 1. n

39 39 Denicj 1 Funkcj dwóch zmiennych jest ci gª w punkcie (x, y ), je»eli jest w tym punkcie okre±lon, posid grnic orz grnic funkcji jest równ wrto±ci funkcji w tym punkcie. Denicj 13 Funkcj nzywmy ci gª w obszrze M, je»eli jest ci gª w k»dym punkcie tego obszru. Twierdzenie 14 Sum, ró»nic, iloczyn, ilorz i zªo»enie dwóch funkcji ci gªych s funkcjmi ci gªymi w swoich dziedzinch. Uwg 15 Ilorz dwóch funkcji nie jest okre±lony dl tych rgumentów, dl których dzielnik jest równy zero. Pochodne cz stkowe Denicj Pochodn cz stkow (rz du pierwszego) wzgl dem pierwszej zmiennej funkcji dwóch zmiennych w punkcie (x, y ) nzywmy grnic (je±li istnieje): lim x f(x + x, y ) f(x, y ). x Oznczmy j przez f x (x, y ), f x (x, y ) lub f x(x, y ).. Pochodn cz stkow wzgl dem drugiej zmiennej funkcji dwóch zmiennych w punkcie (x, y ) nzywmy grnic (je±li istnieje): lim y f(x, y + y) f(x, y ). y Oznczmy j przez f y (x, y ), f y (x, y ) lub f y(x, y ). Uwg 17 Prktycznie pochodn cz stkow (rz du pierwszego) wzgl dem zmiennej x obliczmy tk, jk zwykª pochodn funkcji jednej zmiennej, gdzie y jest prmetrem. Podobnie, pochodn wzgl dem y obliczmy tk, jk pochodn funkcji jednej zmiennej, gdzie x jest prmetrem. Uwg 18 Funkcj nie musi by ci gª, by mie pochodne cz stkowe w dnym punkcie. Funkcj ci gª nie musi mie pochodnych cz stkowych.

40 4 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Przykªd Funkcj dn we wspóªrz dnych biegunowych (x + y = r, cos φ = x/r, sin φ = y/r) wzorem 1 r sin φ, r f(r, φ) =, r = nie m w r = grnicy, poniew» dl φ = π 4 mmy lim (r, f π ) 1 = lim r 4 r r sin π = lim 1 r r =. A ztem funkcj t nie jest ci gª w r =. Policzmy pochodn cz stkow wzgl dem x. Dl y = mmy φ = lub φ = π i st d sin φ =. Ztem f(x, ) = orz f x (, ) =. Podobnie dl pochodnej po y.. Funkcj f(x, y) = y jest ci gª w R. f x (1, ) =, ntomist pochodn cz stkow wzgl dem y nie istnieje w tym punkcie. Uwg 11 W tym wykªdzie nie b dziemy mówi o ró»niczkowlno±ci funkcji dwóch zmiennych. Jest to zgdnienie brdziej ogólne od pochodnych cz stkowych i podobnie jk w przypdku funkcji jednej zmiennej ró»niczkowlno± wymg ci gªo±ci. Twierdzenie 111 Pochodne cz stkowe wzgl dem pierwszej zmiennej sumy, ró»nicy, iloczynu i ilorzu funkcji oblicz si nst puj co: (f ± g) x (f g) x (f/g) x (x, y ) = (x, y ) = f x (x, y ) ± g x (x, y ), (x, y ) = f x (x, y ) g(x, y ) + f(x, y ) g f x (x, y ) g(x, y ) f(x, y ) g g (x, y ) x (x, y ), x (x, y ). Podobnie oblicz si pochodne cz stkowe wzgl dem drugiej zmiennej. Denicj 11 Je»eli funkcj f m pochodne cz stkowe pierwszego rz du w k»dym punkcie zbioru otwrtego D R, to funkcje (x, y) f f (x, y) orz (x, y) (x, y), x y gdzie (x, y) D, nzywmy pochodnymi cz stkowymi pierwszego rz du funkcji f n zbiorze D i oznczmy odpowiednio f x, f y lub f x, f y, lub f x, f y.

41 41 Przykªd f(x, y) = x y 3 x sin y, f x (x, y) = xy3 sin y, f y (x, y) = 3x y x cos y.. g(x, y) = x 5 y 1 x 3 sin y + y e x, g x (x, y) = 5x4 y 1 3x sin y+y e x, g y (x, y) = 1x5 y 9 x 3 cos y+ye x. Uwg 114 Wszystkie wy»ej wymienione poj ci mo»n ªtwo uogólni n przypdek funkcji n zmiennych, tzn. tkiej, której dziedzin jest podzbiór zbioru R n. Rónie» wykres tkiej funkcji istnieje jko obiekt geometryczny, nie d si go jednk w ªtwy sposób przedstwi grficznie. W szczególno±ci istniej pochodne cz stkowe wzgl dem poszczególnych zmiennych. Przykªd f(x, y, z) = x y 3 z 4 y sin z, f x (x, y, z) = xy3 z 4,. g(x, y, z) = x 5 y 1 z z sin y + y e z. g x (x, y, z) = 5x4 y 1 z, f y (x, y, z) = 3x y z 4 sin z, f z (x, y, z) = 4x y 3 z 3 y cos z. g y (x, y, z) = 1x5 y 9 z z cos y + ye z, g z (x, y, z) = x5 y 1 sin y + y e z. Denicj 116 Pochodne cz stkowe pierwszego rz du pochodnych cz stkowych f x orz f y nzywmy pochodnymi drugiego rz du funkcji f. Oznczmy f xx = f xx = f x = ( ) f, x x f xy = f xy = f x y = x f yx = f yx = f ( f y y x = ( f y x ( f y f yy = f yy = f y = y Podobnie (jko pochodne cz stkowe pochodnych cz stkowych) deniujemy pochodne cz stkowe drugiego rz du w punkcie. ), ), ).

42 4 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Przykªd f(x, y) = x y 3 x sin y, ( ) f f (x, y) = (x, y) = x x x x (xy3 sin y) = y 3 f (x, y) = x y x f y x (x, y) = y f y (x, y) = y ( f ) (x, y) y ) ( f (x, y) x ( f (x, y) y = x (3x y x cos y) = 6xy cos y = y (xy3 sin y) = 6xy cos y ) = y (3x y x cos y) = 6x y + x sin y. g(x, y) = x 5 y 1 x 3 sin y + y e x, ( ) g g (x, y) = (x, y) = x x x x (5x4 y 1 3x sin y + y e x ) g (x, y) = x y x = x 3 y 1 6x sin y + y e x ( ) g (x, y) y = x (1x5 y 9 x 3 cos y + ye x ) = 5x 4 y 9 3x cos y + ye x g y x (x, y) = ( ) g (x, y) = y x y (5x4 y 1 3x sin y + y e x ) = 5x 4 y 9 3x cos y + ye x g y (x, y) = ( ) g (x, y) = y y y (1x5 y 9 x 3 cos y + ye x ) = 9x 5 y 8 + x 3 sin y + e x Denicj 118 Pochodne cz stkowe drugiego rz du wzgl dem co njmniej dwóch ró»nych zmiennych (tzn. wzgl dem zrówno x jk i y w przypdku funkcji dwóch zmiennych) nzywmy pochodnymi cz stkowymi miesznymi. Pochodne cz stkowe drugiego rz du wzgl dem jednej zmiennej nzywmy pochodnymi cz stkowymi czystymi. Twierdzenie 119 (Schwrz) Niech funkcj f b dzie zdeniown n obszrze M zwierj cym punkt (x, y ). Je±li funkcje f xy orz f yx s ci gªe w (x, y ) i istniej w pewnym otoczeniu tego punktu, wówczs f xy (x, y ) = f yx (x, y ).

43 43 Przykªd 1 Równo± pochodnych miesznych wid n przykªdzie 117. Trzeb pmi t,»e pochodne drugiego rz du musz by ci gªe. Przykªd 11 Funkcj xy sin(x y ) x f(x, y) = +y dl (x, y) (, ) dl (x, y) = (, ) nie speªni zªo»e«twierdzeni Schwrz.

44 44 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

45 Ekstrem loklne funkcji dwóch zmiennych Denicj 1 1. Funkcj dwóch zmiennych f m w punkcie (x, y ) minimum loklne, je»eli istnieje otoczenie O(x, y ) tkie,»e dl dowolnego (x, y) O(x, y ) zchodzi f(x, y ) f(x, y).. Funkcj dwóch zmiennych f m w punkcie (x, y ) minimum loklne wª±ciwe, je»eli istnieje s siedztwo S(x, y ) tkie,»e dl dowolnego (x, y) S(x, y ) zchodzi f(x, y ) < f(x, y). 3. Funkcj dwóch zmiennych f m w punkcie (x, y ) mksimum loklne, je»eli istnieje otoczenie O(x, y ) tkie,»e dl dowolnego (x, y) O(x, y ) zchodzi f(x, y ) f(x, y). 4. Funkcj dwóch zmiennych f m w punkcie (x, y ) mksimum loklne wª±ciwe, je»eli istnieje s siedztwo S(x, y ) tkie,»e dl dowolnego (x, y) S(x, y ) zchodzi f(x, y ) > f(x, y). 5. Minim i mksim loklne nzywmy ekstremmi loklnymi. 45

46 46 EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Twierdzenie 13 (Wrunek konieczny istnieni ekstremum loklnego) Je»eli funkcj dwóch zmiennych f m w punkcie (x, y ) ekstremum i m w tym punkcie pochodne cz stkowe pierwszego rz du, to f x(x, y ) = f y(x, y ) =. Uwg 14 Wniosek: Funkcj mo»e mie ekstrem tylko w punktch krytycznych, tzn, tkich, w których wszystkie jej pochodne pierwszego rz du s równe zero, lbo w punktch, w których cho jedn z nich nie istnieje. Denicj 15 Punkt, w którym wszystkie pochodne cz stkowe pewnej funkcji wielu zmiennych zeruj si, nzywmy punktem stcjonrnym. Twierdzenie 16 (Wrunek dostteczny istnieni ekstremum loklnego) 1. Je»eli funkcj dwóch zmiennych f m w pewnym otoczeniu punktu (x, y ) ci gªe pochodne cz stkowe drugiego rz du, punkt (x, y ) jest punktem stcjonrnym orz W (x, y ) = f xx(x, y ) f xy(x, y ) f yx(x, y ) f yy(x, y ) = f xx(x, y ) f yy(x, y ) f xy(x, y ) f yx(x, y ) >, to f m w punkcie (x, y ) ekstremum loklne. Je±li f xx(x, y ) >, jest to minimum loklne, je±li f xx(x, y ) <, jest to mksimum loklne.. Je±li W (x, y ) <, to funkcj f nie m w (x, y ) ekstremum loklnego. Uwg 17 Ze wzgle du n ci gªo± drugich pochodnych mmy zgodnie z twierdzeniem Schwrz: W (x, y ) = f xx(x, y ) f yy(x, y ) ( f xy(x, y ) ) Uwg 18 Je±li W (x, y ) =, to powy»sze kryterium nie rozstrzyg, czy funkcj f m w punkcie (x, y ) ekstremum loklne.

47 47 Przykªd 19 f(x, y) = x 3 + 3xy 15x 1y, f x(x, y) = 3x + 3y 15, f y(x, y) = 6xy 1. Poszukjmy punktów stcjonrnych: f x(x, y) = 3x + 3y 15 = f y(x, y) = 6xy 1 = y 4 y + y 5 = y 4 5y + 4 = (y 1)(y 4) = x = y y + y 5 = (y 1)(y + 1)(y )(y + ) = y = 1 y = y = y = f x(x, y) = x = x = x = 1 x = f y(x, y) = y = 1 y = y = y = A ztem s cztery punkty stcjonrne: (1, ), (, ), (, 1), (, ). Pochodne cz stkowe drugiego rz du funkcji f wynosz st d f xx(x, y) = 6x, f xy(x, y) = 6y, f yx(x, y) = 6y, f yy(x, y) = 6x. Sprwd¹my znk wyzncznik W (x, y ) dl punktów stcjonrnych: f W (x, y) = xx(x, y) f xy(x, y) f yx(x, y) f yy(x, y) = 6x 6y 6y 6x = 36(x y ), W (1, ) <, W (, ) <, W (, 1) >, W (, ) >. Ztem funkcj f m w punktch (, 1) i (, ) ekstrem loklne. Poniew» f xx(, 1) = 1 >, f xx(, ) = <, czyli funkcj f m minimum loklne w punkcie (, 1) (f min (, 1) = = 8) orz mksimum loklne w punkcie (, ) (f mx (, ) = = 8).

48 48 EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

49 Cªki wielokrotne Cªk podwójn w prostok cie Zªó»my,»e funkcj f : R R jest okre±lon w obszrze zwierj cym prostok t P = [, b] [c, d]. Prostok t P o polu P dzielimy n prostok ty p 1, p,..., p n o polch Wówczs Wprowd¹my oznczeni: p 1, p,..., p n. n P = p j. j=1 M, m kresy (górny i dolny) funkcji f w P, M j, m j kresy (górny i dolny) funkcji f w p j, s n = n j=1 m j p j, S n = n j=1 M j p j, σ n = n j=1 f(x j, y j ) p j, gdzie (x j, y j ) p j. Prwdziwe jest oszcownie: Oznczmy przez δ (j) n dªugo± przek tnej prostok t p j w podzile P n n prostok tów. m P s n σ n S n M P. (5) 49

50 5 CAŠKI WIELOKROTNE Denicj 13 Wielko± δ n = mx 1 j n δ(j) n nzyw si ±rednic tkiego podziªu. Ci g podziªów jest normlny, gdy δ n dl n. Denicj 131 Je±li σ n σ dl dowolnego ci gu podziªów normlnych i dowolnego wyboru punktów (x j, y j ) p j, to cªk podwójn Riemnn po prostok - cie P jest okre±lon wzorem f(x, y) dy = σ. (6) Funkcj f jest wtedy cªkowln n P (w sensie Riemnn). P Uwg 13 Je±li istnieje cªk (6), to s n σ, S n σ; s n i S n s przybli»enimi cªki (6). Twierdzenie Funkcj f ci gª n domkni tym prostok cie P jest cªkowln.. Funkcj f ogrniczon n prostok cie P jest cªkowln, je»eli wszystkie jej punkty nieci gªo±ci le» n sko«czonej liczbie krzywych postci y = y(x) lub x = x(y). 3. Cªk jest opertorem liniowym, to znczy P (f + bg) dy = f dy + b g dy, gdzie, b R. P P Z konstrukcji cªki Riemnn wynik jej interpretcj geometryczn: je±li f(x, y) > dl (x, y) P, to f(x, y) dy jest obj to±ci bryªy pod wykre- P sem funkcji f nd prostok tem P.

51 51 Denicj 134 Niech obszr ogrniczony D, b d cy dziedzin funkcji f, b dzie zwrty w prostok cie P orz niech f(x, y) dl (x, y) D, f D (x, y) = dl (x, y) / D. Wtedy Cªki iterowne Niech D f(x, y) dy := F (y) = G(x) = b d c P f D (x, y) dy. f(x, y), f(x, y) dy. Cªki iterowne okre±lmy wzormi ( d ) b f(x, y) dy = c b ( ) d f(x, y) dy = c d c b F (y) dy, (7) G(x). (8) Przykªd 135 Niech f(x, y) = x y + w P = [, 1] [, ]. Mmy 1 f(x, y) = Anlogicznie 1 ( = 1 1 (x y+) = [ x 3 ] 1 y 3 + x = y y ( ) = y 3 +4, ( ) [ ] y y dy = 3 + 4y = = ) 1 f(x, y) dy = ( ( x + 4 ) [ x 3 = 3 + 4x ( x y + ) ) 1 dy = ] 1 [ x y = ( 4) = ] + y, Twierdzenie 136 Je±li funkcj f jest ci gª w P, to cªki iterowne okre±lone wzormi (7) i (8) s sobie równe.

52 5 CAŠKI WIELOKROTNE Denicj Obszr regulrny to tki obszr, którego brzeg mo»n przedstwi w postci sko«czonej liczby krzywych y = y(x) lub x = x(y).. Obszr normlny D wzgl dem osi OX jest okre±lony wrunkmi x b φ(x) y ψ(x), gdzie φ i ψ s funkcjmi ci gªymi okre±lonymi n [, b] orz φ(x) < ψ(x), czyli D = { (x, y) R : x b, φ(x) y ψ(x) }. 3. Anlogicznie okre±l si obszr obszr normlny wzgl dem osi OY. Uwg 138 Obszr regulrny jest sko«czon sum obszrów normlnych wzgl dem osi OX i osi OY. Twierdzenie Je±li funkcj f jest ogrniczon i ci gª w obszrze normlnym D (wzgl dem osi OX), to mo»n j zmieni n cªk iterown ( b ) ψ(x) f(x, y) dy = f(x, y) dy. D φ(x). Je±li funkcj f jest ogrniczon i ci gª w obszrze normlnym D (wzgl dem osi OY ), to mo»n j zmieni n cªk iterown ( d ) ψ(y) f(x, y) dy = f(x, y) dy. D Przykªd 14 Niech f(x, y) = x + y, ntomist D niech b dzie trójk tem c φ(y) ogrniczonym osimi ukªdu i prost y = 1 x. 1 ( 1 x ) 1 ] 1 x (x + y) dy = [xy + y = = 1 1 (1 x ) = 1 ] 1 [x x3 = (x(1 x) + ) (1 x) Wrto± tkiej cªki mo»n równie» znle¹, korzystj c z interpretcji geometrycznej. Wystrczy zuw»y,»e cªk tk to obj to± ostrosªup, którego podstw jest prostok tem (prstopdªym do pªszczyzny OXY ) o polu, wysoko± h jest równ /.

53 53 Uwg 141 Je»eli obszr nie jest normlny, to dzielimy go n obszry normlne i dodjemy cªki. Przykªd 14 Zmie«kolejno± cªkowni: ( ) x x f(x, y) dy. Rozwi znie. Obszr D jest trójk tem ogrnicznym prostymi y = x, x = x, x =. Przy zminie kolejno±ci cªkowni dzielimy go prost y = n dw podobszry normlne wzgl dem osi OY. Wówczs ( x ) f(x, y) dy = x ( ) y f(x, y) dy + y/ Zmin zmiennych w cªce podwójnej 4 ( ) f(x, y) dy. y/ Denicj 143 Niech dn b dzie funkcj wektorow T : (u, v) (x, y), gdzie (u, v), obszr otwrty i spójny. Zªó»my,»e funkcj T jest ró»niczkowln w. Jkobinem tkiego przeksztªceni nzywmy wrto± x x (x, y) u v J = (u, v) := = x u y v y u x v. y u y v Twierdzenie 144 Je±li J(u, v) dl k»dego (u, v), to T przeksztªc obszr regulrny w obszr regulrny. Twierdzenie 145 Niech 1. b dzie obszrem normlnym,. T b dzie przeksztªceniem klsy C 1 w obszrze pokrywj cym, 3. T : D b dzie ró»nowrto±ciowe (nie musi by ró»nowrto±ciowe n brzegu ), 4. J(u, v) w, 5. f : D R b dzie ci gª n D (ztem równie» ogrniczon). Wówczs zchodzi f(x, y) dy = D f (x(u, v), y(u, v)) J(u, v) du dv.

54 54 CAŠKI WIELOKROTNE Przykªd 146 Trnsformcj biegunow: (x, y) = T (r, φ) = (r cos φ, r sin φ), r [, ), φ [, π). J(r, φ) = (r cos φ) r (r sin φ) r (r cos φ) φ (r sin φ) φ = cos φ sin φ r sin φ r cos φ = cos φ r cos φ ( r sin φ) sin φ = r(cos φ + sin φ) = r dl r. Przykªd 147 Oblicz obj to± bryªy ogrniczonej wlcem x + y = z orz pªszczyzn z =. Rozwi znie. V = x + y dy, gdzie x, D : x y x. D Po przej±ciu do ukªdu biegunowego x = r cos φ, y = r sin φ mmy V = r cos φ + r sin φ r dr dφ, r, gdzie :. φ π V = r (cos φ + sin φ) r dr dφ = r r dr dφ r = = 3 3 π r dr dφ = π dφ = 3 3 φ π = π 3 r dr dφ = π [ r 3 3 ] dφ