METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład

Transkrypt

1 METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wkłd Wkłd Sprw formlne Cz. I. Przpomnienie elementrnch zgdnień z mtemtki Cz. II. Rozwiązwnie nlitczne równń lgebricznch

2 METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wkłd Sprw formlne: Form: Wkłd w postci prezentcji komputerowch Wmir: 4 h/semestr ( h/co tgodnie) Czs i miejsce: ŚR N.5. s. 7 C-6 Wkłd bez przerw (do godz..45) Przeznczenie: studenci I roku Studium mgisterskie (II go stopni) n Wdzile chemicznm i kierunku Inżnieri chemiczn i procesow orz inni studenci Politechniki Wrocłwskiej

3 METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wkłd Sprw formlne cd.: Obecność: nieobowiązkow (sprwdzn) Obecność n wkłdzie będzie premiown dodtkowmi punktmi prz zliczeniu: brk nieobecności pkt., jedn nieobecność pkt., dwie nieobecności pkt. Zliczenie: Test wielokrotnego wboru n osttnich zjęcich czerwc 6 r.

4 METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wkłd Sprw formlne cd.: Kontkt: p. 5 C-6, tel emil: Antoni.Koziol@pwr.edu.pl Konsultcje: Środ godz. 9 Piątek godz. Informcje internetowe: 4

5 UWAGI OGÓLNE

6 Struktur inżnierii chemicznej

7 Uwgi ogólne Inżnieri chemiczn jest nuką dosć mocno zmtemtzowną tzn. mtemtk odgrw w niej brdzo wżną rolę. Zsdniczo mtemtkę Pństwo poznli n kursch ściśle mtemtcznch (nliz mtemtczn i lgebr liniow). W rmch nszego kursu będą Pństwo poznwli te element mtemtki, które są szczególnie wżne dl inżnierii, które nie zwsze są odpowiednio eksponowne przez mtemtków.

8 Temtk wkłdów z Metod mtemtcznch i sttstcznch w inżnierii chemicznej Przpomnienie elementrnch widomości z lgebr liczb, funkcje i równni Anlitczne metod rozwiązwni równń lgebricznch Numerczne (przbliżone) metod rozwiązwni równń liczbowch Podstwowe pojęci nliz pól sklrnch i wektorowch Mtemtczne oprcownie wników doświdczlnch Podstwowe pojęci lgebr i nliz zespolonej Trnsformt Lplce Funkcje specjlne

9 LITERATURA. A. Kozioł: Mterił pomocnicze do wkłdu. Internet.. T. Trczk, M. Mączński: Mtemtk stosown w inżnierii chemicznej. WNT Wrszw 97.. Z. Kosm: Metod numerczne dl zstosowń inżnierskich. Wdwnictwo Politechniki Rdomskiej, Rdom M. Huettner, M. Szembek, R. Krzwd: Metod numerczne w tpowch problemch inżnierii procesowej. Oficn Wdwnicz Polit. Wrsz. Wrszw 997.

10 LITERATURA 5. E. Kącki, L. Siewierski: Wbrne dził mtemtki wższej z ćwiczenimi. PWN, Wrszw E. Kreszig: Advnced Engineering Mthemtics. J. Wile, New York K. A. Stroud: Advnced Engineering Mthemtics. Industril Press, New York.

11 PRZYPOMNIENIE PODSTAWOWYCH POJĘĆ MATEMATYCZNYCH

12 Element lgebr Jednm z podstwowch pojęć w mtemtce jest pojęcie liczb. Liczb tworzą pewne sstem (zbior) nzwne przestrzenimi lgebricznmi. W przestrzenich lgebricznch kluczową rolę odgrwją różne opercje n elementch nzwne dziłnimi. Przpomnim terz njwżniejsze rodzje liczb i związnch z nimi przestrzeni lgebricznch.. Liczb nturlne, N={,,,.}. W zbiorze liczb nturlnch możliwe jest tlko dodwnie i mnożenie.

13 Element lgebr. Liczb cłkowite, I={ -,-,,, }. W zbiorze liczb cłkowitch możliwe jest dodwnie i odejmownie orz mnożenie.. Liczb wmierne, w W<=>w=i /i, i, i I, i. Kżdą liczbę wmierną możn przedstwić w postć ułmk dwu liczb cłkowitch. W zbiorze liczb wmiernch możliwe jest dodwnie, odejmownie orz mnożenie i dzielenie.

14 Element lgebr cd. 4. Liczb rzeczwiste, r R. Zbiór liczb rzeczwistch odgrw podstwową rolę zrówno w lgebrze jk i nlizie mtemtcznej. Dokłdn definicj liczb rzeczwistch jest dosć trudn i nie będę jej tutj podwł. W zbiorze liczb rzeczwistch możliwe jest dodwnie i odejmownie, mnożenie i dzielenie ( z wjątkiem zer). Ze względu n te dziłni zbiór liczb rzeczwistch jest tzw. ciłem lgebricznm. Z pewnmi ogrniczenimi w zbiorze liczb rzeczwistch możn definiowć inne opercje lgebriczne tkie jk: potęgownie i pierwistkownie. Z pomocą liczb rzeczwistch opisujem wielkości fizczne nzwne sklrmi.

15 Element lgebr cd. 5. Liczb zespolone, z C z=(,), R (,)=i= (-) jednostk urojon. Liczb zespolone odgrwją wżną rolę w różnch modelch mtemtcznch stosownch w inżnierii. Zbiór liczb zespolonch, podobnie jk zbiór liczb rzeczwistch jest ciłem lgebricznm, w którm możliwe są dodwnie i odejmownie orz mnożenie i dzielenie. Liczb zespolone mją trdcjną interpretcję lgebriczną, w której zpiswne są one jko sum dwu części: rzeczwistej i urojonej z i

16 Element lgebr cd. Oprócz lgebricznej istnieje też geometrczn interpretcj liczb zespolonch, w której liczb te są utożsmine z punktmi n płszczźnie: z=+i

17 Funkcje Funkcją nzwm jednoznczne przporządkownie pewnego elementu Y elementowi D. Element orz njczęściej są liczbmi. Przporządkownie to zpisujem w postci: f () Zbiór Y nzwm zbiorem wrtości funkcji, ntomist zbiór D jest to tzw. dziedzin funkcji. Zbior D i Y mogą bć podzbiormi różnego rodzju przestrzeni lgebricznch. Element zbioru D nzwm zmienną niezleżną.

18 Funkcje f () D Y

19 Klsfikcj funkcji W zleżności od tpu zbiorów D i Y rozróżnim funkcje:. Funkcje rzeczwiste gd zrówno zbior D jk i Y są zbiormi liczb rzeczwistch. Są to njczęściej stosowne rodzje funkcji.. Funkcje zespolone gd zbior D i Y są zbiormi liczb zespolonch.. Funkcje wektorowe gd zbior D i Y są zbiormi wektorowmi. Czsmi użwne są funkcje, w którch zbior D i Y są różnego tpu. Przkłdowo jeżeli D jest zbiorem liczb rzeczwistch Y zbiorem liczb zespolonch mówim o funkcjch zespolonch zmiennej rzeczwistej. Jeżeli ntomist D jest zbiorem liczb zespolonch Y zbiorem liczb rzeczwistch, mm do cznieni z funkcjmi rzeczwistmi zmiennej zespolonej.

20 Funkcje elementrne Z pośród wielu funkcji rzeczwistch wróżnim tzw. funkcje elementrne, do którch nleżą:. Funkcje lgebriczne. Są to funkcje zpisne z pomocą wzoru, w którm wstępują tlko opertor lgebriczne tzn. dodwnie, odejmownie, mnożenie, dzielenie orz potęgownie cłkowite. Przkłd funkcji lgebricznch: 5 5 4

21 Funkcje elementrne cd.. Funkcje potęgowe. Są to funkcje, w którch zmienn niezleżn wstępuje jko podstw podniesion do potęgi α (α dowoln liczb nturln, cłkowit, wmiern lub rzeczwist).

22 Funkcje elementrne cd.. Funkcje wkłdnicze. Są to funkcje, w którch zmienn niezleżn wstępuje w wkłdniku potęgi jkiegoś wrżeni. Dosć często podstwą tkiej funkcji jest niewmiern liczb e. W tkim przpdku funkcję nzwm ekspotencjlną i oznczm ją z pomocą smbolu: ep( ) e

23 Funkcje elementrne cd. 4. Funkcje logrtmiczne. Są to funkcje odwrotne do funkcji wkłdniczch. Zmienn niezleżn wstępuje tutj pod znkiem logrtmu, njczęściej o podstwie e. W tkim przpdku mm do cznieni z tzw. logrtmem nturlnm. Njprostsz funkcj logrtmiczn m zpis: ln() e

24 Funkcje elementrne cd. 5. Funkcje trgonometrczne. Są to funkcje zdefiniowne z pomocą odpowiednich stosunków długości boków trójkąt prostokątnego. Zmienną niezleżną w tch funkcjch jest kąt w trójkącie wrżon w mierze łukowej. Njczęściej stosowne są podstwowe 4 funkcje trgonometrczne: sin( ) cos( ) tn( ) cot( )

25 Funkcje elementrne cd. 6. Funkcje hiperboliczne. Są to funkcje zdefiniowne z pomocą pewnch kombincji funkcji ekspotencjlnch. e e e e e e e e e e e e ) sinh( ) cosh( ) coth( ) cosh( ) sinh( ) tnh( ) cosh( ) sinh(

26 Funkcje elementrne cd. Wkres funkcji hiperbolicznch:

27 Wbrne włsności funkcji Niektóre funkcje spełniją pewne szczególne włsności pomocne w ich zstosowniu. Njwżniejsze są nstępujące włsności:. Przstość. Funkcj f() jest przst jeżeli spełni wrunek: f ( ) f ( ) Przste są np. funkcje:, cos(), cosh(). Wkres funkcji przstch są smetrczne względem osi.. Nieprzstość. Funkcj f() jest nieprzst jeżeli spełni wrunek: f ( ) f ( ) Nieprzste są np. funkcje:, sin(), tn(). Wkres funkcji nieprzstch są smetrczne względem początku ukłdu współrzędnch. Uwg. Większość funkcji nie jest ni przst ni nieprzst.

28 Wbrne włsności funkcji cd.. Okresowość. Funkcj f() jest okresow jeżeli spełni wrunek: f ( ) f ( ) Stłą wrtość nzwm okresem funkcji. Okresowe są wszstkie funkcje trgonometrczne. Okres funkcji sinus i kosinus wnosi π funkcji tnges i kotnges π. 4. Monotoniczność. Mówim że funkcj jest monotoniczn jeżeli jest on w cłm rozwżnm przedzile lbo rosnąc lbo mlejąc. Funkcje które posidją ekstrem tzn. mksim lub minim nie są monotoniczne. Monotoniczne są np. funkcje,, e. Funkcje trgonometrczne są monotoniczne tlko w ogrniczonch przedziłch.

29 RÓWNANIA Olbrzmią rolę w zstosownich mtemtki odgrwją wszelkiego rodzju równni. Równniem nzwm formułę, w której po dwu stronch równości wstępują różne wrżeni. W wrżenich tch wstępują pewne nieznne obiekt które oznczm ogólnie {} orz znne prmetr które oznczm jko {}. Ogólną postć równni możem zpisć nstępująco: W [{ },{ }] W [{ },{ }] lub prościej po przeniesieniu jednego z wrżeń n drugą stronę: W[{ },{ }] W zleżności od rodzju obiektów {} i {} mm różne rodzje równń. Njprostsze są równni liczbowe, w którch niewidom jest jedn lub kilk liczb zwnch pierwistkmi równni. Prmetr {} stnowią w tkim przpdku ukłd znnch liczb. W wrżeniu W wstępują opertor lgebriczne (dziłni) orz n ogół funkcje elementrne.

30 Część II wkłdu Rozwiązwnie równń lgebricznch Rozwiązwnie ukłdów równń

31 RÓWNANIA LICZBOWE Równni liczbowe mogą mieć jedną lub więcej niewidomch. Ogólną postć równni liczbowego z jedną niewidomą możem zpisć w postci: ( F,,,... n ) W zleżności od funkcji wstępującch w równniu, równni dzielim n lgebriczne, wmierne i przestępne. Równnie lgebriczne m postć: n n n n n n... n Mówim, że równnie tkie jest stopni n. Njprostsze są równni lgebriczne stopni liniowe i kwdrtowe. Prmetr równni lgebricznego nzwm współcznnikmi. Njczęściej współcznniki są liczbmi rzeczwistmi. Ogólnie równnie lgebriczne ze współcznnikmi rzeczwistmi stopni n może mieć co njwżej n pierwistków rzeczwistch. Równnie stopni nieprzstego m zwsze co njmniej pierwistek. Równnie stopni przstego może nie mieć w ogóle pierwistków rzeczwistch.

32 ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ Rozwiąznie równni liczbowego poleg n znlezieniu wszstkich wrtości,, n spełnijącch dne równnie. Rozwiązwnie równń może bć nlitczne (dokłdne), gd pierwistki równni mogą bć przedstwione z pomocą wzoru: (,,... n Anlitcznie możn rozwiązwć wszstkie równni lgebriczne do stopni 4, niektóre równni lgebriczne wższch stopni orz niektóre równni przestępne. Drug grup metod rozwiązwni równń są to metod przbliżone, często określne jko tzw. metod numerczne. Metod te polegją n konstrukcji pewnego ciągu nieskończonego, którego grnicą jest szukn pierwistek dnego równni.,,... i,... )

33 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH. Równni go stopni (liniowe).. Równni go stopni (kwdrtowe) 4

34 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.. Równni go stopni (kubiczne). Podstwienie prowdzi do równni z dwom prmetrmi p i q: 7 q p gdzie q p

35 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Równni go stopni cd. Otrzmne po podstwieniu równnie rozwiązuje się w zleżności od wrtości wróżnik Δ zdefiniownego wzorem: p Mogą zchodzić przpdki: q I. Równnie m pierwistek rzeczwist, któr możem obliczć z pomocą wzoru Crdn (lub Trtgli): q q

36 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. II. q Równnie m pierwistki rzeczwiste, które możem obliczć z pomocą wzorów: p 4q dl q p 4q dl q q Równnie m (potrójn) pierwistek rzeczwist: dl q

37 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. 4 cos cos cos r r r III. Równnie m pierwistki rzeczwiste, które możem obliczć z pomocą wzorów: rccos : r q p r gdzie

38 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Przkłd liczbowe rozwiązwni równń kubicznch Podstwienie Obliczjąc prmetr p i q: 7 7 ) ( 7 ) ( ) ( q p P:

39 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. otrzmujem równnie: Terz obliczm wróżnik Δ: p Równnie m ztem pierwistek rzeczwist, któr możem obliczć z pomocą wzoru Crdno: q Pierwistek wjściowego równni otrzmujem wrcjąc do wjściowego podstwieni: 7 7 6

40 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. 6 8 Podstwienie Obliczjąc prmetr p i q: ) ( ) ( () q p 8 8 P:

41 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Terz obliczm wróżnik Δ: Równnie m ztem pierwistki rzeczwiste, któr możem obliczć z pomocą wzorów dl q<: otrzmujem równnie: q p q p Pierwistki wjściowego równni otrzmujem wrcjąc do wjściowego podstwieni:

42 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. P: Podstwienie prowdzi do równni z prmetrmi p i q: p 8 ( 94) ( ) 79 8 q 9 94 ( )

43 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. otrzmujem równnie: Terz obliczm wróżnik Δ: p q Równnie m ztem pierwistki rzeczwiste, któr możem obliczć z pomocą wzorów :

44 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. p r q 884 rccos rccos.8899 r 7( 79 / ) rcos cos rcos cos rcos cos

45 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Pierwistki wjściowego równni otrzmujem wrcjąc do wjściowego podstwieni:

46 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd Równni 4 go stopni. Podzielenie równni przez 4 prowdzi do równni z czterem prmetrmi b, c, d i e: 4 e d c b d d c b gdzie: Jedn z metod nlitcznch rozwiązni tego równni jest nstępując:

47 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. ) (4 ) 8 ( 4 8 d b c e z e bd cz z W kroku znjdujem dowoln pierwistek rzeczwist z równni go stopni: A d bz z A b A d bz z A b W kroku rozwiązujem równni kwdrtowe gdzie: 4 8 A A c b z A Pierwistki tch równń kwdrtowch są szuknmi pierwistkmi równni 4 tego stopni.

48 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Przkłd rozwiązni równni 4 tego stopni: b 7 c 5 d e W kroku znjdujem równnie go stopni: 8 4c 8z z 94z 9 bd 8e 94 e(4 c b ) d 9 Równnie to rozwiązliśm jko przkłd P. Jednm z pierwistków rzeczwistch bł z =/. N podstwie tego pierwistk w kroku znjdujem współcznniki równń kwdrtowch:

49 ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. A 8z b 4c 9 A 9 b A bzd b c z A b A bzd b 8 c z 5 A Końcowe równni kwdrtowe orz ich pierwistki mją postć: Znlezione pierwistki są równocześnie pierwistkmi wjściowego równni 4 tego stopni.

50 To tle jk n początek. Dziękuję brdzo Pństwu z uwgę!