Wykład 8: Całka oznanczona

Transkrypt

1 Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy odciek [, ] odcików o rówej długości: [, ) [,, 2 ) [ ],...,,. Sum pól prostokątów, których podstwy są rówe tym odcikom wysokości kwdrtom ich lewych końców -sesowe przybliżeie ^ Rysuek : Obliczie przybliżoej wrtości pol figury S Pole trójkt prboliczego"- obliczei Ozczmy pole figury odpowidjącej podziłowi odcik części przez s. Mmy s = i= ( i ) 2 = 3 (i ) 2 = i= ( )(2 ) 6 3.

2 Pole figury jest rówe lim s ( )(2 ) = lim 6 3 = lim 6 3 = 3 () Defiicj cłki ozczoej dl fukcji cigłej Defiicj. Złózmy, że fukcj f jest cigł przedzile [, b]. Cłkę ozczo z fukcji cigłej f przedzile [, b] defiiujemy wzorem [ b f()d = lim f k= ( + (k ) b ) ]. (2) Korzystjąc z wprowdzoej otcji, pole trójkąt prboliczego moż wyrzić stępująco: 2 d. Defiicj cłki ozczoej dl fukcji przedziłmi cigłej Uwg. Wzorem (2) moż zdefiiowć cłkę ozczoą dl pewych fukcji ieciągłych, p. dl fukcji przedziłmi ciągłych. Fukcję f zywmy przedziłmi ciągłą przedzile [, b], jeżeli istieją liczby c, c 2,..., c k tkie, że: (i) < c <... < c k < b orz: (ii) f jest ogriczo [, b] orz ciągł przedziłch (, c ), (c, c 2 ),... (c k, c k ), (c k, b). Cłki Riem i Lebesgue Potrzeby prktyki (i teorii): kostrukcj cłki pewych fukcji, które ie są przedziłmi ciągłe ( odciku [, b].) Kostrukcje tkie podli: B. Riem ( ); H. Lebesgue (875-94) Cłk f()d gdy b < b Jeśli < b, to będziemy przyjmowli: orz (gdy = b) f()d = b f()d =. f()d. Cłk ozczo fukcji ujemej-iterpretcj geometrycz Jeśli fukcj f jest ujem przedzile [, b], < b, to cłk f()d jest rów polu figury ogriczoej: prostymi y =, = i = b orz wykresem fukcji f() pomożoemu przez (-). 2

3 Zstosowie do obliczi drogi przebytej w ruchu zmieym Pukt mterily porusz się ruchem prostoliiowym z prędkością v(t) zleżą od czsu. Chcemy zleźć drogę s przebytą przez te pukt w przedzile czsowym [, b]. Zkłdmy, że fukcj v jest ciągł. Podzielmy przedził [, b] odcików o rówej długości: [t, t ), [t, t 2 ),..., [t 2, t ), [t, t ], gdzie t =, t = b drog przebyt przez pukt mterily w przedzile czsowym [t i, t i ] = [ + (i ) b, + i b ] lub [t i, t i ) = [ + (i ) b, + i b ) jest rów w przybliżeiu v(t i ) b. wrtość przybliżo drogi przebytej przez pukt mterily przedzile: [, b] jest: s = b ( v + (i ) b ). (3) i= Zstosowie do obliczi drogi przebytej w ruchu zmieym c.d. Przechodząc do gricy ( ): s = lim s = v(t)dt. Jeśli V (t) jest dowol fukcją pierwotą fukcji v(t) przedzile I = [, b], wtedy drog przebyt przez pukt mterily w przedzile czsowym [, b] jest rów V (b) V (). Twierdzeie Newto-Leibiz Twierdzeie. Jeżeli fukcj f jest cigł przedzile [, b], to f()d = F (b) F (), (4) gdzie F ozcz dowol fukcję pierwot fukcji f tym przedzile. Twierdzeie to odpowid itepretcji fizyczej: drog przebyt przez pukt mterily przedzile czsowym [, b] jest rów V (b) V (), gdzie V jest dowolą fukcją pierwotą prędkości v [, b]. Precyzyjy dowód Tw. Newto-Leibiz moż zleźć p. książce W. Rudi Podstwy lizy mtemtyczej, prgrf 6.2. Uwg Niektórzy utorzy defiiują cłkę ozczo korzystjąc z rówości (4). Uwg. Zmist F (b) F () będziemy pisli F () b lub [F ()] b. Przykłdy Przykłd. Obliczyć cłkę ozczoą Mmy: przedzile [, ] stąd: 2 d. 2 d = C, [ 2 3 d = 3 ] = 3. 3

4 Zstosowi cłki ozczoej pole trpezu krzywoliiowego Figurę ogriczoą: wykresem fukcji f, gdzie f jest fukcją ciągłą przedzile [, b], prostymi =, = b orz prostą y = będziemy zwywć trpezem krzywoliiowym. y y = f() b Rysuek 2: Trpez krzywoliiowy Zstosowi cłki ozczoej obliczie pol figur Chcemy obliczyć pole figury ogriczoej przez: wykres fukcji f() = si orz proste: =, = π i y =, tj. chcemy zleźć pole trpezu krzywoliiowego odpowidjącego fukcji f() = si i odcikowi [, π]. Pole to jest rówe: π si d = [ cos ] π = cos π ( cos ) = + = 2. Zstosowi cłki ozczoej obliczie pol figur Chcemy obliczyć pole figury ogriczoej przez: wykres fukcji f() = si 2 orz proste: =, = π/2 i y =, tj. chcemy zleźć pole trpezu krzywoliiowego odpowidjącego fukcji f() = si 2 i odcikowi [, π/2]. Pole to jest rówe: π/2 si 2d = [ cos 2] π/2 = 2 cos π ( cos ) =. 2 Zstosowi cłki ozczoej obliczie pol figur c.d. Chcemy obliczyć pole figury ogriczoej przez: wykres fukcji f() = orz proste: =, = b i y =, gdzie b >, tj. chcemy zleźć pole trpezu krzywoliiowego odpowidjącego fukcji f() = i odcikowi [, b]. Pole to jest rówe: d = [l ]b = l b l = l b. 4

5 Zstosowi cłki ozczoej obliczie pol figur c.d. y y = b Rysuek 3: Logrytm turly liczby b > jko pole trpezu krzywoliiowego odpowidjącemu fukcji f() = i odcikowi [, b]. Zstosowi cłki ozczoej drog przebyt przez pukt mterily Pukt mterily porusz się z prędkością v(t) = cos t. Chcemy zleźć s(t ), położeiu puktu w czsie T = π. Zkłdmy, że s() =. Mmy s(π) = π cos tdt = [ si t] π = =. Zstosowi cłki ozczoej drog przebyt przez pukt mterily c.d. Zeek podczs zwodów biegie z prędkością v Z (t) = 8e.t [m/sek], t. Chcemy zleźć dysts przebyty przez Zek do chwili T =. Drog przebyt przez Zek (chwili T = ) jest rów: v Z (t)dt = [ 8. e.t] = = [ 8. e.t] = 8(e ) = 8( e ) 55,