± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi

Transkrypt

1 TYGONOMETRYCZNE Przjmujm, ż znn są dfinicj i podstwow włsności funkcji trgonomtrcznch. Zprzntujm poniżj kilk prktcznch sposobów szbkigo, prktczngo obliczni wrtości funkcji trgonomtrcznch, rozwiązwni równń i nirówności trgonomtrcznch. Wrto znć poniższą tblkę. # 9 π/ π/ π/ π/ sin cos tg ctg - - Sporządźm wkrs funkcji sinus i cosinus wdług poniższgo schmtu (trz krtki w bok, dwi krtki w górę lub w dół). Jdn krtk, to kąt π/. N wkrsch łtwo odcztć wstępując w tblc bzwzględn wrtości :,,,, ± - mł odchlni od osi ± - śrdni odchlni od osi ± - duż odchlni od osi sinus - - π π cosinus - - π π

2 Przkłd:. Zcznim od obliczni wrtości funkcji trgonomtrcznch będącch wilokrotnością kąt π. Wrtości t to ± (mł odchlni od osi) lub ± (duż odchlni od osi) sin( π ) {n wkrsi funkcji sinus odliczm krtk i odcztujm wnik} {mł odchlni w dół} Anlogiczni cos( ) π cos( π ) {bo to mł odchlni w górę} Wkorzstując okrsowość (okrs π ) sin i cos obliczm sin( π ) sin( π ) sin(π π ) {bo to duż odchlni w dół} cos( π ) cos( π ) cos(8π π ) {bo to duż odchlni w dół} A trz obliczni wrtości będącch wilokrotnością kąt π. Tu ni odliczm krtk, l odstęp międz kółczkmi n osi. Z wilokrotnością kąt π związn są wilkości, dobrz widoczn n rsunku orz, czli śrdni odchlni od osi. sin( π ) {bo to śrdni odchlni w dół} cos( π ) cos( π ) cos(π π ) cos( π ) {bo to śrdni odchlni w dół}. Równni trgonomtrczn sin {duż odchlni w dół} [,π ] Licząc krtki stwirdzm, ż m to mijsc dl 8 π orz π. Uwzględnijąc okrsowość tj funkcji Stwirdzm, ż zbiorm rozwiązń tgo jst zbiór wszstkich liczb w postci π kπ ; π kπ Liczb cłkowitj k. dl dowolnj - - π π sinus Poniwż równni i nirówności związn z funkcjmi sinus i cosinus rozwżn w zbiorz liczb rzczwistch i w przdzil [,π ] różnią się jdni formlnm dopisnim wilokrotności kąt π, więc w nstępnch przkłdch rozwżni prowdzić będzim tlko w przdzil [,π ].

3 cos {śrdni w dół} cosinus Licząc odstęp międz koljnmi kółczkmi, stwirdzm, ż m to mijsc dl π orz π. Liczb t są jdnmi rozwiąznimi Dn go równni w przdzil - - π π [,π ]. Ukłd równń - - π sinus π sin cos Sporządzjąc wkrs funkcji sinus i cosinus jdn pod drugim i zznczjż odpowidni wrtości n obu bz trudu stwirdzm, ż jdnoczśni sinus odchl się od osi mło w dół, cosinus dużo w dół dl π. - - π π Nirówności < sin Łtwo odcztć z wkrsu, ż Nirówność t spłnion jst w Zbiorz π π 8π π [, ] [, ) (, π ] - - π π

4 Pwn znn zlżności trgonomtrczn. R sin cos., R sin( ) sin cos sin cos. R sin() sin cos., R cos( ) cos cos sin sin. R cos() cos sin.. π R \ { kπ } tg R \ { kπ } ctg sin cos cos sin Prz cłkowniu przddzą się tż wzor 8. R sin ( cos ) 9. R cos ( cos ) W przdzil [,π ] rozwiązć niłowność sin cos. Mm sin sin, więc sin sin. Przjmijm sin. Otrzmujm ;. 9 Rozwiąznim tj nirówności (zminnj ) jst zbiór (, ] [, ), - l wnik tn (rozwiązni pomocniczj nirówności) lpij zpisć w postci: (niwgodną jst postć (, ] [, ) ) bo mm sin sin - - π π Zbiór pust jst jk widć oczwiści rozwiąznim drugij z tch nirówności, π ntomist pirwszą spłni jdni liczb Więc rozwiąznim wjściowj nirówności w przdzil [,π ] jst jdnolmntow zbiór π.

5 FUNKCJA WYKŁADNICZA Nich >. Dfiniujm f : R R nstępująco R f ( ) N wkrsi << > Podstwow włsności. D R. R \ {} f (D ) (, ). Dl jst różnowrtościow. dl > jst rosnąc. dl < < jst mljąc., R., R ( ) 8. W dlszm ciągu zjmim się szczgólnm przpdkim funkcji wkłdniczj, minowici tką funkcją, któr w swj podstwi m pwną liczbę niwmirną, którj przbliżon wrtość, to, (, ) Funkcję tę oznczm smbolm p (cztm ksponnt ). Mm więc p : R R okrślm nstępująco N wkrsi R p( ) Podstwow włsności. D R. R >. p jst różnowrtościow. p jst rosnąc., R., R ( ). 8. lim lim Uwg Różnowrtościowość ozncz:, R Fkt, ż p jst rosnąc ozncz:, R < < Przkłd. ( ) Rozwiążm nirówność:. Mm, więc. Poniwż p jst funkcją rosnącą, to rozwiąznim jst, co łtwo sprwdzić przdził [, ].

6 FUNKCJA LOGARYTMICZNA Nich (,) (, ). Dfiniujm log : R R nstępująco (, ) log ( ) N wkrsi Podstwow włsności. D R (, ). Jst różnowrtościow. dl > jst rosnąc. dl < < jst mljąc., R log ( ) log log << k. R k R log k log. log log W dlszm ciągu zjmim się szczgólnm przpdkim funkcji logrtmicznj, minowici tkij, któr m w podstwi znną już nm liczbę. Przjmujm oznczni ln log i mm ln : (, ) R (, ) ln N wkrsi Podstwow włsności. D R (, ) N wspólnm wkrsi. ln( R ) R. Jst różnowrtościow. Jst rosnąc., R ln( ) ln ln k. R k R ln k ln. ln ln 8. lim ln lim ln

7 Przkłd (rozwiązwć będzim nirówności logrtmiczn i wkłdnicz).. ln < Dzidziną nszch rozwżń jst zbiór D R (, ). Wkorzstując wminion wżj włsności (w szczgólności fkt, ż ln jst funkcją rosnącą otrzmujm: ln < < ln ln stąd (monotoniczność) Uwzględnijąc dzidzinę otrzmujm rozwiązni P (, ). ln( ) < Dzidziną nszch rozwżń jst zbiór D (, ). Anlogiczni jk w poprzdnim przkłdzi mm ln ln( ) < ln <, więc P [, ) stąd (monotoniczność). < Dzidziną nszch rozwżń jst zbiór D R. Wkorzstując włsności funkcji logrtmicznj i wkłdniczj logrtmując wjściową nirówność mm < ln ln < ln < < ln ln ln Rozwiąznim jst więc zbiór P (, ln ). < Dzidziną nszch rozwżń jst zbiór D R \ { }. Tj podwójnj nirówności ni możm (tk jk poprzdnio) logrtmowć (bo ni nlż do dzidzin logrtmu). Zuwżm jdnk, ż lw nirówność (minowici: < ) spłnion jst dl wszstkich liczb rzczwistch z dzidzin nszch rozwżń, czli zbioru D R \ { }. Pozostj więc, tę nirówność możm już stronmi logrtmowć. ln ln, czli < ln Uwzględnijąc dzidzinę stwirdzm, ż rozwiąznim jst więc zbiór P (, )

8 . ln ln > Dzidziną nszch rozwżń jst zbiór D R Przjmijm ln. Po tm podstwiniu i uporządkowniu wrzów nsz nirówność przbir postć: > ; ;. 9 8 Rozwiąznim tj nirówności (zminnj ) jst przdził (, ), l wnik tn (rozwiązni pomocniczj nirówności) lpij zpisć w postci: < < (niwgodną jst postć (, ) ) bo mm < ln < ln, stąd P (, ) ln. Dzidziną nszch rozwżń jst zbiór Przjmijm D R. Po tm podstwiniu nsz nirówność przbir postć: > ; ;. Rozwiąznim tj nirówności (zminnj ) jst zbiór (, ] [, ), Więc, czli ln ln ln ln I osttczni mm P (, ln ] [ln, )