Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Transkrypt

1 Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn tej mcierz. Czli: det= ε(δ)... σ S n σ() nσ(n) Włsności wzncznik mcierz: ) Wzncznik mcierz to liczb przporządkown mcierz (różne mcierze mogą mieć ten sm wzncznik). = det= 5 = B = detb= = ) Wzncznik mcierz T jest równ wzncznikowi mcierz. det T =det ) Możem dodć wznczniki tego smego stopni z dwóch mcierz nie licząc ich. Możn to zrobić mcierze różnią się dokłdnie jednm wierszem (dokłdnie jedną kolumną). Wówczs: +b b i i n i n i n +b b = + i i n i n i n +b b n ni ni nn n ni nn n ni nn det (x,x,...,x i+x i',...,x n) = det (x,x,...,x i,...,x n)+ det (x,x,...,x i',...,x n ) 4) b pomnożć wzncznik przez liczbę (nie licząc go) mnożm wiersz (lbo kolumnę) wzncznik przez tą liczbę. Wkłd dr Mgdlen Sękowskiej stron z 6 Część 0 Wznczniki mcierz

2 α α α i n i n α = i n i n n ni nn n ni nn 5) Jeżeli kolumn (lbo wiersze) (jko wektor) są liniowo zleżne to wzncznik jest równ 0. 6) Zmin kolejności kolumn lbo wiersz powoduje odpowiednią zminę znku wzncznik. 7) Wrtość wzncznik nie zmieni się jeżeli do wiersz (lbo kolumn) dodm kombincję liniową pozostłch wiersz (lbo kolumn). 8) Możn uzsdnić, że dl mcierz n n i B n n zchodzi: det( B)=det detb 9) Z: n n nieosobliw T: det 0 det - = det Def. det = i n i n n ni nn - wzncznik mcierz Podwzncznikiem mcierz nzwm wzncznik mcierz powstłej z mcierz przez skreślenie w tej mcierz pewnej liczb wiersz i tej smej ilości kolumn. Def. Minorem M ij mcierz prznleżnm elementowi ij nzwm wzncznik mcierz powstłej z mcierz przez skreślenie i tego wiersz orz j-tej kolumn. Def. Dopełnieniem lgebricznm elementu ij nzwm minor M ij pomnożon przez (-) i+j, czli ij =(-) i+j M ij. Twierdzenie (Lplce ) Z: n n =[ ij ] mcierz T: Wzncznik mcierz jest równ sumie ilocznów elementów dowolnie wbrnego wiersz (lbo kolumn) przez ich dopełnieni lgebriczne. det = j j + j j nj nj (jest to rozwinięcie względem j-tejkolumn) det = i i + i i + + in in (jest to rozwinięcie względem i-tego wiersz) Wkłd dr Mgdlen Sękowskiej stron z 6 Część 0 Wznczniki mcierz

3 Przkłd = 0() () ( ) ( ) = + + = Przkłd = ( ) 0 = ( ) ( ) i ii i ii i ii n n nn n n nn n n nn 0 =... nn W szczególności dl mcierz digonlnej: ii nn Przkłd Rozwiązć równnie: x x = 0 x x =... nn Liczm wzncznik: x x x 0 x = = = x 0 0 x- 0 0 (x-) (x-) (x+) x -x -x -x x x+ Podstwijąc do równni otrzmujem: (x-) (x+)=0 x= x=- Wkłd dr Mgdlen Sękowskiej stron z 6 Część 0 Wznczniki mcierz

4 Twierdzenie Z: m n, det 0 T: jest mcierzą nieosobliwą i = ( ) - D T det Gdzie D jest mcierzą dopełnień lgebricznch wszstkich elementów mcierz n D = n nn Wniosek: n n jest mcierzą nieosobliwą det 0. Przkłd = det= - 0 = + = - mcierz jest nieosobliw 0 D = + 0 = ( ) = + 0 = ( ) = 0 + = ( ) = = ( ) = 0 + = ( ) = 0 ( ) 0 + = = Czli: D = + 0 = ( ) = + = ( ) = 0 ( ) 0 + = = = D T ( ) 0 Wkłd dr Mgdlen Sękowskiej stron 4 z 6 Część 0 Wznczniki mcierz

5 - D T = ( ) = Uwg Lepiej jest stosowć metodę mcierz odwrotnej jko mcierz odwzorowni odwrotnego. Czli: 0 - x - 0 x = 0 x x -x = -x+ x = x + x = Po prostch przeksztłcenich otrzmujem: x = + - x = + + Czli: = x = + Def 4. m m Z: n m= - mcierz n nm Podwzncznikiem (minorem) mcierz nzwm wzncznik mcierz utworzonej z mcierz przez skreślenie w niej pewnej liczb wiersz (i kolumn) w tki sposób b otrzmn mcierz bł kwdrtow. det B k k minor stopni k wjęt z mcierz. Np = minor stopni wjęt z mcierz Twierdzenie 5 Z: n m mcierz T: Rząd mcierz jest równ njwiększemu ze stopni minorów niezerowch. Wkłd dr Mgdlen Sękowskiej stron 5 z 6 Część 0 Wznczniki mcierz

6 Poniższ przkłd pokzuje, że n ogół nie wrto stosowć tego twierdzeni. Przkłd 5 Policzć rząd mcierz = rz=rz = rz = rz = Czli rz =. Co ozncz, że wszstkie minor stopni 4 orz stopni są równe 0. Wkłd dr Mgdlen Sękowskiej stron 6 z 6 Część 0 Wznczniki mcierz