2 Całka oznaczona-cd Rozdrobnienia podziałów Warunki równoważne całkowalności Własności funkcji całkowalnych...

Transkrypt

1 Spis treści Uzupełnieni do wykłdu. (4 III 200) 2. Jednostjn ciągłość funkcji Cłk Riemnn (heurez) Cłk Riemnn -konstrukcj Przykłdy cłek liczonych z definicji Cłk oznczon-cd Rozdrobnieni podziłów Wrunki równowżne cłkowlności Włsności funkcji cłkowlnych Zstosownie cłki oznczonej Mir Jordn Mir trpezu krzywoliniowego Długość łuku krzywej Objętość bryły obrotowej Pole powierzchni obrotowej Cłki niewłściwe 4. Definicj cłki niewłściwej Wrunek Cuchy ego zbieżności Kryterium porównwcze Rchunek różniczkowy wielu zmiennych -wstęp 4 5. Pochodne cząstkowe Przykłd negtywny Długość wektor, odległość punktów Grnice i ciągłość funkcji wielu zmiennych Różniczkowlność Jeszcze o grnicch podwójnch Różniczk zupełn Włsności różniczki Pochodne kierunkowe Ekstrem loklne, punkty stcjonrne Formy kwdrtowe Pochodne wyższych rzędów Drug różniczk Ekstrem loklne -wrunek wystrczjący Funkcje uwikłne, ekstrem wrunkowe Ekstrem wrunkowe Obrz obszru. Funkcje wypukłe Płszczyzn styczn Szeregi liczbowe 33 0 Zbieżność jednostjn, szeregi funkcyjne Zbieżność wrz z pochodnymi Szeregi potęgowe. Obszr zbieżności 4. Szereg Tylor i Mclurin Szeregi Fourier Funkcje okresowe Norm L 2 (średniokwdrtow) Klsyczne szeregi Fourier 48

2 2 Anliz mtemtyczn n kierunku Elektrotechnik II semestr 9 lipc 205 Uzupełnieni do wykłdu. (4 III 200). Jednostjn ciągłość funkcji Przypomnijmy njpierw pojęcie funkcji ciągłych f: D R, gdzie D R Ciągłość w zbiorze D ozncz ciągłość w kżdym jego punkcie t, tzn. ɛ>0 t D δ>0 (s D, s t < δ) f(s) f(t) < ɛ. () W wrunku tym zmieniliśmy, bo możn, kolejność kwntyfiktorów: t D orz ɛ>0. Ntomist nie możn zmienić kwntyfiktorów: t D orz δ>0. Ozncz to, że n ogół nie d się dobrć δ dobrego dl wszystkich t D. N przykłd, gdy D = [, + ), dl f(t) = t 2 mmy f(t + h) f(t) = (t + h) 2 t 2 = 2th + h 2 > ɛ, gdy t > ɛ 2h. Więc gdyby δ spełniło wrunek (), to dl h = δ 2 mmy (t + h) t < δ, jednk () nie zchodzi dl wszystkich t D -nie zchodzi minowicie dl t > ɛ δ. Drugi przykłd -gdzie D jest zbiorem ogrniczonym (0, ] otrzymmy biorąc g(t) = t. Wówczs dl 0 < s < t 2 mmy g(s) > 2g(t), zś g(s) g(t) > g(t), co przy t < n d g(s) g(t) > n) -różnice są więc dowolnie duże, miły być dowolnie młe, gdyby δ dło się dobrć wspólne dl wszystkich s, t D. Definiujemy funkcje jednostjnie ciągłe w zbiorze D poprzez wrunek ɛ>0 δ>0 t,s D ( s t < δ f(s) f(t) < ɛ). (2) Widzimy więc n podstwie nszych przykłdów, że gdy zbiór D lbo nie jest ogrniczony, lbo nie jest domknięty, to mogą ( nwet -jk możn wykzć -muszą) wówczs istnieć funkcje ciągłe n zbiorze D, które nie są jednostjnie ciągłe. Twierdzenie Cntor mówi, że funkcje ciągłe n zbiorch domkniętych i ogrniczonych są jednostjnie ciągłe. Będziemy z niego często korzystli podczs rozwżni cłek oznczonych. (Szkic uzsdnieni metodą nie wprost : Gdyby dl pewnego ɛ > 0 nie dło się znleźć żdnego δ > 0 spełnijącego tezę z wrunku (2), to biorąc δ = znjdziemy n tkie pry punktów s n, t n D, że (z zprzeczeni implikcji) jest s n t n < n orz f(s n) f(t n) ɛ. Dzięki twierdzeniu Bolzno-Weierstrss (z ogrniczoności D), możn wybrć podciągi ciągów s n orz t n zbieżne do pewnych grnic s 0, t 0. Poniewż s n t n <, musi być s0 = t0, zś z domkniętości D, mmy s0 D. n Terz otrzymmy sprzeczność z wrunkiem ciągłości f w punkcie s 0. Dl dosttecznie odległych wyrzów w tych podciągch mmy bowiem s n s 0 orz t n t 0 = t n s 0 n tyle młe, by f(s n) f(s 0) < ɛ orz f(tn) f(s0) < ɛ. To d (dzięki nierówności 2 2 trójkąt) sprzeczność: f(s n) f(t n) < ɛ.)

3 3 Funkcje ciągłe w przedzile domkniętym osiągją zrówno wrtości: njwiększą i njmniejszą (tw. Weierstrss), jk i wszystkie wrtości pośrednie (włsność Drboux). Zmist sup{f(t) : t } będziemy pisli sup f. Tk więc dl funkcji ciągłej f C[, b] przeciwdziedziną f, czyli obrzem f([, b]) zbioru [, b] jest przedził [m, M], gdzie m = inf [,b] f, zś M = sup [,b] f..2 Cłk Riemnn (heurez) Dl f : [, b] R chcemy zdefiniowć liczbę J(f) = b f(t) dt tk, by spełnione były nstępujące postulty:. Liniowość funkcjonłu J, tzn.: J(f + g) = J(f) + J(g), J(Cf) = CJ(f); 2. b dt = b (cłk z funkcji stłej = jest długością drogi cłkowni); 3. J m zchowywć nierówności (monotoniczność J): ( t [,b] f (t) f 2 (t)) J(f ) J(f 2 ); 4. m zchodzić ddytywność względem drogi cłkowni : < b < c c f(t) dt = b f(t) dt + c b f(t) dt. Przyjrzyjmy się pru wnioskom z tych postultów: Cłkow nierówność trójkąt: Z monotoniczności cłki i z nierówności f(t) f(t) f(t) (zchodzącej we wszystkich punktch t) wynik, że J( f ) = J( f ) J(f) J( f ), więc J(f) J( f ), czyli b f(t) dt b f(t) dt. Z wrunku (2) i z liniowości, cłk z funkcji stłej m równ jest iloczynowi m przez długość drogi cłkowni. A poniewż dl stłych m = inf [,b] f, M = sup [,b] f mmy m f(t) M, cłkując stronmi te nierówności (czyli stosując (3)), nstępnie dzieląc stronmi przez długość drogi cłkowni otrzymujemy: Twierdzenie o wrtości średniej dl cłek: m b b f(t)dt M. Pondto gdy f jest ciągł, z włsności Drboux wynik istnienie punktu c [, b], dl którego wrtość f(c) jest równ średniej cłkowej z f n przedzile [, b], zdefiniownej włśnie jko liczb b b f(t)dt. Z tego twierdzeni dość łtwo wywnioskujemy, że dl funkcji ciągłej f C[, b] wzór F (x) := x f(t) dt (3) określ funkcję pierwotną. Co więcej, dl dowolnej funkcji pierwotnej Φ dl f dφ(x) w przedzile (, b), czyli tkiej, że x (,b) dx = f(x) i tkiej, że Φ C[, b], będziemy mieli tzw. wzór Newton-Leibniz: b (Istotnie, dl x (, b) x + h mmy F (x + h) F (x) = x+h h h ( f(t) dt h ( x + x+h x f(t) dt = Φ(b) Φ(). (4) x )f(t) dt = h x x+h x f(t) dt) = f(t) dt.

4 4 To, jko średni cłkow z f po przedzile [x, x+h] jest wrtością f(z h ) w pewnym punkcie pośrednim z h [x, x + h], który przy h 0 zmierz do x. Z ciągłości f, lim h 0 f(z h ) = f(x). A więc F F (x+h) F (x) (x) = lim h 0 h, jest równe f(x). To rozumownie przeprowdziliśmy przy h 0 +. Dl ujemnych wrtości h jedynie drobn modyfikcj tego rozumowni dje tką smą grnicę. Dn wzorem (3) funkcj F jest więc funkcją pierwotną dl f. N koniec zuwżmy, że gdy Φ jest jkąś inną (dowolnie wybrną) funkcją pierwotną dl f, to mmy F = Φ + C dl pewnej stłej C, którą otrzymmy z równości F () = 0, jko równą C = Φ(). Stąd b f(t) dt = F (b) = Φ(b) + C = Φ(b) Φ().) Dokłdniej rzecz biorąc, powinniśmy njpierw sprwdzić ciągłość F. Fktycznie, t ciągłość wynik z nierówności: F (x) F (y) = y x f(t) dt y x f(t) dt x y sup f [,b] zchodzących dl x < y, x, y [, b] Do (cigłej w [, b], różniczkowlnej w (, b)) funkcji F Φ stosujemy twierdzenie Lgrnge o wrtości średniej (dl pochodnych), wnioskując, że F Φ jest stł n przedzile [, b]. Zsdniczą kwestią jest niemożność opisni konkretnymi wzormi cłek nieoznczonych dl wielu funkcji ciągłych. Dltego do definicji cłki oznczonej nie możemy użyć wzoru (4), postulty -4 stnowią jedynie pewną wskzówkę dl nstępującej konstrukcji:.3 Cłk Riemnn -konstrukcj Podziłem odcink [, b] nzwiemy uporządkowny ukłd τ n = (t 0,... t n ) jego punktów tki, że t 0 = < t <... < t n = b. Wówczs j-tym odcinkiem tego podziłu nzwiemy przedził [t j, t j ]. Jego długość oznczymy symbolem j t lub j τ. Tk więc, τ n jest podziłem zbioru [, b] n n części, które są odcinkmi o długościch j t = t j t j. Zuwżmy, że n j t = (t t 0 ) + (t 2 t ) (t n t n ) = t n t 0 = b. (5) j= Liczbę δ(τ n ) := mx{ j t : j =,..., n} nzwiemy średnicą podziłu τ n. Mówimy, że ciąg podziłów τ n jest ciągiem normlnym, gdy lim n δ(τ n) = 0. Ukłdem punktów pośrednich Λ n = (λ j ) dl nszego podziłu τ n nzywmy dowolny ukłd n punktów λ j [t j, t j ]. (To jest notcj dl osób nielubiących greckiej litery ξ (czyt. ksi mł wersj litery Ξ), które, jk zuwżyłem n wykłdzie, przewżją wśród Pństw) Dl funkcji f : [, b] R i dl ustlonego podziłu τ n tworzymy 3 typy tk zwnych sum cłkowych: Sumy cłkowe odpowidjące ukłdowi punktów pośrednich λ j definiujemy jko sumy S n (f) = S(f, τ n, Λ n ) := n f(λ j ) j t. (6) j= Definujemy też tzw. sumy cłkowe dolne dl podziłu τ n jko S n (f) = S(f, τ n ) := n ( inf f) j t. (7) [t j,t j] j= Wreszcie, sumy cłkowe górne, to sumy S n (f) = S(f, τ n ) := n ( sup j= [t j,t j] f ) j t. (8)

5 5 Zuwżmy, że zwsze S(f, τ n ) S(f, τ n, Λ n ) S(f, τ n ). (9) Dygresj: Dl funkcji stłej równej wszystkie te sumy, niezleżnie od podziłu i punktów pośrednich, są tkie sme -równe b, co wynik wprost z (5). Ogólniej, funkcję f : [, b] R nzwiemy funkcją schodkową, gdy dl pewnego podziłu τ odcink [, b] n kżdym z odcinków [t j, t j ] t funkcj jest stł. Innymi słowy, stłe mją być wszystkie restrykcje f do odcinków tego podziłu. Wówczs z postultów,2,4 wynik, że kżd z tych sum cłkowych względem tego podziłu jest równ cłce J(f). Oczywiście, funkcje n ogół nie są schodkowe, ntomist te osttnie mogą jedynie przybliżć (w odpowiedniem sensie) dowolną funkcję f. Definicj cłki oznczonej: Mówimy, że funkcj f : [, b] R jest cłkowln w sensie Riemnn, gdy dl dowolnego ciągu normlnego (τ n ) podziłów odcink [, b] (czyli tkiego, że lim n δ(τ n ) = 0) istnieje grnic lim S(f, τ n, Λ n ) n przy dowolnych wyborch ukłdów punktów pośrednich Λ n. Wówczs, jk łtwo sprwdzić, tk grnic jest wspóln dl wszystkich ciągów normlnych podziłów. Grnicę tę oznczmy symbolem b f(t) dt i nzywmy cłką oznczoną (cłką Riemnn) z funkcji f po przedzile [, b]. Funkcje, dl których istnieją grnice sum cłkowych przy dowolnych normlnych ciągch podziłów i ukłdów punktów pośrednich nzywmy funkcjmi cłkowlnymi w sensie Riemnn n tym przedzile, ogół tkich funkcji oznczmy symbolem R[, b]. Twierdzenie. Cłk oznczon spełni postulty -4 sformułowne w.2: (d.) Liniowość możn sprwdzić tk: Dl dnego podziłu τ n i ukłdu Λ n jego punktów pośrednich, mmy S(f + g, τ n, Λ n) = S(f, τ n, Λ n) + S(g, τ n, Λ n), więc dl normlnego ciągu tkich podziłów, jeśli f orz g są cłkowlne, to kżd z sum cłkowych po prwej stronie zmierz do cłki po odcinku [, b] z odpowiedniej funkcji (f lbo g). Sum ciągów zbieżnych jest zbieżn (do sumy grnic), stąd b f(t) + g(t) dt = b f(t) dt + b g(t) dt. Podobnie sprwdzmy, że cf(t) jest cłkowln, o cłce równej c b f(t) dt. (d 2.) Jk już zuwżyliśmy, funkcje stłe są cłkowlne, b C dt = (b )C. (d 3.) Jeśli f g (w kżdym punkcie z nszego przedziłu), to z nieujemności jt wynik, że f(λ j) jt g(λ j) jt, sumując stronmi te nierówności (względem j =,..., n), otrzymmy S n(f) S n(g), co po przejściu do grnicy (przy n dl normlnego ciągu podziłów) implikuje nierówność b f(t) dt b g(t) dt. (d 4.) Addytywność względem drogi cłkowni (postult 4) sprwdzmy rozbijjąc sumy cłkowe dl f : [, c] R n sumy po przedziłch [, b] orz sumy po [b, c], rozbijjąc podził = t 0 < t <... < t n = c, jeśli dl pewnego k < n, k > 0 jest t k = b, n podziły t 0 = < t <... < t k = b orz t k = b < t k+ <... < t n = c. Mmy też brdzo wżne oszcownie dl funkcji cłkowlnej f R[, b] (wynikjące z cłkowni stronmi nierówności: sup{ f(s) : s [, b]} f(t) sup{ f(t) : t [, b]} zchodzącej dl wszystkich t [, b]. b f(t) dt b sup{ f(t) : t [, b]} (0)

6 6.4 Przykłdy cłek liczonych z definicji Przykłd. Dl funkcji stłej równej C, mmy b C dt = (b )C. (Wystrczy zstosowć rozdzielność dodwni względem mnożeni przez C orz (5).) Ogólniej, dl funkcji schodkowej φ stłej n kżdym z odcinków podziłu τ n, sumy cłkowe S(f, τ n, Λ n ) (przy dowolnie wybrnych punktch pośrednich) są równe cłce b φ(t) dt. Przykłd 2. Sprwdzimy, jk wyglądją sumy cłkowe dolne i górne dl funkcji f(t) = t 2 n przedzile [0, ] względem podziłu równomiernego -tzn. dl τ n = (0, n, 2 n,..., n n, n n = ). Funkcj jest n tym przedzile rosnąc, więc inf [tj,t j] f = ( j n )2, ntomist sup [tj,t j] f = ( j n )2. Długości odcinków podziłu są jednkowe (=równomierność podziłu), równe j t = n Dl sum dolnych mmy więc wzór S n (f) = n ( ) 2 j n n = n 3 j= n (j ) 2. Ale, jk wiemy, (por. zdnie 4 z poprzedniego semestru), zchodzi wzór n 2 = n(n+)(2n+) 6, więc S n (f) = (n )n(2n ) 6n = 3. Podobnie, S n (f) = n(n+)(2n+) 6n = 3. Z nierówności (9) i z twierdzeni o 3 ciągch wynik więc zbieżność do 3 sum cłkowych z dowolnie wybrnymi punktmi pośrednimi. Ale dl innych (nierównomiernych) podziłów tką zbieżność trzeb jeszcze dodtkowo wykzć, by sprwdzić, że 0 t2 dt = 3. Podobnie sprwdzmy, że 0 t3 dt = 4, korzystjąc ze wzoru n sumę sześcinów kolejnych n liczb nturlnych. Jest zresztą niewiele funkcji, dl których mmy jkiś wzór n sumę postci f() + f(2) f(n). Cłkownie n podstwie definicji nie jest więc łtwe! W wyjątkowych przypdkch możn osiągnąć uproszczenie dobierjąc w sprytny sposób punkty pośrednie. Przykłd 3. Gdy 0 < < b i mmy już jkieś punkty podziłu = t 0 < t <... < t n = b, szukjąc wrtości cłki b dx x, weźmy λ 2 j = t j t j. wówczs S n = t j t j j t j t j = ( t j t j ), co jko sum teleskopow -z uprszczjącymi się prwie wszystkimi (z wyjątkiem dwóch) skłdnikmi, dje wrtość t 0 t n. Uzsdnieni wymg tu jedynie cłkowlność funkcji, czyli niezleżność nszego wyniku od wyboru punktów pośrednich (ptrz nstępny wykłd). Przykłd 4. Dl funkcji nieujemnej cłk może wynosić zero, choć funkcj jest dodtni w pewnych punktch. Njłtwiej to zuwżyć dl funkcji równej w punkcie 0 orz równej zero w pozostłych punktch odcink [0, ]. Sumy dolne są 0, zś sum górn, to t t 0, co nie przekrcz średnicy podziłu i zmierz do 0 dl normlnego ciągu podziłów. (Zmist w zerze, możemy wziąć wrtość w dowolnie wybrnym innym pojedynczym punkcie. Postult ddytywnosci względem drogi cłkowni pozwl uzyskć to smo dl funkcji równej zero poz skończoną liczbą punktów. Jko ćwiczenie proponuję sprwdzenie, że gdy g(t) = dl t { n : n N} orz g(t) = 0 dl t { n : n N}, to również g(t) dt = 0. (T funkcj nie jest równ zero n zbiorze przeliczlnym.) 0 N koniec sprwdźmy jeden przykłd, gdzie cłk nie istnieje, choć funkcj jest różn od zer jedynie n zbiorze przeliczlnym złożonym z liczb wymiernych z odcink [, b]: Przykłd 5. Funkcj przyjmując wrtości w punktch wymiernych orz zero -w punktch niewymiernych -nie jest cłkowln n żdnym z przedziłów [, b], gdzie < b. Funkcj t nie jest ciągł w żdnym punkcie, gdyż dowolnie blisko kżdej liczby wymiernej są liczby niewymierne (i n odwrót). Gdy jko punkty pośrednie wybierzemy jedynie punkty niewymierne, dostniemy sumę cłkową zero (równą sumie dolnej). Gdy ntomist wszystkie λ j są wymierne, dzięki (5) otrzymmy sumę cłkową równą b. j=

7 7 2 Cłk oznczon-cd. 2. Rozdrobnieni podziłów Mówimy, że podził τ jest drobniejszy od podziłu τ (lub jest rozdrobnieniem podziłu τ), gdy kżdy punkt podziłu τ występuje również w podzile τ, czyli gdy τ powstje przez dlsze rozbicie pewnych odcinków podziłu τ. Możemy tę relcję zpisć symbolem τ τ, pmiętjąc, że podził jest zbiorem swoich punktów, le uporządkownych w sposób rosnący. Oczywiście, średnic podziłu drobniejszego jest mniejsz. Podził równomierny n n + równych części m średnicę b n+ mniejszą, niż podził n n równych części, lecz (dl n > ) nie jest od niego drobniejszy. Dl dowolnej pry podziłów τ, τ istnieje podził τ drobniejszy od kżdego z nich -wystrczy wziąć wszystkie punkty, które występują lbo w jednym, bądź drugim podzile, czyli trktując podziły jko zbiory punktów tych podziłów, możemy przyjąć τ = τ τ. Łtwo sprwdzić, że dl sum dolnych i górnych mmy wówczs S(f, τ n) S(f, τ n ) S(f, τ n ) S(f, τ n ). () Wynik stąd, że dl dowolnej pry podziłów (τ, τ ), sum doln względem τ nie przekrcz sumy górnej względem τ. Tk więc, istnieje (w R) kres górny (brny ze względu n ogół wszystkich podziłów) z sum dolnych. Kres ten nzywny jest cłką dolną z dnej funkcji, oznczną symbolem b f(t) dt. Anlogicznie definiujemy cłkę górną, b f(t) dt -jko kres dolny sum górnych. Z nierówności () wynik, że b f(t) dt b f(t) dt. 2.2 Wrunki równowżne cłkowlności W przykłdzie 5. sumy górne są zwsze równe b, zś sumy dolne -zero, tkie są więc i wrtości cłek: dolnej i górnej. Gdy funkcj jest cłkowln, to cłki: doln i górn są sobie równe i równe cłce Riemnn z tej funkcji. Możn wykzć, że jest to wrunek równowżny cłkowlności. (W tym celu sprwdz się njpierw, że dl dowolnego ciągu normlnego podziłów sumy dolne zmierzją do cłki dolnej, górne -do górnej. Wówczs z równości tych cłek wyniknie cłkowlność, dzięki twierdzeniu o 3 ciągch. Otrzymujemy stąd również dość wygodne kryterium dl f : [, b] R Kryterium Riemnn: Funkcj f jest cłkowln n przedzile [, b] wtedy i tylko wtedy, gdy różnice między summi: górną i dolną dl odpowiednio dobrnego podziłu τ tego odcink są dowolnie młe: ɛ>0 τ S(f, τ) S(f, τ) < ɛ. Dość nietypową postć m tzw. kryterium porównwcze cłkowlności: Jeżeli funkcje f, g : [, b] R spełniją dl dowolnych s, t [, b] nierówności: f(s) f(t) g(s) g(t), to z cłkowlności funkcji g wynik cłkowlność f. Wystrczy nwet, by było f(s) f(t) g (s) g (t) + g 2 (s) g 2 (t), dl pewnych g, g 2 R[, b]. Okzuje się, że przeszkodą w cłkowlności jest nieciągłość funkcji- dokłdniej, rozmir zbioru B tych punktów, w których funkcj jest nieciągł. Kryterium Lebesgue cłkowlności w sensie Riemnn mówi, że gdy f : [, b] R jest funkcją ogrniczoną, to f jest cłkowln wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ɛ > 0 zbiór B zwier się w sumie mnogościowej przeliczlnego ciągu przedziłów otwrtych (α n, β n ) tkich, że k N n= k β n α n ɛ. (Osttni wrunek ozncz, że zbiór B jest miry zero- por. definicj n str. 9).

8 8 2.3 Włsności funkcji cłkowlnych. Twierdzenie. Funkcje cłkowlne są ogrniczone. Twierdzenie 2. Cłkowlne są: sumy, iloczyny i ilorzy (w przypdku niezerowni się minownik) dowolnych dwu funkcji cłkowlnych. W szczególności, zbiór R[, b] funkcji cłkowlnych n przedzile [, b] wrz z dziłnimi: dodwni funkcji i mnożeni funkcji przez stłe -jest przestrzenią wektorową. Sprwdznie cłkowlności iloczynu dwu funkcji cłkowlnych f, f 2 byłoby trudne, gdybyśmy nie mieli do dyspozycji kryterium porównwczego orz wiedzy o ogrniczoności kżdej funkcji cłkowlnej. Wystrczy zpisć f (s)f 2 (s) f (t)f 2 (t) = f (s)f 2 (s) f (t)f 2 (s)+f (t)f 2 (s) f (t)f 2 (t) f (s) f (t) M 2 + f 2 (s) f 2 (t) M 2, gdzie M j = sup [,b] f j. Twierdzenie 3. Funkcje monotoniczne są cłkowlne. Twierdzenie 4. Funkcje ciągłe są cłkowlne. (Zobczmy, jk dw osttnie twierdzeni wynikją z kryterium Riemnn: Np. dl f niemlejącej wrtości: njmniejsz orz njwiększ n odcinku [t j, t j], to odpowiednio, f(t j ) orz f(t j), więc różnic między summi: górną i dolną -dl dnego podziłu, to liczb S n S n = n j= (f(tj) f(tj )) jt δ(τn) n j= (f(tj) f(t j )) = δ(τ n)(f(t n) f(t 0)) = δ(τ n)(f(b) f())- t wrtość jest dowolnie mł gdy δ(τ n) jest dosttecznie młe. W przypdku f ciągłej, zmist szcowć jt przez δ(τ n), zuwżmy, że S n = n f(αj) jt, gdzie αj jest punktem, w którym f osiąg swoje minimum n prze- j= dzile [t j, t j], zś nlogicznie, S n = n f(βj) jt, gdzie βj [tj, tj] są punktmi mksimum dl f n tych przedziłch [t j, t j]. Odległość żdnej z tych j= pr punktów α j, β j nie przekrcz δ(τ n), więc gdy średnic podziłu jest dosttecznie mł, to z wrunku jednostjnej ciągłości, będziemy mieli f(β j) f(α j) < ɛ, (b ) stąd n ɛ n S n S n f(t j) f(t j ) jt jt = ɛ. (b ) j= Z osttniego twierdzeni wynik, dzięki wcześniejszym uwgom (z prgrfu.2, s.3), że dl funkcji ciągłej f funkcj F dn wzorem (3) jest jej funkcją pierwotną, czyli d x f(t) dt = f(x). dx Dzięki temu, do obliczni wrtości cłki oznczonej możemy użyć wzoru (4) Newton-Leibniz. N przykłd, π sin x dx = ( cos(π)) ( cos(0)) = 2, 0 gdyż funkcją pierwotną dl sin x jest cos x. Nleży podkreślić, że cłkę oznczoną (Riemnn) definiujemy jedynie dl funkcji określonych n cłym domkniętym przedzile ogrniczonym. Podobnego symbolu: b f(t) dt będziemy też używli dl tzw. cłek niewłściwych (w sytucji, gdy lbo jedn z wrtości, b jest nieskończon, lub w przypdku, gdy f nie jest określon w którymś z końców przedziłu [, b] (tki punkt nzwiemy punktem niewłściwym cłki niewłściwej b f(t) dt). 3 Zstosownie cłki oznczonej 3.0. Mir Jordn Czy d się dokłdnie zmierzyć pole dowolnego zbioru E R 2 n płszczyźnie R 2 określjąc mirę zbioru E (oznczmy tę mirę symbolem E ) np. w metrch kwdrtowych, przyjmując, że kwdrt [0, ] [0, ] m mirę? Intuicj podpowid, że mir tk powinn spełnić nstępujące postulty: monotoniczność: E E 2 E E 2 (skończon) ddytywność: gdy A B =, to A B = A + B (wrunek unormowni): [, b] [c, d] = (b ) (d c) j=

9 9 Wrunek unormowni mówi, że mir prostokąt jest iloczynem długości jego (2 kolejnych) boków. W R 3 odpowiedni postult mówi, że mir prostopdłościnu = pole podstwy rzy wysokość. Dl uproszczeni, pozostńmy przy mierze powierzchniowej w R 2. Postult ddytywności wygodniej jest formułowć w nstępującej (równowżnej) postci: gdy część wspóln dwu zbiorów A i B jest miry zero, tzn. gdy A B = 0, to A B = A + B. Tk sytucj zchodzi np. dl pry prostokątów mjących rozłączne wnętrz, lecz wspólny bok, lub wierzchołek. Bez złożeni o E F mmy zwsze nierówność E F E + F. N ogół nie możn przedstwić zbioru jko sumy skończenie wielu tkich prostokątów -przykłdem jest koło, nwet trójkąt. Możemy więc podwć przybliżeni miry zbioru E z niedomirem -jko sumy pól prostokątów o prmi rozłącznych wnętrzch, zwrtych w E. Dzięki postultom: ddytywności orz monotoniczności, tkie sumy będą mniejsze lub równe od E. Kres górny tkich przybliżeń z niedomirem definiowny jest jko mir wewnętrzn zbioru E. Powiemy, że zbiory A,..., A k pokrywją zbiór E, lub stnowią pokrycie zbioru E, gdy E A... A k. Sumy pól tkich prostokątów są nie mniejsze, niż mir zbioru E. Kres dolny sum mir prostokątów pokrywjących E, brny po wszystkich pokrycich, jest nzywny mirą zewnętrzną zbioru E. Jeśli miry: zewnętrzn i wewnętrzn są jednkowe, to oznczmy je symbolem E i nzywmy mirą Jordn zbioru E. W przeciwnym wypdku zbiór nzywmy niemierzlnym (w sensie Jordn). Uwg Mtemtycy chętniej używją wprowdzonej nieco później tzw. miry Lebesgue zbioru E -wówczs zmist skończonych- używ się pokryć przeliczlnych, zbiory mierzlne w sensie Jordn będą też mierzlne w sensie Lebesgue i wrtości tych mir będą wówczs jednkowe, lecz nie n odwrót. N przykłd, zbiór liczby wymiernych z odcink [0,] m mirę wewnętrzną (zrówno Jordn, jk i Lebesgue ) równą zero, lecz jego zewnętrzn mir Jordn wynosi, jk możn wykzć. Jest to więc przykłd zbioru niemierzlnego. Jednk jest to zbiór mierzlny w sensie Lebesgue, miry Lebesgue zero, podobnie, jk kżdy zbiór przeliczlny (djący się ustwić w ciąg). Nie będziemy definiowli miry Lebesgue dl dowolnych zbiorów, ntomist wrto określić, kiedy tk mir zbioru E wynosi zero. Definicj Zbiór E jest zbiorem miry Lebesgue zero, gdy ɛ>0 An E A n orz k N n= k A n < ɛ. Tu A n są pewnymi przedziłmi w przypdku E R, w przypdku dwuwymirowym (E R 2 ) -mją to być prostokąty ( w R 3 - prostopdłościny). Przytoczone wcześniej kryterium Lebesgue mówi więc, że funkcj ogrniczon jest cłkowln w sensie Riemnn wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miry Lebesgue zero. Dodjmy, że mierzlność zbioru E R 2 w sensie Jordn jest równowżn zerowniu się miry Lebesgue brzegu zbioru E. 3. Mir trpezu krzywoliniowego Gdy f : [, b] [0, + ) jest funkcją nieujemną, ogrniczoną, to zbiór n= E := {(x, y) R 2 : x [, b], 0 y f(x)} nzywmy trpezem krzywoliniowym. Gdy τ = (t 0 = < t <... < t n = b) jest podziłem odcink [, b] orz m j = inf [tj,t j] f, M j = sup [tj,t j] f, to [t j, t j ] [0, m j ] są prostokątmi o rozłącznych wnętrzch, zwrtymi w zbiorze E, zś prostokąty [t j, t j ] [0, M j ] tworzą pokrycie E. Ich sumy pól są równe odpowiednio: sumom dolnym orz sumom górnym dl cłki Riemnn z f związnym z podziłem τ. Stąd mir wewnętrzn E jest równ cłce dolnej z f, zś mir zewnętrzn (Jordn) -cłce górnej. Mierzlność E jest więc równowżn cłkowlności f i wówczs mmy

10 0 Wzór n pole trpezu krzywoliniowego: E = b f(t) dt. Gdy mmy dwie funkcje φ, ψ : [, b] R tkie, że t [,b] φ(t) ψ(t), to zbiór G = {(x, y) R 2 : x [, b], φ(x) y ψ(x)} nzywmy obszrem normlnym względem osi 0X (lub też -trpezem krzywoliniowym) wyznczonym przez tę prę funkcji i podobnie jk dl φ = 0 zuwżmy, że G = b 3.2 Długość łuku krzywej Zbiór punktów postci (ψ(x) φ(x)) dx. γ = {γ(t) = (x(t), y(t)) : t [α, β]}, gdzie x, y : [α, β] R są funkcjmi ciągłymi, nzywmy krzywą w R 2. Prę funkcji (x, y), czyli funkcję o wrtościch wektorowych γ(t), nzwiemy prmetryzcją tej krzywej. (Kżd krzyw m wiele prmetryzcji, np. okrąg o promieniu R i o środku w początku ukłdu współrzędnych, m prmetryzcje: orz jk również γ (t) = (R cos t, R sin t), t [0, 2π] γ 2 (t) = (R cos(2πt), R sin(2πt)), t [0, ], γ 3 (t) = (R sin t, R cos t), t [0, 2π]. Przy pierwszych dwu prmetryzcjch, wrz ze wzrostem t, punkt porusz się po okręgu w kierunku przeciwnym do biegu wskzówek zegr (ten kierunek przyjmujemy jko nturlny), zś w trzecim przypdku -w kierunku zgodnym z ruchem wskzówek zegr. Możn też prmeryzowć okrąg w sposób wielokrotny -np. biorąc γ (t) t [ 6π, 6π] -6-krotnie. Będziemy n ogół rozwżć tzw. krzywe Jordn (czyt. Żordn ), -gdzie jednkowe wrtości prmetryzcji mogą się pojwić jedynie n końcch przedziłu [α, β]. Wykres funkcji ciągłej f : [, b] R jest krzywą (tu x(t) = t, y(t) = f(t)) Podziłowi τ = (t 0 = α < t <... < t n = β) odcink [α, β] odpowid ukłd punktów γ j = (x(t j ), y(t j )) n tej krzywej. Łmną przechodzącą kolejno przez punkty γ 0, γ,... γ n nzwiemy łmną wpisną w krzywą. Wrz ze wzrostem dokłdności podziłu τ (czyli wrz z mleniem jego średnicy), te łmne wpisne corz dokłdniej przybliżją ksztłt nszej krzywej (w pewnym momencie nie są rozróżnilne dl nszego ok od krzywej- gdy jest on zznczon grficznie linią o jkiejś dodtniej grubości). Z nierównosci trójkąt wynik, że długość łmnej odpowidjącej drobniejszemu od τ podziłowi jest większ, od długości łmnej wyznczonej punktmi podziłu τ. Definicj. Długością l(γ) łmnej γ nzywmy kres górny długości łmnych wpisnych w tę krzywą. Gdy t długość jest skończon, krzywą nzwiemy prostowlną. N przykłd, wykres funkcji f : [0, ] [, ] tkiej, że f(0) = 0, f(t) = t sin t, 0 < t jest krzywą, któr nie jest prostowln. Tym niemniej, mmy Twierdzenie. Kżd krzyw klsy C, czyli tk, że jej współrzędne mją pochodne ciągłe (x, y C[, b]) jest prostowln, przy czym jej długość wynosi l(γ) = b (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt.

11 Szkic dowodu: Dl podziłu τ punktmi t j użyliśmy oznczeń jt := t j t j (=przyrost rgumentu). Niech jx := x(t j) x(t j ), jy := y(t j) y(t j ) - oznczją odpowiednie przyrosty wrtości funkcji x, y. Z twierdzeni Pitgors, długość j-tego odcink łmnej wpisnej w krzywą, wyznczonej przez nsz podził, wynosi jx 2 + jy 2. Z twierdzeni Lgrnge o wrtości średniej (dl funkcji n przedzile [t j, t j]), istnieje punkt pośredni α j (t j, t j) tki, że x (α j) = j x, więc j t jx = x (α j) jt. Podobnie, jy = y (β j) jt dl pewnych punktów β j (t j, t j). Sumy długości odcinków nszej łmnej przyjmują więc postć n jt x (α j) 2 + y (β j) 2. j= Gdyby było α j = β j, mielibyśmy dokłdnie sumy cłkowe dl cłki z nszego wzoru. Aby więc zkończyć dowód, wystrczy, korzystjąc z jednostjnej ciągłości funkcji ciągłych n przedziłch domkniętych, wykzć, że różnice między summi j jt x (α j) 2 + y (β j) 2 orz summi j jt x (α j) 2 + y (α j) 2 zmierzją do zer wrz ze zmierzniem do zer średnicy podziłu τ. Detle tego frgmentu dowodu pomińmy. W szczególności, długość linii wykresu dl f : [, b] R, czyli krzywej {(t, f(t)) : t [, b]}, to liczb b + (f (t)) 2 dt. 3.3 Objętość bryły obrotowej Jeśli wykres funkcji f : [, b] [0, + ) będziemy obrcć w R 3 dookoł osi 0X, otrzymmy zbiór Ω := {(x, y, z) R 3 : x [, b], y 2 + z 2 (f(x)) 2 }. Przekrojmi tej bryły płszczyznmi {(x, y, z) : x = x 0 } równoległymi do 0Y Z są koł o środku w zerze, promieniu f 2 (x 0 ). Przybliżeni z niedomirem objętości Ω otrzymmy sumując objętości wlców {(x, y, z) R 3 : x [t j, t j ], y 2 + z 2 m 2 j}, czyli sumując liczby j tπm 2 j, gdzie m j są, jk w przypdku obliczeń dl trpezów krzywoliniowych, wrtościmi njmniejszymi f n przedziłch [t j, t j ]. Przybliżeni z ndmirem otrzymmy biorąc wlce opisne n j-tych frgmentch zbioru Ω. Ich sumy objętości dją cłkę górną z funkcji π(f(x)) 2. Stąd wynik, że w przypdku f R[, b] mmy Ω = π b 3.4 Pole powierzchni obrotowej Powierzchnię obrotową (f(x)) 2 dx. S = {(x, y, z) R 3 : x [, b], y 2 + z 2 = (f(x)) 2 } przybliżmy odcinkmi powierzchni bocznej stożk, otrzymując wzór S = 2π b 4 Cłki niewłściwe f(x) + (f (x)) 2 dx. Cłki Riemnn definiujemy jedynie dl funkcji określonych n (cłych) przedziłch domkniętych i ogrniczonych, powiedzmy [, b]. Funkcj cłkowln musi być, jk wiemy, też ogrniczon. W pozostłych przypdkch (gdy lbo jeden z końców przedziłu -np. b jest nieskończony, lbo gdy f m w punkcie b R symptotę pionową) może się zdrzyć, że f będzie jednk cłkowln n wszystkich przedziłch typu [, β] β < b. (Tk będzie np. w njczęściej rozwżąnym przypdku, gdy f C[, b).) Przy tego typu złożeniu możemy przyjąć nstępującą definicję:

12 2 4. Definicj cłki niewłściwej b f(t) dt := lim β b β f(t) dt. W tym przypdku mówimy, że b jest punktem niewłściwym, lub cłk jest niewłściw w punkcie b. Ten zpis m chrkter formlny -grnic może istnieć i być liczbą skończoną (wówczs mówimy, że nsz cłk niewłściw jest zbieżn), bądź nie. W tym drugim przypdku (lub gdy grnic jest nieskończon) -mówimy, że cłk niewłściw jest rozbieżn. Anlogicznie, gdy α> mmy cłkowlność: f R[α, b], definiujemy b f(t) dt = lim α + f(t) dt, wtedy (lewy koniec przedziłu) jest punktem niewłściwym. Punkt niewłściwy może się również pojwić wewnątrz przedziłu cłkowni, np. niech będzie to punkt c (, b). Wtedy wystrczy przyjąć b f(t) dt = c f(t) dt + b c f(t) dt. (Skłdniki po prwej stronie równości są już cłkmi z puktem niewłściwym n krńcu odcink- drogi cłkowni.) Uwg : Mmy tu do czynieni z sumą dwu grnic. N przykłd, Podobnie, + h(t) dt = 0 lim η η β dx = lim x β 0 h(t) dt + lim κ + κ dx + lim x α 0 α 0 h(t) dt. x dx. Zmienienie tego typu wyrżeń n grnicę z punktmi zmierzjącymi symetrycznie do grnic cłkowni d zupełnie inne pojęcie -tzw. wrtości głównej (ng. principl vlue) cłki niewłściwej, ozncznej przez umieszczenie skrótu P.V. przed znkiem cłki. Tk więc -n przykłd, P.V. + g(t) dt = M lim g(t) dt, M + M co może dwć wrtość skończoną (0 w przypdku g nieprzystej) nwet dl funkcji, dl których cłk + nie istnieje. Podobnie, 0 ɛ P.V. dt = lim t ( ɛ 0+ t dt + dt) = 0, ɛ t choć cłk niewłściw z tej funkcji jest rozbieżn. Tym niemniej, tkie cłki odgrywją wżną rolę zrówno w zstosownich w fizyce, jk i w teorii funkcji zmiennej zespolonej, któr dostrcz brdzo efektywnych metod liczeni cłek. Gdy istnieje zwykł cłk niewłściw, to cłk w sensie wrtości głównej też istnieje i te cłki są tkie sme. Ćwiczenie: W nszej definicji cłki niewłściwej nie wykluczliśmy sytucji, gdy funkcj jest cłkowln w sensie Riemnn n cłym przedzile. Proszę sprwdzić, że w tkim wypdku cłki: zwykł i niewłściw są równe. 4.2 Wrunek Cuchy ego zbieżności Sprwdznie n podstwie definicji, czy ciąg liczbowy (x n ) jest zbieżny do pewnej grnicy skończonej, lub czy istnieje grnic funkcji -wymg bdni odległości między wyrzmi ciągu (lub wrtościmi funkcji w pewnych punktch) tą liczbą, któr m być grnicą, czyli musimy znć wrtość tej grnicy. Jeśli interesuje ns tylko zbieżność, wrtości grnicy nie znmy, musimy użyć

13 3 innej metody. W przypdku ciągów (funkcji) monotonicznych -wystrczy ogrniczoność, by ciąg był zbieżny (lub by funkcj mił grnice -stronne). Ale w większości przypdków tkiej monotoniczności nie możemy zkłdć. Wówczs brdzo użyteczny jest tzw. wrunek Cuchy ego. Jk wiemy, dl ciągów tki wrunek jest równowżny istnieniu grnicy skończonej, czyli zbieżności. Przypomnijmy ten wrunek (z I semestru): ɛ>0 M N n,k N (n M, k M) x n x k < ɛ. Dl istnieni skończonej grnicy funkcji, np. grnicy lewostronnej, lim β b F (β) funkcji F : D R wrunkiem koniecznym i wystrczjącym jest, by ɛ>0 γ<b α,β D (γ < α < b, γ < β < b) F (α) F (β) < ɛ. (2) Dodtkowe złożenie: α < β nie zmniejsz ogólności, jest wygodne. Wrunek (2) implikuje zchodzenie jego ciągowego odpowiednik dl wszystkich ciągów α n zbieżnych do b o wrtościch mniejszych od b (nleżących do dziedziny: D). Z twierdzeni Cuchy ego dl ciągów otrzymmy istnienie grnicy skończonej dl kżdego z ciągów o wyrzch F (α n). Łtwo wykzć, że jest to jednkow wrtość (powiedzmy, g) dl wszystkich tkich ciągów (α n), więc wrunek Heinego implikuje relcję g = lim β b F (β). Dl ciągów z wrunku Cuchy ego -wnioskujemy ogrniczoność. Fktycznie, dobierjąc M dl ɛ 0 = mmy -poz zbiorem {x,..., x M } skończonym, więc ogrniczonym -ogrniczenie x j x M <, więc x j < x M + dl j M. N mocy twierdzeni Bolzno-Weierstrss, pewien podciąg (x nk ) ciągu (x n) jest więc zbieżny do jkiejś grnicy g R. Terz dl dowolnie ustlonego ɛ > 0 dobierm M jk w wrunku Cuchy ego. Dzięki zbieżności nszego podciągu znjdziemy n k > M tkie, by x nk g < ɛ. Ale dl j > M jest x j x nk < ɛ, więc zstosownie nierównosci trójkąt dl x j g = x j x nk + x nk g pozwoli oszcowć x j g przez 2ɛ dl j > M, dowodząc zbieżności. N odwrót, gdy g = lim β b F (β), to zchodzi wrunek Cuchy ego. Istotnie, z definicji grnicy, ɛ>0 γ<b α D γ < α < b F (α) g < ɛ. Anlogicznie jest dl β (γ, b) D, więc nierówność trójkąt dl tkich α, β dje F (α) F (β) F (α) g + g F (β) < 2ɛ. Stosując wrunek Cuchy ego dl F (x) := x f(t) dt orz fkt, że dl α < β jest F (β) F (α) = β f(t) dt, otrzymujemy nstępujący: α Wniosek (Kryterium Cuchy ego zbieżności cłki niewłściwej): Cłk niewłściw (w punkcie b) jest zbieżn wtedy i tylko wtedy, gdy β ɛ>0 γ<b α,β D (γ < α < β < b) f(t) dt < ɛ. (3) α 4.3 Kryterium porównwcze Kryterium to sformułujemy w przypdku, gdy górn grnic cłkowni jest punktem niewłściwym. Zkłdmy, jk zwykle, że f : [, b) R, przy czym β (, b)f R[, β]. Anlogiczne złożeni dotyczą drugiej funkcji: g Twierdzenie. (Kryterium porównwcze) Gdy funkcj g mjoryzuje f w tym sensie, że t [,b) f(t) g(t), pondto cłk niewłściw b g(t) dt jest zbieżn, to zbieżn będzie również cłk b f(t) dt. Dl uzsdnieni tego kryterium wystrczy sprwdzić wrunek Cuchy ego (3) dl f. Wykorzystmy tu fkt, iż tki wrunek spełni funkcj g. Z cłkowej nierówności trójkąt, ( nstępnie z zkłdnej mjoryzcji: f g, mmy dl α < β < b oszcowni: β α f(t) dt β α f(t) dt β α g(t) dt. Osttni cłk będzie dowolnie mł (< ɛ) dl α dosttecznie bliskich b, czyli dl γ < α < b przy odpowiednio dobrnym γ. N przykłd, sin(3x 3 +2x+) x 2 +ln(x+2) dx jest zbieżn, bo moduł funkcji podcłkowej jest nie większy od funkcji x, której cłk jest zbieżn (równ 2

14 4 lim M + ( M ( )) =. Bdnie zbieżności pierwszej cłki w sposób bezpośredni jest wręcz niewykonlne (nie znjdziemy funkcji pierwotnej). Ide oszcowń ułmków poleg n oszcowniu od góry modułu licznik (tu przez ) i oszcowniu od dołu minownik, le tk, by otrzymć w wyniku cłkę zbieżną. Dl pewnych funkcji cłk niewłściw może być zbieżn, chociż kryterium porównwcze nie może być stosowne, gdyż cłk z modułu funkcji podcłkowej już jest rozbieżn, tym brdziej, cłk z dowolnej mjornty. Cłk z modułu jest rozbieżn gdy np. f(t) = t, t [, + ). Jeśli f(t) = t dl t [2k, 2k), k N orz f(t) = t dl t [2k, 2k + ), możn wykzć zbieżność cłki + f(t) dt, podczs gdy + f(t) dt = +. Podobnie jest w przypdku f(t) = sin t t. W obu przypdkch nleży skorzystć z tzw. kryterium Dirichlet: (nie jest ono dl Pństw obowiązkowe. Sformułujemy je dl f : [, + ) R:) Twierdzenie Jeśli funkcj φ m cłki ogrniczone: sup{ M φ(t) dt, M < } < +, zś ψ jest funkcją monotoniczą, zmierzjącą do zer: lim M + ψ(t) = 0, to cłk niewłściw + φ(t)ψ(t) dt jest zbieżn. 5 Rchunek różniczkowy wielu zmiennych -wstęp Dl funkcji dwu (i nlogicznie, w przypdku większej ilości) zmiennych podstwową metodą nlizy jest ustlenie jednej ze zmiennych. N przykłd, bdjąc zchownie się funkcji f [zmiennych (x, y) w punkcie o współrzędnych (7, 3)], możemy rozwżć dwie funkcje jednej zmiennej: f(x, 3) -jko funkcję zmiennej x orz f(7, y)- funkcję zmiennej y. Mtemtycy często używją zpisu bezrgumentowego (np. wolimy mówić o funkcjch: sin, rc cos, ln, exp, niż o funkcjch sin(φ), rc cos(x), ln(t), exp(z) -bo ten osttni zpis przedstwi w zsdzie wrtości dnych funkcji w konkretnych punktch: φ, x, t, z. Dl funkcji 2 zmiennych używ się zpisu, w którym ktywną zmienną zstępujemy przez kropkę. Dltego w wielu tekstch możn spotkć oznczenie f(x 0, ), które przedstwi funkcję od drugiej zmiennej (z pierwszą zmienną ustloną n wrtości x = x 0 ). Jeśli, n przykłd, ustlimy drugą zmienną (np. y = 3) w funkcji f(x, y) = x y, to otrzymmy funkcję potęgową: f(x, 3) = x 3. Ustlenie pierwszej zmiennej d funkcję wykłdniczą -np. dl x = 7 otrzymmy f(7, y) = 7 y, co możn też wyrzić jko ln 7 exp(y). Możn więc w tym przypdku zpisć bezrgumentowo: f(7, ) = ln 7 exp( ), lub nwet f(7, ) = ln 7 exp. Gdy f : R 2 R jest funkcją liniową, to dl pewnych stłych A, B mmy f(x, y) = Ax + By. (Po prostu, A = f(, 0), B = f(0, ).) Wówczs ustljąc x = x 0 otrzymmy funkcję f(x 0, y) = Ax 0 + By, któr będzie tzw. funkcją finiczną (jej wykresem jest lini prost), le nie będzie to funkcj liniow zmiennej y, jeżeli Ax 0 0. Odwzorownie F : R 2 R k nzwiemy odwzorowniem dwuliniowym, gdy x 0, y 0 R odwzorowni zmiennej powstłe przez ustlenie pozostłych zmiennych, czyli odwzorowni: F (x 0, y) (zmiennej y) orz F (x, y 0 ) (zmiennej x) są liniowe. Tkie odwzorownie m postć F (x, y) = xyw dl pewnego wektor w z przestrzeni R k. W przypdku funkcji n zmiennych -będziemy ustlć n zmiennych i otrzymmy w ten sposób n funkcji zleżnych od zmiennej. Gdy wszystkie te funkcje są ciągłe w dnym punkcie (dokłdniej, w odpowiednich współrzędnych tego punktu, będziemy mówili, że f jest ciągł ze względu n kżdą ze zmiennych z osobn. Możemy obliczć pochodne z tkich funkcji, otrzymując tzw. pochodne cząstkowe f. 5. Pochodne cząstkowe Jeśli funkcj f(x 0, ) jest różniczkowln (czyli m pochodną) względem drugiej zmiennej (oznczonej tu przez kropkę), to wrtość tkiej pochodnej w punkcie

15 5 y 0 nzwiemy pochodną cząstkową z funkcji f ze względu n drugą zmienną w punkcie (x 0, y 0 ) i oznczymy ją symbolem y f(x 0, y 0 ) lbo f y (x 0, y 0 ). Czsmi wygodniejszy byw zpis y f(x, y) (x,y)=(x 0,y 0) lub y f(x, y) (x 0,y 0). Brdziej skrótow wersj, to oznczenie f x(x 0, y 0 ), lub nwet f x (x 0, y 0 ) n symbol f x (x 0, y 0 ). Tk więc nszą definicję możemy zpisć nstępująco: y f(x f(x 0, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim. (4) k 0 k Anlogicznie, pochodn cząstkow względem x w dnym punkcie, to x f(x f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim. h 0 h Dotychczs pisliśmy x 0, y 0 -by oznczyć w sposób szczególny te ustlone wrtości, le równie dobrze możemy nie używć dolnego indeksu -tk będzie w nstępnych przykłdch, czy zdnich. N przykłd, dl f(x, y) = x 4 + x 3 y + xy 2 + 6y + 32 mmy x f(x, y) = 4x3 + 3x 2 y + y 2, zś y f(x, y) = x3 + 2xy + 6. Z kolei, x (xy ) = yx y, y (xy ) = x y ln x. Podobnie, y (Ax + By + Cxy) = B + Cx. Przyrostem funkcji (lub przyrostem wrtości funkcji) f : D R między punktmi P, Q D nzwiemy różnicę wrtości f w tych punktch, czyli liczbę f := f(p ) f(q). Gdy punkty P, Q różnią się tylko jedną ze współrzędnych (np. x), to mówimy o przyroście f ze względu n tę zmienną, lub o przyroście częściowym. Możemy przyrost f ze względu n zmienną x oznczyć x f. Zpis ten nie jest precyzyjny, (nie zwier informcji o punktch P, Q), le dość sugestywny. N przykłd, f x = lim x 0 xf x (dl uproszczeni rozptrujemy funkcje dwu zmiennych: (x, y)) w tym przypdku P = Q + ( x, 0) -sum wektorów w R 2 ). W przeciwnym ( rczej - w ogólnym) przypdku mówimy o przyroście cłkowitym. Podobnie,jk dl jednej zmiennej, słowo przyrost m znczenie formlne- może być x < 0. Prostym, lecz brdzo wżnym nrzędziem jest możliwość wyrżeni przyrostu cłkowitego jko sumy przyrostów względem poszczególnych (tu 2) zmiennych: f(x, y ) f(x 0, y 0 ) = (f(x, y ) + f(x 0, y )) (f(x 0, y ) f(x 0, y 0 )), co nieformlnie możemy zpisć w postci f = x f + y f. (Dl funkcji n zmiennych f jest sumą n j= x j f.) Stosując do funkcji f(x 0, ) zleżnej od zmiennej y twierdzenie Lgrnge o wrtości średniej, otrzymujemy nstępujący Lemt o przyrostch Gdy dl ustlonej wrtości x 0 funkcj f m pochodne cząstkowe y f(x 0, y) dl wszystkich y [y 0, y ], to istnieje y β (y 0, y ) tki punkt pośredni między y 0 orz y, że f(x 0, y ) = f(x 0, y 0 ) + (y y 0 ) y f(x 0, y β ), czyli y f = ( y) y f(x 0, y β ).

16 6 Podobnie, przyrost cłkowity wyrzi się wzorem (5), który podjemy poniżej Punkt pośredni wygodnie będzie zpisywć w postci y β = y 0 +β(y y 0 ) = y 0 +β y, gdzie β jest pewnym punktem z odcink (0, ). N przykłd, y 2 = 2 (y +y 0 ) jest punktem n środku odcink łączącego y 0, y. Zletą tego zpisu jest możliwość jego stosowni niezleżnie od tego, czy y 0 < y, czy też y < y 0. Jeśli złożymy istnienie obydwu pochodnych cząstkowych (tu ozncznych jko f x, f yw większym zbiorze, to otrzymmy nstępujące uogólnienie tego lemtu wynikjące z rozpisni przyrostu cłkowitego funkcji f w postci sumy przyrostów względem poszczególnych zmiennych i z zstosowni nszego lemtu do kżdego ze skłdników. Przyrost cłkowity, f := f(x, y ) f(x 0, y 0 ) jest dny wzorem f = (x x 0 )f x(x 0 + α(x x 0 ), y ) + (y y 0 )f y(x 0, y 0 + β(y y 0 )) (5) dl pewnych α, β (0, ). Ze wzoru tego wkrótce skorzystmy. 5.2 Przykłd negtywny Niestety, metod ustlni zmiennych nie jest do końc skuteczn -przynjmniej będziemy musieli zbdć, w jkich sytucjch możemy ją stosowć. Gdyby bowiem przyjąć, że różniczkowlność ozncz jedynie istnienie pochodnych cząstkowych w kżdym punkcie, to okże się, że złożenie tkich funkcji nie musi być różniczkowlne, nwet ciągłe! Oto przykłd: xy x 2 +y 2 Niech h(x, y) = gdy x 0 lub y 0. Jeśli określimy h(0, 0) = 0, to otrzymmy funkcję n płszczyźnie R 2, któr jest ciągł względem kżdej ze zmiennych z osobn orz m pochodne cząstkowe w kżdym punkcie. W punkcie (0, 0) pochodnych cząstkowych nie liczymy ze wzoru n pochodną ilorzu (tk możemy postąpić w innych punktch), lecz z definicji. Poniewż h(0, y) = 0 = h(x, 0) x,y, bez problemu zuwżmy, że h x(0, 0) = h y(0, 0) = 0. Jeśli terz x, y : R R są funkcjmi różniczkowlnymi zmiennej t, to możemy utworzyć funkcję złożoną: g(t) = h(x(t), y(t)), g : R R. Możn się spodziewć, że złożenie funkcji różniczkowlnych będzie, jk w przypdku jednej zmiennej, funkcją różniczkowlną. Ale dl brdzo porządnych funkcji x(t) = t = y(t) nsze złożenie nie będzie nwet funkcją ciągłą! g(t) = h(t, t) = 2 dl t 0. ntomist dl t = 0 będzie g(0) = 0. Gdyby ntomist w liczniku ułmk zmist xy umieścić x 3, otrzymmy funkcję ciągłą (def. poniżej), mjącą w kżdym punkcie wszystkie pochodne cząstkowe. Tym rzem definiujemy φ(x, y) = x3 x 2 +y 2 poz punkem (0, 0) i z nierówności φ(x, y) x 2 + y 2 wynik, że grnic w zerze φ istnieje i jest równ zero. Terz φ x(0, 0) =, φ y(0, 0) = 0, dl x(t) = t = y(t) pochodn złożeni: φ(t, t) = 2 t względem t, równ 2, nie dje się wyrzić wzorem (6), który będzie obowiązywł w przypdku regulrnym. To ozncz, że musimy wprowdzić inną definicję różniczkowlności dl funkcji wielu zmiennych. W tym celu będzie niezbędne pojęcie grnicy funkcji w punkcie, tkże pojęcie ciągłości. Okże się, że złożenie ciągłości pochodnych cząstkowych funkcji f pozwoli n otrzymnie wspomninego przed chwilą wzoru: d dt f(x(t), y(t)) = f x(x(t), y(t))x (t) + f y(x(t), y(t))y (t). (6) 5.3 Długość wektor, odległość punktów Przestrzenie R 2 orz R 3 są przykłdmi przestrzeni wektorowych. Elementy przestrzeni wektorowej, nzywne wektormi, możn dodwć, mnożyć przez sklry (liczby rzeczywiste, lub zespolone -w przypdku przestrzeni wektorowych nd ciłem C liczb zespolonych). Te dw dziłni mją spełnić odpowiednie ksjomty lgebriczne (np. rozdzielność dodwni wektorów wzgl.

17 7 mnożeni, łączność mnożeni sklr przez wektor: (b)w = (bw)). (Dl odróżnieni sklrów od wektorów będziemy często te osttnie oznczć tłustym drukiem. Są też inne sposoby, np. mniej wygodne- umieszcznie strzłki nd wektorem: w. Sumą wektorów w = (x, y, z) orz w = (x, y, z ) w przestrzeni R 3 jest w+w = (x + x, y + y, z + z ). Dl sklr R mmy w = (x, y, z). Iloczyn sklrny w w = xx + yy + zz. UWAGA! Czsmi iloczyn sklrny oznczny jest symbolem w w, lecz prowdzi to do myleni z opercją złożeni dwu funkcji! W pewnych sytucjch użycie symbolu jest niewskzne, wtedy proponuję iloczyn sklrny oznczć lbo symbolem w w, lbo w, w. Ten osttni zpis jest szczególnie korzystny w przestrzenich wektorowych, których elementmi są funkcje. Wówczs symbol sugeruje rczej iloczyn dwu funkcji. Tymczsem iloczyn sklrny np. dl funkcji u,w C[, b] o wrtościch rzeczywistych definiujemy njczęściej wzorem u, w = b u(t)w(t) dt. Definicj normy. Jeżeli dl kżdego wektor w przestrzeni wektorowej X jest określon liczb w, zwn normą (lub długością) wektor w tk, że w 0 w > 0 (wrunek dodtniości), αw = α w (wrunek jednorodności normy), w + v w + v (nierówność trójkąt dl normy), to mówimy, że pr (X, ) jest przestrzenią unormowną. Punkty w R 2 lub R 3 trktowć możemy jko wektory zczepione w początku ukłdu. Podobnie, elementy przestrzeni wektorowej możemy nzywć zrówno punktmi, jk i wektormi. Definicj odległości punktów. Dl punktów w,v dnej przestrzeni unormownej (X, ) ich odległością nzywmy liczbę d(w,v) := w v, czyli długość łączącego je wektor. Odległością euklidesową w R 3 nzwiemy odległość zdefiniowną przez tzw. normę euklidesową: (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Anlogicznie definiujemy normę i odległość euklidesowe w R 2 (pomijjąc trzecią współrzędną). W dowolnej przestrzeni wektorowej X, w której określony jest iloczyn sklrny, w v, możemy określić normę euklidesową jko w := w w. Przypomnijmy, że iloczyn sklrny m być symetryczny, liniowy względem kżdej zmiennej z osobn orz dodtnio określony: w X\{0} w w > 0. Pierwszy z wrunków z definicji normy wynik włśnie z tej dodtniej określoności. Pondto (w) (w) = 2 w w, skąd po spierwistkowniu stronmi otrzymmy wrunek jednorodności normy. Jedyny nieoczywisty jest w sprwdzniu wrunek nierówności trójkąt. Tu trzeb skorzystć z dwuliniowości iloczynu sklrnego. Wystrczy sprwdzić nierówność trójkąt podniesioną stronmi do kwdrtu, gdyż norm jest nieujemn. Czyli mmy wykzć, że w+u 2 w w u + u 2. Lew stron tej nierówności, dzięki dwuliniowości orz symetrii, jest równ (w+u) (w+u) = w w + w u + u w + u u = w 2 + 2w u + u 2. Porównując stronmi widzimy, że wystrczy wiedzieć, że zchodzi nstępując nierówność (dl dowolnej pry wektorów): Nierówność Cuchy ego-bunikowskiego-schwrz: w u w u. Jej dowód możn uzyskć z dwuliniowości i nieujemności: funkcj φ(t) zmiennej t określon wzorem φ(t) := (w+tu) (w+tu) = w 2 +2tu u+t 2 u 2, jko stle nieujemny trójmin kwdrtowy (względem t) m wyróżnik niedodtni: ten wyróżnik, to 4(w u) 2 4 w 2 u 2. Pierwistkując stronmi otrzymną nierówność: 4(w u) 2 4 w 2 u 2, dzieląc stronmi przez 2, otrzymmy tezę.

18 8 Czsmi wygodnie jest używć innych norm, np. (x, y, z) := x + y + z normy, któr definiuje tzw. odległość tksówkową, d. W przypdku 2 zmiennych nzwę możn uzsdnić mierząc odległość między dwom punktmi n ulicch mist, które są wzjemnie równoległe bądź prostopdłe. Odległość, to minimln drog, jką musimy przebyć z jednego punktu do drugiego jdąc tksówką, któr nie może przecież jechć n przełj (po przekątnej prostokąt), tylko musi poruszć się wzdłuż sieci ulic. Jeszcze inną normę otrzymmy, biorąc (x, y, z), oznczne też jko (x, y, z) mx, równe njwiększej spośród wrtości modułów współrzędnych, (x, y, z) := mx{ x, y, z }. Wówczs d mx ((x, y, z), (x, y, z )) = mx{ x x, y y, z z }. W przypdku jednowymirowym (X = R), wszystkie te normy są równe modułowi liczby. W niektórych podręcznikch normę euklidesową w R d ozncz się też pojedynczymi kreskmi (jk moduł), pisząc w zmist w. W przestrzeni unormownej definiujemy kulę (otwrtą) o środku w punkcie u 0 i o promieniu R > 0 jko zbiór B(u 0, R) := {w X : w u 0 < R}. Używmy też oznczeń B(u 0, R) := {w X : w u 0 R} -dl kuli domkniętej orz B(u 0, R) := {w X : w u 0 = R} -dl sfery o promieniu R i środku w u 0. Definicj Mówimy, że zbiór A X jest otoczeniem punktu u 0, gdy zwier on pewną kulę o środku u 0, czyli gdy istnieje R > 0 tkie, że zchodzi implikcj: (w X, w-u 0 < R) w A. Zbiór, który jest otoczeniem kżdego ze swoich punktów nzywmy zbiorem otwrtym. (N wykłdzie pokzłem, jk używjąc nierówności trójkąt sprwdzić, że dowoln kul B(u 0, R) jest zbiorem otwrtym.) Mówimy, że punkt v 0 jest punktem brzegowym dl zbioru E X, co zpisujemy jko wrunek v 0 E, gdy ni zbiór E, ni jego dopełnienie (czyli zbiór X\E) nie są otoczenimi tego punktu. Jest to równowżne nstępującemu wrunkowi: r > 0 w E v E w v 0 < r, v v 0 < r. Brzegiem zbioru E nzywmy zbiór E wszystkich jego punktów brzegowych. N wykłdzie sprwdzmy, że wcześniejsze oznczenie B(u 0, R) dl sfery jest zgodne z obecnym określeniem- czyli brzegiem kuli jest sfer (o tkich smych: środku i promieniu), kżdy punkt z kuli otwrtej jest jej punktem wewnętrznym. Punkt v 0 nzwiemy punktem skupieni zbioru E, gdy kżd kul o środku w tym punkcie zwier jkieś punkty z zbioru E różne od v 0. (Wówczs musi on zwierć nieskończenie wiele tkich punktów.) N koniec, możemy zdefiniowć, co znczy, że ciąg wektorów w n w przestrzeni unormownej jest zbieżny do pewnego wektor w 0 : lim w n = w 0 (lub w n w 0 ) w n w 0 0 przy n. W przestrzeni euklidesowej R 3 dl w n = (x n, y n, z n ) tk zbieżność zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie zbieżności zchodzą dl kżdej ze współrzędnych: x n x 0, y n y 0, z n z Grnice i ciągłość funkcji wielu zmiennych Gdy v 0 jest punktem skupieni dziedziny D funkcji f : D R, to grnicą tej funkcji w punkcie v 0 nzwiemy tką liczbę γ, że ɛ>0 δ > 0 (0 < w v 0 < δ, w D) f(w) γ < ɛ. Wówczs piszemy γ = lim f(w). w v 0

19 9 Anlogiczn jest definicj grnicy odwzorowni F : D R k, nleży jedynie zstąpić f(w) γ przez F (w) γ. Odwzorownie F o wrtościch w R k trktujemy jko zestwienie k funkcji f,..., f k o wrtościch sklrnych, czyli F (x) = (f (x), f 2 (x),..., f k (x)). Przypdek k > nie jest wcle trudniejszy od przypdku k =, bo grnice z odwzorowni F możemy liczyć dl kżdej z funkcji współrzędnych f j. Mmy bowiem (dość prosty w dowodzie) lemt: Lemt (O zbieżności po współrzędnych) Gdy g = (g,..., g k ) R k, to g = lim F (x) x x j k g j = lim f 0 x x j (x). 0 Mówimy, że funkcj f : D R jest ciągł w punkcie v 0 D, gdy lbo v 0 nie jest punktem skupieni jej dziedziny, lbo lim f(w) = f(v w v 0 ). 0 Anlogicznie możn określić ciągłość odwzorowni F o wrtościch wektorowych. Wrunek ciągłości (np. dl F ) możn w sposób równowżny zpisć tk: ɛ>0 δ > 0 ( w v 0 < δ, w D) F (w) F (v 0 ) < ɛ. Definicję grnicy orz ciągłości możn w sposób równowżny wyrzić używjąc ciągów (wrunki Heinego): γ = lim f(w) [ (w w v n v 0, w n D \ {v 0 }) f(w n ) γ ]. 0 Funkcj f : D R jest ciągł w punkcie v 0 D wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu punktów z jej dziedziny, zbieżnego do punktu v 0, wrtości funkcji w punktch tego ciągu zmierzją do f(v 0 ). Dowody są identyczne, jk w przypdku funkcji jednej zmiennej. Wynik stąd też, że złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Poniewż funkcj przypisując liczbie y R punkt (x 0, y) R 2 jest ciągł, z ciągłości f w punkcie (x 0, y 0 ) wyniknie ciągłość względem drugiej zmiennej w tym punkcie, czyli ciągłość funkcji f(x 0, ) w punkcie y = y 0. Funkcje ciągłe są więc ciągłe względem kżdej ze zmiennych z osobn. Ale nie n odwrót! Przykłdem jest funkcj h z podpunktu 5.2. Jest on ciągł ze względu n kżdą ze zmiennych z osobn. Ntomist jej grnic w punkcie (0, 0) nwet nie istnieje. Możn to sprwdzić, biorąc np. ciąg (x n, y n ) = (( ) n n, n ). Wrtości h n tym (zbieżnym do zer) ciągu są równe ( ) n 2, tworzą więc ciąg rozbieżny. Liczenie grnic metodą ustlni zmiennych, jk widzimy, nie prowdzi do celu. Wprowdz się pojęcie grnic iterownych w punkcie (x 0, y 0 ): Przypuśćmy, że dl x z pewnego otoczeni x 0, le x x 0 istnieje lim y y0 f(x, y) = α(x). Podobnie, dl y y 0, y dosttecznie bliskich y 0 złóżmy, że istnieje β(y) := lim x x0 f(x, y). Wówczs mmy dwie funkcje α, β, które możemy nzwć grnicmi częściowymi. Jeśli istnieją grnice: A = lim x x0 α(x) orz B = lim y y0 β(y), to nzywmy je grnicmi iterownymi funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) (od włoskiego słow iterre -powtrzć). Niestety, z istnieni i równości grnic iterownych nie wynik istnienie grnicy podwójnej. Dl funkcji h z podpunktu 5.2 mmy A = B = 0, lecz jk wiemy, grnic nie istnieje. N odwrót, z istnieni grnicy (podwójnej) nie wynik istnienie grnic iterownych, nwet grnic częściowych. Tu przykłdem może być f(x, y) = x sin y dl y 0 orz f = 0 n osi 0X (tzn. dl y = 0). Grnic przy (x, y) (0, 0) istnieje i równ jest zero, le dl x 0 powyższ α(x) nie istnieje. Twierdzenie. Gdy istnieje grnic podwójn orz grnice częściowe, to istnieją w dnym punkcie obydwie grnice iterowne i są one równe (A = B). (Istnienie grnicy podwójnej możn jednk wywnioskowć z chrkteru zbieżności grnicy częściowej: jeśli dl pewnego δ > 0 wrtości sup{ f(x, y) α(x) : 0 < x x 0 < δ} zmierzją do zer przy y y 0, to grnic podwójn istnieje) Szczegóły pomijmy.