Funkcje materiały pomocnicze dla studentów I roku farmacji i analityki medycznej Opracował: dr Krzysztof Kłaczkow F U N K C J E

Transkrypt

1 - - F U N K C J E Mterił pomocnicze dl studentów I roku frmcji i nlitki medcznej Oprcowł: dr Krzsztof Kłczkow

2 - - Drogi Cztelniku! W Prcowni Mtemtcznej oprcowne zostł mterił które mogą Ci pomóc w powtórzeniu usstemtzowniu i ewentulnie uzupełnieniu Twojej wiedz z tej części mtemtki (n poziomie szkoł średniej) z której widomości są podstwą do prc n zjęcich prowdzonch przez nszą prcownię Oprcown zestw podzielon jest n rozdził W kżdm z nich n początku przpominm njwżniejsze definicje i twierdzeni Dlej prezentujem ckl zdń z którch brdzo wiele jest w pełni rozwiąznch (nzwm je przkłdmi) część zś wmg smodzielnego rozwiązni prz użciu przedstwionch w przkłdch metod (nzwm je ćwiczenimi) Do wszstkich ćwiczeń w końcowej części mteriłów podne są odpowiedzi Mm ndzieję że tk oprcown zestw umożliwi Ci smodzielną prcę i ułtwi przswojenie podnego mteriłu Autor prgnie w tm miejscu brdzo serdecznie podziękowć dr Jerzemu Chmjowi z cenne uwgi którch wkorzstnie pozwoliło zncznie ulepszć proponown zbiorek Dziękuje tkże mgr inż Grzegorzowi Puckowi z pomoc w oprcowwniu i korekcie niektórch prtii zdń Krzsztof Kłczkow

3 - - Wrtość bezwzględn Wrtością bezwzględną liczb rzeczwistej nzwm liczbę określoną nstępująco: gd 0 = gd < 0 Włsności wrtości bezwzględnej: Dl dowolnch liczb R zchodzą związki: () 0 ; () = 0 = 0 ; () = ; () = ; () = ( 0) Pondto jeśli > 0 to: ; () + + ; (7) = (8) = = = ; (9) < < < ; (0) ; () > < > ; () Przkłd Doprowdzić do postci nie zwierjącej znku wrtości bezwzględnej wrżenie: Rozwiąznie ) ; b) ( ) + ) Wznczm miejsce zerowe wrżeni pod wrtością bezwzględną: = 0 = Dzieli ono oś liczbową n dw przedził: ( > orz + Rozptrzm dne wrżenie w kżdm z nich Jeżeli ( > to 0 więc = ztem = ( ) = ( + ) Jeżeli zś + to < 0 czli = ( ) = ztem = ( ) = ( ) Osttecznie mm więc: ( + ) = ( ) gd gd >

4 - - b) Zuwżm że: + ( ) = + (włsność (7)) Dlej + = 0 = - orz = 0 = tk więc oś liczbow będzie terz podzielon n trz przedził: (- -) <-; ) orz < + ) Jeżeli (- -) to + < 0 orz < 0 więc + = i = + ztem + = ( ) ( + ) = ( 0) + Jeżeli <- ) to + 0 orz < 0 więc + = + i = + ztem + = ( + ) ( + ) = ( + ) Jeżeli zś < + > to + 0 orz 0 skąd + = + i = ztem + +0 Osttecznie: ( ) = = ( + ) + 0 ( ) Przkłd Rozwiązć równnie lub nierówność: ) + = ; b) ( ) = ( + ) ( ) = gd gd gd < < ; c) > Rozwiąznie ) N moc włsności (8) mm: + = + = - czli = = - b) Mm kolejno: ( ) - skąd i Korzstjąc z włsności (0) otrzmujem: czli < > c) Wobec włsności () mm: < - > skąd > < 0 Tk więc: 0 + ( ) Przkłd Rozwiązć równnie lub nierówność: ) = ; b) + < ; c) + > Rozwiąznie ) Zuwżm że równnie nie m postci wstępującej we włsności (8) bowiem po prwej jego stronie wstępuje wrżenie zwierjące zmienną Musim więc rozwiązć je w przedziłch (wznczonch przez miejsce zerowe wrżeni pod wrtością bezwzględną) Mm: ( ) < + ) ( ) < + ) ztem: + = = = = Zuwżm że pierwsz ukłd spełni tlko liczb = drugi jest sprzeczn Tk więc lterntwę obu ukłdów spełni tlko liczb = i on jest jednm rozwiązniem równni b) Rozwżjąc odpowiednie przedził mm:

5 - - ( ) < < + ) + < ( ) < + ) < < Zuwżm że drug nierówność w pierwszm ukłdzie jest prwdziw dl dowolnego ztem mm dlej: ( ) < + ) R < Pierwsz ukłd jest spełnion dl ( ) drugi zś dl < ) A więc ich lterntw jest spełnion dl ( ) < ) czli dl ( ) c) Mm: ( ) < ; > ( + ) ( ) > + ( ) > + ( + ) > ( ) < < > > ( + ) < ( ) (; > (; ) ( ) (; ) Przkłd Wznczć dziedzinę funkcji: ) f ( ) = + ; b) f ( ) = ; c) + f ( ) = Rozwiąznie ) Z uwgi n pierwistek stopni drugiego musim złożć że + 0 Rozwiązując tę nierówność otrzmujem: + skąd więc ( > < + ) b) Z uwgi n pierwistek musi bć: 0 zś z uwgi n minownik: 0 Ztem musi bć spełnion ukłd: 0 0 Ab rozwiązć drugi z wrunków lepiej njpierw rozwiązć równnie: = 0 skąd = = Ztem 0 Dziedzinę funkcji określ więc ukłd: 0 skąd < 0 ) ( + ) c) Musi bć spełnion ukłd: ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + )

6 Zuwżm że ukłd ten jest równowżn wrunkowi: > 0 Rozwiązujem osttnią nierówność: ( > > 0 ( + ) ( ) ( + ) ( > ( + ) > R ( ; > ( + ) ( + ) Ćwiczeni: Doprowdzić do postci nie zwierjącej znku wrtości bezwzględnej wrżenie: ) + + b) c) + + d) + + e) + > 0 Rozwiązć równnie lub nierówność: ) + = b) = c) + < d) e) + 9 > 0 Rozwiązć nierówność: ) < b) + c) + > + d) > e) Wznczć dziedzinę funkcji: ) f ( ) = b) d) < f ( ) = c) f ( ) = + e) f ( ) = + + Funkcj liniow Funkcją liniową nzwm funkcję określoną wzorem: f ( ) = + b R gdzie b R f ( ) = Niektóre włsności funkcji liniowej: () Wkresem kżdej funkcji liniowej jest lini prost () Współcznnik wstępując we wzorze funkcji liniowej jest równ tngensowi kąt nchleni prostej będącej wkresem tej funkcji do osi OX:

7 - 7 - = tg α (odpowiedni kąt skierown α zostł zznczon n poniższch rsunkch n lewm rsunku jest to kąt ostr n prwm rozwrt) () Jeżeli prost k jest wkresem funkcji liniowej f ( ) = + b zś prost m wkresem funkcji liniowej g ( ) = + b to: k l = k l = (o ile 0 ) Przkłd Nszkicowć wkres funkcji: ) f ( ) = + b) f ( ) = + Rozwiąznie Funkcje z tego przkłdu nie są co prwd liniowe le są liniowe przedziłmi ) Wznczm wzór funkcji w odpowiednich przedziłch: ( ) < + ) f ( ) = ( ) = + f ( ) = ( + ) = Z wkresu funkcji f() = + weźmiem tę część któr odpowid rgumentom z przedziłu ( ) : f ( ) = + ( ) (nie zmlowne kółko w punkcie będącm początkiem półprostej ozncz że punkt ten nie jest zliczn do wkresu)

8 - 8 - Anlogicznie z wkresu funkcji f() = - bierzem część dl < - + ): f ( ) = < + ) (zmlown punkt będąc początkiem półprostej nleż do wkresu) Ostteczn wkres jest sumą wkresów z obdwu rsunków: f ( ) = + b) Mm: ( ) < ; ) f ( ) = f ( ) = Ztem cząstkowe wkres będą nstępujące: < + ) f ( ) = f ( ) = ( ) f ( ) = < )

9 - 9 - f ( ) = < + ) skąd otrzmujem wkres ostteczn: f ( ) = Ćwiczeni: Nszkicowć wkres funkcji: ) f ( ) = b) f ( ) = + + c) f ( ) = d) f ( ) = + e) f ( ) = + N podstwie wkresu funkcji f odcztć zbiór jej rgumentów dl którch spełnion jest podn nierówność: ) f ( ) gdzie f ( ) = + ; b) f ( ) > gdzie f ( ) = ; c) f ( ) > gdzie f ( ) = ; d) f ( ) > gdzie f ( ) = + + Funkcj kwdrtow Funkcją kwdrtową nzwm funkcję określoną wzorem: f ( ) = + b + c R gdzie b c R i 0 Wrżenie + b + c ( 0 ) nzwm trójminem kwdrtowm Wkresem funkcji kwdrtowej jest prbol

10 - 0 - Postci trójminu kwdrtowego: ) postć ogóln: f ( ) = + b + c ; b) postć knoniczn: b f ( ) = ( p) + q p = q = gdzie = b c (liczb nzwn jest wróżnikiem trójminu kwdrtowego) Liczb p orz q są współrzędnmi wierzchołk W prboli: W(p q); c) postć ilocznow: gd 0 to f ( ) = ( )( ) b b + gdzie = = W przpdku gd < 0 postć ilocznow nie istnieje i funkcj kwdrtow nie m miejsc zerowch (w zbiorze liczb rzeczwistch) Przkłd Sprowdzić do postci knonicznej i ilocznowej (o ile istnieje) trójmin: f ( ) = + Rozwiąznie Mm: + = + = (włączenie współcznnik = - przed nwis) ( ) 9 = + = (zstosownie wzoru skróconego mnożeni) = Otrzmliśm postć knoniczną: f ( ) = + + (Jk łtwo sprwdzić ten sm wnik otrzmm obliczjąc p i q orz stosując podn wżej wzór n postć knoniczną) Dlej poniewż 0 więc istnieje postć ilocznow tego trójminu Mm: = = więc f ( ) = ( + )( ) Przkłd Nszkicowć wkres funkcji: ) f ( ) + = b) ( ) = ( + ) f Rozwiąznie ) Nszkicujem njpierw wkres funkcji i() = + (rsunek ) nstępie kolejno wkres funkcji: h() = + (rsunek b) g() = - + (rsunek c) orz f() =- + = = (rsunek d) Korzstm prz tm z nstępującch fktów: ) b z wkresu funkcji F() otrzmć wkres funkcji F() nleż: - te części wkresu funkcji F() które leżą pond osią OX lub n niej pozostwić bez zmin - części wkresu leżące poniżej osi OX przeksztłcić przez smetrię względem tej osi;

11 - - ) b z wkresu funkcji F() otrzmć wkres funkcji F() nleż przeksztłcić wkres funkcji F() przez smetrię względem osi OX; ) b z wkresu funkcji F() otrzmć wkres funkcji F() + ( R) nleż przesunąć wkres funkcji F() o wektor p = [0 ] (w tm wpdku p = [0 ]) ) b) i( ) = + h( ) = + c) d) g( ) = + f ( ) = + b) Mm: ( ) < + ) f ( ) = ( + )( + ) = ( + )( ) f ( ) = ( + )( ) Zuwżm że nie wrto likwidowć postci ilocznowej gdż z niej łtwo odcztć miejsc zerowe funkcji Mm: f ( ) = ( + ) ( ) ( ) f ( ) = ( + )( ) < + )

12 - - i osttecznie ( + ) f ( ) = Przkłd Rozwiązć nierówność: ) 9 < 0 b) 0 c) 9 0 d) > 0 Rozwiąznie ) Ze wzorów skróconego mnożeni: ( 8 )( 8 + ) < 0 f ( ) = ( 8 )( 8 + ) : Z wkresu funkcji 8 (której miejscmi zerowmi są = orz = 8 ) odcztujem rozwiąznie nierówności: b) Po podzieleniu obu stron nierówności przez i włączeniu przed nwis mm: Z wkresu ( ) odcztujem rozwiąznie nierówności: < 0; > c) Przeksztłcm nierówność do postci: + 0 Z wkresu:

13 otrzmujem: < ; > d) Korzstjąc ze wzorów skróconego mnożeni mm: ( + ) 0 Korzstjąc z wkresu funkcji f ( ) = ( + ) > zuwżm że funkcj t przjmuje wrtości dodtnie dl wszstkich R z wjątkiem = więc otrzmujem osttecznie: + (lub równowżnie R ) Przkłd Wznczć dziedzinę funkcji: ) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = + + Rozwiąznie ) Musi bć: > 0 skąd ( 0; ) b) Musi bć spełnion ukłd: 0 0 Rozwiązujem go: c) Mm: < ; ) ( + )

14 - - 0 czli + > 0 < > ( ) ( + ) skąd (; > Ćwiczeni: Sprowdzić do postci knonicznej i ilocznowej (o ile istnieje) trójmin: ) f ( ) = b) f ( ) = + c) f ( ) = + + d) f ( ) = e) f ( ) = Nszkicowć wkres funkcji: ) f ( ) = b) f ( ) = 8 + c) f ( ) = d) f ( ) = + e) f ( ) = + Rozwiązć nierówność: ) 0 0 b) 8 < 0 c) + > 0 d) 0 e) + 9 > Wznczć dziedzinę funkcji: ) f ( ) = b) d) + f ( ) = e) Wielomin f ( ) = c) f ( ) = f ( ) = + 8 Wielominem stopni n (n N) zmiennej rzeczwistej nzwm funkcję określoną wzorem: n n n W ( ) = n + n + n R gdzie 0 n R i n 0 Liczb 0 n nzwm współcznnikmi wielominu Wielomin nzwm zerowm jeśli W () = 0 dl kżdego R Podstwowe włsności wielominów: ) dziłni n wielominch N wielominch możn wkonwć dziłni (tk jk n funkcjch): dodwni odejmowni mnożeni i dzieleni (przez wielomin niezerow) Jeżeli W () nie jest wielominem zerowm to wielomin P () nzwm ilorzem wielominu W () przez niezerow wielomin Q () wted i tlko wted gd: W ( ) = P( ) Q( ) Mówim że wielomin niezerow W () dje prz dzieleniu przez niezerow wielomin Q () ilorz P () orz resztę R () jeśli: W ( ) = P( ) Q( ) + R( ) Jeżeli wielomin niezerow W () dje prz dzieleniu przez niezerow wielomin(stopni k) Q () ilorz P () orz resztę R () to stopień reszt jest mniejsz lub równ od k

15 - - b) równość wielominów Dw wielomin są równe wted i tlko wted gd są tego smego stopni i mją równe współcznniki prz odpowiednich potęgch zmiennej c) pierwistek wielominu pierwistek k-krotn wielominu Liczbę 0 nzwm pierwistkiem wielominu W () jeśli W ( 0 ) = 0 + Mówim że 0 jest k -krotnm ( k N ) pierwistkiem wielominu W () jeżeli W () jest podzieln (bez reszt) przez ( ) k k + nie jest podzieln (bez reszt) przez ( ) 0 Liczbę k nzwm krotnością pierwistk 0 wielominu Wielomin stopni n m co njwżej n pierwistków Liczb 0 jest pierwistkiem wielominu W () wted i tlko wted gd W () jest podzieln (bez reszt) przez dwumin 0 (twierdzenie Bezout) Jeżeli wielomin n n n W ( ) = n + n + n gdzie p 0 n C m pierwistek wmiern 0 = ( p q C q 0) to p jest podzielnikiem współcznnik q 0 zś q jest podzielnikiem współcznnik n (twierdzenie o pierwistkch wmiernch wielominu o współcznnikch cłkowitch) W szczególności jeśli = i wielomin (o współcznnikch cłkowitch) m pierwistek n wmiern to jest nim podzielnik współcznnik 0 d) rozkłd wielominu n cznniki Kżd wielomin niezerow d się w jeden tlko sposób rozłożć n cznniki które są lbo liniowe (tzn są postci + b) lbo są trójminmi kwdrtowmi postci + b +c tkimi że < 0 Njczęściej stosowne metod rozkłdni wielominu n cznniki: wkorzstnie wzorów skróconego mnożeni włącznie wspólnego cznnik przed nwis grupownie wrzów i włącznie wspólnego cznnik przed nwis wkorzstnie twierdzeni Bezout e) wkres niektórch wielominów Oto wkres niektórch wielominów: f ( ) = f ( ) = Przkłd Wznczć P() + Q() P() Q() P() Q() orz P():Q() jeśli: P() = Q() = +

16 - - Rozwiąznie Mm: P() + Q() = = P() - Q() = = + + ( ) P() Q() = ( ) ( + ) = = (w osttnim dziłniu mnożliśm kżd wrz pierwszego nwisu przez kżd wrz drugiego nwisu potem dokonliśm redukcji wrzów podobnch) Ab obliczć ilorz P() : Q() możem posłużć się lgortmem pisemnego dzieleni wielominów Po lewej stronie pionowej kreski będziem obliczli ilorz zś po jej prwej stronie wjśnili poszczególne kroki: ( ) : ( + ) = + + : = - - ( + ) = ( + ) = : = - - ( + ) = ( + ) = : = - - ( + ) = ( + ) = - - = = Ztem P() : Q() = + + (wielomin podzielił się bez reszt) Przkłd Wkonć dzielenie W() : P() (z resztą R()) jeśli: W() = + P() = + Przedstwić wielomin W() w postci W() = P() Q() + R() gdzie Q() i R() są odpowiednio: obliczonm ilorzem i obliczoną resztą Rozwiąznie Wkorzstm znów podn lgortm dzieleni pisemnego wielominów: ( + ) : ( + ) = = reszt + Pod osttnią kreską mm już wrżenie stopni pierwszego nie możn ztem wkonwć dlszego dzieleni przez wielomin stopni trzeciego Wrżenie pod kreską jest ztem resztą Mm więc: R() = Q() = i W() = ( + ) ( ) + ( )

17 - 7 - Przkłd Wznczć stłe i b tk b zchodził równość: W() = Q() P() S() jeśli: W() = + Q() = + P() = + S() = + b Rozwiąznie Wznczm njpierw wielomin po prwej stronie: Q() P() S() = ( + )( + ) ( + b) = b = + + ( ) + b Musi więc zchodzić równość: + + ( ) + b = + Stopnie wielominów po obu stronch osttniej równości są równe muszą więc bć równe odpowiednie współcznniki skąd wnik że musi bć: = b = co zchodzi dl = orz b = Przkłd Które z liczb: są pierwistkmi wielominu W() =? Rozwiąznie Obliczm kolejno wrtości wielominu dl kżdej z podnch liczb: W(-) = (-) (-) = W(-) = -8 + = - 0 W(-) = - + = 0 W() = = - 0 W() = 8 = 0 Ztem z podnch liczb tlko liczb - orz są pierwistkmi wielominu W() Przkłd Wznczć wmierne pierwistki wielominu: ) W() = + b) W() = + Rozwiąznie ) Wielomin m współcznniki cłkowite pondto współcznnik prz njwższej potędze jest równ ztem jeżeli wielomin ten m pierwistki wmierne to są one liczbmi cłkowitmi będącmi podzielnikmi współcznnik - Może to więc bć tlko którś z liczb: - - Sprwdzm kolejno któr z nich ewentulnie jest pierwistkiem dnego wielominu: W(-) = 0 W(-) = 0 W() = 0 W() 0 ztem wmiernmi (dokłdniej: cłkowitmi) pierwistkmi wielominu W() są liczb: = - = - orz = b) Ten wielomin m również współcznniki cłkowite le w tm wpdku wmierne pierwistki mogą bć liczbmi postci q p gdzie p jest podzielnikiem współcznnik zś q jest podzielnikiem współcznnik Ztem: p {- } q {- - } p Wnik stąd że q Sprwdzm któr z elementów osttniego zbioru jest pierwistkiem W(): W(-) 0 W = 0 W 0 W() = 0 Tk więc wmiernmi pierwistkmi tego wielominu są liczb: = orz =

18 - 8 - Przkłd Rozłożć n cznniki wielomin: ) W() = 8 b) W() = c) W() = + Rozwiąznie ) Zstosujem metodę włączeni wspólnego cznnik przed nwis nstępnie wkorzstm wzor skróconego mnożeni (różnic sześcinów): 8 = (8 ) = ( )( + + ) Wróżnik trójminu w osttnim nwisie jest ujemn więc trójmin ten nie d się rozłożć n cznniki (nie istnieje bowiem jego postć ilocznow) Powższ rozkłd jest więc ostteczn Ztem W() = ( ) ( + + ) b) Terz skorzstm z metod grupowni i włączni wspólnego cznnik przed nwis Zwkle lepiej jest gd skłdników jest przst ilość Ab to uzskć często wrto jeden ze skłdników przedstwić w postci sum lub różnic dwu skłdników Możem zrobić to nstępująco: = + Widć że po włączeniu z pierwszch dwu wrzów przed nwis otrzmm wspóln cznnik (podkreśliliśm go niżej) któr będzie możn jeszcze rz włączć przed nwis nstępnie wkorzstć wzór skróconego mnożeni (różnic kwdrtów): + = ( ) + = ( ) ( + ) = ( )( + )( + ) Tk więc W() = ( )( + )( + ) c) Tutj trudniej jest użć metod grupowni Możem wkorzstć twierdzenie Bezout Potrzebn jest nm jednk wcześniej prznjmniej jeden pierwistek wielominu Spróbujm poszukć go wśród pierwistków wmiernch Musi on bć postci q p gdzie p { } q {- - } p Ztem q Sprwdzim cz którś z liczb tego zbioru jest pierwistkiem W() zcznjąc od liczb dl którch obliczeni są njprostsze: W() = 0 W(-) = 0 Poniewż = - jest pierwistkiem wielominu więc n moc twierdzeni Bezout wielomin W() jest podzieln bez reszt przez ( + ) Po wkonniu tego dzieleni i przedstwieniu otrzmnego trójminu w postci ilocznowej mm: W() = ( + )( 7 + ) = ( + )( ) Przkłd 7 Rozwiązć równnie lub nierówność: ) + = b) 7 Rozwiąznie ) Po przeksztłceniu równni do postci + = 0 i rozłożeniu wielominu po lewej stronie n cznniki mm: ( + ) = 0 Czli musi bć: + = 0 lub = 0 skąd = - lub =

19 - 9 - b) Postępując nlogicznie jk w ) otrzmujem: ( ) + 0 skąd po podzieleniu obu stron przez mm: ( ) + 0 Ab rozwiązć osttnią nierówność wznczm njpierw miejsc zerowe wielominu po lewej stronie: = lub = lub = Dzielą one oś liczbową n przedził zbdm znk kżdego z cznników wielominu w kżdm z przedziłów (w specjlnej tbelce) w dolnm wierszu tbelki określim znk cłej lewej stron nierówności (metod t nosi nzwę sitki znków ): ; ; W() ( + ) N podstwie nliz osttniego wiersz dochodzim do wniosku że W() przjmuje wrtości większe lub równe od zer dl < + ) Ćwiczeni: Wkonć dzielenie wielominów: ) ( +) : ( + ) b) ( ):( + + ) Zpisć dzielną w postci ilocznu dzielnik i ilorzu Wznczć P() + Q() P() Q() P() Q() orz P():Q() jeśli: ) P() = + + Q() = + ; b) P() = + + Q() = + Wkonć dzielenie W() : P() (z resztą R()) jeśli: ) W() = + + P() = + b) W() = + P() = + Przedstwić wielomin W() w postci W() = P() Q() + R() gdzie Q() i R() są odpowiednio: obliczonm ilorzem i obliczoną resztą Wznczć i b tk b zchodził równość W() = P() Q() jeśli: ) W() = + P() = + Q() = + b b) W() = + P() = Q() = + b c) W() = P() = + Q() = + b d) W() = + P() = + b Q() = + Sprwdzić któr z liczb: r lub r jest pierwistkiem wielominu W() jeśli: ) W() = + + r = r = -; b) W() = r = r = -; c) W() = 0 r = r =

20 - 0 - Wkzć że liczb r jest dwukrotnm pierwistkiem wielominu W() (tzn że W() jest podzieln bez reszt przez ( r) nie jest podzieln bez reszt przez ( r) ) jeśli: ) W() = + + r = ; b) W() = + + r = - 7 Wznczć wmierne pierwistki wielominu: ) W() = + b) W() = + c) W() = + d) W() = + 8 Rozłożć n cznniki wielomin: ) W() = b) W() = + c) W() = d) W() = Rozłożć n cznniki wielomin: ) W() = + b) W() = c) W() = 8 9 d) W() = 0 Rozłożć n cznniki wielomin: ) W() = + 8 b) W() = + c) W() = + d) W() = + 9 Rozłożć n cznniki wielomin: ) W() = b) W() = + + c) W() = - 0 d) W() = Rozwiązć równnie: ) + = 0 b) = 0 c) = 0 d) + = 0 e) 7 8 = 0 Rozwiązć nierówność: ) + 8 > 0 b) < 0 c) 0 d) e) 8 + > 0 Funkcj wmiern Funkcją wmierną nzwm funkcję będącą ilorzem dwu wielominów W i W tej smej zmiennej to zncz funkcję określoną wzorem: W ( ) f ( ) = { R : W ( ) 0} W ( ) Szczególnm przpdkiem funkcji wmiernej jest funkcj homogrficzn tzn funkcj określon wzorem + b d f ( ) = R c + d c gdzie b c d R ; c 0 i f () nie jest funkcją stłą Wkresem funkcji homogrficznej jest hiperbol Oto przkłd wkresów dwu funkcji homogrficznch:

21 f ( ) = f ( ) = Anlizując wkres po lewej stronie możn zuwżć że: ) gd rgument przjmują corz większe wrtości dodtnie to wrtości funkcji są corz bliższe zeru Podobnie jeśli rgument przjmują corz mniejsze wrtości ujemne to również wrtości funkcji są corz bliższe zeru Powiem że prost o równniu = 0 jest smptotą poziomą (obustronną) wkresu funkcji f ( ) = ) gd rgument są corz bliższe zeru le ujemne to wrtości funkcji są corz mniejszmi liczbmi ujemnmi Ntomist gd rgument są corz bliższe zeru le dodtnie to wrtości funkcji są corz większmi liczbmi dodtnimi Powiem że: prost o równniu = 0 jest smptotą pionową (obustronną) wkresu funkcji f ( ) = Gd terz przjrzeć się wkresowi po prwej stronie to łtwo stwierdzić że: prost o równniu = 0 jest smptotą poziomą (obustronną) wkresu funkcji prost o równniu = 0 jest smptotą pionową (obustronną) wkresu funkcji f ( ) = f ( ) = Możn udowodnić że w ogólnm przpdku równni smptot wkresu funkcji + b f ( ) = mją postć: c + d smptot poziom: = c d smptot pionow: = c N przkłd równni smptot wkresu funkcji f ( ) = (wkres poniżej) mją postć: smptot poziom: = - smptot pionow: = (bowiem f ( ) = = + skąd = - b = c = orz d = - )

22 f ( ) = Przkłd Rozwiązć równnie lub nierówność: + ) = b) = c) d) + Rozwiąznie ) Prz złożeniu możem obie stron równni pomnożć przez minownik (gdż jest on różn od zer) otrzmując: + = ( + ) skąd = N koniec sprwdzm cz otrzmne rozwiąznie spełni złożenie Poniewż tk jest więc: = 0 0 b) Zkłdm że: Rozwiążm te nierówności Poniewż + = 0 = = zś = 0 = - = więc Ztem osttecznm złożeniem jest: - Korzstjąc z postci ilocznowch trójminów w minownikch mm: = czli = skąd + ( )( ) ( + )( ) = Ztem musi bć ( )( + )( ) = czli = 0 skąd + ( )( )( ) = 0 = = + Wszstkie trz liczb spełniją złożenie więc równnie m trz rozwiązni: = 0 = orz = + + c) Zkłdm że - i Po przeksztłcenich otrzmujem: skąd 0 Zuwżm że minownik w pewnch przedziłch jest dodtni w ( )( + ) innch ujemn więc po pomnożeniu przezeń obu stron nie wiedzielibśm cz nleż zmienić zwrot nierówności cz też nie Ominiem ten problem gd obie stron nierówności pomnożm przez kwdrt minownik (prz złożenich które zrobiliśm jest on liczbą dodtnią) otrzmując: ( + )( )( + ) 0 Rozwiązując tę nierówność (metodą sitki zn-

23 - - ków ) otrzmujem: < > < + ) Uwzględnijąc złożenie otrzmujem odpowiedź: < ) ( + ) d) Złożenie: 0 Mm: czli skąd (po pomnożeniu obu stron obu nierówności przez prz złożeniu 0): ( ) 0 ( ) 0 Po znlezieniu części wspólnej rozwiązń obu nierówności mm: < ; 0) Wszstkie liczb z tego przedziłu spełniją złożenie Ćwiczeni: Rozwiązć równnie: + + ) = b) = 0 c) + = + + d) = e) = + + Rozwiązć nierówność: + 7 ) 0 b) 0 c) d) < + e) + Rozwiązć nierówność: ) b) + > c) d) + Wznczć dziedzinę funkcji: + ) f() = + b) f() = + c) f() = d) f() = Nszkicowć wkres funkcji: + + ) f() = b) f() = c) f() = d) f() = + + e) f() = + Funkcj potęgow Funkcją potęgową nzwm funkcję określoną wzorem: p f ( ) = > 0 gdzie p R

24 - - Włsności funkcji potęgowej: Dl dowolnch > 0 orz p q R zchodzą równości: = () p p ( ) p () p p p = p p q () ( ) () () q = p = = p p q q p = ( 0 p q ) Dl pewnch wrtości p (wted gd nie prowdzi to do wkonwni niedozwolonch z punktu widzeni mtemtki opercji) dziedzinę funkcji potęgowej rozszerz się do zbioru większego niż zbiór liczb rzeczwistch dodtnich Wted nleż ją ustlć w kżdm przpdku oddzielnie I tk n przkłd dl funkcji f ( ) = możem przjąć D =< 0 + ) dl funkcji f ( ) = = możem przjąć D f = R zś dl funkcji f f ( ) = = mm D = R { 0} f Oto wkres dwu wżnch funkcji potęgowch: = f ( ) = 0 f ( ) = R Przkłd Wkorzstując przedstwione wżej wkres funkcji potęgowch znleźć wkres funkcji: ) f ( ) = b) f ( ) = Rozwiąznie ) Wkorzstując wkres funkcji i ( ) = szkicując kolejno wkres funkcji h ( ) = (rsunek ) g ( ) = otrzmm wkres szuknej funkcji (rsunek b) Njtrudniejszm etpem jest tu znlezienie wkresu funkcji h() Zuwżm że h ( ) = = i( ) Możem terz wkorzstć informcję że:

25 - - b z wkresu funkcji F() otrzmć wkres funkcji F( ) gdzie R nleż wkres funkcji F() przesunąć o wektor p = [ 0] Wstrcz więc przesunąć wkres funkcji i() o wektor p = [ 0] otrzmując wkres funkcji h() Dlsze etp są już nm znne Ztem: ) b) f ( ) = f ( ) = b) Zuwżm njpierw że dl dowolnego R zchodzi (n moc włsności () wrtości bezwzględnej) równość: f ( ) = = = f () co ozncz że funkcj f() jest przst Pondto dl 0 mm f ( ) = = Tk więc dl 0 szukn wkres jest tki sm jk wkres funkcji f ( ) = Z kolei przstość powoduje że wkres jest smetrczn względem osi OY otrzmujem więc: f ( ) = Ćwiczeni: Wkorzstując wkres odpowiedniej funkcji potęgowej znleźć wkres funkcji: ) f ( ) = + + b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) =

26 - - 7 Funkcj wkłdnicz i logrtmiczn ) Funkcj wkłdnicz Funkcją wkłdniczą o podstwie nzwm funkcję określoną wzorem: f ( ) = R gdzie stł spełni wrunki: > 0 i N poniższm rsunku przedstwiono wkres dwu funkcji wkłdniczch: f ( ) = f ( ) = Wkres innch funkcji wkłdniczch mją podobn ksztłt do: wkresu funkcji f ( ) = gd > lbo wkresu funkcji f ( ) = gd (0 ) Włsności funkcji wkłdniczej: ) Dl dowolnch R zchodzą równości: + () = () = () ( ) = b) Jeżeli > 0 i to funkcj wkłdnicz jest różnowrtościow Z fktu tego wnik że: () = = gd > 0 i c) Jeżeli > to funkcj wkłdnicz jest rosnąc w zbiorze R Wnik stąd że:

27 - 7 - () > < d) Jeżeli (0 ) to funkcj wkłdnicz jest mlejąc w zbiorze R Stąd: > < () < > < > gd > gd (0 ) b) Funkcj logrtmiczn Logrtmem prz dodtniej i różnej od jedności podstwie z liczb dodtniej b nzwm tką liczbę rzeczwistą c że c = b : c log b = c b gd b c R i > 0 i i b > 0 = Jeżeli = 0 to często piszem log b (lub lg b) zmist dziesiętnm Włsności logrtmu: Jeżeli > 0 i k R orz > 0 to: () log = 0 () log = () log ( ) = log + log () log = log log k () log ( ) = k log log () = log b i logrtm ten nzwm 0 Jeżeli b c > 0 orz c to log (7) log b = log (wzór n zminę podstw logrtmu) Funkcją logrtmiczną o podstwie nzwm funkcję określoną wzorem: f ( ) = log > 0 gdzie stł spełni wrunki: R > 0 i Oto wkres niektórch funkcji logrtmicznch: c c b

28 f ( ) = log f ( ) = log Wkres innch funkcji logrtmicznch mją podobn ksztłt do: wkresu funkcji f ( ) = log gd > lbo wkresu funkcji f ( ) = log gd (0 ) Włsności funkcji logrtmicznej: ) Jeżeli > 0 i to funkcj logrtmiczn jest różnowrtościow Wnik stąd że: () log = log = gd > 0 i orz > 0 b) Jeżeli > to funkcj logrtmiczn jest rosnąc w przedzile (0 + ) Ztem: log > log > () log log log < log log log c) Jeżeli (0 ) to funkcj logrtmiczn jest mlejąc w przedzile (0 + ) Stąd: log > log < () log log log log < log log < > gd > orz 0 > gd (0 ) orz 0 > Przkłd 7 Nszkicowć wkres funkcji: ) f ( ) = b) f ( ) = Rozwiąznie ) Zuwżm że (n moc włsności () funkcji wkłdniczej) mm: =

29 - 9 - = ( + = ( ) ) ( ) + = + wstrcz ztem przesunąć znn nm wkres funkcji f ( ) = o wektor p = [ 0] W ten sposób otrzmujem szukn wkres (rsunek poniżej) b) Musim złożć że 0 Mm wted: dl < 0 f ( ) = dl > 0 Otrzmujem wkres przedstwion n rsunku b poniżej ) 8 b) - - f ( ) = f ( ) = Przkłd 7 Rozwiązć równnie lub nierówność: ) ( = ) b) 8 9 Rozwiąznie ) Njpierw złóżm że 0 Terz (korzstjąc z włsności dziłń n potęgch) przedstwim obie stron w postci potęg o podstwie Mm ztem: = ( ) skąd 8 = i dlej = N moc włsności () funkcji wkłdniczej porównujem wkłdniki otrzmując równnie: = którego rozwiąznimi spełnijącmi złożenie są: = orz =

30 - 0 - b) Mm: czli skąd n moc włsności () (wzór drugi) 9 otrzmujem: Rozwiązując osttnią nierówność uzskujem odpowiedź: < + ) Przkłd 7 Obliczć: ) log b) 8 log log c) 8 Rozwiąznie ) Oznczm: log = Z określeni logrtmu musi bć: 8 Ztem: log = - 8 = 8 skąd = b) Możn rozwiązć ten przkłd podobnie jk poprzedni możn też wkorzstć włsności logrtmu Pokżem ten drugi sposób log = (włsność () logrtmu) = ( ) log ( )= log (włsność () logrtmu) = log + log ( ) log ( )= = log + log log = (włsność () logrtmu) = log + log log = (redukcj wrzów podobnch) = log = ( log = ) = ( ) = A więc: log = log c) Mm korzstjąc z dziłń n potęgch: 8 = ( ) log log 8 = log log = Poniewż log = log ( ) = log więc log Wkorzstm terz wzór z zdni 7 ) skąd mm: = log Ztem 8 = log = log = 8 9 = log = log 9

31 - - Przkłd 7 Nszkicowć wkres funkcji f ( ) = log Rozwiąznie Musim złożć że > 0 Z wkresu funkcji f ( ) = łtwo odcztujem że przjmuje on wrtości dodtnie dl R { 0} A więc > 0 R { 0} Łtwo zuwżć że funkcj której wkresu szukm jest przst i że dl > 0 jej wkres pokrw się ze znnm nm wkresem funkcji ( ) = log Ztem: f f ( ) = log Przkłd 7 Rozwiązć równnie lub nierówność: ) log ( ) = b) ( + ) log ( + ) d) log c) log ( ) < log = Rozwiąznie ) Njpierw musim złożć że > 0 czli że > W równnich lub nierównościch logrtmicznch często dobrze jest doprowdzić je do równości (lub nierówności) logrtmów o tej smej podstwie Możem zrobić to nstępująco (korzstjąc z włsności logrtmu): log ( ) = nie: log ( ) = 9 = = log log = log 9 otrzmliśm ztem równ- log skąd = Otrzmn liczb spełni oczwiście złożenie = ( ) b) Zkłdm że + > 0 + > 0 czli że > Mm wted: log ( ) log ( + ) = czli log ( ) log [( + ) ] = log skąd ( ) = Równość t prowdzi do równni + = 0 którego rozwiąznimi + są: = orz = Po uwzględnieniu złożeni wnioskujem że równnie m jedno rozwiąznie: = c) Złożenie: > Wted: log ( ) < czli log( ) < Stąd log( ) < log0 więc log ( ) < log00 N moc włsności () funkcji logrtmicznej (trzeci wzór)

32 - - otrzmujem dlej: < 00 skąd < 0 Po uwzględnieniu złożeni mm ztem: ( ;0) d) Złożenie: > 0 Zuwżm że nierówność z zdni jest równowżn lterntwie nierówności: log log czli lterntwie: log log log log Korzstjąc terz z włsności () funkcji logrtmicznej (wzór czwrt orz drugi) otrzmujem: czli ( > < + ) Po uwzględnieniu złożeni mm odpowiedź: ( 0 > < + ) Ćwiczeni: 7 Nszkicowć wkres funkcji: ) f() = + b) f() = + c) f() = d) f() = + e) f() = 7 Rozwiązć równnie lub nierówność: = 9 b) ) ( ) d) ( ) e) 7 Wznczć dziedzinę funkcji: + + > 7 = c) + + ) f() = b) f() = c) f() = d) f() = 7 Wkzć że: log ) jeżeli > 0 i b > 0 to = b) jeżeli b > 0 i b to log b = logb 7 Obliczć: log ) log 9 + log b) 8 log d) ( 8 ) log ( 0) log c) 8 ( 00) log e) 9

33 - - 7 Nszkicowć wkres funkcji: ) f() = log ( ) c) f() = log ( + ) b) f() = log + d) f() = log 77 Rozwiązć równnie lub nierówność: ) log ( ) = b) log( ) log( ) = log c) log ( + ) e) log 0 d) log < + 78 Wznczć dziedzinę funkcji: ) f() = log ( ) 9 b) f() = log c) f() = + log( + + 9) e) f() = log ( ) 8 Funkcje trgonometrczne d) f() = log ( ) + Określenie funkcji trgonometrcznch zmiennej rzeczwistej: Ab określić funkcje trgonometrczne zmiennej rzeczwistej potrzebne jest pojęcie kąt skierownego: jest to uporządkown pr półprostch o wspólnm początku O (zwnm wierzchołkiem tego kąt) Pierwszą z tch półprostch nzwm rmieniem początkowm drugą rmieniem końcowm kąt skierownego W prktce kąt skierown często jest umieszczn w ukłdzie współrzędnch tk że jego wierzchołek jest początkiem ukłdu rmię początkowe pokrw się z dodtnią półosią osi OX Wobrźm sobie że n początku rmię końcowe kąt pokrw się z rmieniem początkowm Nstępnie rmię końcowe wkonuje pewien obrót dookoł punktu O W ten sposób powstje pewien kąt skierown Jeżeli kierunek obrotu jest przeciwn do ruchu wskzówek zegr to powiem że orientcj tego kąt jest dodtni w przeciwnm przpdku że jego orientcj jest ujemn Mierzć tkie kąt będziem w mierze łukowej Jednostką jest tu rdin zleżność mir stopniowej i łukowej jest nstępując: kątowi o mierze stopniowej 90 0 odpowid kąt o mierze łukowej π rdinów kątowi o mierze stopniowej 80 0 odpowid kąt o mierze łukowej π rdinów itd Kąt którch orientcj jest dodtni (ujemn) mją mir dodtnie (ujemne) N poniższm rsunku przedstwiliśm dw kąt skierowne: n lewm rsunku kąt o mierze π n prwm kąt o mierze π :

34 Niech α będzie dowolną liczbą rzeczwistą i niech α < 0π ) Przporządkujm liczbie α kąt skierown którego mirą jest α i umieśćm go w ukłdzie współrzędnch tk b jego wierzchołek pokrwł się z punktem O(0 0) rmię początkowe zś z dodtnią półosią osi OX Obierzm n rmieniu końcowm tego kąt dowoln punkt P( ) różn od punktu O Oznczm przez r odległość punktu P od punktu O (oczwiście r + = ) Wówczs: sin α = r tg α = 0 ; cos α = r ctg α = 0 Możn wkzć że wrtości powższch ilorzów nie zleżą od położeni punktu P n rmieniu końcowm dnego kąt skierownego W ten sposób określiliśm funkcje trgonometrczne zmiennej rzeczwistej α gdzie α < 0π ) Niech terz będzie dowolną liczbą rzeczwistą Dl tej liczb możn znleźć tkie dwie liczb: α < 0π ) orz k C że = α + kπ (inczej mówiąc α jest resztą z dzieleni przez π) Możem terz określić sin cos tg orz ctg nstępująco: sin = sin α cos = cos α π tg = tg α ( + kπ k C ) ctg = ctg α ( kπ k C ) Określiliśm w ten sposób funkcje trgonometrczne zmiennej rzeczwistej

35 - - Oto wkres podstwowch funkcji trgonometrcznch: - p - p p - - p - p p - p p p p - p p - - p p - p p p - - p p p p p f ( ) = sin f ( ) = cos - p - p - p - p p p p - p - p - p - p - p p p p - p - - f ( ) = tg f ( ) = ctg Podstwowe związki trgonometrczne: Dl dowolnej liczb rzeczwistej zchodzą równości: () sin + cos = (tzw jednk trgonometrczn ) () sin tg = ( cos 0 ) cos () cos ctg = ( sin 0 ) sin () tg ctg = ( sin 0 i cos 0 ) Przstość bądź nieprzstość funkcji trgonometrcznch: Dl dowolnej liczb rzeczwistej zchodzą związki: () cos ( ) = cos () sin( ) = sin () tg( ) = tg () ctg( ) = ctg (przstość funkcji cosinus) (nieprzstość funkcji sinus) ( cos 0 ) (nieprzstość funkcji tngens) ( sin 0 ) (nieprzstość funkcji cotngens)

36 - - Okresowość funkcji trgonometrcznch: Dl dowolnej liczb rzeczwistej i dowolnej liczb cłkowitej k zchodzą związki: () sin ( k ) = sin () cos ( k ) = cos () tg ( k ) = tg + π (funkcj sinus jest okresow o okresie zsdniczm π) + π (funkcj cosinus jest okresow o okresie zsdniczm π) + π ( cos 0 ) (funkcj tngens jest okresow o okresie zsdniczm π) ctg + kπ = ctg ( sin 0 ) (funkcj cotngens jest okresow o okresie zsdniczm π) () ( ) Wzor redukcjne: W trgonometrii często zchodzi potrzeb obliczni wrtości funkcji trgonometrcznch w tki sposób b wrżł się one z pomocą wrtości dl rgumentów z przedziłu 0 π Umożliwiją to tzw wzor redukcjne Jest ich jednk brdzo dużo co powoduje kłopot z ich zpmiętniem Proponujem inn sposób Wjśnim go n przkłdzie: Przkłd 8 Obliczć: ) sin π b) cos π c) ctg π Rozwiąznie ): Njpierw wdzielm z rgumentu funkcji cłkowite wielokrotności jej okresu i korzstm z okresowości: sin π = sin π + π = sin π Terz wdzielm cłkowite wielokrotności liczb π : π sin π = sin + π Jeżeli wielokrotność jest przst (jk w tm przpdku) to funkcj (w tm wpdku sinus) pozostje w przeciwnm wpdku zmieni się n tzw kofunkcję (sinus n cosinus i odwrotnie tngens n cotngens i odwrotnie) N koniec ustlm w której ćwirtce leż rmię końcowe kąt o podnej mierze Kąt o mierze + π m rmię końcowe w trzeciej ćwirtce ukłdu współrzędnch w niej funk- π cj sinus przjmuje wrtości ujemne co zmusz ns do postwieni znku minus przed wnikiem Mm więc: Tk więc osttecznie: sin π = π sin + π = sin π =

37 - 7 - π π b) cos π = cos + = cosinus zmienił się n sinus pondto π π sin = (wielokrotność jest nieprzst więc π π π + ; π ztem π π cos + > 0 i zn- ku minus nie stwim) π π π c) ctg π = ctg π + π = ctg π = ctg + = tg = Funkcje trgonometrczne sum i różnic rgumentów: Dl dowolnch liczb rzeczwistch i zchodzą związki: () sin( + ) = sin cos + cos sin () sin( ) = sin cos cos sin () cos( + ) = cos cos sin sin () cos( ) = cos cos + sin sin tg + tg = tg tg ( cos 0 cos 0 cos( + ) 0 ) tg tg tg = + tg tg ( cos 0 cos 0 cos( ) 0 ) ctg + ctg ctg = ctg + ctg ( sin 0 sin 0 sin( + ) 0 ) ctg ctg ctg + = ctg ctg ( sin 0 sin 0 sin( ) 0 ) () tg( + ) () ( ) (7) ( ) (8) ( ) Funkcje trgonometrczne rgumentu podwojonego: Dl dowolnch liczb rzeczwistch i zchodzą związki: () sin = sin cos () cos = cos sin = cos = sin () tg tg = ( cos 0 cos 0 ) tg () ctg ctg = ( sin 0 sin 0 ) ctg Wzor powższe bwją czsem zpisne w postci: () sin = sin cos () cos = cos sin = cos = sin (7) tg tg = ( cos 0 cos 0 ) tg

38 - 8 - (8) ctg ctg = ( sin 0 sin 0 ) ctg Sum i różnice funkcji trgonometrcznch: Dl dowolnch liczb rzeczwistch i zchodzą związki: () () () () + sin + sin = sin cos + sin sin = cos sin + cos + cos = cos cos + + cos cos = sin sin = sin sin Równni trgonometrczne podstwowe i ich rozwiązni: równnie rozwiąznie sin = sin = + kπ = π + kπ k C ; cos = cos = + kπ = + kπ k C ; tg = tg = + kπ k C ; ctg = ctg = + kπ k C Przkłd 8 Obliczć wrtości pozostłch funkcji trgonometrcznch rgumentu jeśli; π ) cos = i π π b) ctg = i π 7 Rozwiąznie 8 8 ) Z jednki trgonometrcznej mm: sin = cos = skąd sin = = lub 9 9 sin = Poniewż dl π π mm sin < 0 więc sin = Dlej sin tg = = orz ctg = = Ztem: sin = tg = ctg = cos tg cos b) Mm ntchmist: tg = = 7 Dlej poniewż ctg = więc = ctg 7 sin 7 skąd cos = sin Dołączjąc jednkę trgonometrczną otrzmujem ukłd równń: 7

39 - 9 - cos = sin cos = 7 skąd: sin + cos = sin + Poniewż dl sin 7 sin 7 cos = ztem: = sin = π π mm sin > 0 więc musi bć 7 osttecznie: sin = cos = tg = sin sin = 0 7 sin = czli otrzmujem 0 Przkłd 8 Obliczć: 7 ctg π tg π 7 cos π Rozwiąznie 7 ) Obliczm njpierw ctg π Wobec nieprzstości funkcji cotngens mm: 7 7 ctg π = ctg π Korzstjąc ze wzorów redukcjnch obliczm (wkorzstując okresowość funkcji cotngens) 7 π π ctg π = ctg π + = ctg = Ztem 7 ctg π = ) Obliczm terz tg π Wobec nieprzstości funkcji tngens: tg π = π π tg π Mm dlej: tg π = tg π + π = tg π = tg + = π = ctg = (w drugiej równości wkorzstliśm okresowość funkcji tngens dlej zś π π fkt że tg + < 0 bo π π π + π ) Tk więc tg π = 7 ) Terz zuwżm że cos π = = = π π π cos + = cos = 7 więc cos π =

40 - 0 - ) Osttecznie otrzmujem: 7 ctg π tg π 7 cos π = = 9 Przkłd 8 Obliczć: ) sin i cos jeśli widomo że cos = i π π π b) sin i cos jeśli widomo że ctg = i π Rozwiąznie ) Poniewż sin = sin cos więc musim obliczć njpierw sin Mm: sin = cos = skąd sin = sin = ztem n moc fktu że π π otrzmujem: sin = i co z tm idzie sin = Dlej 8 7 cos = cos = 8 b) Poniewż sin = sin cos więc musim njpierw obliczć sin i cos Tworzm ukłd równń: sin skąd po uwzględnieniu dnch zdni mm: cos = sin + cos = cos = Ztem: sin = orz cos = cos = sin = Przkłd 8 Wkzć że dl dowolnego jeżeli sin 0 i cos 0 to sin cos = ctg sin cos Rozwiąznie sin cos Przeksztłcim lewą stronę równości: L str = = ( sin cos )( + ) sin cos sin cos ( sin cos ) cos sin = = = sin cos sin cos sin cos ( ) =

41 - - cos = = ctg = P str Równość zostł więc udowodnion (prz podnch złożenich) sin Przkłd 8 Nszkicowć wkres funkcji: ) f ( ) = cos b) f ( ) = sin c) f ( ) = sin d) f ( ) = tg Rozwiąznie ) Pomnożenie wrtości funkcji trgonometrcznej przez stłą powoduje zminę zbioru wrtości tej funkcji W tm wpdku zmieni się on z przedziłu <- > n przedził <- > Otrzmujem ztem wkres n rsunku poniżej b) Tm rzem zbiór wrtości funkcji zmieni się z przedziłu <- > n przedstwim n rsunku b poniżej ) b) Wkres - p - p - p p p p - - p - p p p - - f ( ) = cos f ( ) = sin c) Pomnożenie ntomist rgumentu funkcji trgonometrcznej powoduje zminę jej okresu zsdniczego W tm przpdku okres ten ulegnie dwukrotnemu zmniejszeniu tzn zmieni się z π n π Wkres n rsunku c poniżej d) Tutj nstąpi z kolei zmin okresu z π n π Wkres n rsunku d - c) d) - p - p p - - p - p p - - f ( ) = sin p p p - p p f ( ) = tg

42 - - Przkłd 87 Rozwiązć równnie: ) sin = b) cos + π = c) sin = d) cos = e) tg = Rozwiąznie ) Równnie to możem rozwiązć korzstjąc z wkresu funkcji f() = sin Zuwżm że jednm z jego rozwiązń jest = π Nstępne powstją przez dodnie lub odjęcie od niego wielokrotności liczb π Możem zpisć ztem ogólnie: = π + k π k C lub = = π +kπ k C b) Jednm ze sposobów rozwiązni równń w tm i nstępnch przkłdch jest sprowdzenie ich do równni podstwowego W tm przpdku poniewż = cos π więc równnie przjmuje postć cos + = cos i jest już równniem podstwowm Korzstjąc π π π π π z postci rozwiązni tego równni otrzmujem: + = + kπ + = π + kπ π k C skąd = kπ + π = k + π k C π π c) Mm: sin = czli sin = sin skąd sin = sin (wobec nieprzstości π funkcji sinus) Osttnie równnie jest podstwowe Otrzmujem więc: = kπ + π π kπ = + π k C skąd = k π + 7 = π + kπ k C π d) Mm: cos = więc cos = cos W przpdku funkcji cosinus nie wolno terz postąpić tk jk w zdniu c) bowiem cosinus nie jest funkcją nieprzstą Możem z to posłużć się jednm ze wzorów redukcjnch: cos( π ) = cos n moc którego π π otrzmujem cos = cos π = cos π Nsze równnie m więc postć cos = cos π i jest już równniem podstwowm Ztem otrzmujem: = π + kπ = π + kπ k C e) Musim złożć że cos 0 Rozwiążm tę nierówność Zuwżm njpierw (posługując π się wkresem funkcji f() = cos ) że cos = 0 = + kπ k C A więc cos 0

43 - - π gd + kπ k C Prz tm złożeniu mm (wkorzstując po drodze nieprzstość funkcji tngens): tg = skąd kolejno: tg = = tg = π π π π tg = tg tg = tg i osttecznie tg = tg tg = tg Otrzmliśm π π lterntwę równń podstwowch ztem: = + kπ = + kπ k C Żdne z tch dwu rozwiązń nie jest sprzeczne z złożeniem Przkłd 88 Rozwiązć nierówność: ) sin b) tg c) cos > Rozwiąznie ) Nierówności trgonometrczne njwgodniej rozwiązwć z wkorzstniem wkresu odpowiedniej funkcji trgonometrcznej W tm punkcie zdni będzie nią funkcj f() = sin Dobrze jest rozwiązć njpierw nierówność w dowolnm przedzile którego długość jest równ okresowi funkcji dopiero później znleźć rozwiąznie ogólne Poniewż okresem funkcji f() = sin jest π więc przjmijm z wspomnin przedził zbiór < 0; π ) Oto rsunek: - p p p - f ( ) = sin < 0; π ) Linią ciągłą (zieloną) dorsowliśm dodtkowo prostą będącą wkresem funkcji f() = = Widć że przecin on wkres funkcji w dwu punktch którch odcięte wnoszą π orz π Sprwdźm rchunkiem że odcięte te zostł odcztne prwidłowo Możem w tm celu rozwiązć równnie: sin = i wbrć z jego rozwiązni te rgument które nleżą do przedziłu < 0; π ) Mm: sin = ztem sin = sin skąd kπ = + π π

44 - - π = π + kπ k C Z obu tch rozwiązń w przedzile < 0; π ) znjdują się tlko orz π (zgodnie z odcztem z rsunku) Widć terz że funkcj f() = sin przjmuje (w π przedzile < 0; π ) ) wrtości większe lub równe od dl π N koniec znjdziem rozwiąznie ogólne Ze wspomninej n początku okresowości funkcji sinus wnioskujem że inne przedził w którch będzie spełnion nierówność sin będą mił krńce różniące się od znlezionch o wielokrotność liczb π A więc mm π rozwiąznie ogólne: + kπ π + kπ k C b) Okresem zsdniczm funkcji f() = tg jest π więc rozwżm wkres tej funkcji dl π π : - p - p p p - π π f ( ) = tg Szukm odciętch punktów wspólnch wkresu funkcji f ( ) = tg i wkresu funkcji π π f ( ) = Mm: tg = czli tg = tg = skąd tg = tg tg = tg co π π π π zchodzi gd = + kπ = + kπ k C Z punktów tch w przedzile π π π π znjdują się istotnie tlko orz Ztem w przedzile rozwiąznie nierówności m postć: ( > < ) Terz łtwo otrzmujem rozwiąznie ogólne: π π π π π π π π ( + kπ + kπ > < + kπ + kπ ) k C c) Jk wiem okresem zsdniczm funkcji f() = cos jest π rozwżm więc jej wkres π π n przedzile < ) (możn też wziąć inn przedził n przkłd <0 π) le w wbrnm przez ns przedzile rozwiąznie d się jk się z chwilę przekonm zpisć njpro- ściej w postci jednego przedziłu):

45 p - p - p 8-0 p p 8 p - π π f ( ) = cos < ) Szukm odciętch punktów wspólnch wkresów funkcji: f() = cos orz f() = Ztem musi bć: cos = czli cos = cos π skąd = π + kπ = π + kπ 8 8 k C Z obu tch rozwiązń w interesującm ns przedzile znjdują się π orz π 8 8 π π Widć że rozwiąznie nierówności w przedzile < ) m postć: π π 8 8 (tu włśnie jest ono opisne jednm przedziłem) skąd łtwo otrzmujem rozwiąznie ogólne: π + kπ π + kπ k C 8 8 Ćwiczeni: 8 Rmię końcowe kąt skierownego α znjduje się w II ćwirtce ukłdu współrzędnch i zwier się w prostej o równniu + = 0 Obrć n tm rmieniu końcowm trz punkt P P i P i wkorzstując ich współrzędne obliczć kolejno dl kżdego z nich wrtości funkcji trgonometrcznch kąt α 8 Obliczć wrtości funkcji trgonometrcznch kąt skierownego α jeśli widomo że jego rmię końcowe jest zwrte w prostej o podnm równniu i leż w podnej ćwirtce ukłdu współrzędnch: ) = 0 III ćwirtk; b) + = 0 IV ćwirtk; c) = 0 III ćwirtk; d) + 7 = 0 II ćwirtk 8 Obliczć wrtości pozostłch funkcji trgonometrcznch rgumentu jeśli: ) sin = i π π b) cos = i π π c) tg = i π π d) ctg = i π π 8 Obliczć: ) sin π b) cos π c) tg π

46 - - 8 Obliczć: 0 d) ctg π e) ) sin jeśli cos = i π π b) sin jeśli tg = i π π c) sin jeśli sin = i π π π i π d) cos jeśli cos = 8 Wkzć że dl dowolnego : sin π cos π tg π + cos ) jeżeli sin 0 i cos 0 to = ctg sin sin b) jeżeli sin 0 to = ctg cos c) jeżeli sin 0 i cos 0 to ctg = tg sin + sin d) jeżeli sin + cos 0 to ( ) sin + cos = 87 Nszkicowć wkres funkcji: ) f() = sin b) f() = cos c) f() = + sin d) f() = tg e) f() = ctg 88 Rozwiązć równnie: ) sin = b) cos = c) sin = d) ctg = e) sin + sin = 0 89 Rozwiązć nierówność: ) sin < b) cos c) tg d) cos > e) ctg

47 - 7 - Odpowiedzi ( ) gd < gd ) + + = b) = gd gd > ( + ) gd < c) + + = ( ) gd ( + ) gd < d) + + = + gd < + gd ( + ) gd < e) + = ( ) gd < ( + ) gd ) = lub = b) = 0 lub = c) ( ) d) ( > < + ) e) ( 0) ( + ) ) b) R c) ( ) d) + e) nierówność sprzeczn ) ( > < + ) b) ( ) c) ( + ) d) ( ) ( > e) ( > ) b) f ( ) = f ( ) = + +

48 - 8 - c) d) f ( ) = f ( ) = + e) f ( ) = + ) < 0 + ) b) ( ) c) ( + ) d) ( ) ( + ) postć knoniczn postć ilocznow ) b) c) ( ) = + f f ( ) = ( ) ( ) = f f ( ) = ( + ) f ( ) = + f ( ) = + f ( ) = + nie istnieje d) ( ) e) f ( ) = ( + ) + f ( ) = ( )( + )

49 - 9 - ) 0 7 b) f ( ) = f ( ) = 8 + c) d) f ( ) = f ( ) = + e) f ( ) = ) ( 0 > < + ) b) c) ( ) + d) = 8 8 e) R { } ) R { 0} b) ( 7) ( 7 > < + ) c) { 0} d) ( > < ) ( + ) e) ( > ( + )

50 - 0 - ) + = ( + )( ) b) = ( + + )( + ) ) P() + Q() = + + P() Q() = + P() Q() = P() : Q() = + ; b) P() + Q() = + 8 P() Q() = + P() Q() = P() : Q() = + ) + + = ( + )( ) + b) + = ( + )( + ) + (- + ) ) = b = -; b) = b = -; c) = b = -; d) = b = - ) r i r b) r c) r 7 ) - b) - c) d) 8 ) ( - )( + + ) b) ( + )( + ) c) ( + )( - + 9) d) ( - )( ) 9 ) ( )( + )( - )( + ) b) ( )( + )( - )( + ) c) ( - )( + )( + ) d) ( - )( + )( + ) 0 ) ( - ) ( + ) b) ( - ) ( + ) c) ( - )( + ) d) ( - )( + ) ) ( - )( + + ) b) ( + )( + ) c) ( - )( + + ) d) ( + )( ) ) = lub = lub = b) = - lub = c) = d) = - lub = e) = 0 lub = ) ( ) ( + ) b) ( 7 ) ( 7 ) d) = - e) 0 ( 0 + ) c) ( > { 0} < + ) ) = - b) = - lub = c) = lub = d) = - lub = + + e) = lub = ) ( ) < + ) b) ( ) < + ) c) ( ) d) ( ) e) < ) ( > ) < ) (0 + ) b) ( ) ( ) c) ( > (0 > d) < 0) ) R b) ( ; > c) d) ( ) ( ) < + )

51 - - ) b) + f ( ) = f ( ) = c) 8 d) f ( ) = f ( ) = + e) + f ( ) = +

52 - - ) b) f ( ) = + + f ( ) = c) d) f ( ) = f ( ) = 7 ) 0 b) f ( ) = f ( ) = +

53 - - c) d) f ( ) = + - f ( ) = + e) f ( ) = 7 ) = b) = 0 lub = c) < ; 0 > d) ( 0 > < + ) e) ( ;0) (0;) 7 ) < ;0) (0;) ( + ) b) < ) ( ;) (; > c) = d) ( ) ( + ) 7 ) Wskzówk: Wprowdzić oznczenie: t = log Skorzstć z definicji logrtmu i zuwżć równość lewej i prwej stron tez b) Wskzówk: Skorzstć z twierdzeni o zminie podstw logrtmu przjmując c = b ) b) c) d) e) 8

54 - - 7 ) b) c) ( ) f ( ) = log d) f ( ) = log ( ) f ( ) = + log f ( ) = log 77 ) = b) = c) ( ; > d) e) < ) 78 ) ( ;0) ( 0;) b) < ) ( + ) c) ( ) ( 0 > d) < ) (0; > e) ( ) ( + ) ) sinα = cosα = tg α = ctg α = ; b) sinα = 0 0 cos α = tg α = ctg α = ; c) sinα = cosα = tg α = ctg α = ; d) sin α = cosα = tg α = ctg α = 7 8 ) cos = tg = ctg = ; c) sin = tg = ctg = ; b) sin = tg = cos = ctg = ; d) sin = 7 7 cos = 7

55 - - 8 ) b) c) d) 8 ) b) c) 9 87 ) d) 9 e) b) - p - p p p - - f ( ) = sin - p - p - p p p p f ( ) = cos c) 0 d) 0 - p - p - p p p p f ( ) = + sin - p - p p p - f ( ) = tg e) - p - p p p f ( ) = ctg π 88 ) = + kπ = π + kπ k C ; b) = π + kπ = π + kπ k C ;

56 - - π c); = kπ + = π + kπ π k C ; d) = + kπ k C ; π 7 e) = + kπ = π + kπ = kπ k C 7 π π 89 ) π + kπ π + kπ k C ; b) + kπ + kπ k C ; π π π π c) + kπ + kπ + kπ + kπ k C ; π d) π + kπ π + kπ k C ; e) + kπ π + kπ k C