Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Transkrypt

1 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętch orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwow

2 Klucz punktowni zdń zmkniętch Nr zdni Odpowiedź D A B D C B B C C B A C D D C B C A D D C B D B B Zdnie 6 ( pkt) Rozwiąż nierówność 0 Rozwiąznie Rozwiąznie nierówności kwdrtowej skłd się z dwóch etpów Pierwsz etp rozwiązni: Znjdujem pierwistki trójminu kwdrtowego : podjem je bezpośrednio, np zpisując pierwistki trójminu lub postć ilocznową trójminu lub zznczjąc n wkresie, 0 lub obliczm wróżnik tego trójminu: Stąd orz 0 Drugi etp rozwiązni: Podjem zbiór rozwiązń nierówności: 0 lub 0, lub 0, go ze szkicu wkresu funkcji f np odcztując Schemt ocenini Zdjąc otrzmuje pkt gd: zrelizuje pierwsz etp rozwiązni i n tm poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności, np o rozłoż trójmin kwdrtow n cznniki liniowe, np i n tm poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności, o oblicz lub pod pierwistki trójminu kwdrtowego, 0 i n tm poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności, o zzncz n wkresie miejsc zerowe funkcji f i n tm poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności,

3 relizując pierwsz etp popełni błąd (le otrzm dw różne pierwistki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np popełni błąd rchunkow prz obliczniu wróżnik lub pierwistków trójminu kwdrtowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność Zdjąc otrzmuje pkt gd: pod zbiór rozwiązń nierówności : 0, lub 0, lub 0 i sporządzi ilustrcję geometrczną (oś liczbow, wkres) i zpisze zbiór rozwiązń nierówności w postci: 0, pod zbiór rozwiązń nierówności w postci grficznej z poprwnie zznczonmi końcmi przedziłów 0 Krteri ocenini uwzględnijące specficzne trudności w uczeniu się mtemtki Akceptujem stucję, gd zdjąc poprwnie oblicz pierwistki trójminu 0, i zpisze, np 0,, popełnijąc tm smm błąd prz przepiswniu jednego z pierwistków Z tkie rozwiąznie otrzmuje punkt Jeśli zdjąc pomli porządek liczb n osi liczbowej, np zpisze zbiór rozwiązń nierówności w postci,0, to otrzmuje punkt Zdnie 7 ( pkt) Rozwiąż równnie I sposób rozwiązni (metod grupowni) Przedstwim lewą stronę równni w postci ilocznowej stosując metodę grupowni wrzów: 6 0 lub Stąd 6 lub lub Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Zdjąc otrzmuje pkt gd zpisze lew stronę równni w postci ilocznu, np 6, 6, prz czm postć t musi bć otrzmn w sposób poprwn, i n tm poprzestnie lub dlej popełni błęd

4 4 Zdjąc otrzmuje pkt gd wzncz bezbłędnie wszstkie rozwiązni równni: 6 lub lub II sposób rozwiązni (metod dzieleni) Stwierdzm, że liczb 6 jest pierwistkiem wielominu 6 7 Dzielim wielomin 6 7 przez dwumin 6 Otrzmujem ilorz Zpisujem równnie w postci Ztem 6 lub lub Schemt ocenini II sposobu rozwiązni 6 0 Stąd 6 0 Zdjąc otrzmuje pkt gd podzieli wielomin i n tm poprzestnie lub dlej popełni błęd 6 7 przez dwumin 6, otrzm ilorz Zdjąc otrzmuje pkt gd wzncz bezbłędnie wszstkie rozwiązni równni: 6 lub lub Zdnie 8 ( pkt) Kąt jest ostr i tg Oblicz I sposób rozwiązni Dzieląc licznik i minownik ułmk przez i wkorzstując zleżność tg otrzmujem tg tg II sposób rozwiązni Wkorzstując zleżność tg zpisujem Przeksztłcm, podstwim do wrżeni wrtość: i obliczm jego

5 III sposób rozwiązni Wkorzstując zleżność tgα zpisujem Przeksztłcm, podstwim do wrżeni i obliczm jego wrtość: 5 IV sposób rozwiązni Rsujem trójkąt prostokątn, zznczm kąt i wprowdzm oznczeni c Z twierdzeni Pitgors otrzmujem Ztem Wrtość wrżeni 5 i 5 c Stąd c 5 jest więc równ V sposób rozwiązni Rsujem trójkąt prostokątn, zznczm kąt i wprowdzm oznczeni c Korzstjąc z definicji funkcji trgonometrcznch kąt ostrego w trójkącie prostokątnm, zpisujem c, c Podstwijąc i, obliczm wrtość wrżeni : c c c c c c

6 Schemt ocenini I, II, III, IV i V sposobu rozwiązni Zdjąc otrzmuje pkt gd podzieli licznik i minownik ułmk w postci tg tg przez i n tm poprzestnie lub dlej popełni błęd zpisze zleżność, doprowdzi ułmek do postci tm poprzestnie lub dlej popełni błęd zpisze zleżność tm poprzestnie lub dlej popełni błęd, doprowdzi ułmek do postci, zpisze ten ułmek oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąt prostokątnego o przprostokątnch długości i (nwet z błędem rchunkowm) orz zpisze i n tm c poprzestnie lub dlej popełni błęd oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąt prostokątnego o przprostokątnch długości i (nwet z błędem rchunkowm) orz zpisze c i n tm poprzestnie lub dlej popełni błęd nrsuje trójkąt prostokątn o przprostokątnch długości i, ozncz długość przeciwprostokątnej, zzncz w tm trójkącie poprwnie kąt lub, i n tm poprzestnie lub dlej popełni błęd c i zpisze Zdjąc otrzmuje pkt gd poprwnie oblicz wrtość wrżeni : Uwgi Jeśli zdjąc przjmie, że i, to otrzmuje 0 punktów Wszstkie rozwiązni, w którch zdjąc błędnie zzncz kąt n przedstwionm przez siebie rsunku i z tego korzst ocenim n 0 punktów Jeśli zdjąc odczt z tblic wrtość kąt, dl którego tg : 6 orz zpisze 6 0,890 lub 6 0,4540 i n tm poprzestnie lub dlej popełni błęd, to otrzmuje punkt i n 6 i n c

7 4 Jeśli zdjąc odczt z tblic wrtość kąt, dl którego tg : 6 orz zpisze 6 0,890 lub 6 0,4540 i oblicz wrtość wrżeni 0,49, to otrzmuje punkt 5 Jeśli zdjąc odczt z tblic wrtość kąt, dl którego tg : 64 orz zpisze 64 0,8988 lub 64 0,484 i oblicz wrtość wrżeni 0,44, to otrzmuje punkt 7 Zdnie 9 ( pkt) W tbeli zestwiono ocen z mtemtki uczniów kls A n koniec semestru Ocen Liczb ocen Średni rtmetczn tch ocen jest równ,6 Oblicz liczbę ocen brdzo dobrch (5) z mtemtki wstwionch n koniec semestru w tej klsie Rozwiąznie: Obliczm średnią rtmetczną ocen zestwionch w tbeli Poniewż t średni rtmetczn jest równ,6 Ztem otrzmujem równnie , Stąd otrzmujem , , 7, Schemt ocenini Zdjąc otrzmuje pkt gd: zpisze równnie pozwljące obliczć liczbę ocen brdzo dobrch i n tm poprzestnie lub dlej popełni błąd, np: ,6 lub , zpisze równnie pozwljące obliczć liczbę ocen brdzo dobrch, le popełni błąd prz przepiswniu dnch Zdjąc otrzmuje pkt gd oblicz liczbę ocen brdzo dobrch:

8 8 Uwg Jeśli zdjąc odgdnie, że liczb ocen brdzo dobrch jest równ, i sprwdzi to, wkonując odpowiednie obliczeni, to otrzmuje punkt Krteri ocenini uwzględnijące specficzne trudności w uczeniu się mtemtki Jeżeli zdjąc popełni błąd nieuwgi zpisując średnią rtmetczną ocen, np ; , rozwiąże równnie i otrzm wnik, któr jest liczbą cłkowitą, to otrzmuje punkt, jeśli otrzm wnik, któr nie jest liczbą cłkowitą lub popełni błąd rchunkow prz rozwiązwniu równni, to otrzmuje punkt Zdnie 0 ( pkt) Uzsdnij, że jeżeli jest liczbą rzeczwistą różn od zer i to I sposób rozwiązni Równość podnosim obustronnie do kwdrtu i przeksztłcm równowżnie 9, 9 Stąd 7 Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Zdjąc otrzmuje pkt gd podniesie równość obustronnie do kwdrtu: popełni błęd i n tm zkończ lub dlej Zdjąc otrzmuje pkt gd oblicz wrtość wrżeni : 7 II sposób rozwiązni Wrżenie zpisujem w postci Ztem 9 7 7

9 9 Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Zdjąc otrzmuje pkt gd zpisze zleżność międz sumą lub dlej popełni błęd, kwdrtem sum i n tm zkończ Zdjąc otrzmuje pkt gd oblicz wrtość wrżeni III sposób rozwiązni Mnożąc obie stron równni : 7 przez otrzmujem równnie, 0 4 5, 5, Gd 5, to 5 lub Gd 5, to 7, Schemt ocenini III sposobu rozwiązni Zdjąc otrzmuje pkt gd rozwiąże równnie : 5 lub 5 i n tm zkończ lub dlej popełni błęd Zdjąc otrzmuje pkt gd oblicz wrtość wrżeni : 7

10 Zdnie ( pkt) Długość krwędzi sześcinu jest o krótsz od długości jego przekątnej Oblicz długość przekątnej tego sześcinu Rozwiąznie Przjmijm oznczeni jk n rsunku 0 d Z twierdzeni Pitgors otrzmujem: d orz Poniewż d, więc otrzmujem równnie d d, d Stąd d Uwg Możem też zpisć równnie z inną niewidomą, np, Stąd d d, d d Stąd d Schemt ocenini rozwiązni Zdjąc otrzmuje pkt gd zpisze równnie pozwljące obliczć długość przekątnej sześcinu, np: d d, i n tm poprzestnie lub dlej popełni błęd Zdjąc otrzmuje pkt 6 gd oblicz długość przekątnej: d lub d

11 Zdnie (5 pkt) Dne są dwie prostokątne dziłki Dziłk pierwsz m powierzchnię równą m Dziłk drug m wmir większe od wmirów pierwszej dziłki o 0 m i 5 m orz powierzchnię większą o 50 m Oblicz wmir pierwszej dziłki I sposób rozwiązni Niech ozncz długość jednego z boków pierwszej dziłki, długość drugiego boku dziłki pierwszej, wted pole powierzchni dziłki pierwszej jest równe Stąd mm równnie Wted 0 ozncz długość jednego z boków dziłki drugiej, 5 długość drugiego boku dziłki drugiej, zś pole powierzchni tej dziłki jest równe Otrzmujem ztem równnie Zpisujem ukłd równń Z pierwszego równni wznczm podstwim do drugiego równni i rozwiązujem Przeksztłcm to równnie do równni Przeksztłcm to równnie do równni kwdrtowego, np kwdrtowego, np lub lub 50 Obliczm : Obliczm : 50 lub lub Odp Pierwsz dziłk mił wmir 40 m n 50 m lub 00 m n 60 m II sposób rozwiązni Niech ozncz długość jednego z boków pierwszej dziłki, długość drugiego boku dziłki pierwszej, wted pole powierzchni dziłki pierwszej jest równe Stąd mm równnie Wted 0 ozncz długość jednego z boków dziłki drugiej, 5 długość drugiego boku dziłki drugiej, zś pole powierzchni tej dziłki jest równe Otrzmujem ztem równnie Zpisujem ukłd równń

12 Stąd otrzmujem kolejno Równnie dzielim obustronnie przez 5 Otrzmujem 40 0, stąd wznczm 0 40 podstwim do pierwszego równni i rozwiązujem lub lub 50 Obliczm : Obliczm : 50 lub lub Odp Pierwsz dziłk mił wmir 40 m n 50 m lub 00 m n 60 m Schemt ocenini I i II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którm postęp jest niewielki, le konieczn n drodze do pełnego rozwiązni zdni pkt Zpisnie jednego z równń: , gdzie, oznczją długości boków pierwszej dziłki Uwg Nie wmgm opisni wprowdzonch oznczeń, jeżeli z rozwiązni możn wwnioskowć, że zdjąc poprwnie je stosuje Rozwiąznie, w którm jest istotn postęp pkt Zpisnie ukłdu równń z niewidommi i Pokonnie zsdniczch trudności zdni pkt Zpisnie równni z jedną niewidomą lub, np:

13 lub lub lub lub lub Uwg Zdjąc nie musi zpiswć ukłdu równń, może bezpośrednio zpisć równnie z jedną niewidomą i wówczs jego rozwiąznie zostnie zkwlifikowne co njmniej do ktegorii Pokonnie zsdniczch trudności Rozwiąznie zdni do końc lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślją poprwności rozwiązni (np błęd rchunkowe) 4 pkt rozwiąznie równni z niewidomą i nieobliczenie drugiego boku dziłki, rozwiąznie równni z niewidomą i nieobliczenie pierwszego boku dziłki, popełnienie błędu rchunkowego w rozwiązniu równni z jedną niewidomą (le otrzmnie dwóch rozwiązń) i konsekwentne do popełnionego błędu obliczenie wmirów dziłek, obliczenie wmirów dziłki tlko w jednm przpdku Rozwiąznie pełne 5 pkt Obliczenie wmirów dziłki pierwszej: dziłk pierwsz m wmir 40 m n 50 m lub 00 m n 60 m Uwg Jeżeli zdjąc odgdnie wmir dziłki w co njmniej jednm przpdku, to otrzmuje punkt, nwet w stucji, gd dokonuje sstemtcznego przeszukiwni rozwiązń cłkowitch Zdnie (4 pkt) Punkt A, 5, B, i C, 4 są kolejnmi wierzchołkmi równoległoboku ABCD Oblicz pole tego równoległoboku I sposób rozwiązni Wznczm równnie prostej AB: 4 Wznczm równnie prostej CE prostopdłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C: 6

14 4 Obliczm współrzędne punktu E (przecięci prostch AB i CE) rozwiązując ukłd równń: 4 6 Rozwiązniem ukłdu jest: 5, Stąd E 5, Obliczm długość odcink AB: Obliczm długość odcink CE: AB CE Ztem pole równoległoboku jest równe: PABCD AB CE 4 4 Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którm postęp jest niewielki, le konieczn n drodze do pełnego rozwiązni zdni pkt Obliczenie długości odcink: AB 4 Rozwiąznie, w którm jest istotn postęp pkt Obliczenie współrzędnch punktu E: E 5, Pokonnie zsdniczch trudności zdni pkt Obliczenie wsokości równoległoboku: CE Uwg Zdjąc może obliczć wsokość równoległoboku wkorzstując wzór n odległość wierzchołk C od prostej AB Rozwiąznie pełne 4 pkt Obliczenie pol równoległoboku: P ABCD 4 II sposób rozwiązni Zuwżm, że pole równoległoboku ABCD jest równe podwojonemu polu trójkąt ABC Pole trójkąt ABC obliczm ze wzoru: PABC B A C A B A C A Obliczm pole równoległoboku: PABCD PABC B A C A B A C A Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którm postęp jest niewielki, le konieczn n drodze do pełnego rozwiązni zdni pkt

15 Zuwżenie, że P P ABCD ABC 5 Rozwiąznie, w którm jest istotn postęp pkt Zstosownie wzoru n pole trójkąt: PABC B A C A B A C A Pokonnie zsdniczch trudności zdni pkt Obliczenie pol trójkąt: Rozwiąznie pełne 4 pkt Obliczenie pol równoległoboku: P ABCD 4 III sposób rozwiązni Nrsujm prostokąt AEFG, w którm E, 5, F, 4, G, G C F A E B, jk n rsunku Wówczs PABC PAEFG PAEB PBFC P CGA Stąd pole równoległoboku ABCD jest równe Schemt ocenini III sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którm postęp jest niewielki, le konieczn n drodze do pełnego rozwiązni zdni pkt nrsownie trójkąt ABC i prostokąt AEFG zuwżenie, że P P ABCD ABC Rozwiąznie, w którm jest istotn postęp pkt Zpisnie pol trójkąt jko różnic pol prostokąt AEFG i pól trójkątów prostokątnch AEB, BFC, CGA: PABC PAEFG PAEB PBFC P CGA Pokonnie zsdniczch trudności zdni pkt

16 Obliczenie pol trójkąt ABC: P ABC 6 Rozwiąznie pełne 4 pkt Obliczenie pol równoległoboku: P ABCD 4 Zdnie 4 (4 pkt) Objętość ostrosłup prwidłowego trójkątnego ABCS (tk jk n rsunku) jest równ 7, promień okręgu wpisnego w podstwę ABC tego ostrosłup jest równ Oblicz tngens kąt międz wsokością tego ostrosłup i jego ściną boczną S A Rozwiąznie B Oznczm: długość boku trójkąt równobocznego ABC, w któr wpisno okrąg o promieniu r, H wsokość tego ostrosłup, mir kąt międz wsokością ostrosłup i jego ściną boczną Poniewż r, to 4 6 Objętość ostrosłup prwidłowego trójkątnego ABCS jest równ 7, ztem 4 H 7 4 Obliczm wsokość ostrosłup H: 48 H 7, stąd Zuwżm, że tg r H, stąd tg 6 9 C 7 H 6 4 Schemt ocenini Rozwiąznie, w którm postęp jest niewielki, le konieczn n drodze do pełnego rozwiązni pkt Zznczenie kąt międz wsokością ostrosłup i jego ściną boczną lub wbór włściwego kąt do dlszch obliczeń Rozwiąznie, w którm jest istotn postęp pkt Obliczenie długości boku trójkąt ABC: 4

17 7 Pokonnie zsdniczch trudności zdni pkt Obliczenie wsokości ostrosłup ABCS: H 6 Rozwiąznie pełne 4 pkt Obliczenie tngens kąt międz wsokością ostrosłup i jego ściną boczną: tg 9