Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

Transkrypt

1 Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem ciągu i ozczm przez, b itp. Ciągi o tkich wrzch ozczm odpowiedio przez ( ), ( b ) itp. Defiicj (ciąg ogriczo z dołu) ) jest ogriczo z dołu, jeżeli zbiór { } jest ogriczo z dołu, tz. m m. (cztm istieje m leżące do R tkie, że dl dowolego leżącego do N { } jest większe bądź rówe m) Defiicj (ciąg ogriczo z gór) ) jest ogriczo z gór, jeżeli zbiór { } jest ogriczo z gór, tz. Defiicj (ciąg ogriczo) M M. ) jest ogriczo, jeżeli zbiór { } jest ogriczo, tz. m, M m M. Zbdć cz ciąg 3 jest ogriczo.

2 Defiicj (ciąg rosąc) ) jest rosąc, jeżeli 1 2 3, tz.. 1 Defiicj (ciąg iemlejąc) ) jest iemlejąc, jeżeli 1 2 3, tz.. 1 Uwg Alogiczie defiiujem ciągi mlejąc i ierosąc. Ciągi rosące, mlejące, ierosące i iemlejące zwm ciągmi mootoiczmi. Zbdć mootoiczość ciągu 1. Defiicj (gric włściw ciągu) ) jest zbież do gric włściwej, co zpisujem wted, gd. wted i tlko Twierdzeie (o jedozczości gric ciągu) Kżd ciąg zbież m dokłdie jedą gricę. Defiicj (gric iewłściw ciągu)

3 ) jest rozbież do gric iewłściwej,, co zpisujem wted, gd A A. wted i tlko ) jest rozbież do gric iewłściwej,, co zpisujem wted, gd B B. wted i tlko Fkt (grice ciągu geometrczego) q dl q 1 1 dl q=1. ie istieje dl q 1 + dl q 1 Zleźć grice podch ciągów 1 5 ) ; b) 3 ; c). 2 4 TWIERDZENIA O GRANICACH WŁAŚCIWYCH CIĄGÓW

4 Twierdzeie (o ogriczoości ciągu zbieżego) Jeżeli ciąg jest zbież do gric włściwej, to jest ogriczo. Twierdzeie (o mootoiczm i ogriczom) Ciąg mootoicz i ogriczo jest zbież. Twierdzeie (o rtmetce gric ciągów) Jeżeli ciągi ( ), ( b ) są zbieże do gric włściwch, to 1) ( b ) b ; 2) ( b ) b ; 3) ( c) c, gdzie c ; 4) ( b ) b ; p p 5) ( ), o ile ; b b b 6) ( ), gdzie p {}; 7) k, gdzie k {1}. k Obliczć pode grice ciągów ) ; b) ( ); c) Twierdzeie (o trzech ciągch) Jeżeli ciągi ( ), ( b), ( c ) spełiją wruki 1) b c dl kżdego ; 2) to b b. c b Obliczć gricę ciągu korzstjąc z tw. o trzech ciągch

5 Twierdzeie (określeie liczb e) 1 Ciąg e 1 ozczm przez e: jest rosąc i ogriczo z gór, ztem jest zbież. Gricę tego ciągu 1 1 e. Liczb e z dokłdością do 1 cfr po przeciku jest rów 2, Logrtm prz podstwie e zwm logrtmem turlm i ozczm przez l: log l x. x Fukcję wkłdiczą prz podstwie e zwm ekspoetą i ozczm przez exp: exp x e. Uwg e x Powższ fkt jest tkże prwdziw dl ciągu ;, tz. 1 e. 1 Obliczć gricę

6 Twierdzeie (o gricch iewłściwch ciągów) 1) dl ; 2) dl ; 3) dl 1; gdzie ; 4) b dl b ; 5) dl ; 6) dl ; 7) dl 1 ; 8) b dl b. Defiicj (wrżei ieozczoe) Wrżei 1 Nzwm wrżeimi ieozczomi. Ich wrtości zleżą od postci ciągów je tworzącch. x Ciągi ( x) i ( ) spełiją wruki x,, jedk gric róże wrtości lbo ie istieje. przjmuje ) Niech x b) Niech x c) Niech x 2 orz., gdzie, gdzie orz x Wted. x orz. Wted. 2. Wted x 1. x d) Niech x (2 ( 1) ) orz. Wted (2 ( 1) ) ie istieje. Obliczie procetu prostego Ozczei: K - kpitł początkow K t kpitł końcow

7 r - rocz stop procetow - czs oprocetowi w ltch Wówczs zchodzi: K t = K (1+r ). Obliczie procetu skłdego (złożoego) K t = K (1+r).