Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Transkrypt

1 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej dje równość prwdziwą, jest rozwiązniem tego równni W przypdku równń z jedną niewidomą możemy mówić o równnich stopni pierwszego, gdy niewidom występuje w pierwszej potędze, są to równni typu: x + b =0 o niewidomej x, tkże o równnich wyższych stopni Równnie pierwszego stopni z jedną niewidomą może mieć jedno rozwiąznie, nieskończenie wiele rozwiązń równnie tożsmościowe, lub nie mieć żdnego rozwiązni równnie sprzeczne Rozwiązując równni wykorzystuje się metodę równń równowżnych Dw równni nzwiemy równowżnymi, jeśli mją tkie sme zbiory rozwiązń Chcąc rozwiązć równnie możemy: > do obu stron równni dodć jednomin; > od obu stron równni odjąć jednomin; > obie strony równni pomnożyć przez liczbę różną od zer lub podzielić przez liczbę różną od zer; > uprościć wyrżeni znjdujące się po kżdej stronie równni opuszczjąc nwisy, redukując wyrzy podobne Równnie kwdrtowe z jedną niewidomą (równnie drugiego stopni) to równnie typu x + bx + c = 0 o niewidomej x, gdzie bc,, R, 0 Niewidom w tym równniu występuje w drugiej potędze Liczby, b i c nzywmy współczynnikmi równni ciekwostk Frnçois Viète ( ) z wyksztłceni był prwnikiem, le njbrdziej znny jest ze swych osiągnięć mtemtycznych (choć w tej dziedzinie był tylko smoukiem) Jko pierwszy wpdł n pomysł, by w równnich oznczyć litermi nie tylko niewidome, le tkże współczynniki Dzięki temu mógł odkryć swoje słynne wzory (ptrz rozdził 33) y równń kwdrtowych: 3x x+ 7= 0, (tu: = 3, b=, c= 7) 1 1 x x= 0, (tu: =, b=, c= 0) x 16= 0, (tu: =, b= 0, c= 16)

2 REPETYTORIUM 51 Wyrżenie x + bx + c, gdzie, b, c R, 0 nzywmy trójminem kwdrtowym, rozwiązni odpowidjącego mu równni kwdrtowego pierwistkmi trójminu W celu rozwiązni równni kwdrtowego wystrczy njpierw wyznczyć wyróżnik trójminu ozn Δ (delt) Stosujemy wówczs nstępujący wzór: Δ= b c Od znku wyróżnik równni kwdrtowego ( Δ ) zleżn jest liczb rozwiązń tego równni > Jeśli Δ>0, to równnie m dw różne rozwiązni, które możemy znleźć, stosując wzory: x b b = Δ orz x = + Δ 1 > Jeśli Δ=0, to równnie m jedno rozwiąznie, które możn obliczyć, stosując wzór: b x = > Jeśli Δ<0, to równnie nie m rozwiązń Rozwiązni równni kwdrtowego x + bx + c = 0 są miejscmi zerowymi funkcji kwdrtowej y= x + bx+ c Wynik to z definicji miejsc zerowego funkcji Rozwiąż równni: x x 5= 0 Korzystjąc ze wzoru n wyróżnik trójminu kwdrtowego, otrzymujemy: Δ= ( ) 1 ( 5)= 16+ 0= 36 Poniewż Δ>0, to równnie m dw rozwiązni Podstwijąc otrzymną wrtość do podnych wzorów, mmy: x1 = ( ) orz x = ( )+, 6 6 x1 = orz x = +, x = 1 orz x = 5 1

3 5 REPETYTORIUM x + x+ 3= 0 zobcz s 15 Korzystjąc ze wzoru n wyróżnik trójminu kwdrtowego, otrzymujemy: Δ= 3 = 8= Poniewż Δ<0, to równnie nie m rozwiązni x + 6x 9= 0 Korzystjąc ze wzoru n wyróżnik trójminu kwdrtowego, otrzymujemy: Δ= 6 ( 1) ( 9)= = 0 Poniewż Δ=0, to równnie m jedno rozwiąznie, które obliczymy ze wzoru: x = 6 = 3 ( x 3) ( x+ )= x( x ) x Chcąc rozwiązć to równnie, nleży njpierw zpisć je w postci: x + bx + c = 0, gdzie, b, c, R, 0 Przeksztłcjąc je otrzymujemy: x + x 3x 6= x x x x x 6= x 6x x + 5x 6= 0 Możemy terz wyznczyć wyróżnik trójminu: Δ= 5 ( 1) ( 6)= 5 = 1 Równnie m ztem dw rozwiązni, które są równe: x1 = x orz = +, 6 x1 = x orz =, x = 3 orz x = 1 Spotykmy tkże równni kwdrtowe, w których jeden ze współczynników: b bądź c jest równy 0 Są to równni kwdrtowe niezupełne Jeżeli b= 0, c 0, to równnie kwdrtowe przyjmuje postć: x + c = 0 Równnie to może mieć dw rozwiązni lbo może nie mieć ich w ogóle Wyznczjąc niewidomą z powyższego równni, otrzymujemy: c x =

4 REPETYTORIUM 53 Jeśli c < 0, to równnie nie m rozwiązni Jeśli c c > 0, to równnie m dw rozwiązni: x =± Jeżeli c= 0, b 0, to równnie kwdrtowe przyjmuje postć: x + bx = 0 Równnie to m dw rozwiązni Możemy je wyznczyć, korzystjąc z równowżności: b x b x + x x = 0 = 0 = Rozwiąż równni: x + 5x = = 0 5 = 0 = 0 = 5 x x x x x x 5 Ztem x1= 0 orz x= 9x = 0 Dne równnie jest równowżne równniu 9x = x = 9 Stąd x =± 9 x = 1, x 3 = 3 x 3= 0 Dne równnie jest równowżne równniu x = 3 3 x = Nie istnieje liczb spełnijąc uzyskne, więc i dne równnie, poniewż kwdrt liczby rzeczywistej jest zwsze liczbą nieujemną ciekwostk Nie zwsze w celu rozwiązni równni kwdrtowego musimy wyznczć wyróżnik tego równni i stosowć przedstwione wzory Niektóre równni jesteśmy w stnie zpisć tk, by ich rozwiązni były od rzu możliwe do odczytni Pomocn może okzć się wówczs znjomość wzorów skróconego mnożeni em tkiego równni może być: x 1x+ 9= 0 Korzystjąc ze wzoru n kwdrt różnicy, równnie to możemy zpisć: ( x 3) = 0 Równnie to jest równowżne nstępującemu: x 3= 0 Rozwiązując je otrzymujemy: x = 3 x = 3 Rozptrywne równnie kwdrtowe m ztem jedno podwójne rozwiąznie: x = 3

5 5 REPETYTORIUM Posidjąc wiedzę i umiejętności pozwljące rozwiązywć równni kwdrtowe, możemy tkże rozwiązć niektóre równni wyższych stopni em mogą być pewne równni czwrtego stopni, które dzięki wprowdzeniu nowej zmiennej dją się sprowdzić do równń kwdrtowych Są to tk zwne równni dwukwdrtowe em tkiego równni jest: x 13x + 36 = 0 Możemy je zpisć w nstępujący sposób: ( x ) 13x + 36 = 0 W celu rozwiązni tego równni wystrczy wprowdzić nową zmienną wykonując podstwienie: t= x Otrzymujemy wówczs równnie kwdrtowe z niewidomą t: t 13t+ 36 = 0 Rozwiązując to równnie otrzymujemy: Δ= = = 5 = 5 Równnie: t 13t+ 36 = 0 m ztem dw rozwiązni: t1= = orz t= + = 9 Otrzymliśmy w ten sposób rozwiąznie równni z niewidomą t Podjąc rozwiązni początkowego równni, wystrczy zuwżyć, że: Jeżeli t= to x =, więc x1= orz x= Jeżeli t= 9 to x = 9, więc x3= 3 orz x= 3 Równnie: x 13x + 36 = 0 m ztem cztery różne rozwiązni: 3,,, 3 Nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą to nierówności powstłe z równń kwdrtowych z jedną niewidomą poprzez zstąpienie znku równości jednym ze znków: <, >,, y nierówności kwdrtowych: x 5x+ 3< 0, 5, x + 15, x 05, > 0,

6 REPETYTORIUM x x + 0, x 0 W celu rozwiązni nierówności kwdrtowej wystrczy: > wyznczyć Δ, znleźć pierwistki trójminu kwdrtowego (o ile istnieją); > nszkicowć prbolę, znjąc (jeśli istnieją) miejsc zerowe odpowiedniej funkcji i wiedząc, jk skierowne są rmion prboli ( < 0 rmion skierowne w dół, > 0 rmion skierowne w górę); > zznczyć (jeśli istnieją) przedziły, w których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie, w których ujemne; > odczytć rozwiąznie nierówności Rozwiąż nierówności: x 5x+ 3< 0 Korzystjąc ze wzoru wyznczmy Δ: Δ= 5 3 = 5 = x1 = = 1, x = + = = Poniewż współczynnik =, jest więc większy od 0, ztem rmion prboli będącej wykresem funkcji kwdrtowej skierowne są do góry Miejsc zerowe funkcji to 1 orz 3 Rysowny wykres m n celu wyłącznie ułtwienie znlezieni rozwiązń nierówności Jest to tylko szkic, dltego nie musi być dokłdny (rys 311) RYS 311

7 56 REPETYTORIUM Jko że w nierówności mmy znk mniejszości ( < ), rozwiązniem będzie przedził odpowidjący rgumentom, dl których funkcj przyjmuje wrtości ujemne, ztem: ( 115 ;,) 5 x x Chcąc uprościć nierówność, wrto njpierw pomnożyć obydwie jej strony przez 6 wspólny minownik dl ułmków występujących w nierówności Otrzymujemy wówczs: zobcz s 3 5 x x + 0 / x 6x Wyznczjąc Δ mmy: Δ= 36 ( ) 5 = = 116 =( 9) Pierwistki trójminu są ztem równe: x1 = =, x = + 8 Rozwiąznie nierówności możn odczytć z rysunku (rys 31): RYS 31 Rozwiąznimi są liczby nleżące do zbioru: ; ; + 11x + 9x > 0 Δ= 9 ( 11) ( )= 81 88= 7 Poniewż Δ<0, funkcj kwdrtow f()= x 11x + 9x nie m miejsc zerowych Rmion prboli będącej jej wykresem skierowne są w dół ( 11< 0 ) i w cłości leży on pod osią x (rys 313) Wniosek: nierówność nie m rozwiązni Gdyby rozptrywn był nierówność 11x + 9x < 0 zbiorem jej rozwiązń byłby zbiór liczb rzeczywistych

8 REPETYTORIUM 57 RYS 313 ( x + )+ 1 x + 6x Uprszczjąc dną nierówność otrzymujemy nierówności równowżne: x + 9 x + 6x x 6x+ 9 0 Wyróżnik jest równy: Δ= = 0 Trójmin kwdrtowy m jeden pierwistek, który wyrż się wzorem: x = 6 = 3 Prbol, której rmion skierowne są w górę, styk się z osią x w punkcie o współrzędnych ( 3; 0)(rys 31) RYS 31 Rozwiąznimi nierówności są więc wszystkie liczby rzeczywiste Gdyby rozptrywn był nierówność x 6x+ 9> 0 zbiorem jej roz- wiązń byłby zbiór R \{} 3 Sprwdź się Zd 1 Jeżeli wyróżnik równni kwdrtowego ( Δ) jest większy od 0, to równnie to m: A jedno rozwiąznie B dw rozwiązni C nieskończenie wiele rozwiązń odpowiedzi 1 B, B, 3 A, A, 5 D

9 58 REPETYTORIUM Zd 1 Wyróżnik równni kwdrtowego: x + 3x 5= 0 jest równy: A 13 B 1 C 19 D 11,5 Zd 3 Wskż rozwiąznie równni 5x 6x+ = 0 A równnie nie m rozwiązń B 1, 1 C 1, 1 5 D 1 1, 5 Zd Zbiorem rozwiązń nierówności 5, x + 35, x 1< 0 jest: A sum przedziłów: ; ( 1 5 ; + ) B przedził: 5 ; 1 C zbiór liczb rzeczywistych D zbiór pusty Zd 5 Równnie: x + 8x = 0: A m jedno rozwiąznie: 0 B m jedno rozwiąznie: C nie m rozwiązni D m dw rozwiązni: 0 orz 3 Ukłdy równń prowdzące do równń kwdrtowych Możemy spotkć się tkże z ukłdmi równń, w których niewidome podnoszone są do drugiej potęgi Zzwyczj możn je przeksztłcić tk, by otrzymć równnie kwdrtowe