Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Transkrypt

1 Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

2 Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach liniowych c 1 x 1 + c 2 x c n x n (1) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... (2) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m x j 0, j = 1, 2,..., n gdzie a ij, b i, c j s a sta lymi oraz m < n. 1

3 Oznaczenia stosowane w prezentacji A = [a ij ] macierz wspó lczynników, c = (c 1,..., c n ) wektor kosztów, b = (b 1,..., b m ) wektor ograniczeń, 0 = (0,..., 0) n-wymiarowy wektor sk ladaj acy siȩ z samych zer, P j j-ta kolumna macierzy A, P 0 = b. 2

4 Zapis macierzowy zadania PL. Zminimalizować funkcje celu c T X (3) przy ograniczeniach AX = b X 0 (4) 3

5 Przydatne twierdzenia powtórzenie Twierdzenie 1 Zbiór wszystkich rozwi azań dopuszczalnych zagadnienia programowania liniowego jest zbiorem wypuk lym. Twierdzenie 2 Funkcja celu przyjmuje wartość minimaln a w punkcie wierzcho lkowym zbioru wypuk lego, utworzonego na zbiorze rozwi azań dopuszczalnych zagadnienia programowania liniowego. Twierdzenie 3 Jeżeli można znaleźć zbiór wektorów P 1, P 2,..., P k (k m) liniowo niezależnych takich, że x 1 P 1 + x 2 P x k P k = P 0, oraz wszystkie x j 0, to punkt X = (x 1, x 2,..., x k, 0,...0) jest punktem wierzcho lkowym zbioru wypuk lego rozwi azań dopuszczalnych. 4

6 Wnioski 1 Każdemu punktowi wierzcho lkowemu zbioru wypuk lego rozwi azań dopuszczalnych odpowiada zbiór m wektorów liniowo niezależnych z danego zbioru P 1, P 2,..., P n. Twierdzenie 4 Jeżeli dla dowolnego rozwi azania dopuszczalnego X = (x 10, x 20,..., x m0 ) któremu odpowiada zbiór liniowo niezależnych wektorów P 1, P 2,..., P m spe lnione s a warunki z j c j 0 dla wszystkich j = 1, 2,..., n, to x 10 P 1 + x 20 P x m0 P m = P 0 x 10 c 1 + x 20 c x m0 c m = z 0, określaj a minimalne rozwi azanie dopuszczalne. 5

7 Przyk lad 1 Zminimalizować funkcjȩ celu: x 2 3x 3 + 2x 5 przy ograniczeniach: x 1 + 3x 2 x 3 + 2x 5 = 7 2x 2 + 4x 3 + x 4 = 12 4x 2 + 3x 3 + 8x 5 + x 6 = 10 x 1,..., x 6 0 6

8 Rozwia zanie zadania I krok SIMPLEKS c j Baza c P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P P P z j c j

9 II krok SIMPLEKS c j Baza c P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P P P z j c j

10 III krok SIMPLEKS c j Baza c P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P P P z j c j

11 Niesymetryczne zagadnienie dualne PL Zagadnienie pierwotne min c T X przy ograniczeniach AX = b X 0 Zagadnienie dualne max λ T b przy ograniczeniach λ T A c T UWAGA: Zadanie dualne zadania dualnego jest pocz atkowym zagadnieniem pierwotnym. 10

12 Lemat 1 S laby lemat o dualności. Za lóżmy, że X i λ s a rozwi azaniami dopuszczalnymi, odpowiednio, zadania pierwotnego i dualnego. Wówczas prawdziwa jest nastȩpuj aca nierówność: c T X λ T b. Twierdzenie 5 Niech X 0 i λ 0 bȩd a rozwi azaniami dopuszczalnymi, odpowiednio, zadania pierwotnego i dualnego. Jeżeli c T X 0 = λ 0 T b, to X 0 i λ 0 s a optymalnymi rozwi azaniami, odpowiednio, zadania pierwotnego i dualnego. 11

13 Twierdzenie o dualności Twierdzenie 6 Jeżeli zagadnienie pierwotne (albo dualne) ma skończone rozwi azanie optymalne, to odpowiednie zagadnienie dualne (albo pierwotne) ma również skończone rozwi azanie optymalne i ekstrema funkcji celu s a sobie równe. Jeżeli jedno z zagadnień (pierwotne lub dualne) nie ma optymalnego rozwi azania ograniczonego, to odpowiadaj ace mu zagadnienie dualne nie ma rozwi azań dopuszczalnych. 12

14 Przyk lad 2 Znaleźć rozwi azanie optymalne zagadnienia dualnego z przyk ladu 1 Zadanie pierwotne Zminimalizować: Zadanie dualne Zmaksymalizować: x 2 3x 3 + 2x 5 7λ λ λ 3 przy ograniczeniach przy ograniczeniach λ 1 0 x 1 + 3x 2 x 3 + 2x 5 = 7 3λ 1 2λ 2 4λ 3 1 2x 2 + 4x 3 + x 4 = 12 λ 1 + 4λ 2 + 3λ 3 3 4x 2 + 3x 3 + 8x 5 + x 6 = 10 λ 2 0 x 1,..., x 6 0 2λ 1 + 8λ 3 2 λ

15 Baza końcowa metody SIMPLEKS P 2, P 3, P 6 : B = [P 2 P 3 P 6 ] = B 1 = UWAGA: Jeżeli oryginalna macierz wspó lczynników A zawiera macierz jednostkow a, albo zostanie uzupe lniona macierz a jednostkow a, to w każdym kroku obliczeń w odpowiednich kolumnach macierzy jednostkowej otrzymamy macierz odwrotn a bazy. 14

16 Optymalne rozwi azanie zadania pierwotnego: X 0 = B 1 b = ( x 0 2, x 0 3, x 0 6) = (4, 5, 11), c 0 = ( c 0 2, c 0 3, c 0 6) = (1, 3, 0). Minimalna wartość funkcji celu: c 0 X 0 = (1, 3, 0) T (4, 5, 11) = 11. Wektor rozwi azania minimalnego: Z = c T 0 X c T = ( 0.2, 0, 0, 0.8, 2.4, 0). 15

17 Optymalne rozwi azania zadania dualnego: λ 0 = c 0 B 1 = (1, 3, 0) = ( 0.2, 0.8, 0) Wartość dualnej funkcji celu: λ T 0 b = ( 0.2, 0.8, 0) =

18 Sprawdzenie: ( 15, 45, 0 )

19 Symetryczne zagadnienie dualne Zagadnienie pierwotne min c T X przy ograniczeniach AX b X 0 Zagadnienie dualne max λ T b przy ograniczeniach λ T A c T λ 0. UWAGA: Twierdzenie o dualności może być zastosowane również do symetrycznych zagadnień dualnych. 18

20 Przekszta lcenie symetryczne zagadnienia programowania liniowego do postaci równości a 11 x a 1n x n b 1 a 21 x a 2n x n b 2... a m1 x a mn x n b m a 11 x a 1n x n x n+1 = b 1 a 21 x a 2n x n x n+2 = b 2... a m1 x a mn x n x n+m = b m a 11 λ a m1 λ m c 1 a 21 λ a m2 λ m c 2... a 1n λ a mn λ m c n a 11 λ a m1 λ m + λ m+1 = c 1 a 21 λ a m2 λ m + λ m+2 = c 2... a 1n λ a mn λ m + λ m+n = c n 19

21 Niech wektor kolumnowy Y = (y 1, y 2,..., y m ) sk lada siȩ ze zmiennych os labiaj acych, które przekszta lcaj a uk lad nierówności ograniczaj acych w uk lad równań. Równoważne zagadnienie PL zapisane za pomoc a macierzy z lożonych: max [ c T, 0 T ] X Y przy ograniczeniach: [A, I] X Y = b, X Y 0. Zagadnie dualne tego przekszta lconego zadania pierwotnego jest postaci: max λ T b przy ograniczeniach λ T [A, I] [ c T, 0 T ]. 20

22 Twierdzenie o zmiennych os labiaja cych Twierdzenie 7 Dla optymalnych rozwi azań dopuszczalnych uk ladów pierwotnego i dualnego, jeżeli tylko wystȩpuje nierówność w k tej zależności dowolnego uk ladu (odpowiednia zmienna os labiaj aca jest dodatnia), to k-ta zmienna w jego uk ladzie dualnym znika. Jeżeli k-ta zmienna jest dodatnia w dowolnym uk ladzie, to k-ta zależność w jego uk ladzie dualnym jest równości a ( odpowiednia zmienna os labiaj aca jest zerem). 21

23 Complementary Slackness Condition Twierdzenie 8 Dopuszczalne rozwi azania X i λ dualnej pary problemów s a optymalne, wtedy i tylko wtedy gdy: ( c T λ T A ) X = 0 oraz λ T (AX b) = 0. 22

24 Dziȩkujȩ za uwagȩ. 23