Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x
|
|
- Julian Dziedzic
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 2018
2 2
3 Contents 1 Funkcje elementarne Funkcje wymierne Przy lady funkcji wymiernych Rozk lad funkcji wymiernych na u lamki proste Funkcja pierwiastek kwadratowy f(x) = x Równaia z wyrażeniem x Funkcja wyk ladnicza W lasnoṡci funkcji wyk ladniczej Równania wyk ladnicze Funkcja logarytmiczna Logarytm naturalny W lasnoṡci funkcji logarytmicznej Rȯwnania logarutmiczne Zadania
4 4
5 Chapter 1 Funkcje elementarne Do funkcji elementarnych zaliczamy wielomiany, funkcje wymierne, funkcje wyk ladnicze, funkcje logarytmiczne, funkcje trygonometryczne i funkcja pierwiastek kwadratowy. W rozszerzonym programie szko ly podstawowej wiedza o funkcjach elementarnych ma charakter wstȩpny. W rozdziale Wielomiany opisane zosta ly fukcje liniowe, trȯjmian kwadratowy i wielomiany stopnia n. W tym rozdziele przedstawimy niektȯre z funkcji elementarnych w zakresie podstawowym wsparte licznymi przyk ladamy i ċwiczeniamy. 1.1 Funkcje wymierne Zbiȯr liczb wymiernych jest rozszerzeniem zbioru liczb ca lkowitych. Podobnie zbiȯr funkcji wymiernych jest rozszerzeniem zbioru wielomianȯw. Mianowicie, funkcje wymierne określamy jako iloraz wielomianów w(x) = p n(x) q m (x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x n b 1 x + b 0 stopni n i m, odpowiednio. Dziedzin a funkcji wymiernych jest zbiór tych liczb rzeczywistych x R dla których mianownik q m (x) 0 jest różny od zera. Zatem dziedzin a funkcji wymiernej w(x) jest zbiór liczb rzczywistych D = {x R : q m (x) 0} Przy lady funkcji wymiernych Hyperbola w(x) = 1 x, x 0 jest najprostrz a a zarazem podstawow a funkcj a wymiern a, ktȯra chrakteryzuje ważne w lasnoṡci wszystkich funkcji wymiernych. Rozpatrzmy nastȩpuj ace w lasnoṡci hyperboli: 5
6 6 1. dziedzinȩ 2. zbiór wartości 3. postać u lamka prostego 4. asymptoty Dziedzin a tej funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera. Piszemy D = {x R : x 0.} Również zbiorem jej wartości też jest zbiór liczb rzczywistych różnych od zera, gdyż 1 x 0 dla x 0. Wykresem tej funkcji wynmiernej jest hyperbola Zauważmy, że ta hyperbola ma dwie asymptoty poziom a oś x i pionow a oś y Przyk lad 1.1 Rozpatrzmy funkcje wymiern a podaj 1. dziedzinȩ 2. zbiór wartości 3. postać u lamka prostego 4. asymptoty w(x) = x 1 x + 1, x 1. Dziedzin a tej funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od 1. Piszemy D = {x R : x 0.} T a funkcjȩ wymiern a zapiszmy wpostaci u lamków prosych u lamki proste w(x) = x 1 x + 1 = x x + 1 = (x + 1) 2 x + 1 = 1 2 x + 1, x 1.
7 7 Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzczywistych różnych od 1, gdyż w(x) = dla x 1. x + 1 Wykresem tej funkcji wynmiernej jest hyperbola Wykres funkcji y = x 1 x + 1 Zauważmy, że ta hyperbola ma dwie asymptoty poziom a x = 1 i pionow a przzechodz ac a przez punkt x = 1 to jest punkt w którym funkcja jest nieokreślona. Przyk lad 1.2 Rozpatrzmy funkcje wymiern a podaj 1. dziedzinȩ 2. zbiór wartości 3. asymptoty w(x) = 1, < x <. x Dziedzin a tej funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych. Piszemy D = {x R : < x <.} Zbiorem wartości tej funkcji jest przedzia l otwarty (0, 1) liczb rzczywistych dodatnich oznaczany symbolem R +. Istotnie, zauważamy, że wartości tej funkcji spe lniaja a nierówność 0 < 1 < 1, x R. x 2 + 1
8 8 Wykresem tej funkcji wymiernej jest krzywa 1 Funkcja wymierna x Ta funkcja wymierna ma jedn a asymptotȩ poziom a y = 0 to jest oś x. Przyk lad 1.3 Rozpatrzmy funkcje wymiern a podaj 1. dziedzinȩ 2. zbiór wartości 3. asymptoty w(x) = x2 1, < x <. x Dziedzin a tej funkcji wymiernej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, gdyż mianownik x > 1 jest dodatni dla każdego rzeczywistego x R. Piszemy D = {x R : < x <.} Zbiorem wartości funkcji jest przedzia l [ 1, 1) liczb rzczywistych. Mianowicie, latwo sprawdzamy nierówność: 1 x2 1 x < 1.
9 9 Wykresem tej funkcji wymiernej jest nastȩpuj aca krzywa: Funkcja wymierna y = x2 1 x Ta funkcja wymierna ma jedn a asymptotȩ poziom a y = 1 dla < x <. Zadanie 1.1 dla nastȩpuj acej funkcji wymiernej: podaj 1. dziwdzinȩ 2. zbiór wartości 3. postać u lamka prostego 4. asymptoty (i) w(x) = 2x 1 x 2, (ii) w(x) = x 2 x 2 4, Rozk lad funkcji wymiernych na u lamki proste U lamkiem prostym nazywamy nastȩpuj ace funkcje wymierne: A x a, A (x a)k, Ax + B x 2 + px + q, Ax + B (x 2 + px + q) k, p2 4q < 0. Przyk lad 1.4 Roz lóż funkcje wymiern a na u lamki proste podaj 1. dziwdzinȩ 2. zbiór wartości w(x) = 2x 1 x 2 1
10 10 3. postać u lamka prostego 4. asymptoty Rozwi azanie. Dziedzin a tej funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych dla których mianownik jest różny od zera. To znaczy D = {x R : x 2 1 = (x 1)(x + 1) 0} = {x R : (x 1) (x 1)} Rozk ladu tej funkcji wymiernej szukamy metod a wspó lczynników nieoznaczonych. Mianowicie, znajdziemy A i B takie, że nastȩpuj aca równość zachodzi w(x) = 2x 1 x 2 1 = 2x 1 (x 1)(x + 1) = A x 1 + B x + 1 dla każdego x D z dziedziny funkcji w(x), to znaczy dla każdego x 1 lub x 1 Zatem, wspó lczynniki A i B wyznaczamy z tożsamości 2x 1 (x 1)(x + 1) = A x 1 + B x + 1 która jest spe lniona dla każdego x D z dziedziny funkcji, to znaczy dla każdego x 1 lub x 1. Napiszemy t a tożsamość we wspólnym mianowniku 2x 1 (x 1)(x + 1) = A(x + 1) + B(x 1) (x 1)(x + 1) = (A + B)x + (A B) (x 1)(x + 1) Porównuj ac wspȯ lóczynniki w licznikach przy x oraz wyrazy wolne, otrzymamy równania na niewiadome A i B A + B = 2, A B = 1. Obliczamy A = B 1 oraz (B 1) + B = 2, 2B = 3. Sk ad znajdujemy B = 3 2, A = B 1 = = 1 2. Odpowiedź: Rozk lad tej funkcji wymiernej na u lamki proste jest nastȩpuj acy: w(x) = 2x + 1 x 2 1 = 3 2(x 1) + 1 2(x + 1) Zadanie 1.2 Roz lóż funkcje wymiern a na u lamki proste podaj 1. dziwdzinȩ 2. zbiór wartości 3. postać u lamka prostego 4. asymptoty w(x) = x 2 9 (x 3)(x 2 + 4)
11 Funkcja pierwiastek kwadratowy f(x) = x Funkcje pierwiastek kwadratowy piszemy w symbolach f(x) = x, lub f(x) = x 1 2, dla x 0. Ogólnie, pierwiastek n tego stopnia piszemy f(x) = n x, lub f(x) = x 1 n. Dziedzin a funkcji pierwiastek kwadratowy jest zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych, to jest przedzia l lewostronnie domkniȩty [0, ). Również zbiorem wartości tej funkcji jest przedzi l [0, ), czyli wszystkie liczby rzeczywiste nieujemne, w l aczaj ac zero. Wykres funkcji pierwiastek kwadratowy Funkcja pierwiastek kwadratowy Równania i nierówności z wyrażeniami zawieraj acymi pierwiastek kwadratowy rozwi azujemy ze szczególn a ostrożności a maj ac na uwadze możliwoṡċ b lȩdȯw, ktȯre mog a pojawiċ siȩ w stosowaniu relacji nie równoważnych Równaia z wyrażeniem x Rozwi azywanie równań z wyrażeniem x wyjaśniamy w nastȩpuj acych przyk ladach: Przyk lad 1.5 Rozwi aż rownanie: x = x, x 0. Rozwi azanie. Naturalnie rozwi azania szukamy w dziedzinie tego równania, to jest w przedzle [0, ) Podnosz ac stronami do kwadratu to równanie, otrzymamy równanie nie równoważne x 2 = x, < x <, które ma sens liczbowy dla wszystkich liczb rzeczywistych w l aczaj ac liczby ujemne. Zatem te dwa równania maj a różne dziedziny i dlatego nie s a równoważne.
12 12 Latwo znajdujemy rozwi azanie x x 2 = 0, x(x 1) = 0, x = 0, lub x 1 = 0, x = 1. Sprawdzmy, że oba zera funkcji x = 0 lub x = 1 należ a do dziedziny [0, ). Zatem to równanie ma dwa zera x = 0, x = 1. Przyk lad 1.6 Rozwi aż równanie: x + 1 x 1 = 1, x 1. Rozwi azanie. Naturalnie rozwi azania szukamy w dziedzinie tego równania, to jest w przedzle (1, ) Podnosz ac stronami do kwadratu to równanie, otrzymamy równanie nie równoważne (x+1) 2 (x + 1)(x 1)+(x 1) = 1, lub 2x 2 x 2 1 = 1 1 < x <, które ma sens liczbowy dla wszystkich liczb rzeczywistych x < 1 lub x > 1 w l aczaj ac liczby ujemne mniejsze od 1. Zatem te dwa równania maj a różne dziedziny i dlatego nie s a równoważne. To równanie piszmy w postaci x2 1 = 1 x, x 1. 2 Jeszcze raz podnosz ac stronami, otrzymamy równanie też nie równoażne x 2 1 = ( 1 2 x)2, lub x 2 1 = 1 4 x + x2, lub, x 5 4 = 0. które ma sens liczbowy dla wszystkich liczb rzeczywistych. Rozwi azaniem ostatniego równania jest liczba x = 5 > 1, która należy do 4 dziedzny równania. Sprawdzamy, że = 1, 4 4 = = Funkcja wyk ladnicza Funkcjȩ wyk ladnicz a określamy nastȩpuj acym wzorem: f(x) = a x, a > 0, a 1. Liczbȩ rzeczywist a a > 0, a 1 dodatni a i różn a od jeden nazywamy podstaw a funkcji wyk ladniczej. Dziedzin a funkcji wyk ladniczej jest ca ly zbiór liczb rzczywistych D = {x R : < x < }.
13 13 Zbiorem wartości funkcji wyk ladniczej jest zbiór R + liczb dodatnich. Wykres funkcji wyk ladniczej f(x) = 2 x, < x < Funkcja wyk ladnicza Zauważmy z wykresu, że funkcja wyk ladnicza ma jedn a asymptotȩ, któr a jest oś x. To jest zbiór punktów (x, 0) gdy wspó lrzȩdna y = 0. Funkcja wyk ladnicza f(x) = a x jest rosn aca jeżeli jej podstawa a > 1. Natomiast funkcja wyk ladnicza f(x) = a x jest malej aca, jeżeli jej podstawa 0 < a < 1. Na rysunku funkcja f(x) = 2 x jest rosn aca ponieważ jej wykres wzrasta gdy argument x też wzrasta. Wykres funkcji wyk ladniczej f(x) = ( 1 2 )x, gdy jej podstawa 0< a = 1 2 < 1. Funkcja wyk ladnicza y = 1/2 x Widzimy z powyższego wykresu, że, funkcja wyk ladnicza f(x) = ( 1 2 )x jest malej aca, gdyż jej wykres maleje podczas gdy argument rośnie W lasnoṡci funkcji wyk ladniczej 1. Wartoṡċ funkcji wyk ladniczej w zerze x = 0 rȯwna jest jeden. f(0) = 1, poniewaz f(0) = a 0 = 1, dla każdej podstawy a > 0.
14 14 2. Wartoṡċ funkcji wyk ladniczej dla x = 1 rȯwna jest podstawie a. f(1) = a, poniewaz f(a) = a 1 = a, 3. funkcja wyk ladnicza od sumy argumentȯw rȯwna jest iloczynowi wartoṡci Istotnie sprawdzamy, że f(x + t) = f(x) f(t) f(x + t) = a x+t = a x a t = f(x) f(t) 4. funkcja wyk ladnicza od rȯżnicy argumentȯw rȯwna jest ilorazowi wartoṡci Rzeczywiṡcie sprawdzamy, że f(x t) = f(x) f(t) f(x t) = a x t = a x a t = ax a = f(x) t f(t) 5. funkcja wyk ladnicza od iloczynu argumentȯw rȯwna jest potȩdze Sprawdzamy, że f(x t) = (f(x)) t f(x t) = a x t = (a x ) t = (f(x)) t 6. funkcja wyk ladnicza od argumentu m n stopnia z wartoṡci m-tej potȩgi rȯwna jest pierwiastkowi n-tego f( m n ) = n f(m) Mianowicie f( m n ) = a m n = n a m = n f(m) Przyk lad 1.7 Oblicz wartoṡċ wyrażenia Rozwi azanie: W tym przyk ladzie stosujemy w lasnoṡ 2 do funkcji wyk ladniczej f(x) = a x gdy podstawa a = 3 i argumenty x = 8 i x = 5. Zatem stosuj ac w lasnoṡċ 2, obliczamy f(3) f( 5) = = = 3 3 = 27
15 15 Przyk lad 1.8 Oblicz wartoṡċ wyrażenia Rozwi azanie: Korzystaj ac z w lasnoṡci funkcji wyk ladniczej, obliczamy = (3 4) 1 2 = = = = 18 Zadanie 1.3 Oblicz wartoṡċ wyrażenia (i) (3 1 3 ) 2, (ii) Zadanie 1.4 Rozpatrz funkcjȩ wyk ladnicz a Naszkicuj wykres funkcji wyk ladniczej f(x) = 2 x, < x <. y = f(x 1) + 1, < x <. w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y Oblicz wartoṡċ funkcji f(x 1) + 1 dla x = Równania wyk ladnicze Równania wyk ladnicze i nierówności wk ladnicze rozwi azujemy korzystaj a z nastȩpuj acych w lasności: funkcja wyk ladnicza f(x) = a x > 0 jest dodatnia na ca lej osi liczbowej dla < x <. zbiórem wartości funkcji wyk ladniczej s a wszystkie liczby dodatnie, R + = (0, ). funkcja wyk ladnicza f(0) = 0 dla każdej podstawy a > 0, a 1 funkcja wyk ladnicza f(x) = a x jest rosn aca na ca lej osi liczbowej < x <, jeżel podstawa a > 1. funkcja wyk ladnicza f(x) = a x jest malej aca na ca lej osi liczbowej < x <, jeżel podstawa 0 < a < 1. Niżej podajemy przyk lady rozwi azań równań wyk ladniczych Przyk lad 1.9 Rozwi aż równanie 2 2x 3 2 x + 2 = 0
16 16 Rozwi azanie. Dziedzin a tego równania jest ca ly zbiór liczb rzczywistych R. Teraz, to równanie napiszemy w postaci (2 x ) x + 2 = 0 Stosuj ac podstawienie t = 2 x, otrzymamy równanie kwadratowe t 2 3t + 2 = 0, = ( 3) = 1. Oblicczamy pierwiastki tego równania t 1 = = 1, Wracaj ac do zmiennej x, obliczamy rozawi azanie: Jeżeli 2 x = 1, to x = 0. Jeżeli 2 x = 2, to x = 1. = 2. Przyk lad 1.10 Rozwi aż równanie 3 2x 1 3x 1 = 9 Rozwi azanie. Dziedzin a tego równania jest zbiór liczb rzczywistych różnych od 1 3. to znaczy D = r {1 3 }. Teraz, to równanie napiszemy w postaci 3 2x 1 3x 1 = 3 2 Sk ad mamy równie Obliczamy rozwi azanie 2x 1 3x 1 = 2, 2x 1 = 2(3x 1), 2x 1 = 6x 2, 4x = 1, x = 1 4 Zadanie 1.5 Rozwi aż równanie 3 x x 12 = 0. Zadanie 1.6 Rozwi aż równanie 5 3x 1 2x 3 = Funkcja logarytmiczna Funkcja logarytmiczna jest funkcj a odwrotn a do funkcji wyk ladniczej. To znaczy, jeżeli funkcja wyk ladnicza ustala zależnoṡċ zmiennej y od zmiennej x wzorem y = a x, a > 0, a 1
17 17 to funkcja odwrotna ustala zależnoṡċ zmiennej x od zmiennej y wzorem x = log a y, y > 0. Wtedy sta l a a > 0, a 1 nazywamy podstaw a logarytmu. Na przyk lad logarytm dziesiȩtny, gdy a = 10 piszemy x = log 10 y, dla y > 0 Logarytm dziesiȩtny jest zwi azany z systemem liczbowym pozycyjnym dziesiȩtnym i ma charakter podstawowy-standardowy. Bez istotnej zmiany, możemy zamieniċ role zmiennych x i y. Mianowicie, zmienn a niezależn a oznaczamy liter a x, natomiast zmienn a zależn a oznaczamy liter a y, ktȯra zależy od x. Dlatego logarytm dziesiȩtny jest oznaczany symbolem bez pisania podstawy logarytmy Logarytm naturalny y = log x, x > 0, Logarytme naturalny jest odwrot a funkcj a do funkcj potȩgowej Tutaj podstawa y = e x, lub y = Exp[x], < x <. e = 2, ; jest liczb a rzeczywist a o nieskoṅczonej iloṡci cyfr. Wykres funkcji logarytmicznej y = Log x o podstawie a = W lasnoṡci funkcji logarytmicznej 1. Wartoṡċ funkcji logarytmicznej dla x = 1 rȯwna jest zero. g(1) = log a 1 = 0, poniewaz a 0 = 1, a > 0, a 1.
18 18 2. Wartoṡċ funkcji logarytmicznej dla x = a rȯwna jest jeden. g(a) = log a = 1, poniewaz a 1 = a, a > 0, a funkcja logarytmiczna od iloczynu argumentȯw rȯwna jest sumie wartoṡci log a x t = log a x + log a t, x > 0, t > 0, a > 0, a 1. W symbolach ogȯlnych t a w lasnoṡċ piszemy g(x) = log a x, g(x t) = g(x) + g(t), x > 0, t > 0. Istotnie sprawdzamy, że Sk ad znajdujemy y 1 = log a x, to x = a y 1, a > 0, a 1, y 2 = log a t, to t = a y 2, a > 0, a 1. x t = a y 1 a y 2 = a y 1+y 2, a > 0, a 1. log a x t = log a a y 1+y 2 = y 1 + y 2 = log a x + log a t 4. funkcja logarytmiczna od ilorazu argumentȯw rȯwna jest rȯżnicy wartoṡci log a x t = log a x log a t, x > 0, t > 0, a > 0, a 1. W symbolach ogȯlnych t a w lasnoṡċ piszemy g(x) = log a x, g( x ) = g(x) g(t), x > 0, t > 0. t Istotnie sprawdzamy, że Sk ad znajdujemy y 1 = log a x, to x = a y 1, a > 0, a 1, y 2 = log a t, to t = a y 2, a > 0, a 1. x t x log a t = ay 1 a y 2 = a y 1 y 2, a > 0, a 1. = log a a y 1 y 2 = y 1 y 2 = log a x log a t 5. funkcja logarytmiczna od argumentu x k, k = 0, 1, 2,, 3,..., ; rȯwna jest iloczynowi wyk ladnika potȩgi k razy logarytm podstawy potȩgi x log a x k = k log a x, x > 0, k = 0, 1, 2, 3,...; W lasnoṡċ ta bezporednio wynika z w lasnoṡci 2 o logarytmie z iloczynu. Mianowicie log a x k = log a x x x }{{} k = log a x + log a x + + log a x = k log }{{} a x k
19 19 6. funkcja logarytmiczna od argumentu x m n rȯwna jest logarytmowi log x m n = m log n x Mianowicie sprawdzamy korzystaj ac z w lasnoṡci funkcji logarytmiczej i wyk ladniczej log a x m n = n loga x + log n a x + + log n a x = m log n }{{} a x. m 7. Przy za lożeniach a > 0, a 1, c > 0, c 1, b > 0, możemy zmieniċ podastawȩ a logarytmu log a b na podstawȩ c wed lug wzoru log a b = log c b log c a Dla sprawdzenia tego wzoru wprowadźmy oznaczenia Z definicji logarytmu mamy Sk ad wynika rȯwnoṡċ p = log a b, q = log c b, r = log c a b = a p, b = c q, a = c r b = (c r ) p, b = c p r, log c b = p r log c c, log c c = 1, log c b = p r, log c b = log a b log c a, log a b = log cb log c a, 8. W przypadku c = b zamiana podstawy z liczb a logarytminowan a b prowadzi do odwrotnoṡci logarytmu log a b = 1 log b a Rzeczywiṡcie z w lasnoṡci 7, dla c = b mamy Przyk lad 1.11 Oblicz logarytm Prosto z definicji logarytmu obliczamy log a b = log b b log b a = 1 log b a, bo log b b = 1 (i) log 2 64, (ii) log (i) log 2 64 = log = 6, bo 2 6 = 64, (ii) log = log = 5 bo 5 5 = 125.
20 20 Przyk lad 1.12 Oblicz wartoṡċ wyrażeṅ logarytmicznych (i) (ii) log log 3 5, log 8 5 log 2 5, (iii) log 2 (log 2 5) log2 (log 2 5), Korzystaj ac z w lasnoṡci logarytmȯw, obliczamy log (i) log 3 5 = log log 3 5 = 4log 3 5 log 3 5 = 4 log (ii) 8 5 log 2 5 = log 2 5 log 2 8log 2 5 = 1 log 2 2 = log (iii) log 2 (log 2 5) log2 (log 2 5) = log log 2 5 = 1 2 log = log 2 log = 1 Przyk lad 1.13 Oblicz wartoṡċ wyrażeṅ logarytmicznych (i) log 2 (log 4 16), (ii) log 3 (log 5 125). Korzystaj ac z w lasnoṡci logarytmȯw, obliczamy (i) log 2 (log 4 16) = log 2 2log 4 4 = log 2 2 = 1, (ii) log 3 (log 5 125) = log 3 log = log 3 3log 5 5 = log 3 3 = 1, Zadanie 1.7 Oblicz logarytm (i) log 3 81, (ii) log Zadanie 1.8 Oblicz wartoṡċ wyrażeṅ logarytmicznych (i) (ii) log log 7 5, log 9 8 log 3 2, (iii) log 3 (log 3 7) log3 (log 3 7), Zadanie 1.9 Oblicz wartoṡċ wyrażeṅ logarytmicznych (i) log 5 (log ), (ii) log 4 (log ).
21 Rȯwnania logarutmiczne Rȯwnanie w ktȯrym niewiadoma wystȩpuje pod znakiem logarytmu nazywa siȩ rȯwnaniem logarytmicznym. Rozwi azuj ac rȯwnanie logarytmiczne w pierwszej kolejnoṡci należy okre.sliċ dziedzinȩ rȯwnania. To jest ten zbiȯr argumentu x dla ktȯrego rȯwnanie logarytmiczne ma sense liczbowy. W dziedzinie rȯwnania logarytmicznego szukamy jego pierwiastaka. Okreṡlenie dziedziny rȯwnania jest istotne, ponieważ rozwi azuj ac rȯwnianie orginalne przekszta lcamy to rȯwnania w rȯwnania o prosztrzej strukturze, ktȯre mog a mieċ pierwiastki z poza dziedziny rȯwnania orginalnego, nazywane pierwiastkami obcymi. Metody rozwi azywania rȯwnaṅ logarytmicznych oparte s a na w lasnoṡciach funkcji logarytmicznej i wyk ladniczej. Niżej na przyk ladach wyjaṡniamy sposoby rozwi azywania rȯwnaṅ logarytmicznych. Przyk lad 1.14 Rozwi aż rȯwnanie log 2 x = 4 Rozwi azanie: Najpierw okreṡlamy dziedzinȩ rȯwnania logarytmicznego. Mianowicie, logarytm jest okreṡlony tylko dla dodatnich wartoṡci argumentu x. Zatem dziedzin a tego rȯwnania jest zbiȯr x > 0. piszemy 0 < x < lub x (0, ). Z definicji logarytmu jako funkcji odwrotnej do funkcji wyk ladniczej wynika rȯwnoṡċ x = 2 4 = 16. Sprawdzamy, że rozwi azanie x = 16 (0, ) należy do dziedziny rȯwnania oraz log = 4log 2 2 = 4, log 2 2 = 1. Przyk lad 1.15 Rozwi aż rȯwnanie log 3 (5 x) + log 3 (5 + x) = 2 Rozwi azanie: Najpierw okreṡlamy dziedzinȩ rȯwnania logarytmicznego. Mianowicie, logarytm jest okreṡlony tylko dla dodatnich wartoṡci argumentu 5 x > 0 i 5 + x > 0. Zatem dziedzin a tego rȯwnania jest zbiȯr x < 5 lub x > 5. Wtedy piszemy dziedziȩ tego rȯwnania jako odcinek otwarty 5 < x < 5 lub x ( 5, 5).
22 22 Z w lasnoṡci sumy logarytmȯw wynika rȯwnoṡċ log 3 (5 x) + log 3 (5 + x) = log 3 (5 x)(5 + x) = 2. Z definicji logarytmu mamy rȯwnoṡċ (5 x)(5 + x) = 3 2, lub 25 x 2 = 9 lub x 2 = 16. Obliczamy pierwiastki kwadratowe x2 = x, 16 = 4. Sk ad mamy dwa rozwi azania gdy x = 4 to x 1 = 4 lub x 2 = 4. Sprawdzamy, że rozwi azanie x 1 = 4 ( 5, 5) i x 2 = 4 ( 5, 5) należy do dziedziny rȯwnania log 3 (5 + 4) + log 3 (5 4) = log = log = 2 oraz log 3 (5 4) + log 3 (5 + 4) = log = log = 2. Zauważamy, że oba rozwi azania x 1 = 4 ( 5, 5) i x 2 = 4 ( 5, 5) należ a do dziedziny tego rȯwnania. Zaznaczmy dziedzinȩ i rozwi azanie na osi liczbowej 5 x 1 = 4 0 x 2 = 4 5 Oṡ liczbowa. Dziedzina rȯwnania przedzia l otwarty ( 5, 5) x Przyk lad 1.16 Rozwi aż rȯwnanie log 3 (x 2) + log 3 (x 4) = 1 Rozwi azanie: Najpierw okreṡlamy dziedzinȩ rȯwnania logarytmicznego. Mianowicie, logarytm jest okreṡlony tylko dla dodatnich wartoṡci argumentu x 2 > 0 i x 4 > 0. Zatem dziedzin a tego rȯwnania jest zbiȯr x > 2 lub x > 4. Wtedy piszemy dziedziȩ tego rȯwnania jako odcinek nieskoṅczony lewo stronnie otwarty x > 4 lub x (4, ).
23 23 Z w lasnoṡci sumy logarytmȯw wynika rȯwnoṡċ log 3 (x 2) + log 3 (x 4) = log 3 (x 2)(x 4) = 1. Z definicji logarytmu mamy rȯwnoṡċ (x 2)(x 4) = 3 1, lub x 2 6x + 8 = 3 lub x 2 6x + 5 = 0. Obliczamy pierwiastki rȯwnania: Wyrȯżnik rȯwnania x 2 6x + 5 = 0 o wspȯ lczynnikach a = 1, = 6, c = 5 = b 2 4 a c = = = 16. Sk ad obliczamy pierwiastki rȯwnania x 1 = 1 2 (6 16) = = 1, x 2 = 1 2 (6 + 16) = = 5. Sprawdzamy, że obcy pierwiastek x 1 = 1 / (4, ) nie należy do dziedziny rȯwnania, natomiast pierwiastek x 2 = 5 (4, ) należy do dziedziny rȯwnania. Zatem sprawdzamy, że drugi pierwiastek x 2 = 5 spe lnia rȯwnanie log 3 (5 2) + log 3 (5 4) = log = log 3 3 = 1 Zauważamy, że tylko pierwiastek x 2 = 5 (4, ) należy do dziedziny tego rȯwnania. Zaznaczmy dziedzinȩ i rozwi azanie na osi liczbowej 1 Asymptoty 0 0ṡ 1 x gdy y 2 = 0 i oṡ y 3 gdy x = 4 0 x 2 = 5 Oṡ liczbowa. Dziedzina rȯwnania przedzia l otwarty (4, ) x Przyk lad 1.17 Rozwi aż rȯwnanie log 2 (log 4 x) = 1. Rozwi azanie: Dziedzin a tego rȯwnania jest zbȯr tych x dla ktȯrych Z definicji logarytmu wynika rȯwnoṡċ log 4 x > 1, x > 4, x (4, ) log 4 x = 2 1, x = 4 2, x = 16 Rozwi azanie x = 16 (4, ) należy do dziedziny. Sprawdzamy, że x = 16 spe lnia rȯwnanie log 2 (log 4 16) = log 2 (log ) = log 2 (2log 4 4) = log 2 2 = 1
24 Zadania Zadanie 1.10 Rozwi aż rȯwnanie log 4 x = 3 Zadanie 1.11 Rozwi aż rȯwnanie log 4 (1 x) log 4 (1 + x) = 0. Zadanie 1.12 Rozwi aż rȯwnanie log 2 (x 1) + log 2 (x 2) = 1 Zadanie 1.13 Rozwi aż rȯwnanie log 4 (log 8 x) = 1.
SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents
Pierwiastki arytmetyczne n a
Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy
Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty
Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)
MATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Opercja modulo a b( mod c) MATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 2018 1 1 Projekt pi aty
MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1
Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza. Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza 2 1 0 1 2 3 x Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza MATEMATYKA
Liczby naturalne i ca lkowite
Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych
Trigonometria. Funkcje trygonometryczne
1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
MATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0
MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS WARSZAWA UL. BAŻANCIA 16 SYSTEMY LICZBOWE POZYCYJNE DECYMALNY, BINARNY, OKTALNY. Warszawa pażdziernik 2017
i MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS 02-892 WARSZAWA UL. BAŻANCIA 16 SYSTEMY LICZBOWE POZYCYJNE DECYMALNY, BINARNY, OKTALNY Warszawa pażdziernik 2017 ii Contents 0.1 Wstȩp............................... 1 0.2
na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0
Chapter 1 Interpolacja 1.1 Interpolacja liniowa Zacznijmy opis pojȩcia inter-polacji od prostego przyk ladu. Przyk lad 1.1 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 3 godzinach jazdy, jeżeli po jednej
System liczbowy binarny.
1 System liczbowy binarny. 0.1 Wstȩp Ogȯlna forma systemów pozycyjnych liczbowych ma postać wielomianu α n 1 ρ n 1 + α n 2 ρ n 2 + + α 2 ρ 2 + α 1 ρ + α 0, (1) gdzie liczbȩ naturaln a ρ 2 nazywamy podstaw
0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze
1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie
SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. x2 = x, dlatego 4 = 2, nigdy 2. Oś liczbowa. Liczby rzeczywiste
SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 6 x = x, dlatego 4 =, nigdy π 0 Oś liczbowa. Liczby rzeczywiste π x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY WYMIERNE I RZECZYWISTE Prof. dr. Tadeusz
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
0.1 Reprezentacja liczb w komputerze
1 0.1 Reprezentacja liczb w komputerze Zapis liczb w zmiennym przecinku. U lamki dziesiȩtne w laṡciwe i niew laṡciwe piszemy oddzielaj ac czȩṡċ ca lkowit a od czȩṡci u lamkowej w laṡciwej przecinkiem w
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Wstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można
FUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)
Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2
1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24
SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
LOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Logarytmy. Historia. Definicja
Logarytmy Historia Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka - Johna Nepera "Opis zadziwiających tablic logarytmów" z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi
Cia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY- sprawdziany i kartkówki. klasa II 2018/19. Adam Stachura
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY- sprawdziany i kartkówki klasa II 08/9 Adam Stachura Sprawdzian. Granice funkcji- przykładowe zadania ) 8 ZADANIE. Obliczyć granicę. 4 +6 4 Rozwiazanie. Dziedzina funkcji, której granice
WIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.
Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech
Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
WIELOMIANY. Poziom podstawowy
WIELOMIANY Poziom podstawowy Zadanie (5 pkt) Liczba 7 jest miejscem zerowym W(x) Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) = x + 54, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu
ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne
CZĘŚĆ II ZAKRES PODSTAWOWY Wyrażenia wymierne Temat: Wielomiany-przypomnienie i poszerzenie wiadomości. (2 godz.) znać i rozumieć pojęcie jednomianu (2) znać i rozumieć pojęcie wielomianu stopnia n (2)
Lista 3 Funkcje. Środkowa częśd podanej funkcji, to funkcja stała. Jej wykresem będzie poziomy odcinek na wysokości 4.
Lista 3 Funkcje. Zad 1. Narysuj wykres funkcji. Przykład 1:. Zacznijmy od sporządzenia tabelki dla każdej części podanej funkcji, uwzględniając podany zakres argumentów (dziedzinę): Weźmy na początek funkcję,
Matematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki
Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU
III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n
Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania