ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:

Transkrypt

1 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x j 0 (j = 1, 2,, n)

2 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 2 Zagadnienie dualne definiuje siȩ nastȩpuj aco: minw = b 1 y 1 + b 2 y b m y m a 11 y 1 + a 21 y a m1 y m c 1 a 12 y 1 + a 22 y a m2 y m c 2 a 1n y 1 + a 2n y a mn y m c n y i 0 (i = 1, 2,,m)

3 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 3 Budowȩ zagadnienia dualnego ilustruje tablica?? Tab 1: Budowa zagadnienia dualnego max z minw (x 1 0) (x 2 0) (x n 0) x 1 x 2 x n (y 1 0) y 1 a 11 a 12 a 1n b 1 (y 2 0) y 2 a 21 a 22 a 2n b 2 (y m 0) y m a m1 a m2 a mn b m c 1 c 2 c n

4 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 4 Przykład 1 Zakład meblowy STYL produkuje stoły i fotele Wyprodukowany stół przynosi 160 zł zysku a fotel 200 zł Produkcja stołów i foteli limitowana jest godzinami pracy, ilości a posiadanego drewna i powierzchni a magazynowania Zużycie tych zasobów oraz ich dzienne limity s a nastȩpuj ace: Zasoby Zużycie zasobów Stół Fotel Limit dzienny(godz) Praca(godz) Drewno(m 3 ) Powierz(m 2 ) Jaki powinien być dzienny plan produkcji maksymalizuj acy zysk?

5 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 5 Model prymalny: max z = 160x x 2 2x 1 + 4x x x x x x 1, x 2 0 Model dualny minw = 40y y y 3 2y y y y y y y 1, y 2, y 3 0 Ekonomiczna interpretacja zagadnienia dualnego

6 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 6 Budowa zagadnienia dualnego dla dowolnej postaci zagadnienia programowania liniowego- przykład max z = 2x 1 + x 2 minw = 2y 1 + 3y 2 + y 3 x 1 + x 2 = 2 y 1 -dowolna 2x 1 x 2 3 y 2 0 x 1 x 2 1 y 3 0 x 1 0 y 1 + 2y 2 + y 3 2 x 2 dowolna y 1 y 2 y 3 = 1

7 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 7 Podstawowe zwi azki pomiȩdzy zagadnieniami pierwotnym i dualnym Twierdzenie 1 Zagadnienie dualne do dualnego jest zagadnieniem pierwotnym Twierdzenie 2 Wartość funkcji celu z dla dowolnego rozwi azania dopuszczalnego zagadnienia pierwotnego jest nie wiȩksza niż wartość funkcji celu w dla dowolnego rozwi azania zagadnienia dualnego Z tego twierdzenia mamy dwa wnioski: Wniosek1Jeśli (x 1, x 2,,x n )i(y 1, y 2,,y m )s arozwi azaniami dopuszczalnymi odpowiednio zagadnienia pierwotnego i dualnego takimi, że z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n = b 1 y 1 + b 2 y b m y m = w,tos ato rozwi azania optymalne tych zagadnień

8 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 8 Wniosek2Jeślijednozzagadnień(pierwotnelubdualne)niema skończonego rozwi azania optymalnego(funkcja celu jest nieograniczona w zbiorze rozwi azań dopuszczalnych), to drugie zagadnienie nie ma rozwi azań dopuszczalnych(układ ograniczeń jest sprzeczny) Natomiast jeśli jedno z zagadnień nie ma rozwi azania dopuszczalnego to jego zagadnienie dualne może albo nie mieć rozwi azania dopuszczalnego albo nie mieć skończonego rozwi azania optymalnego Twierdzenie 3 Jeśli jedno z zagadnień(pierwotne lub dualne) ma rozwi azanie optymalne, to oba zagadnienia maj a rozwi azania optymalne i wartości funkcji celu tych zagadnień dla rozwi azań optymalnych s a sobie równe Rozwi azuj ac metod a sympleks zagadnienia pierwotne z optymalnej tablicy można odczytać rozwi azanie optymalne zagadnienia dualnego Rozważmy model liniowy dla firmy STYL Optymaln a tablic a

9 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 9 sympleksow a jest: s 1 s 2 s 3 x 1 x x x s z Zmiennymibazowymirozwi azaniaoptymalnegos a ZB = {x 2, x 1, s 3 } natomiast baz a tego rozwi azania jest B = Macierz

10 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe odwrotna B 1 = znajdujesiȩwkolumnach s 1, s 2, s 3 tablicyoptymalnejrozwi azanieoptymalnezagadnienia dualnego (y 1, y 2, y 3 )możnawyznaczyćkorzystaj aczmacierzy B 1 nastȩpuj aco: (y 1, y 2, y 3 ) = c B B 1 = (200, 160, 0) = (20, 20 3, 0) gdziewektor c B zawierawspółczynnikifunkcjiceluodpowiadaj ace zmiennym bazowym W tablicy optymalnej to rozwi azanie znajduje siȩwkolumnach s 1, s 2, s 3 wierszawskaźnikówoptymalności

11 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 11 Jeśli zagadnienie pierwotne jest w dowolnej postaci, to rozwi azanie optymalne odczytujemy z optymalnej tablicy sympleksowej nastepuj aco: Optymalnawartośćzmiennejdualnej y i odpowiadaj acej ograniczeniu =współczynnikkolumny s i wierszawskaźników optymalnośći Optymalnawartośćzmiennejdualnej y i odpowiadaj acej ograniczeniu =-(współczynnikkolumy e i wierszawskaźników optymalności) Optymalnawartośćzmiennejdualnej y i odpowiadaj acej ograniczeniu = =(współczynnikowikolumny a i wiersza wskaźników optymalności)- M

12 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 12 Zmienna e i jestzmienn a,któr aodejmujemyodlewejstrony ograniczeniapostaci,abyzamienićjenarównanie,azmienna a i jest zmienn a sztuczn a w M- metodzie, któr a dodajemy do lewej strony ograniczenia w postaci równania Dla ilustracji rozważmy zagadnienie: max z = 3x 1 + 2x 2 + 5x 5 x 1 + 3x 2 + 2x x 2 x 3 5 2x 1 + x 2 5x 3 = 10 x 1, x 2, x 3 0

13 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 13 Dodaj ac odpowiednie zmienne mamy: max z = 3x 1 + 2x 2 + 5x 5 Ma 2 Ma 3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 + s 1 = 15 2x 2 x 3 e 2 + a 2 = 5 2x 1 + x 2 5x 3 + a 3 = 10 x 1, x 2, x 3, s 1, a 2, a 3 0

14 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 14 Optymalna tablica jest nastȩpuj aca: x 1 x 2 x 3 s 1 e 2 a 2 a x x x z Zagadnienie dualne ma postać: M 58 M minw = 15y 1 + 5y y 3 y 1 + 2y 3 3 3y 1 + 2y 2 + y 3 2 2y 1 y 2 5y 3 5 y 1 0, y 2 0, y 3 dowolna

15 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 15 Odczytuj ac rozwi azanie optymalne zagadnienia dualnego z optymalnej tablicy sympleks mamy: ograniczenie pierwsze jest nierówności a to y 1 = 51 (współczynnikoptymalnościwkolumnie s 1 ),drugieograniczeniejestnierówności a to y 2 = 58 (- współczynnikoptymalnościwkolumnie e 2 ),trzecieograniczeniejest równości azatem y 3 = 9 (współczynnikoptymalnościwkolumnie a 3 - M) Optymalna wartość rozwi azania dualnego wynosi w = ( 58 ) = 565 ijestrównaoptymalnejwartości funkcji celu zagadnienia pierwotnego