na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0

Transkrypt

1 Chapter 1 Interpolacja 1.1 Interpolacja liniowa Zacznijmy opis pojȩcia inter-polacji od prostego przyk ladu. Przyk lad 1.1 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 3 godzinach jazdy, jeżeli po jednej godzinie jazdy przejecha l 100km, a po 6 godzinach jazdy przejecha l 500km. Zatem mamy dane czas t t 0 = 1h t = 3h t 1 = 6h droga s s 0 = 100km s =? s 2 = 500km Mȯwimy inter-polacja, gdyż punkt t [t 0, t 1 ] w ktȯrym szukamy wartoṡci interpolowanej s leży pomiȩdzy danymi wȩz lami t 0 = 1 i t 1 = 6. Przez dwa punkty (t 0, s 0 ) = (1, 100), (t 1, s 1 ) = (6, 500) na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s(t) = t t 1 s 0 t t 0 s 1. (1.1) Sprawdzamy, że prosta o rȯwnaniu (1.1) przechodzi przez dane punkty (t 0, s 0 ) i (t 1, s 1 ). Mianowicie dla t = t 0, obliczamy s(t 0 ) = s 0 t 0 t 0 t 2 t 0 s 1 = s 0, dla t = t 1, obliczamy s(t 1 ) = t 1 t 1 s 0 s 1 = s 1. Podstawiaj ac do rȯwnania (1.1) t 0 = 1, s 0 = 100 i t 1 = 6, s 1 = 500 1

2 2 otrzymamy rȯwnanie prostej interpolacji s(t) = t t , s(t) = (t 6)20 (t 1)100, s(t) = 80t 20. }{{} prosta interpolacji (1.2) Teraz możemy obliczyċ ile kilometrȯw samochȯd przejecha l po 3 godzinach jazdy. s(3) = = = 220 Okaza lo siȩ, że kierowca przekroczy l prȩdkoṡċ, ktȯr a kamera zarejestrowa la i po 3 godzinach jazdy samochȯd przejecha l 230km o 10km wiȩcej niż interpolowana wartoṡċ 220km. Na rysunku zaznaczone s a interpolowana odleg loṡċ 220km i rzeczywista odleg loṡċ 230km po 3 godzinach jazdy (t = 3h). y s 1 = 500m Wysokoṡċ rzeczwista s = 230m Wysokoṡċ interpolowana s = 220m s = 220m t 0 = 1 2 t = t 1 = 6 x 1.2 Ekstra-polacja liniowa Ekstra-polacjȩ liniow a wyjaṡniamy w nastȩpnym przyk ladzie. Przyk lad 1.2 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 7 godzinach jazdy, jeżeli po jednej godzinie jazdy przejecha l 100km, a po 6 godzinach jazdy przejecha l 500km. Zatem mamy dane czas t t 0 = 1h t 1 = 6h t = 7h droga s s 0 = 100km s 1 = 500km s =? Mȯwimy ekstra-polacja, gdyż punkt t / [t 0, t 1 ] w ktȯrym szukamy wartoṡci ekstra-polowanej s leży poza danymi wȩz lami t 0 = 1 i t 1 = 6. Przez dwa dane punkty (t 0, s 0 ) = (1, 100) i (t 1, s 1 ) = (6, 500)

3 3 na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a s(t) = t t 1 s 1 t t 0 s 2 (1.3) Sprawdzamy, że prosta o rȯwnaniu (1.3) przechodzi przez dane punkty (t 0, s 0 ) i (t 1, s 1 ) Podstawiaj ac do rȯwnania (1.3) s(t 0 ) = s 0 t 0 t 0 s 2 = s 0, s(t 1 ) = t 1 t 2 s 0 s 2 = s 1. t 0 = 1, s 0 = 100 i t 1 = 6, s 1 = 500 otrzymamy rȯwnanie prostej interpolacji s(t) = t t , s(t) = (t 6)20 (t 1)100, (1.4) s(t) = 80t 20. }{{} Zatem po 7 godzinach jazdy samochȯd przejecha l s(3) = = = 540 Na rysunku zaznaczona jest ekstra-polowana odleg loṡċ 540km po 7 godzinach jazdy (t 1 = 7h). y Wysokoṡċ ekstrapolowana s = 540m Wysokoṡċ dana s 1 = 500m s 2 = 500m s = 540m t 0 = t 1 = 6 t = 7 x 1.3 Interpolacja kwadratowa Interpolacja kwadratowa polega na znalezieniu trȯjmianu kwadratowwego, ktȯrego wykres przechodzi przez 3 dane wȩz ly interpolacyjne. Rozpatrzmy nastȩpuj acy przyk lad.

4 4 Przyk lad 1.3 Oblicz na ile metrȯw w gȯrȩ wzniesie siȩ samolot po 4 minutach lotu, jeżeli po 1 minucie lotu samolot osi agn a l wysokṡċ 1000m, a po 5 minutach samolot osi agn a l 10000m. Zatem mamy dane czas t t 0 = 0 min. t 1 = 1 min. t = 4 min. t 2 = 5 min. wysokoṡċ h h 0 = 0 m h 1 = 1000 h =? h 2 = m Mȯwimy inter-polacja, gdyż punkt t [t 0, t 2 ] w ktȯrym szukamy wartoṡci interpolowanej h leży pomiȩdzy danymi wȩz lami t 0 = 0 i t 2 = 5. Przez 3 dane punkty (t 0, h 0 ) = (0, 0), (t 1, h 2 ) = (1, 1000), (t 2, h 2 ) = (5, 10000) na p laszczyźnie kartezjaṅskiej przechodzi jeden trȯjmian kwadratowy h(t) = (t t 1)(t t 2 ) ( )(t 0 t 2 ) h 0 (t t 0)(t t 2 ) ( )(t 1 t 2 h 1 (t t 0)(t t 1 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) h 2 (1.5) Sprawdzamy, że trȯjmian o rȯwnaniu (1.5) rzeczywiṡcie przechodzi przez dane punkty (t 0, s 0 ), (t 1, h 1 ) i (t 2, h 2 ) h(t 0 ) = ( )(t t 2 ) ( )(t 0 t 2 ) h 0 (t 0 t 0 )(t 0 t 2 ) ( )(t 1 t 2 h 1 (t 0 t 0 )( ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) h 2 = h 0, h(t 1 ) = (t 1 t 1 )(t 1 t 2 ) ( )(t 0 t 2 ) h 0 ( )(t 1 t 2 ) ( )(t 1 t 2 ) h 1 ( )(t 1 t 1 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) h 2 = h 1, h(t 2 ) = (t 2 t 1 )(t 2 t 2 ) ( )(t 0 t 2 ) h 0 (t 2 t 0 )(t 2 t 2 ) ( )(t 1 t 2 h 1 (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) h 2 = h 2. Po podstawieniu do rȯwnania (1.5) danych (t 0, h 0 ) = (0, 0), (t 1, h 1 ) = (1, 1000) (t 2, h 2 ) = (5, 10000) otrzymamy rȯwnanie trȯjmianu interpolacji (t 1)(t 5) (t 0)(t 5) (t 0)(t 1) h(t) = (0 1)(0 5) (1 0)(1 5) (5 0)(5 1) = t2 6t 5 0 (t2 5t 1000 t2 t h(t) = 250t t 500 t 2 500t) = 250t 2 750t. }{{} trojmian interpolacji (1.6)

5 5 Teraz możemy obliczyċ na ile metrȯw samolot wniȯs l siȩ w gȯrȩ po 4 minutach lotu h(4) = m 750m 4 = 4000m 3000m = 7000m Na rysunku zaznaczona jest interpolowana wysokoṡċ samolotu 7000m po 4 minutach (t = 4 min.) lotu. y Wysokoṡċ interpolowana h = 7000m 4 5 x t 0 = 0 t 1 = h = 7000m t = 4 t 2 = 5 h 2 = 10000m 1.4 Interpolacja kubiczna Podobnie jak interpolacja liniowa i kwadratowa, interpolacja kubiczna polega na wyznaczeniu wielomianu 3-go stopnia (n = 3), ktȯry w danych 4-ech wȩz lach interpolacyjnych t 0, t 1, t 2, t 3 przyjmuje zadane wartoṡci Rozpatrzmy nastȩpuj acy przyk lad. h 0, h 1, h 2, h 3. Przyk lad 1.4 Oblicz na ile metrȯw w gȯrȩ wzniesie siȩ samolot po 4 minutach lotu, jeżeli po 1-ej minucie lotu samolot osi agn a l wysokṡċ 1000m, po 3-ej minucie lotu samolot osi agn a l 3000m, i po 5-ciu minutach lotu samolot osi agn a l wysokoṡċ 10000m. Zatem mamy dane do wyznaczenia jedynego wielomianu kubicznego w niżej podanej tabeli czas t t 0 = 0 t 1 = 1 t 2 = 3 t = 4 t 3 = 5 droga s h 0 = 0m h 1 = 1000km h 2 = 3000m h =? h 3 = 10000m Mȯwimy inter-polacja, gdyż punkt t [t 0, t 3 ] w ktȯrym szukamy wartoṡci interpolowanej h leży pomiȩdzy danymi wȩz lami t 0 = 0 i t 3 = 5. Przez 4 dane punkty (t 0, h 0 ) = (0, 0), (t 1, h 2 ) = (1, 1000), (t 2, h 2 ) = (5, 3000), (t 3, h 3 ) = (5, 10000)

6 6 na p laszczyźnie kartezjaṅskiej przechodzi jedyny wielomian kubiczny h(t) = (t t 1 )(t t 2 )(t t 3 ) ( )(t 0 t 2 )(t 0 t 3 ) h 0 (t t 0 )(t t 2 )(t t 3 ) ( )(t 1 t 2 )(t 1 t 3 ) h 1 (t t 0 )(t t 1 )(t t 3 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 )(t 2 t 3 ) h 2 (t t 0 )(t t 1 )(t t 2 ) (t 3 t 0 )(t 3 t 1 )(t 3 t 2 ) h 3 (1.7) Latwo sprawdziċ, że wielomian kubiczny o rȯwnaniu (1.7) przechodzi przez dane punkty (t 0, s 0 ), (t 1, h 1 ), (t 2, h 2 ), (t 3, h 3 ), to znaczy że h(t 0 ) = h 0, h(t 1 ) = h 1, h(t 2 ) = h 2,, h(t 3 ) = h 3. Po podstawieniu danych (t 0, h 0 ) = (0, 0), (t 1, h 1 ) = (1, 1000) (t 2, h 2 ) = (3, 3000) (t 3, h 3 ) = (5, 10000) do rȯwnania (1.7), otrzymamy rȯwnanie wielomianu kubicznego interpolacji h(t) = (t 1)(t 3)(t 5) 0 (t 0)(t 3)(t 5) 1000 (0 1)(0 3)(0 5) (1 0)(1 3)(1 5) (t 0)(t 1)(t 5) (t 0)(t 1)(t 3) (3 0)(3 1)(3 5) (5 0)(5 1)(5 3) = t(t 3)(t 5) t(t 1)(t 5) t(t 1)(t 3) ( 2)( 4) 3 2( 2) = 125t(t 3)(t 5) 250t(t 1)(t 5) 250t(t 1)(t 3) (1.8) = 125t(t 2 4t 11) }{{} wielomian interpolacji Teraz możemy obliczyċ, że po t = 4 minutach lotu samolot wzniȯs l siȩ na interpolowan a wysokoṡċ h = 5500m. Mianowicie podstawiaj ac do rȯwnania (1.8) t = 4, otrzymamy h(4) = 125 ( ) = 5500

7 7 Na rysunku zaznaczona jest interpolowana wysokoṡċ h minutach lotu samolotu. y = 5500m po 4-ech t 0 = 0 t 1 = 1 Wysokoṡċ interpolowana = 5500m 2 t 2 = 3 h = 5500m 4 5 t = 4 t 3 = 5 h 3 = 10000m x 1.5 Iterpolacja wielomianem stopnia n 4 Ogȯlnie zagadnienie interpolacji polega na wyznaczeniu wielomianu, ktȯry w zadanych n 1 wȩz lach interpolacyjnych z przedzia lu [a, b] przyjmuje zadane wartoṡci a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b y 0, y 1, y 2,,y n. Dok ladniej zagadnienie interpolacji wielomianem formu lujemy w nastȩpuj acy sposȯb: Wyznacz wielomian stopnia co najwyżej n taki, że p n (x) = a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 p n (x i ) = y i dla i = 0, 1, 2,..., n. W każdym podrȩczniku Analyzy Numerycznej można znaleźċ dowȯd istenia jedynego wielomianu p n (x), ktȯry spe lnia wyżej sformu lowane warunki interpolacji. Takim wielomianem interpolacyjnym jest wielomian w postaci Lgrange a p n (x) = y n l n (x) y n 1 l n 1 (x) y n 2 l n 2 (x) y 1 l 1 (x) y 0 l 0 (x), gdzie wielomiany Lagrange a l i (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i1 ) (x x n ) x i x 0 )(x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i1 ) (x x n ) dla i = 0, 1, 2,..., n.

8 8 Latwo sprawdzamy, że wielomiany Lagrange a l i (x) spe lniaj a warunek l i (x k ) = { 1, gdy i = k, 0, gdy i k. Dlatego wielomian Lagrange a p n (x) spe lnia warunki interpolacji p n (x i ) = y i, i = 0, 1, 2,..., n. Przyk lad 1.5 W paragrafie interpolacja liniowa podaliṡmy wielomian Lagrange a s(t) = t t 1 s 0 t t 0 s 1. ktȯry dla zmiennej x = t, wȩz lȯw x 0 = t 0, x 1 = t 1 i wartoṡci y 0 = s 0, y 1 = s 1 przyjmuje postaċ wielomianu Lagrange a stopnia n = 1 p 1 (x) = x x 1 x 0 x 1 y 0 x x 0 x 1 x 0 y 1. (1.9) Latwo sprawdzamy, że wielomian p 1 (x) w wȩz lach x 0, x 1 przyjmuje wartoṡci y 0, y 1. Mianowicie, przez podstawienie do rȯwnoṡci (1.9) x = x 0 lub x = x 1, obliczamy p 1 (x 0 ) = y 0, p 1 (x 1 ) = y 1. Przyk lad 1.6 W paragrafie interpolacja kwadratowaa podaliṡmy wielomian Lagrange a h(t) = (t t 1)(t t 2 ) ( )(t 0 t 2 ) h 0 (t t 0)(t t 2 ) ( )(t 1 t 2 h 1 (t t 0)(t t 1 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 ) h 2 ktȯry dla zmiennej x = t, wȩz lȯw x 0 = t 0, x 1 = t 1, x 2 = t 2 i wartoṡci y 0 = h 0, y 1 = h 1, y 2 = h 2 przyjmuje postaċ wielomianu Lagrange a stopnia n = 2 p 2 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) y 0 (x x 0)(x x 2 ) y 1 (x x 0)(x x 1 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) y 2 (1.10) Latwo sprawdzamy, że wielomian p 2 (x) w wȩz lach x 0, x 1, x 2 przyjmuje wartoṡci y 0, y 1, y 2. Mianowicie, przez podstawienie do rȯwnoṡci (1.10) x = x 0, x = x 1 lub x = x 2, obliczamy p 2 (x 0 ) = y 0, p 2 (x 1 ) = y 1, p 2 (x 2 ) = y 2.

9 9 Przyk lad 1.7 W paragrafie interpolacja kubiczna podaliṡmy wielomian Lagrange a (t t 1 )(t t 2 )(t t 3 ) h(t) = ( )(t 0 t 2 )(t 0 t 3 ) h 0 (t t 0 )(t t 2 )(t t 3 ) ( )(t 1 t 2 )(t 1 t 3 ) h 1 (1.11) (t t 0 )(t t 1 )(t t 3 ) (t 2 t 0 )(t 2 t 1 )(t 2 t 3 ) h 2 (t t 0 )(t t 1 )(t t 2 ) (t 3 t 0 )(t 3 t 1 )(t 3 t 2 ) h 3 ktȯry dla zmiennej x = t, wȩz lȯw x 0 = t 0, x 1 = t 1, x 2 = t 2, x 3 = t 3 i wartoṡci y 0 = h 0, y 1 = h 1, y 2 = h 2, y 3 = t 3 przyjmuje postaċ wielomianu Lagrange a stopnia n = 3 p 3 (x) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) y 0 (x x 0 )(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) y 1 (x x 0 )(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) y 2 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) y 3 Latwo sprawdzamy, że wielomian p 3 (x) w wȩz lach x 0, x 1, x 2, x 3 przyjmuje wartoṡci y 0, y 1, y 2, y 3. Mianowicie, przez podstawienie do rȯwnoṡci (1.11) x = x 0, x = x 1 lub x = x 2, x = x 3, obliczamy Przyk lad 1.8. Rozpatrz funkcjȩ p 3 (x 0 ) = y 0, p 3 (x 1 ) = y 1, p 3 (x 2 ) = y 2, p 3 (x 3 ) = y 3. f(x) = x, dla x 0. (a) Znajdź prost a interpolacji y(x), ktȯra w punktach przyjmuje wartoṡci (b) y(0) = f(0), x = 0, x = 9 Oblicz wartoṡċ interpolowan a y(4). y(9) = f(9). (c) Podaj wykres prostej interpolacji y(x) i zaznacz na wykresie wartoṡċ interpolowan a y(4). Oblicz b l ad interpolacji ɛ = f(4) y(4)

10 10 Rozwi azanie. To (a). Rȯwnanie prostej przechodz acej przez punkty (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) dla x 0 = 0, y 0 = f(0)) = 0 = 0, x 1 = 9, y 1 = f(9) = 9 = 3 w postaci Lagrange a y(x) = x x 1 x 0 x 1 y 0 x x 0 x 1 x 0 y 1, y(x) = x x , y(x) = x x 9 3, y(x) = 1 3 x. }{{} prosta interpolacji To (b). Wartoṡċ interpolowana B l ad interpolacji y(4) = 4 3. y ɛ = f(4) p 1 (4) = = = 2 3 Funkcja y(x) = x Wartoṡċ y(9) = 9 = 3 y(9) = 9 = 3 4 = 2 2 b l ad interpolacji ɛ. y(4) = 4 Wartoṡċ interpolowana 3 t 0 = t = t 1 = 9 x 1.6 Zadania Zadanie 1.1. (a) Znajdź rȯwnanie prostej interpolacji y(x) dla danych w tabeli x 0 2 y 1 3 (b) Oblicz wartoṡċ interpolowan a y(1).

11 11 (c) Oblicz wartoṡċ ekstra-polowan a y(3). (d) Podaj wykres prostej interpolacji y(x). (e) Zaznacz wartoṡċ interpolowan a y(1) i wartoṡċ ekstra-polowan a y(3) na wykresie prostej interpolacji y(x). Zadanie 1.2. (a) Znajdź rȯwnanie trȯjmianu interpolacji y(x) dla danych w tabeli (b) x y Oblicz wartoṡċ interpolowan a y(1). (c) Zaznacz wartoṡċ interpolowan a y(1) na wykresie trȯjmianu interpolacji y(x). Zadanie 1.3. (a) Znajdź rȯwnanie wielomianu kubicznego interpolacji y(x) dla danych w tabeli (b) x y Oblicz wartoṡċ interpolowan a y(0). (c) Podaj wykres wielomianu kubicznego interpolacji y(x). (e) Zaznacz wartoṡċ interpolowan a y(0) na wykresie wielomianu kubicznego interpolacji y(x). Zadanie 1.4. Rozpatrz funkcjȩ f(x) = x 1, dla x 1. (a) Znajdź prost a interpolacji y(x), ktȯra w punktach x = 1, x = 10 przyjmuje wartoṡci y(0) = f(1), y(9) = f(10). (b) Oblicz wartoṡċ interpolowan a y(5). (c) Podaj wykres prostej interpolacji y(x) i zaznacz na wykresie wartoṡċ interpolowan a y(5). Oblicz b l ad interpolacji ɛ = f(5) y(5) Prof. dr Tadeusz STYŠ Warszawa 8 październik, 2018