FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA

Transkrypt

1 FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy to następująco: a = a a a i tych a jest n. Na przykład 2 = = 32. Liczbę a nazywamy podstawą potęgi a n jej wykładnikiem. Oczywiście a = a. Jeśli a 0, przyjmujemy a = 1. Na potęgach można wykonywać działania. I tak: a a = a Na przykład 2 2 = 2 = 2 = 256 a : a = a Na przykład 2 : 2 = 2 = 2 = 4 a b = (a b) Na przykład 2 3 = (2 3) = 6 = 216 (a ) = a Na przykład (2 ) = 2 = 2 = 4096 Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym. Jeżeli a 0 i n jest liczbą naturalną to a n = 1 a n. Na przykład: 2 = = 1 8. Na potęgach o wykładniku ujemnym obowiązują wszystkie podane wyżej działania. Pierwiastek stopnia n z liczby. Jeżeli a > 0 i n > 1 to pierwiastkiem stopnia n z liczby a nazywamy taką liczbę b, że b = a. Pierwiastek stopnia n z liczby a oznaczamy a. Jeżeli n = 2 to w zapisie pomijamy n i piszemy a. Na przykład: 9 = 3, bo 3 = 9, 8 = 2, bo 2 = 8, =, bo ( ) = Potęga o wykładniku wymiernym. Jeżeli a > 0, m Z, n N to: Na przykład: = = 16 3 = 2 3 = 8 a m n n = a m FUNKCJA POTĘGOWA, RÓWNANIE POTĘGOWE Funkcją potęgową nazywamy funkcję postaci: f(x) = x a, gdzie a R Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika a. 1. Jeżeli a N wówczas dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych (D f = R). 2. Jeżeli a Z wówczas D f = R {0}. 3. Jeżeli a Q i a > 0, D f = R {0}, zaś dla a < 0 D f = R. Wykresy kilku przykładowych funkcji potęgowych znajdują się na ostatniej stronie. Z pojęciem funkcji potęgowej wiąże się pojęcie równania potęgowego. Otóż równanie potęgowe to nic innego jak równanie, w którym po jednej stronie występuje pewna potęga x, a po drugiej liczba. 1

2 FUNKCJA WYKŁADNICZA, RÓWNANIE WYKŁADNICZE Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci: f(x) = a x, gdzie a R (a 1) Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Dlaczego a 1? Otóż biorąc a = 1 otrzymalibyśmy po prostu funkcję stałą f(x) = 1 (1 podniesione do dowolnej potęgi daje 1). Zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich (R ). Dlatego że każda liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią. Na końcu znajdują się wykresy funkcji wykładniczej dla a > 1 i a < 1. Nasuwa się kilka spostrzeżeń. Po pierwsze funkcja jest różnowartościowa. Po drugie wykres posiada punkt charakterystyczny (0, 1). Przez ten punkt przechodzi KAŻDY wykres funkcji wykładniczej! Ponadto, co widać z rysunku, dla każdego a > 1 funkcja jest rosnąca, zaś dla każdego a < 1, funkcja jest malejąca. Zastanówmy się dla jakich a zachodzi powyższa symetria wykresów względem osi OY? Otóż jeżeli mamy funkcję y = a x, to odpowiadający jej symetryczny wykres będzie wykresem funkcji y = a x, czyli po prostu y = 1 ax. Zauważmy jeszcze, że oś OX jest asymptotą poziomą każdego wykresu funkcji wykładniczej. Otóż, jeśli a > 1 wówczas a podniesione do bardzo ujemnej potęgi dąży do, zaś jeśli a < 1 to a podniesione do bardzo dużej (dodatniej) potęgi dąży do +. FUNKCJA LOGARYTMICZNA, LOGARYTM, RÓWNANIE LOGARYTMICZNE Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci: f(x) = log a x, gdzie a R, a 1. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Logarytmem przy podstawie a, (a 1) z liczby dodatniej x nazywamy liczbę y, taką że a y = x. Fakt ten zapisujemy y = loga. Własności logarytmów: log a 1 = 0, log a a = 1, log a m n = log a m + log a n, log a m n = log am log a n, log a n b =b log a n, log a b = log cb log c a WYKRESY FUNKCJI POTĘGOWEJ y = x y = x y = x y = x y = x 2

3 WYKRESY FUNKCJI WYKŁADNICZEJ y = 2 y = ( 1 2 ) WYKRESY FUNKCJI LOGARYTMICZNEJ y = log x y = logx ZADANIA SPRAWDZAJĄCE 1. Wykonaj poniższe działania, podając założenia, przy jakich są one wykonywalne: a) b) : c) : 2. Rozwiąż równania potęgowe: a) x = 4 b) x = 5 c) x = d) x = e) x = 3 3 3

4 3. Rozwiąż równania wykładnicze: 4 a) 2 = 4 b) 5 = 5 c) 4 = 8 d) 3 = e) = f) = 3 4. Rozwiąż równania wykładnicze: a) 2 = 8 b) 2 = 1 c) = 0 d) = 750 e) = 4 f) 2 3 = Rozwiąż równania wykładnicze: a) 5 = 7 b) 21 = 7 3 c) = 3 6 d) 3 2 = Rozwiąż nierówności wykładnicze: a) 5 < 5 b) 25 < c) d) < 27 e) 3 > 81 f) < 0 g) 2 < 4 h) i) > 7. Oblicz poniższe logarytmy: a) log 128 b) log 3 c) log32 d) log 49 e) log f) log g) log, 100 h) log32 i) log 16 j) log2 2

5 8. Korzystając z definicji logarytmu wyznacz x: a) logx = 4 b) log x = 3 c) log x = 4 d) log 27 = 3 e) log 9. Oblicz: a) 36 b) 64 c) 8 d) Oblicz wartości wyrażeń: a) log 48 log 3 b) log 50 log 25 c) 2log 3 + log 5 d) (log 16 log 80) 11. Wiedząc, że log x = a, oblicz log x. e) Wiedząc, że log log 6 2 = a, oblicz log log Uprość wyrażenia: a) logaa a b) log (a + b) c) d) Rozwiąż równania (podaj również dziedzinę): a) log x = log (3 x) b) log (x 1) = 3 c) log (x + 5) = 2 d) log (4x + 1) = 2 e) log (log x) = Rozwiąż nierówności logarytmiczne (podaj dziedzinę): a) log (x 1) > 2 b) log (x + 3) > 1 c) log (x 5x + 6) < 2 d) log > 2 e) log 1 5