Teoria Kolejek. dr inż. Piotr Gajowniczek. Instutut Telekomunikacji Politechnika Warszawska

Transkrypt

1 Teoria Kolejek dr iż. Piotr Gajowiczek Istutut Telekomuikacji Politechika Warszawska

2 WPROWADZENIE

3 Wprowadzeie Systemy masowej obsługi obsługa dużej ilości klietów przez system o ograiczoych zasobach Modele pokazujące zależości między zasobami systemu a jakością jego działaia aaliza istiejących systemów syteza systemów o określoych parametrach badaie wpływu iwestycji a wydajość systemu (plaowaie strategicze, długookresowe) Podstawowe obszary zastosowań systemy produkcyje i magazyowe trasport i komuikacja systemy przetwarzaia iformacji (systemy komputerowe) telekomuikacja

4 Probabilistyka zmiee losowe i rozkłady Momety zmieej losowej wartość oczekiwaa (momet zwykły I rzędu) ) ( ] [ ogólie : ] [ ) ( ] [ x xdf X E p x X E dx x f x X X E i i i własości wartości oczekiwaej: ] [ ] [ ] [., ] [. ] [ ] [ 1 1 Y E X E Y X E iezal Y X X E X E cost c X E c X c E j j j j

5 Probabilistyka zmiee losowe i rozkłady Momety zwykłe -tego rzędu Wariacja momet cetraly II rzędu i i i p x X E dx x f x X E ] [ ) ( ] [ [ ]. ] [. ] [ ] [ ] [ ] [ ) ( ] [ iezal X X V X V cost c X V c X c V X E X E X X E X V i j j j j σ

6 Probabilistyka rozkłady dyskrete Fukcja tworząca prawdopodobieństwa X dyskreta zmiea losowa, przyjmująca wartości ieujeme, całkowite, p i P (Xi) i X Gx( z) pi z E z z 1 i 0 rejestruje wartości rozkładu w jedym wyrażeiu algebraiczym ułatwia obliczaie mometów zmieych losowych

7 Probabilistyka rozkłady dyskrete Obliczaie mometów rozkładu d Gz 1 ( ) E X z X EX [ ] dz z 1 d dz z 1 d z G z E X z E X dz 2 X 1 2 ( ) [ ] z 1 z 1 i 1 i d d d E X z G( z) z G( z) dz dz dz z 1 z 1 i Fukcja tworząca sumy zmieych losowych X, Y iezależe, dyskrete, p i P(Xi), q j P(Yj) ( ) P{ X + Y k} p q p q i 0 X+ Y X Y GX+ Y( z) E z E z z X Y Ez [ ] Ez [ ] G ( z) G( z) X k Y k i k i

8 Probabilistyka rozkłady dyskrete Rozkład geometryczy, X~Geo(p) p i P(Xi) p(1-p) i-1 i1, 2,... - liczba prób do pierwszego sukcesu w schemacie Beroulliego -jedyy rozkład dyskrety, który ma własość bezpamięciowości PX ( > i+ j, X > i) P( X > i+ j) PX ( > i+ j X> i) PX ( > i) PX ( > i) k 1 p (1 p) i+ j k+ i j+ 1 (1 p) j i k 1 (1 p) (1 p) P( X > j) p (1 p) k+ i 1

9 Probabilistyka rozkłady dyskrete Rozkład dwumiaowy, X~Bi(,p) prawdopodobieństwo i sukcesów w -próbach Beroulli ego i pi P{ X i} p (1 p) i EX [ ] p V[ X] p(1 p) i Rozkład Poissoa, X~Poiss(a) i a a pi P( X i) e i 0,1, 2... i! EX [ ] VX [ ] a

10 Aproksymacja rozkładu Poissoa przez dwumiaowy Rozkład Poissoa - aproksymacja Gdy ip 0, dla pλcost rozkład dwumiaowy dąży do rozkładu Poissoa z parametrem λ k PX ( k) p(1 p) k ( k+ 1)...( 1) λ λ 1 k! ( k+ 1)...( 1) 1 k λ 1 k e λ 1 1 P( X k) e λ λ k λ k! k k k

11 Probabilistyka rozkłady ciągłe Trasformata Laplace a X 0 ieujema zmiea losowa * () st sx f s e f() t dt E e 0 L-trasformata dla fukcji gęstości pełi taką samą rolę, jak fukcja tworząca dla rozkładu dyskretego jeśli X jest zmieą dyskretą, ieujemą, wówczas: Trasformata sumy X, Y iezależe ( ) f * () s G e s * s( X+ Y) sx sy f X+ Y() s E e E e e sx sy * * E e E e fx() s fy () s

12 Probabilistyka rozkłady ciągłe Momety zmieych losowych ciągłych ' () d ds d ds * sx sx f s E e E X e ( ) * sx sx f () s E e E ( X) e dla s 0: * [ ] (0) EX f 2 * [ ] (0) EX M f ' " ( ) * [ ] ( 1) (0) EX + f

13 Probabilistyka rozkłady ciągłe Rozkład wykładiczy, X~Exp(λ) f X (x) λe -λx F X (x) P{X x} 1-e -λx C x (x) 1- F X (x) e -λx x 0 x 0 x 0 * st λt f () s e λe dt EX λ s + λ 0 ' λ f 2 ( λ + s) * [ ] (0) EX 2 * [ ] (0) 2 2 s 0 1 λ " 2λ 2 + f ( λ + s) λ VX [ ] EX [ ] EX [ ] 3 2 s λ

14 Probabilistyka rozkłady ciągłe Rozkład wykładiczy bezpamięciowość jedyy rozkład ciągły o takiej własości PX ( > t+ xx, > t) PX ( > t+ x) PX ( > t+ x X> t) PX ( > t) PX ( > t) λ ( t+ x) Ht ( + x) e λx e P( X > x) λt Ht () e iterpretacja: iech X~Exp() opisuje czas trwaia rozmowy telefoiczej; jakie jest prawdopodobieństwo, że rozmowa będzie trwała co ajmiej x, jeśli wiemy, że trwa już przez czas t? bezpamięciowość rozkładu wykładiczego rozkład czasu pozostałego do zakończeia rozmowy (resztowego czasu rozmowy) ie zależy od tego, jak dawo temu rozmowa się zaczęła rozkład resztowego czasu rozmowy (ogóliej: resztowego czasu obsługi) jest taki sam, jak rozkład czasu rozmowy w ogóle

15 Probabilistyka rozkłady ciągłe Rozkład Erlaga X X X X i ~Exp() i.i.d. X ma -stopiowy rozkład Erlaga, X~Erl(,) ( ) t t t e t e t t f s s s s s f s e t )! ( ) ( 1)! ( ) ( 1)! ( 1 ) ( 1)! ( ) ( ) (! 1 1 * 1 * K

16 Probabilistyka rozkłady ciągłe Modelowaie czasu obsługi rozkładem Erlaga X~Exp() f(x)e- x, E[X]1/, V[X]1/ 2 2 X i ~Exp(2) f(x), E[X i ], V[X i ] 2 X~Erl(2, 2) b(x), E[X], V[X] f(x)2e- 2x, E[X i ]1/2, V[X i ]1/(2) 2 B * (s)(2) 2 /(s+2) 2 b(x)2(2x)e -2x E[X] 2E[X i ] 1/ V[X] 2V[X i ] 1/2 2 r r X 1 ~Exp(r) f(x), E[X i ], V[X i ]..... X~Erl(r, r) b(x), E[X], V[X] r f(x)re- rx, E[X i ]1/r, V[X i ]1/(r) 2 B * (s)(r) r /(s+r) r b(x)r(rx) r-1 e -r x /(r-1)! E[X] re[x i ] 1/ V[X] rv[x i ] 1/r 2

17 Rozkład Erlaga

18 MODEL SYSTEMU KOLEJKOWEGO

19 Podstawowy model systemu kolejkowego Kolejka Serwer(y) Napływ Obsługa System taki modeluje stację obsługi : z jedym lub wieloma urządzeiami obsługującymi (serwer, łącze, CPU...) z kolejką Klieci (pakiety, zgłoszeia, zadaia...) apływają w celu obsługi kliet, dla którego ie ma wolego urządzeia obsługującego oczekuje w kolejce kliet adchodzący, gdy system jest peły, jest odrzucay

20 Opis systemu kolejkowego b m m liczba urządzeń obsługi (1 do ) b rozmiar kolejki Dyscyplia kolejki - FIFO, LIFO itp. Proces apływu A(t) Proces obsługi S(t)

21 Proces stochastyczy Model eksperymetu losowego, który zmieia się w czasie i tworzy sekwecję wartości umeryczych każda wartość w sekwecji jest wyzaczaa przez zmieą losową proces stochastyczy jest ciągiem zmieych losowych X (X t t I) I R zbiór parametrów rozkład stacjoary lim P( X x) t 0 ergodyczość t

22 Proces apływu τ t t τ : zmiea losowa opisująca czas między zgłoszeiem i +1 { τ, 1} : jest to proces stochastyczy Zakładamy, że koleje odstępy między zgłoszeiami mają taki sam rozkład E[ τ ] E[ τ] 1/ λ λ tzw. itesywość apływu

23 Proces obsługi s 1 t s : czas obsługi zgłoszeia w urządzeiu obsługującym { s, 1} jest procesem stochastyczym zakładamy, że czasy obsługi dla wszystkich klietów mają idetyczy rozkład Es [ ] Es [ ] tzw. itesywość obsługi

24 PROCES POISSONA

25 Proces Poissoa z itesywością λ {A(t): t 0} proces apływu zgłoszeń A(t) określa liczbę zgłoszeń, które apłyęły od chwili 0 do t A(t)-A(s) jest liczbą zgłoszeń w przedziale (s, t] Liczby zgłoszeń w rozłączych odcikach czasu są iezależe Liczba zgłoszeń w dowolym odciku czasu (t, t+τ] o długości τ zależy wyłączie od czasu τ ma rozkład Poissoa z parametrem λτ λτ ( λτ ) PAt { ( + τ ) At ( ) } e, 0,1,...! λt jest średią liczbą zgłoszeń w czasie t λ jest itesywością apływu zgłoszeń

26 Alteratywe defiicje Proces Poissoa jest procesem czystych urodzi: w ieskończeie małym odciku czasu Δt może adejść tylko jedo zgłoszeie z prawdopodobieństwem λδt, iezależie od zgłoszeń poza tym odcikiem Liczba zgłoszeń N(t) w skończoym odciku czasu o długości t ma rozkład Poissoa z parametrem λt a N(t 1,t 2 ) i N(t 3,t 4 ) dla rozłączych odcików t 1 -t 2 i t 3 -t 4 są iezależe Czasy między zgłoszeiami są iezależe, a ich długość jest opisaa zmieą losową o rozkładzie Exp(λ)

27 Czas między zgłoszeiami w procesie Poissoa Odstępy między zgłoszeiami w procesie Poissoa są iezależe a ich długość opisaa jest rozkładem wykładiczym z parametrem λ t : czas adejścia -tego zgłoszeia; τ t +1 -t : -ty odstęp między zgłoszeiami λs P{ τ s} 1 e, s 0 F () t P( T t) 1 P( T > t) T λt 1 P(0, t) 1 e ~ Exp( λ)

28 Prawdopodobieństwo zgłoszeia w δ Jeśli apływ jest procesem Poissoa, to itesywość apływu zgłoszeń jest stała (prawdopodobieństwo adejścia zgłoszeia jest w każdej chwili czasu takie samo) Odciek (t, t+δt] o długości Δt 2 λδt ( λδt) PAt { ( +Δt) At ( ) 0} e 1 λδ t+ 1 λδ t+ ο( Δt) 2 2 λδt ( λδt) PAt { ( +Δt) At ( ) 1} e λδ t λδt 1 λδ t+ λδ t+ ο( Δt) 2 P{ A( t+δt) A( t) 2} 1 P{ A( t+δt) A( t) k} 1 k 0 1 (1 λδ t+ ο( Δt)) ( λδ t+ ο( Δ t)) ο( Δt)

29 Aproksymacja przez proces Beroulli ego Proces Beroulli ego ciąg zmieych losowych o rozkładzie dwupuktowym Dzielimy przedział (0,τ) a τ/δt przedziałów o długości Δt Prob {adejdzie 1 zgłoszeie w przedziale Δt 0} λδt sukces adejście zgłoszeia w Δt Prob {k zgłoszeń w τ} Prob (k sukcesów w próbach Beroulli ego} k k k ( ) p (1 p λτ ) e k k! Δ t p λτ λτ

30 Proces Poissoa apływ czysto losowy α 1 β 1 α 2 β 2 α k-1 β k α k 0 T t A) proces Poissoa P( zgloszeia w α k zglosze) 1... k P( zgloszeia w α k zglosze) P( k zglosze) 1... k ( λα ) ( λα ) K ( λα ) K λα1 λα2 λαk λβ1 λβ2 e e e e e e λβk k k ( λt ) λt e k! k λα ( 1+ β βk+ αk) λ e ( α1 α2 K αk ) k! ( α1 α2 K αk ) k! k λt k ( λt) e T B) rozkład rówomiery w (0,T) α1 α2 αk ( α1 α2 K αk) P( pukty w α1... k k puktów) K k! k T T T T k!

31 Złożeie i rozdział procesu Poissoa λ 1 λ 2 λ 1 + λ 2 λ p 1-p λp λ(1-p) A 1,, A k iezależe procesy Poissoa z itesywościami λ 1,, λ k Złożoe w jede proces A A A k A jest procesem Poissoa z itesywością λ λ λ k A: proces Poissoa z itesywością λ Rozdzieloy a procesy A 1 i A 2 iezależie, z prawdopodobieństwami p i(1-p) A 1 - proc. Poissoa(λ 1 λp) A 2 - proc. Poissoa(λ 2 λ(1-p))

32 Modelowaie procesów apływu Proces Poissoa w modelowaiu apływu zgłoszeń szeroki zakres wykorzystaia sieci z komutacją kaałów aproksymacje w sieciach z komutacją pakietów i sieciach komórkowych Bardzo dobry model apływu zgłoszeń z wielu iezależych źródeł p. ruch telefoiczy do cetrali źródeł ruchu, dla których odstęp międzyzgłoszeiowy jest IID (Idepedet Idetically Distributed) z dystr. F(s) itesywość apływu z każdego źródła - λ/ gdy, strumień łączy może być aproksymoway procesem Poissoa pod słabymi warukami a F(s): F(0)0, F (0)>0 Modele z apływem Poissoa ułatwiają podejście aalitycze

33 NOTACJA KENDALLA

34 Notacja Kedalla Notacja Kedalla - wzorzec: A/S/m/k A proces apływu dla procesu Poissoa używa się symbolu M (Markovia / Memoryless) B proces obsługi (rozkład czasu obsługi) M: wykładiczy D: determiistyczy (jedopuktowy) G: dowoly (geeral) m liczba serwerów k liczba miejsc w systemie (łączie: staowiska obsługi + kolejka) jeśli jest ieskończoa, to często pomija się ją w zapisie

35 Notacja Kedalla - przykłady M/M/1 apływ jest procesem Poissoa, rozkład czasu obsługi jest wykładiczy, jede serwer, ieskończoa kolejka M/M/m m serwerów M/M/m/m m serwerów, brak kolejki M/G/1 apływ Poissoa, rozkład czasu obsługi jest dowoly (możemy zać p. tylko jego momety), jede serwer, ieskończoa kolejka M/D/1 stały czas obsługi

36 WIĄZKA ERLANGA system M/M/m/m

37 System M/M/c/c wiązka Erlaga Napływ jest procesem Poissoa, czas obsługi wykładiczy bezpamięciowość zmiay stau systemu astępują w chwilach przyjść oraz wyjść klietów Prob (X t+δt j X t i)? Pomociczo: a) jeśli X,Y~Exp() iid, to Z mi( X, Y) ~ Exp(2 ) jeśli k łączy jest zajętych, to czas do wyjścia ajbliższego klieta ma rozkład Exp(k) b) jeśli X~Exp(λ), Y~Exp(), iezależe, to λ PX ( < Y) λ + jeśli k łączy jest zajętych (w staie k) czas do ajbliższego zdarzeia (przyjście lub wyjście klieta) ~ Exp(k+λ)

38 System M/M/c/c wiązka Erlaga Prawdopodobieństwo zmiay stau w czasie Δt P P{ X k X k} ( λ + k) Δ t+ ο( Δt) Δ S t+δt t k j 1 PΔ j k j 1 λ+ j P Pjk ( Δ t) P{ Xt+Δ t k Xt j} λ k j + 1 λ+ j P k j 2 ο( Δt) k j 1 ( λ+ j) Δ t+ ο( Δt) k j 1 jδ + ο( Δ t) k j + 1 λ Δ t + ο( Δ t) k j 2 ο( Δt) S ΔS ΔS

39 System M/M/c/c wiązka Erlaga Prawdopodobieństwo, że w chwili t system jest w staie k: p k (t) m [ λ ο ] p ( t+δ t) p ( t) p ( Δ t) Δ t+ ( Δt) p ( t) + k k jk k 1 j 0 [ ο ] [ λ ο ] + ( k+ 1) Δ t+ ( Δt) p ( t) + 1 ( + k ) Δ t+ ( Δt) p ( t) + k+ 1 + pi () t ο( Δt) i { k 1, k, k+ 1} k pk( t+δt) pk( t) ο( Δt) λpk 1() t + pk 1() t + ( k+ 1) pk+ 1() t + Δt Δt ο( Δt) ο( Δt) ο( Δt) + pk + 1() t ( λ + k) pk( t) + pk( t) + Δt Δt Δt

40 System M/M/m/m wiązka Erlaga Rówaia dyamiki prawdopodobieństwa stau systemu Δt 0 dpk () t λpk 1() t + ( k+ 1) pk+ 1() t ( λ+ k) pk() t k dt λ m-1 m Rozkład graiczy λ λ λ λ 2 3 ( m 1) k p () t p k t k m

41 System M/M/m/m wiązka Erlaga Rówaia rówowagi 0 λ p ( t) + ( k+ 1) p ( t) ( λ+ k) p ( t) k k 1 k+ 1 k λp () t + ( k+ 1) p () t ( λ+ k) p () t k k 1 k+ 1 k λ λ k k ( k + 1)

42 System M/M/m/m wiązka Erlaga Rozwiązaie: k 0 0 λ k 1 λp p p p Ap k 2 ( λ+ ) p λp p 2 A p 2 K k A pk p0 k 1, 2Km k! Rówaie ormalizujące c p p k 0 k 0 k c k A 1 p k! 1

43 System M/M/m/m wzór Erlaga Prawdopodobieństwa stacjoare staów: p k A k! k c c i A i! i 0 k A k! e A Wzór B-Erlaga p c E(, c A) c A c! c i A i! i 0 time cogestio Prob{wszystkie łącza zajęte} E(c,A) call cogestio Prob{wszystkie łącza zajęte przychodzi zgłoszeie} B W ogólym przypadku Dla M/M/c/c E B E B

44 Ruch telekomuikacyjy Ruch oferoway Aλ/ [Erl] średia liczba zgłoszeń przychodzących w średim czasie obsługi ruch, który byłby przeiesioy przez wiązkę ieskończoą Ruch przeoszoy (średia) liczba zajętych urządzeń obsługi A c A o A c A c A(1-B)

45 Ruch telekomuikacyjy

46 PROCESY URODZIN I ŚMIERCI

47 Procesy urodzi i śmierci (Birth & Death Process) S S c λ 0 λ 1 λ 1 λ Przejścia tylko między staami sąsiedimi Rówaia dyamiki: d k > 0 pk( t) λk 1pk 1( t) + k+ 1pk+ 1( t) ( λk + k) pk( t) dt d k 0 p0( t) 1p1( t) λ0p0( t) dt

48 Procesy urodzi i śmierci w staie rówowagi Rówaie rówowagi dla węzła (S) λ p + p ( λ + ) p k 1 k 1 k+ 1 k+ 1 k k k λ p p λ p p k 1 k 1 k k k k k+ 1 k+ 1 f λ p p f f cost. k k k k+ 1 k+ 1 k 1 k f λ p p 0 f k Rówaie rówowagi dla przekroju (S c ) λ p + p + k k k 1 k 1

49 Procesy urodzi i śmierci w staie rówowagi Prawdopodobieństwa stacjoare w procesie urodzi i śmierci: p λ p λ 1 λ 1 λ 2 λ 1λ 2Lλ0 λi L1 i 0 i+ 1 p p p p p λ i λ i λi p 1 p0 1 1 p0 1, if 0 1 i 0 i+ 1 1 i 0 i+ 1 1 i 0 i <

50 Przykład: proces Poissoa λ λ λ d p o() t λ p 0() t p 0() t e dt d p k() t λ p k 1() t p k() t λ dt dp1 () t λt k 1 λe λp1 ( t) dt λt p () t λte 1 λt przez rekursję: p () t k ( λt) k! k e λt

51 Przykład: system M/M/1 Charakterystyka systemu: apływ: proces Poissoa z itesywością λ czas obsługi: rozkład wykładiczy z parametrem µ procesy apływu i obsługi są iezależe pojedycze urządzeie obsługujące ieskończoa kolejka N(t): sta systemu (liczba klietów) w chwili t λ λ λ λ

52 Przykład: system M/M/1 λ λ λ λ Proces urodzi i śmierci; w rówowadze: p λ p 1 λ p p ρp... ρ p P 0 obliczamy z waruku ormalizującego: p 1 p0 1+ ρ 1 p0 1 ρ, if ρ < Rozkład stacjoary dla stau systemu: ρ (1 ρ), 0,1,... p

53 WZÓR LITTLE A

54 Wzór Little a λ N T λ: itesywość apływu zgłoszeń N: średia liczba klietów w systemie T: średi czas przebywaia klieta w systemie Twierdzeie Little a: dla systemu w staie ustaloym N λt

55 Wartości chwilowe α(t) N(t) β(t) t N(t) : liczba klietów w systemie w chwili t α(t) : liczba zgłoszeń, które adeszły do chwili t β(t) : liczba zgłoszeń obsłużoych do chwili t T i : czas, jaki i-te zgłoszeie przebywało w systemie

56 Wartości średie Średie w przedziale [0,t], dla stau ustaloego Wzór Little a ma zastosowaie dla dowolego systemu kolejkowego, jeśli: graice T, λ i δ istieją λ δ 1 t Nt N( s) ds N lim Nt t 0 t at () λt λ limλt t t a() t 1 T T T limt t i t at () t i 1 β () t δt δ limδt t t

57 Dowód dla kolejki FIFO i T 1 T 2 α(t) N(t) β(t) t T i FIFO, N(0)0 N(t) α(t)- β(t) Pole między fukcjami: t St () Nsds () 0 Założeie: N(t)0, ieskończeie często. Dla każdego takiego t t 1 α( t) α ( t ) α () t t T 1 i N() s ds T N() s ds N λ T i t t t 0 0 i 1 t t α() t Jeśli graice N t N, T t T, λ t λ istieją, twierdzeie Little a jest prawdziwe

58 Dowód dla kolejki FIFO (relaksacja) α(t) i N(t) β(t) T i T 1 T 2 Bardziej ogólie (awet jeśli kolejka ie opróżia się ieskończeie często) : β ( t) α( t) β() t T 1 t () 1 i α t 1 T N() s ds T N() s ds t () t t t α() t δt N λt β() t t α() t i i 0 0 i 1 i 1 β t t t t t T i Założeia: graice T t T, λ t λ, i δ t δ istieją i λδ

59 WŁASNOŚĆ PASTA

60 Własość PASTA (Poisso Arrivals See Time Averages) Rozważmy system ze staami E j i apływem Poissoa z itesywością λ dwa róże prawdopodobieństwa związae ze staem E j p j - prawdopodobieństwo, że system jest w staie E j w losowo wybraej chwili czasu p * j - prawdopodobieństwo, że system jest w staie E j tuż przed adejściem (losowo wybraego) zgłoszeia w ogólości p j p * j dla apływu opisaego przez proces Poissoa p j p * j

61 Własość PASTA Dowód p k (t) : prawdopodobieństwo, że system jest w staie k w chwili t p * k (t) : prawdopodobieństwo, że zgłoszeie przychodzące w chwili t zastaie system w staie k A(t, t+δt) : zdarzeie adejścia zgłoszeia w przedziale Δt N(t) : sta systemu w chwili t * k Δ t 0 Δ t 0 { } p () t lim P N() t k A(, t t+δ t) lim { (, + Δ ) () } { () } P{ A(, t t+δt) } P A t t t N t k P N t k ze względu a bezpamięciowośc procesu apływu zgłoszeń A(t,t+Δt) jest iezależe od stau systemu N(t), zatem * k Δ t 0 { } p () t lim P N() t k) p () t PASTA ie zachodzi, jeśli itesywość apływu zależy od stau systemu k

62 SYSTEMY STRATNE (Loss Systems)

63 M/M/c/c (oraz M/M/ ) jako proces urodzi i śmierci λ λ λ λ ( + 1) Rozwiązaie rówań dla stau rówowagi: k ( λ) k k 1 k 1 k λi λ λ 0 0 k 0 0 i 0 i+ 1 i 0 ( i+ 1) 1 2 Lk k! p p p p p Waruek ormalizujący: p 0 c k ( λ / ) k 0 k! 1 k 1 ( λ / ) λ/ p0 e dla k 0 k! dla M/M/c/c M/M/c/

64 Wiązka Erlaga: system M/M/c/c λ λ λ Rozkład stacjoary: c 2 c c k ( λ/ ) ( λ/ ) p, 0,1,..., c! k 0 k! Prawdopodobieństwo blokady (PASTA) wzór Erlaga-B p c c c k ( λ/ ) ( λ/ ) c! k 0 k! Niewrażliwość a rozkład czasu obsługi: moża wykazać, że obowiązuje dla M/G/c/c 1 1

65 Wiązka ieskończoa: system M/M/ λ λ λ λ Nieskończoa liczba urządzeń obsługi ie ma kolejkowaia Rozkład stacjoary: / p e rozkład Poissoa z parametrem λ/ ( + 1) Średia liczba klietów w systemie i średi czas przejścia przez system: Wyik te obowiązuje dla M/G/ ( λ/ ) λ, 0,1,...! λ N 1 N, T λ

66 System Egseta: M/M/c/c/[N] System z ograiczoą liczbą źródeł zgłoszeń N (0 c N) zachowaie pojedyczego źródła zgłoszeń: źródło jest aprzemieie w staie ieaktywym (wygeerowae zgłoszeie jest właśie obsługiwae przez jede z c serwerów i ie geeruje owych zgłoszeń) lub w staie aktywym, którego czas trwaia ma rozkład wykładiczy Exp(ϕ) i kończy się wygeerowaiem zgłoszeia do obsługi odrzuceie zgłoszeia (blokada) powoduje rozpoczęcie kolejego okresu aktywości sta systemu N(t) jest procesem urodzi i śmierci w staie N(t)k czas do wygeerowaia astępego zgłoszeia ~Exp((N-k)ϕ) prawdopodobieństwo przejścia do stau k+1 a jedostkę czasu (itesywość przejścia) wyosi λ j (N-k)ϕ i zależy od stau systemu w staie N(t)k czas do zakończeia obsługi ajbliższego zgłoszeia ~Exp(k)

67 System Egseta: M/M/c/c/[N] Współczyiki procesu urodzi i śmierci λk ( N k) ϕ k k Prawdopodobieństwa stacjoare k 1 ( N i) ϕ N k pk p0 p0 a i 0 ( i + 1) k N a k k ϕ pk k 0,..., c a c N a i i 0 i Obowiązuje dla M/G/c/c/[N]

68 Time cogestio vs Call cogestio Time cogestio N c a c ϕ pc EN(, c a), a c N a i i 0 i Call cogestio Time cogestio proces apływu ie jest procesem Poissoa

69 Call cogestio Prawdopodobieństwa staów w chwili ajdejścia losowego zgłoszeia Dowód (ituicyjy) p * k c λ p j 0 k j k λ p j rozważmy dostateczie długi okres T średio, system zajduje się w staie k przez czas p k T w tym czasie średio przychodzi λ j p j T zgłoszeń (tyle zgłoszeń zastaje system w staie k) c całkowita średia liczba zgłoszeń w T wyosi T λ p [ N] wzór pokazuje proporcję zgłoszeń, które zastają system w staie k do wszystkich zgłoszeń, czyli prawdopodobieństwo stau k widziae przez adchodzące zgłoszeia j 0 j j

70 Call cogestio Po podstawieiu λ k otrzymujemy wzór a blokadę: blokada w systemie Egseta z populacją (liczbą źródeł) N jest rówa prawdopodobieństwu stau c (zajętości wszystkich łączy) w systemie z populacją N-1 1] [ 1 1 ), ( 0 * N p α c N α c N p α c B c c k k c c

71 SYSTEMY Z OCZEKIWANIEM (Waitig Systems)

72 System M/M/1 Średia liczba klietów w systemie (sta systemu): k k (1 ) (1 ) k 0 k 0 k 0 N kp ρ kρ ρ ρ kρ 1 ρ λ N ρ(1 ρ) (1 ) 2 ρ 1 ρ λ Ze wzoru Little a otrzymujemy średi czas przejścia przez system: k 1 T N λ 1 λ λ λ 1 λ Aalogiczie, średi czas oczekiwaia i sta kolejki: 2 1 ρ ρ W T oraz NQ λw λ 1 ρ

73 System M/M/1 Współczyik wykorzystaia: ρλ/ procet czasu zajętości serwera; prawdopodobieństwo, że serwer jest zajęty: ρ1-p 0 (obowiązuje dla M/G/1) waruek stabilości: ρ<1 (iaczej kolejka rośie do ) N ρ

74 M/M/1 : rozkład czasu przejścia Załóżmy, że adchodzące zgłoszeie zastaje klietów w systemie z własości rozkładu wykładiczego wiemy, że czas pozostały do zakończeia obsługi aktualie obsługiwaego zgłoszeia ma rozkład wykładiczy Exp() czas przejścia tego zgłoszeia przez system jest zatem sumą +1 iezależych zmieych losowych o rozkładzie Exp() T X 1 +X X +X +1 T ma rozkład Erl(+1,) zatem gęstość rozkładu T ma postać: Sumując po wszystkich możliwych staach systemu, jakie może zastać adchodzące zgłoszeie, mamy: ( ) t T e t t f! ) ( ( ) ) ( ~ ) ( ) (1 ) (1! } { ) ( ) ( ) ( ) (1 0 0 λ λ ρ ρ ρ λ ρ Exp e e e t N P t f t f t t t T T

75 M/M/1 : proces wyjściowy D * (s) L-trasformata gęstości rozkładu czasu między wyjściami klietów D * () s serwer zaj. * D s + () s serwer woly λ s+ λ s+ D () s D () s P{serwer woly} + D () s P{serwer zajety} * * * serwer woly serwer zajety λ λ (1 ρ) + ρ ρ+ (1 ρ) s+ λ s+ s+ s+ s+ λ sρ+ λρ+ λ λρ sρ + λ s+ s+ λ s+ s+ λ sλ+ λ λ ( s+ )( s+ λ) s+ λ

76 System Erlaga z oczekiwaiem: M/M/c λ c c+1 λ 2 λ c λ c, 1 c c, c Z rówań dla procesu urodzi i śmierci: 1 λ 1 λ ( cρ) λ 1 c: p p p p, ρ i 0 ( i+ 1)!! c c c c 1 1 c c λ λ λ 1 λ c λ c ρ > c: p p p p p i 0 ( i 1) i c c c! c c! c c! Obliczeie p k c 1 k c c c ( cρ) ( cρ) k c ( cρ) ( cρ) 1 p 1 p ρ 0 k 1 k! c! + k c k 0 k! c! 1 ρ

77 System Erlaga z oczekiwaiem: M/M/c Prawdopodobieństwo, że zgłoszeie będzie czekać (wzór Erlaga-C) c c ( cρ) c ( cρ) 1 PQ p p0 ρ p0 c! c! 1 Średi sta kolejki c c ( cρ) ( cρ) ρ NQ c p p c p c! c! (1 ρ) ρ ρ PQ(1 ρ) P (1 ) 2 Q ρ 1 ρ N c c c ( ) 0 ( ) ρ c c 0 2 Średi czas oczekiwaia Średi czas w systemie Średi sta systemu ρ Q ρ W PQ λ λ(1 ρ) 1 ρ 1 T W + P Q + λ(1 ρ) ρ N λt PQ + cρ (1 ρ)

78 M/M/c : rozkład czasu oczekiwaia P{ W> t} PW { > t N< c} P{ N< c} + PW { > t N c} P{ N c} 0 PN { < c} + PW { > t N c} P Dla N c system zachowuje się jak kolejka M/M/1 z itesywością obsługi c, stąd: Q PW { > t N c}~ Expc ( λ) PW { > t} P e P e Q ( c λ) t c(1 ρ) t Q

79 M/M/c: rozkład czasu przejścia B czas obsługi (zmiea losowa) x PT { > t} PW { + B> t} PW { + x> t} e dx t x 0 x x PW { > t x} e dx+ e dx x 0 x t t c(1 ρ )( t x) x t Pe Q e dx+ e x 0 P ( (1 ρ ) e e ) + e 1 c(1 ρ) Q c t t t

80 DYSKRETNE ŁAŃCUCHY MARKOWA

81 Dyskrete łańcuchy Markowa Proces stochastyczy z czasem dyskretym {X : 0,1,2, } Przyjmuje wartości ze zbioru {0,1,2, } Własość bezpamięciowości (Markowa): PX { + 1 j X ix, 1 i 1,..., X0 i0} PX { + 1 j X i} p P{ X j X i} ij + 1 Prawdopodobieństwa przejść między staami p ij p ij 0, p 1 j 0 Prawdopodobieństwa przejść moża zapisać w postaci macierzy P[p ij ] ij

82 Rówaia Chapmaa-Kołmogorowa Prawdopodobieństwa przejść w krokach p P{ X j X i},, m 0, i, j 0 ij + m m Rówaia Chapmaa-Kołmogorowa + m m ij ik kj k 0 p p p,, m 0, i, j 0 p ij jest elemetem (i, j) w macierzy P Umożliwiają rekursywe obliczeia prawdopodobieństwa staów

83 Rozkład stacjoary prawdopodobieństwa staów Prawdopodobieństwa staów (zależe od czasu) π PX { j}, π (π,π,...) j j i ij i 0 i 0 PX { j} PX { ipx } { j X i} π π p W zapisie macierzowym: π π P π P... π P Jeśli istieje rozkład graiczy, to: π lim π jest rozkładem stacjoarym prawdopodobieństwa staów, dla którego π πp Istieie rozkładu stacjoarego zależy od struktury łańcucha Markowa

84 Klasyfikacja staów Nieredukowalość: Nieokresowość: Stay i, j komuikują się: W łańcuchu ieredukowalym wszystkie stay się komuikują Sta i jest okresowy: m m, : p > 0, p > 0 d > 1: p > 0 αd ij ji ii W łańcuchu ieokresowym żade sta ie jest okresowy

85 Twierdzeia graicze Twierdzeie 1. W ieredukowalym, ieokresowym łańcuchu Markowa: Dla każdego stau j istieje graica π lim PX { j X i}, i 0,1,2,... j iezależie od stau początkowego i 0 N j (k): liczba odwiedzi stau j do chwili k N j( k) P π j lim X0 i 1 k k π j : częstotliwość z jaką proces odwiedza sta j

86 Rozkład stacjoary Twierdzeie 2. W ieredukowalym i ieokresowym łańcuchu Markowa: π j 0, dla wszystkich staów j ie istieje rozkład stacjoary lub π j > 0, dla wszystkich staów j istieje jedozaczie określoy rozkład stacjoary π lim PX { j X i} lim p j 0 ij

87 Rówaia rówowagi p określa częstotliwość przejść z j do i π j ji Frequecy of Frequecy of trasitios out of j trasitios ito j π π p oraz p 1 j i ij ji i 0 i 0 π p π p π p π p j ji i ij j ji i ij i 0 i 0 i j i j

88 Obliczaie rozkładu stacjoarego Rozwiązać układ rówań liiowych m π π p, j 0,1,..., m π 1 j i ij i i 0 i 0 Obliczyć umeryczie z P, która dąży do macierzy, gdzie wszystkie wiersze są rówe π 0 1 p 2 1 p p m P 0 1 p p 1 p p 0 π 0 (1 p)π2 π πp π (1 p)π + pπ 1 p 1 1 π, π, π π 1 p 3 3 p 3 p π2 π0 π i i + 1 p π0 + π1+ π2 1 p

89 Włożoy łańcuch Markowa Proces dyskrety wbudoway w proces ciągły w czasie przykład: wiązka Erlaga M/M/c/c c t chwile adejścia zgłoszeń wyzaczają proces dyskrety zaurzoy w procesie ciągłym p j () Prob{ Xj w chwili przyjścia -tego zgłoszeia} p c () Prob{ -te zgłoszeie będzie odrzucoe } pc ( ) pc B

90 SYSTEM M/G/1

91 Prawdopodobieństwa stacjoare Prawdopodobieństwa stacjoare + d lim P{ X( t ) wyjsciew t} t a lim P{ X( t ) przyjscie w t} t p lim P{ X( t) } t Przy słabych założeiach: N(t) ma przyrosty jedostkowe graicea i d istieją a d Z własości PASTA wyika, że 0,1, a p 0,1, Zatem: a p d 0,1,

92 System M/G/1 Notacja W i czas oczekiwaia i-tego zgłoszeia X i czas obsługi i-tego zgłoszeia R i resztowy czas obsługi zgłoszeia obsługiwaego w chwili adejścia zgłoszeia i Q i sta kolejki w chwili adejścia i-tego zgłoszeia Dowoly rozkład czasu obsługi f X (t) gęstość rozkłądu E[X] m 1 pierwszy momet (średi czas obsługi) E[X 2 ]m 2 drugi momet

93 Wzór Pollaczka-Chińczya Czas oczekiwaia i-tego klieta a obsługę Przy i Z własości PASTA wyika, że średie widziae w chwilach przyjść klietów są takie same, jak średie w dowolych chwilach czasu Ze wzoru Little a i W R X X L X R X i i 1 2 Qi i j 1 j EW Q [ ] [ ] i i ER i + E X [ ] [ ] [ ] 1 j ER j i + EXEQ i EW [ ] ER [ ] + E[ X] EQ [ ] E[ Q] λe[ W] EW [ ] ER [ ] +λe[ X] EW [ ] R+ρEW [ ] ER [ ] EW [ ] 1 ρ Q

94 Średi resztowy czas obsługi Rt () X 1 X 2 X 1 X Dt () Średi resztowy czas obsługi: Załóżmy R(0)R(t)0 Jeśli proces jest ergodyczy: 1 t ER [ ] lim ER [ i ] lim Rsds ( ) i t t 0 t 1 lim t ( ) t 0 Dt () Dt () t 1 X i 1 Dt ( ) X i 1 i Rsds () t 0 t i t D( t) t Dt () 2 X i 1 i 1 t 1 Dt ( ) lim Rsds ( ) lim lim t t 0 2 t t t D( t) R s ds

95 Średi resztowy czas obsługi W staie stacjoarym Z prawa wielkich liczb Średi resztowy czas obsługi Dt () lim λ t t Dt () 2 2 X 1 i X i i 1 i 2 lim lim EX [ ] t Dt () 1 2 ER [ ] λex [ ] 2 Wzór Pollaczka-Chińczya (średi czas oczekiwaia a obsługę) ER EW [ ] 1 ρ 2(1 ρ) 2 [ ] λex [ ]

96 P-K Formula Średi czas przejścia przez system 2 1 [ ] λex ET [ ] E[ X] + EW [ ] + 2(1 ρ) Średia liczba klietów w kolejce 2 2 E[ X ] EQ [ ] λ EW [ ] λ 2(1 ρ) Średia liczba klietów w systemie EN [ ] λ ET [ ] ρ+ 2 2 λ E[ X ] 2(1 ρ) Wartości średie E[W], E[T], E[Q], E[N] zależą tylko od dwóch pierwszych mometów rozkładu czasu obsługi

97 M/G/1 - przykłady M/D/1 EX [ ], EX [ ] λex [ ] ρ λ EX [ ] ρ EW [ ], EQ [ ] 2(1 ρ) 2 (1 ρ) 2(1 ρ) 2(1 ρ) EX ET [ ] + +, EN [ ] λ ET [ ] 2(1 ρ) 2 (1 ρ) 2 (1 ρ) 2(1 ρ) 2 1 λ [ ] 1 ρ 2 ρ ρ(2 ρ) M/M/1 EX [ ], EX [ ] λex [ ] ρ λ EX [ ] ρ EW [ ], EQ [ ] 2(1 ρ) (1 ρ) 2(1 ρ) (1 ρ) 2 1 λex [ ] 1 ρ 1 λ ET [ ] + +, EN [ ] λ ET [ ] 2(1 ρ) (1 ρ) λ λ