WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

Transkrypt

1 Matematyka fiasowa r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

2 Matematyka fiasowa r.. Kredyt hipoteczy o wartości będzie spłacay przez 30 lat ratami płatymi a końcu każdego roku, w astępujący sposób: przez pierwsze 0 lat kredyt spłacay jest rówymi ratami o wartości R, w drugim dziesięcioleciu raty tworzą ciąg malejący R, R-000, R-000,..., R-9000, w trzecim dziesięcioleciu kredyt zowu spłacay jest ratami o stałej wartości, oprocetowaie kredytu w pierwszym dziesięcioleciu wyosi 9%, w drugim 8%, a w trzecim 7%. Wiedząc, że wartość kapitału spłacoego w 7 i 7 racie wyosi w sumie oblicz sumaryczą kwotę odsetek zapłacoych w drugim dziesięcioleciu. odaj ajbliższą wartość. A 4 60 B C D E 4 960

3 Matematyka fiasowa r.. Kredyt zostaie wypłacoy kredytobiorcy w 0 traszach płatych a początku każdego roku, w odstępach roczych. Wysokość pierwszej traszy wyiesie , a każda koleja trasza będzie większa od poprzediej o stałą wartość D. Każda trasza kredytu spłacaa jest w postaci 5-letiej rety o jedakowych płatościach a końcu kolejych lat, przy czym pierwsza rata spłaty zostaje wpłacoa rok po otrzymaiu daej traszy kredytu. Wiadomo, że stosuek sumy odsetek zapłacoych przez kredytobiorcę a końcu 8 roku licząc od mometu otrzymaia pierwszej traszy kredytu do sumy spłat kapitału zapłacoych w tym termiie wyosi Wyzacz wartość D, przy założeiu, że stopa procetowa jest rówa 8%. odaj ajbliższą wartość. A B C D E

4 Matematyka fiasowa r. 3. Reta wieczysta wypłaca a końcu roku kwotę, gdzie =,, 3, Oblicz obecą wartość tej rety, przy założeiu, że czyik dyskotujący jest rówy odaj ajbliższą wartość. A B C D E

5 Matematyka fiasowa r Kredyt spłacay jest za pomocą 3 rat płatych a końcu każdego roku. Raty płacoe w pierwszych latach tworzą ciąg arytmetyczy rosący o wyrazie pierwszym i różicy Q, atomiast raty płacoe w ostatich latach tworzą ciąg arytmetyczy malejący o wyrazie pierwszym i różicy. Oblicz ile wyosi różica pomiędzy wysokością odsetek zapłacoych w + racie, a wysokością odsetek zapłacoych w + racie. Wskaż właściwy wzór. A Q Q Q a a Q B Q Q a a Q C Q Q a a Q D Q Q a a E Q Q a a

6 Matematyka fiasowa r. 5. rzyjmując założeia ryku fiasowego zgode z modelem Blacka-cholesa wiadomo, że: i. itesywość roczej stopy wolej od ryzyka jest stała i wyosi 0.04 kapitalizacja ciągła; ii. dae jest ozaczające proces cey akcji zależy od czasu,. Akcja płaci stopę dywidedy, kwota dywidedy wyosi w okresie czasu między a ; iii. proces cey akcji jest log-ormaly postaci [ ] przy mierze eutralej względem ryzyka; i. proces cey akcji jest log-ormaly postaci [ ] przy realej mierze ryzyka;. ozacza zmieość cey akcji; { } jest procesem Wieera oraz jest obarczoą ryzykiem stopą zwrotu z akcji; i. przy mierze eutralej względem ryzyka wyrażeie [ ] ma rozkład ormaly ze średią 0.06; ii. przy realej mierze ryzyka wyrażeie [ ] ma rozkład ormaly ze średią 0.; iii. w momecie cea europejskiej opcji sprzedaży wystawioej a akcję wyosi 0; ix. w momecie przy osłoie delta-hedgig polegającej a zajęciu odpowiediej pozycji w akcjach jedej opcji sprzedaży wystawioej a akcję koszt pozycji w akcjach wyosi 0; x. istrumety fiasowe, których cey są determiowae przez te sam czyik iepewości mają jedakowe wskaźiki harpe a tj. stosuki adwyżki oczekiwaej stopy zwrotu poad stopę wolą od ryzyka do odchyleia stadardowego stopy zwrotu. Wyzacz oczekiwaą a chwilę stopę zwrotu z opcji sprzedaży wystawioej a akcję, podaj ajbliższą wartość: A B C D E Wskazówka: rocesem stadardowym Wieera azywamy proces { } z czasem ciągłym spełiający waruki: przyrosty procesu są iezależe, czyli dla dowolego i dowolego ciągu, zmiee losowe,, są iezależe; 3 dla dowolych przyrost ma rozkład gaussowski, a dokładiej: [ ] ; 4 proces jest ciągły, tz. prawie wszystkie trajektorie procesu są fukcjami ciągłymi. 6

7 Matematyka fiasowa r. 6. W chwili a ryku dostępa jest akcja o obecej ceie oraz trzy-miesięcza europejska opcja kupa wystawioa a akcję o ceie wykoaia Wiadomo, że parametr zmieości olatility akcji wyosi oraz parametr delta opcji kupa wyosi. Wiedząc, że rocza itesywość oprocetowaia stopy wolej od ryzyka jest stała i wyosi kapitalizacja ciągła oraz parametr dla opcji kupa wskaż, które z poiższych wyrażeń opisuje a momet ceę opcji kupa wystawioą a akcję zgodie z modelem wycey opcji Blacka-cholesa: A B C D E ża z powyższych Wskazówka:, gdzie - cea akcji w chwili t ; -cea wykoaia; - zmieość cey akcji; -stopa wola od ryzyka; - momet wykoaia opcji. 7

8 Matematyka fiasowa r. 7. Bak X emituje obligację o omiale, okresie do wygaśięcia 4 lata i kupoie płatym a koiec roku. Na koiec każdego roku łączie z mometem zapadalości odbywa się ocea wypłacalości dająca jede z dwóch możliwych wyików: zachowaie lub utrata wypłacalości. Jeśli zostaie stwierdzoa utrata wypłacalości kupo ależy za day rok zostaie pomiejszoy o 30%, astąpi w tym momecie wypłata omiału obligacji i wygaśięcie obligacji. W oparciu o ratig kredytowy baku X określoe zostały prawdopodobieństwa iewypłacalości w każdym roku trwaia obligacji. rawdopodobieństwo utraty wypłacalości a koiec pierwszego roku wyosi 0%, w kolejych latach wypłacalość determiują astępujące prawdopodobieństwa warukowe: gdzie ozacza prawdopodobieństwo utraty wypłacalości a koiec roku i pod warukiem, że a koiec roku i- stwierdzoo utrzymaie wypłacalości. Obeca wartość godziwa obligacji przy stałej roczej stopie procetowej kapitalizacja dyskreta wyosi odaj ajbliższą wartość prawdopodobieństwa A B C D E 8

9 Matematyka fiasowa r. 8. Rozważmy astępujący model wycey obligacji, w którym: dostępe są 4 obligacje zerokupoowe o omiale, które wygasają w chwilach,, 3 i 4, odpowiedio; cey tych obligacji w chwili wyoszą odpowiedio:,,, gdzie ozacza ceę w chwili obligacji wygasającej w momecie. Wiadomo, że w chwili wystąpi jede z 3 możliwych staów ryku: Cey obligacji w chwili, w każdym ze staów dae są w tabeli gdzie ozacza ceę w chwili obligacji wygasającej w momecie : x Żade trasakcje ie są możliwe pomiędzy chwilami woly od arbitrażu wyosi podać ajbliższą wartość: i. Wartość, przy której model te jest A B C D E 9

10 Matematyka fiasowa r. 9. Duratio rety wyosi, a rety wyosi. tała stopa procetowa w ujęciu roczym wyosi. rzy tych założeiach duratio rety wyosi podać ajbliższą odpowiedź: A B C D E 0

11 Matematyka fiasowa r. 0. Rozważmy ieskończoy ciąg ret ieskończoych. Reta wieczysta startująca w roku płaci a koiec każdego roku. Rocza stopa dyskotowa Niech ozacza wartość obecą wypłat rety wyzaczoą a początek roku. uma wartości obecych wypłat ze wszystkich ret, czyli, wyosi podać ajbliższą odpowiedź: A 5 B C D E

12 Matematyka fiasowa r. Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Matematyka fiasowa Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko:... esel:... OZNACZENIE WERJI EU... Zadaie r Odpowiedź uktacja D E 3 C 4 C 5 E 6 A 7 A 8 D 9 C 0 B * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja.