Modelowanie komputerowe

Transkrypt

1 Modelowanie komputerowe wykład 5- Klasyczne systemy kolejkowe i ich analiza dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 16,23listopada2015r.

2 Analiza ogólna klasycznych systemów obsługi Klasyfikację systemów obsługi prowadzimy zwykle według następujących cech: Typ wejściowego strumienia zgłoszeń. Najczęściej w analizowanych modelach systemów obsługi strumień wejściowy określa się przez określenie rozkładu odstępów czasu między sąsiednimi chwilami przybycia zgłoszeń(czyli określenie dystrybuanty A(t) odstępu między sąsiednimi chwilami przybycia zgłoszeń). Rozkład łączny czasu obsługi zgłoszeń. W przeważającej części analizowanych modeli systemów obsługi wystarczy określić dystrybuantę B(t) czasu obsługi.

3 Analiza ogólna klasycznych systemów obsługi Liczba urządzeń obsługi(serwerów). W teorii obsługi masowej najczęściej analizowane są systemy mające jednakowe urządzenia obsługi, które mogą pracować jednocześnie (to znaczy jednocześnie możliwe jest obsługiwanie n zgłoszeń, jeśli system składa się z n urządzeń). Dyscyplina obsługi. W teorii obsługi masowej analizowane są najczęściej następujące dyscypliny:fifo(firstin firstout),lifo(lastin firstout),ps (processor sharing).

4 SYMBOLIKA KENDALLA Dla krótkiego oznaczenia dostatecznie prostych systemów obsługi używa się symboliki Kendalla: A/B/n/m. Litera A oznacza typ strumienia wejściowego. Na przykład jeżeli A = M(Markov), strumień wejściowy jest najprostszy. Litera B oznacza typ rozkładu czasu obsługi(uważanej za rekurencyjną) przez urządzenia(uważane za identyczne). I tak analogicznie B = M oznacza rozkład wykładniczy czasu obsługi. Litera n oznaczaliczbęidentycznychurządzeńobsługi(serwerów):1 n. Litera m oznacza liczbę miejsc oczekiwania w kolejce zgłoszeń: 0 m.wprzypadku,gdym=0,systemytakienazywamy systemami z utratą zgłoszeń. Jeżeli m =, to odpowiadające systemy nazywamy systemami z oczekiwaniem, jeżeli dodatkowo wszystkie oczekujące zgłoszenia zostaną całkowicie obsłużone, to odpowiadające systemynazywamysystemamibezutratzgłoszeń.jeżeli0<m<, to system nazywamy systemem z ograniczoną liczbą miejsc oczekiwania. W przypadku, gdy n = 1, system nazywamy jednoliniowym, natomiast, gdy n > 1, to system nazywamy wieloliniowym.

5 KLASYCZNY SCHEMAT SYSTEMU KOLEJKOWEGO

6 TRYB STACJONARNY DZIAŁANIA SYSTEMÓW OBSŁUGI Rozpatrzmy dostatecznie ogólny system obsługi typu G/G/n/m, gdzie1 n,0 m.rozpatrzmystrumieńwejściowyo intensywności λ. Intensywność strumienia stacjonarnego wyraża wartość średnią liczby zgłoszeń przybyłych do systemu w ciągu jednostki czasu. Załóżmy dodatkowo, że intensywność jest skończona oraz załóżmy istnienie pierwszego momentu(wartości oczekiwanej)czasuobsługiβ 1.Oznaczmyprzezη(t)liczbę zgłoszeń znajdujących się w systemie w chwili t. Proces losowy η(t) jest podstawowym procesem badanym w teorii obsługi masowej. Powstaje naturalne pytanie, jak zachowuje się ten proces przy t. Jest oczywiste, że w analizowanych warunkach jego przebiegzależyodwielkościn,m,λ,β 1.

7 TRYB STACJONARNY DZIAŁANIA SYSTEMÓW OBSŁUGI Jeżelin =,tonależysięspodziewać,żeprocesη(t)przy dowolnych warunkach początkowych wraz ze wzrostem czasu będzie dążył do pewnego procesu stacjonarnego η(to znaczy do procesu niezależnego od czasu, czyli faktycznie do zmiennej losowej)tzn.η(t) ηprzyt wsensiezbieżnościwedług rozkładu.wprzypadku,gdy1 n<,0 m<,część przybywających zgłoszeń będzie utracona. Część utraconych przy ustalonych n oraz m zgłoszeń będzie tym większa, im większe będą wartości intensywności strumienia wejściowego oraz pierwszego momentu czasu obsługi. W tym przypadku proces η(t) również wraz ze wzrostem czasu będzie dążył do pewnego procesu stacjonarnego. Najciekawszy jest przypadek, gdy 1 n<,m =.Wtymprzypadkuwarunkistacjonarne działania systemu obsługi będą istniały w pewnych ściśle określonych warunkach.

8 TRYB STACJONARNY DZIAŁANIA SYSTEMÓW OBSŁUGI Jestoczywiste,żewtymprzypadkuzuwaginafakt,żekolejka zgłoszeń oczekujących na obsługę jest nieograniczona, liczba zgłoszeń obecnych w systemie może wraz ze wzrostem czasu dążyć do nieskończoności. Można udowodnić, że warunki stacjonarne dla takiegosystemuistnieją,gdy λβ 1 n < 1. Inaczej mówiąc, warunki stacjonarne dla tego systemu będą spełnione, gdy średnia liczba zgłoszeń przybywających do systemu w ciągu jednostki czasu nie przekracza maksymalnej prędkości obsługi zgłoszeń tzn. średniej liczby zgłoszeń obsłużonych przez n niezależnych urządzeń obsługi wciągujednostkiczasu.wielkośćρ = λβ 1 n w takim przypadku nazywa się ładowaniem systemowym.

9 MARKOWOWSKIE SYSTEMY KOLEJKOWE M/M/n/m Systemy M/M/n/m są prostymi systemami kolejkowymi, dla którychprawdopodobieństwakońcowe(p k =lim t P k (t)) wyznaczamy w oparciu o prostą metodę równań równowagi. W kolejnych rozważaniach przyjmiemy następujące oznaczenia: a jest parametrem(intensywnością) wejściowego najprostszego strumienia zgłoszeń; µ jest parametrem rozkładu wykładniczego czasu obsługi zgłoszenia;ρ = a nµ jestładowaniemsystemowym(wprzypadku n< )-równieżwprzypadkum<.dodatkowodlasystemów onieskończonejliczbieurządzeńwprowadzimyoznaczeniey = a µ. W kolejnych rozważaniach skupimy się na przedstawieniu grafów oraz wyprowadzeniu równań dla prawdopodobieństw stacjonarnych kilku szczególnych przypadków systemów M/M/n/m.

10 1. SYSTEM OBSŁUGI M/M/n/m,1 n<,0 m<. Dla systemów tego typu zbiór stanów jest skończony. Jeżeli tylko ρ = a nµ <,towówczasistniejąwarunkistacjonarnedziałania tych systemów i możemy w oparciu o metodę przekrojów wypisać równaniarównowagiiznaleźćprawdopodobieństwastacjonarnep k. Aby to zrobić narysujmy graf przejść dla tego systemu.

11 1. SYSTEM OBSŁUGI M/M/n/m,1 n<,0 m<. Korzystając natomiast z metody przekrojów otrzymujemy następujące równania równowagi: { apk 1 =kµp k,gdy1 k n; ap k 1 =nµp k,gdyn k n+m. Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy następujące wyrażenia pozwalające obliczyć prawdopodobieństwa stacjonarne obecności k zgłoszeń w systemie: { (nρ) k p k = k! p 0,gdy0 k n; n n ρ n!p k 0,gdyn<k n+m, gdzie na mocy warunku normalizacyjnego mamy: p 0 = [ n (nρ) k k=0 k! + nn ρ n+1 (1 ρ m ) ] 1. n!(1 ρ)

12 2.SYSTEMOBSŁUGIM/M/n/,1 n<. Dla tego systemu graf będzie bardzo podobny do grafu z poprzedniego systemu z tym, że tutaj zbiór stanów jest nieskończony. W tym przypadku proces η(t) jest więc tzw. procesem narodzin i śmierci. Warunki stacjonarne istnieją, gdy ρ < 1. Równania równowagi uzyskujemy również w sposób analogiczny: { apk 1 =kµp k,gdy1 k n; ap k 1 =nµp k,gdyk n+1. Rozwiązanie tego układu jest analogiczne do poprzedniego wzoru: gdzie: p k = { (nρ) k k! p 0,gdy0 k n; n n ρ k n!p 0,gdyk n+1, n (nρ) k p 0 = [ k! k=0 + nn ρ n+1 n!(1 ρ) ] 1.

13 2.SYSTEMOBSŁUGIM/M/n/,1 n<. Wprzypadkun =1(systemM/M/1/ )wzórtenupraszczasię do następującego wzoru: p k = (1 ρ)ρ k,k =0,1,... Ze wzoru tego wynika, że dla systemu M/M/1/ stacjonarny rozkład liczby zgłoszeń jest rozkładem geometrycznym z parametrem ρ.

14 3. SYSTEM OBSŁUGI M/M/. W systemie tym jest nieskończona liczba urządzeń obsługi, zatem wszystkie przybywające zgłoszenia są obsługiwane od razu po przybyciu(nie oczekują w kolejkach). Graf takiego systemu jest przedstawiony na poniższym rysunku.

15 3. SYSTEM OBSŁUGI M/M/. Równania równowagi dla tego systemu mają postać: ap k 1 =kµp k,k =1,2,... Uwzględniając warunki normalizacyjne i korzystając z rozwinięcia w szereg potęgowy funkcji wykładniczej otrzymujemy ostatecznie wzór na prawdopodobieństwa obecności k zgłoszeń w systemie w warunkach stacjonarnych: p k = yk k! e y,k =0,1,..., gdziey = a µ. Widzimy więc, że stacjonarny rozkład liczby zgłoszeń w systemie M/M/ jest rozkładem Poissona z parametrem y.