Podstawy Informatyki Elementy teorii masowej obsługi

Transkrypt

1 Podstawy Informatyki

2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla 2 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n (t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 3

3 Teoria masowej obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Bada zjawiska, w których występują problemy związane z masową obsługą zgłoszeń: klientów idących do kasy w sklepie, samochodów czekających na skrzyżowaniu, listów czekających na dostarczenie, procesów obecnych w pamięci operacyjnej komputera, żądań skierowanych do serwera itp. Ma na celu dostarczenie precyzyjnych metod opisu i analizy systemów świadczących usługi. Pomaga wyznaczać optymalne decyzje dotyczące: liczby aparatów obsługi, intensywności obsługi, czasu obsługi itp.

4 Agner Krarup Erlang ( ) Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Duński matematyk. Pionier w dziedzinie teorii ruchu telekomunikacyjnego i teorii masowej obsługi. W 1909r. udowodnił, że losowe żądania obsługi mają rozkład Poissona. W 1917r. przedstawił tzw. modele Erlanga pozwalające oszacować prawdopodobieństwo blokady połączenia w centralach telefonicznych. Od jego nazwiska pochodzi nazwa jednostki natężenia ruchu telekomunikacyjnego oraz nazwa języka programowania.

5 Przykład systemu masowej obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla

6 Przykład systemu masowej obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Najprostszy system obsługi obejmuje: źródło zgłoszeń, kolejkę, stanowisko obsługi zgłoszeń. Czasy przybycia zgłoszeń oraz czasy ich obsługi są zmiennymi losowymi.

7 Źródło Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Źródło charakteryzowane jest poprzez wymiar nieskończony, gdy nowe zgłoszenia mogą w nieograniczonej liczbie przybywać do systemu, skończony, gdy źródło generuje ściśle określoną liczbę zadań (źródło takie po wyemitowaniu n zgłoszeń staje się puste),

8 Źródło Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Źródło charakteryzowane jest poprzez wymiar nieskończony, gdy nowe zgłoszenia mogą w nieograniczonej liczbie przybywać do systemu, skończony, gdy źródło generuje ściśle określoną liczbę zadań (źródło takie po wyemitowaniu n zgłoszeń staje się puste), odstępy czasu pomiędzy poszczególnymi zgłoszeniami opisywane są one za pomocą zmiennej losowej U o dystrubuancie A(x) = P(U x) u średnia wartość odstępów czasu pomiędzy zgłoszeniami, E(u), 1 średnia liczba przychodzących zgłoszeń w jednostce czasu u (intensywność strumienia zgłoszeń).

9 Kolejka Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Kolejka charakteryzowana jest poprzez maksymalną długość nieograniczoną, ograniczoną, regulamin, m.in. naturalny, czyli FIFO (First In First Out), priorytetowy, czyli pierwszeństwa mają zgłoszenia uprzywilejowane, losowy, czyli SIRO (Selection In Random Order).

10 Stanowisko obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Stanowisko obsługi charakteryzowane jest poprzez czas obsługi zgłoszenia opisywany za pomocą zmiennej losowej V o dystrubuancie B(x) = P(V x) v średni czas obsługi pojedynczego zgłoszenia, E(v), 1 średnia liczba obsłużonych zgłoszeń w jednostce czasu. v

11 Stanowisko obsługi Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Stanowisko obsługi charakteryzowane jest poprzez czas obsługi zgłoszenia opisywany za pomocą zmiennej losowej V o dystrubuancie B(x) = P(V x) v średni czas obsługi pojedynczego zgłoszenia, E(v), 1 średnia liczba obsłużonych zgłoszeń w jednostce czasu. v Intensywność ruchu (stała Erlanga) iloraz średniej liczby zgłoszeń jaka napływa do systemu w jednostce czasu do średniej liczby zgłoszeń jaka może być obsłużona w jednostce czasu. ρ = 1/E(u) 1/E(v)

12 Notacja Kendalla Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Charakterystykę systemu obsługi ujmuje notacja Kendalla: A/B/c/K/h/Z gdzie poszczególne symbole oznaczają: A typ rozkładu odstępów czasu między zgłoszeniami, B typ rozkładu czasów obsługi, c liczba równoległych stanowisk obsługi, K największa dopuszczalna liczba zgłoszeń w systemie, h wymiar źródła zgłoszeń, Z regulamin kolejki.

13 Notacja Kendalla Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Charakterystykę systemu obsługi ujmuje notacja Kendalla: A/B/c/K/h/Z gdzie poszczególne symbole oznaczają: A typ rozkładu odstępów czasu między zgłoszeniami, B typ rozkładu czasów obsługi, c liczba równoległych stanowisk obsługi, K największa dopuszczalna liczba zgłoszeń w systemie, h wymiar źródła zgłoszeń, Z regulamin kolejki. Symbole K, h, Z pomija się, jeżeli brak ograniczeń długości kolejki, źródło zgłoszeń ma nieskończony wymiar, a regulamin kolejki jest naturalny (FIFO).

14 Typy rozkładów Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla Rozkłady zmiennych losowych oznacza się następującymi symbolami: D napływ deterministyczny (zmienna losowa o rozkładzie jednopunktowym), M rozkład wykładniczy P(X x) = 1 exp( λx), Ek rozkład Erlanga, gdzie k jest parametrem, G rozkład ogólny, zdefiniowany przez użytkownika.

15 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Zapis M/M/1 oznacza system, gdzie odstępy czasu między zgłoszeniami mają rozkład wykładniczy z parametrem λ, zgłoszenia obsługiwane w czasie o rozkładzie wykładniczym z parametrem µ w pojedynczym stanowisku obsługi, regulamin kolejki jest naturalny a jej długość jest nieograniczona.

16 Strumień zgłoszeń Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Gdy odstępy czasu między zgłoszeniami mają rozkład wykładniczy z parametrem λ, to zgłoszenia napływają strumieniem Poissona, czyli liczba zgłoszeń w jednostce czasu ma rozkład Poissona z parametrem λ. Prawdopodobieństwo, że liczba zgłoszeń (n) pojawiająca się w systemie w jednostce czasu o długości T wynosi k: P(n = k) = (λt )k exp( λt ) k! dla k = 0, 1, 2,... Średnia liczba zgłoszeń pojawiająca się w systemie w jednostce czasu o długości T wynosi λt.

17 - podstawowe równania Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Dystrybuanta czasu odstępów między zgłoszeniami A(x) = P(U x) = 1 exp( λx) dla x 0 zatem E(u) = 1/λ, a średnia liczba przychodzących zgłoszeń w jednostce czasu wynosi λ. Dystrybuanta czasu obsługi zgłoszeń B(x) = P(V x) = 1 exp( µx) dla x 0 zatem E(v) = 1/µ, a średnia liczba obsłużonych zgłoszeń w jednostce czasu wynosi µ. Intensywność ruchu, czyli wykorzystanie (obciążenie) stanowiska ρ = 1/E(u) 1/E(v) = λ µ Aby system mógł pracować poprawnie, tzn. kolejka nie urosła do nieskończoności, intensywność musi być mniejsza od 1.

18 Wprowadzenie Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Podstawowy problem: wyznaczenie P n (t) - prawdopodobieństwo zajętości systemu przez określoną liczbę zgłoszeń n w określonej chwili t. Założenia: prawdopodobieństwo pojawienia się zgłoszenia w czasie dt: λdt, prawdopodobieństwo obsługi zgłoszenia w czasie dt: µdt.

19 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

20 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

21 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

22 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

23 Analiza P 0 (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P 0 (t + dt) = P 0 (t)(1 λdt) + P 1 (t)(1 λdt)µdt P 0 (t + dt) P 0 (t) dt = P 1 (t)(1 λdt)µ P 0 (t)λ gdy dt 0 dp 0 (t) dt = P 1 (t)µ P 0 (t)λ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 1 µ P 0 λ = 0, czyli P 1 = λ µ P 0 = ρp 0.

24 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

25 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

26 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

27 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

28 Analiza P n (t + dt) Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 P n (t+dt) = P n (t)(1 λdt)(1 µdt)+p n 1 (t)λdt(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µdt P n (t + dt) P n (t) dt = P n (t)( λ µ+λµdt)+p n 1 (t)λ(1 µdt)+p n+1 (t)(1 λdt)µ gdy dt 0 dp n (t) dt = P n (t)( λ µ) + P n 1 (t)λ + P n+1 (t)µ Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P n ( λ µ) + P n 1 λ + P n+1 µ = 0, czyli P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ.

29 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

30 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

31 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

32 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n P n+1 µ P n λ = P n µ P n 1 λ =... = P 1 µ P 0 λ = 0 czyli P n = ρp n 1 = ρ n P 0. Wiedząc, że P n = 1, n=0 oraz ρ < 1 otrzymuje się Zatem n=0 P 0 ρ n = P ρ = 1 P 0 = 1 ρ.

33 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n Prawdopodobieństwo zajętości systemu przez określoną liczbę zgłoszeń n P n = ρ n (1 ρ).

34 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wyznaczenie P n Prawdopodobieństwo zajętości systemu przez określoną liczbę zgłoszeń n P n = ρ n (1 ρ). W szczególności prawdopodobieństwo, że system jest pusty: P 0 = 1 ρ, prawdopodobieństwo stanu, w którym system jest zajęty (system pracuje): P n>0 = ρ.

35 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Średnia liczba zgłoszeń w systemie: E(n) = np n = nρ n (1 ρ) = n=0 n=0 Średnia liczba zgłoszeń w kolejce: ρ 1 ρ. E(k) = (n 1)P n = (n 1)ρ n (1 ρ) = ρ2 1 ρ. n=0 n=0 Średnia liczba zgłoszeń na stanowisku obsługi: E(s) = E(n) E(k) = ρ.

36 Twierdzenie Little a Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n(t) Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M/M/1 Twierdzenie Little a Średnia liczba zgłoszeń w systemie jest równa iloczynowi średniego czasu pobytu w systemie i średniej częstotliwości nadchodzenia zgłoszeń: E(n) = λe(τ). Wnioski: średni czas pobytu zgłoszenia w systemie: E(τ) = 1 λ E(n) = 1 ρ λ 1 ρ = 1 µ(1 ρ), średni czas pobytu zgłoszenia w kolejce (oczekiwania na obsługę): ρ 2 E(ω) = 1 λ E(k) = 1 λ 1 ρ = ρ µ(1 ρ).

37 Problem przepływu Wiedząc, że do systemu nadchodzą zgłoszenia o wykładniczym rozkładzie czasu między zgłoszeniami A(x), system realizuje te zgłoszenia w czasie o rozkładzie wykładniczym B(x), wyznaczyć rozkład czasu odstępów między zgłoszeniami wychodzącymi z systemu.

38 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

39 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

40 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

41 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

42 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

43 Problem przepływu Wyznaczenie gęstości pojawiania się zgłoszeń na wyjściu: Zatem d(x) = ρµ exp( µx) + (1 ρ) d(x) = ρb(x) + (1 ρ)a(x) b(x) x d(x) = λ µ µ exp( µx) + µ λ µ λµ exp( µx) x [ d(x) = λ exp( µx) + (µ λ)λ exp( µx) 0 λ exp( λt)µ exp( µ(x t))dt 0 exp((µ λ)t)dt 1 µ λ exp((µ λ)t) ] x 0 d(x) = λ exp( µx) + λ exp( µx) [exp((µ λ)x) 1] d(x) = λ exp( λx)

44 Rozkład czasu odstępów między zgłoszeniami wychodzącymi z systemu: D(x) = A(x). Zatem system do którego nadchodzą zgłoszenia o wykładniczym rozkładzie czasu między zgłoszeniami A(x), który realizuje je w czasie o rozkładzie wykładniczym, który wysyła wyniki na zewnątrz, zachowuje się jak źródło o rozkładzie wykładniczym A(x).

45 - wnioski Z zasady ciągłości przepływu wynika, że sieci stanowisk typu M/M/1 można analizować biorąc pod uwagę następujące własności: strumień zgłoszeń opuszczających stanowisko obsługi typu M/M/1 jest strumieniem Poissona, rozgałęzienie strumienia Poissona na dwa (lub więcej) strumieni zgłoszeń zachowuje tę własność, łączenie strumieni Poissona zachowuje tę własność.

46 Otwarte sieci stanowisk typu M/M/1 Sieć nazywa się otwartą, gdy ma co najmniej jedno wejście i jedno wyprowadzenie na zewnątrz.

47 Analiza sieci stanowisk typu M/M/1 Zakładając, że liczba pojedynczych stanowisk typu M/M/1 wynosi N: gdzie i {1, 2,..., N} N N λ i = λ 0i + λ ji = λ 0i + p ji λ j j=1 j=1 λ i intensywność wejściowego strumienia zgłoszeń przychodzących do stanowiska i, λ 0i intensywność strumienia zgłoszeń spoza sieci przychodzących do stanowiska i, λ ji intensywność strumienia zgłoszeń przechodzących ze stanowiska j na stanowisko i, p ji prawdopodobieństwo przejścia ze stanowiska j na stanowisko i.

48 Analiza sieci stanowisk typu M/M/1 Znając dla każdego i {1, 2,..., N} λ i średnią liczbę zgłoszeń napływajacych do i-tego stanowiska w jednostce czasu, µ i średnią liczbę zgłoszeń obsługiwanych na i-tym stanowisku, można określić stopień obciążenia wszystkich stanowisk. System działa stabilnie, gdy obciążenie każdego ze stanowisk jest mniejsze od 1: ρ i < 1 i {1, 2,..., N}.

49 Przykład Dla jakich wartości µ 1 oraz µ 2 system działa stabilnie, gdy: λ 01 = 10, λ 02 = 20, p 11 = 0, p 12 = 1/4, p 21 = 1/2, p 22 = 1/2.

50 Przykład { λ1 = λ 2 λ 2 = λ λ 2

51 Przykład { λ1 = λ 2 λ 2 = λ λ λ 2 = ( λ 2) 3 8 λ 2 = λ 2 = = 60

52 Przykład { λ1 = λ 2 λ 2 = λ λ λ 2 = ( λ 2) 3 8 λ 2 = λ 2 = = 60 { λ1 = 40 λ 2 = 60 { µ1 > 40 µ 2 > 60

53 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60.

54 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4.

55 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jaka jest średnia liczba zgłoszeń w takim układzie?

56 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jaka jest średnia liczba zgłoszeń w takim układzie? czyli E(n) = 4. E(n 1 ) = ρ 1 1 ρ 1 = 1 E(n 2 ) = ρ 2 1 ρ 2 = 3

57 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Ile wynosi średni czas przebywania zgłoszenia w takim układzie?

58 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Ile wynosi średni czas przebywania zgłoszenia w takim układzie? Na podstawie tw. Little a E(n) = λe(τ), czyli E(τ) = E(n) λ = E(n 1) + E(n 2 ) λ 01 + λ 02 = 4 30.

59 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia?

60 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? P 4 = 4 Pj 1 P4 j 2 dla Pn 1 = ρ n 1 (1 ρ 1) oraz Pn 2 = ρ n 2 (1 ρ 2) j=0

61 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? P 4 = 4 j=0 ρ j 1 (1 ρ 1)ρ 4 j 2 (1 ρ 2 ) = (1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) 4 j=0 ρ j 1 ρ4 j 2

62 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? P 4 = ( ) 1 j ( 3 4 j 2 4) j=0

63 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? ( ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 P 4 = )

64 Przykład c.d. Wiadomo, że λ 1 = 40 λ 2 = 60 i aby system działał stabilnie µ 1 > 40 µ 2 > 60. Niech µ 1 = µ 2 = 80. Wtedy ρ 1 = 1 2 i ρ 2 = 3 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w takiej sieci znajdują się dokładnie 4 zgłoszenia? ( ) P 4 = =

65 Zamknięte sieci stanowisk typu M/M/1 W sieciach zamkniętych brak jest wejściowego i wyjściowego strumienia zgłoszeń, jest zawsze stała liczba zgłoszeń. Podstawowy problem: wyznaczenie P n1 n 2...n K (t) prawdopodobieństwa zajętości j-tego stanowiska obsługi przez n j zgłoszeń w określonej chwili t, gdzie j {1, 2,..., K}. Założenia: w systemie jest K stanowisk obsługi, w systemie krąży N zgłoszeń, prawdopodobieństwo obsługi zgłoszenia przez j-te stanowisko w czasie dt: µ j dt.

66 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie.

67 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. P 20 (t + dt) = P 20 (t)(1 µ 1 dt) + P 11 (t)µ 2 dt(1 µ 1 dt)

68 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. P 20 (t + dt) = P 20 (t)(1 µ 1 dt) + P 11 (t)µ 2 dt(1 µ 1 dt) P 20 (t + dt) P 20 (t) dt = P 20 (t)µ 1 + P 11 (t)µ 2 (1 µ 1 dt)

69 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. P 20 (t + dt) = P 20 (t)(1 µ 1 dt) + P 11 (t)µ 2 dt(1 µ 1 dt) P 20 (t + dt) P 20 (t) dt = P 20 (t)µ 1 + P 11 (t)µ 2 (1 µ 1 dt) gdy dt 0 dp 20 (t) dt = P 20 (t)µ 1 + P 11 (t)µ 2

70 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 20 µ 1 + P 11 µ 2 = 0

71 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Niech w systemie krążą 2 zgłoszenia, zatem możliwe są stany: 1 (2,0) - oba zgłoszenia są przy SO1, 2 (0,2) oba zgłoszenia są przy SO2, 3 (1,1) każde ze stanowisk obsługuje jedno zgłoszenie. Ponieważ w ustalonym stanie stacjonarnym prawdopodobieństwa nie są już funkcją czasu: P 20 µ 1 + P 11 µ 2 = 0 Zatem P 20 µ 1 = P 11 µ 2

72 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Analizując pozostałe stany można otrzymać: P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 11 (µ 1 + µ 2 ) = P 20 µ 1 + P 02 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 Są to tzw. równania bilansu prawdopodobieństw.

73 Analiza zamkniętej sieci stanowisk typu M/M/1 Analizując pozostałe stany można otrzymać: P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 11 (µ 1 + µ 2 ) = P 20 µ 1 + P 02 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 Są to tzw. równania bilansu prawdopodobieństw. Niestety uzyskany układ równań jest zależny, dlatego trzeba jeszcze użyć warunku normującego: P 20 + P 11 + P 02 = 1

74 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Obliczyć: P 20, P 11, P 02

75 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Obliczyć: P 20, P 11, P 02 P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 20 = µ 2 µ 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1

76 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 Obliczyć: P 20, P 11, P P 11 + P P 11 = 1 P 20 = µ 2 µ 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1

77 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 11 ( ) Obliczyć: P 20, P 11, P 02 = P 11 ( P 20 = µ 2 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1 ) = 19 6 P 11 = 1

78 Przykład Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Obliczyć: P 20, P 11, P 02 P 20 µ 1 = P 11 µ 2 P 02 µ 2 = P 11 µ 1 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 20 = µ 2 µ 1 P 11 = 3 2 P 11 P 02 = µ 1 µ 2 P 11 = 2 3 P 11 P 20 + P 11 + P 02 = 1 P 11 = 6 19, a zatem P 20 = 9 19 oraz P 02 = 4 19

79 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = 4 19.

80 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie liczby zgłoszeń przy stanowiskach?

81 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie liczby zgłoszeń przy stanowiskach? E(n 1 ) = 0 P P P 20 = = E(n 2 ) = 0 P P P 02 = = 14 19

82 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie długości kolejek przed stanowiskami?

83 Przykład c.d. Dane: w systemie krążą 2 zgłoszenia, µ 1 = 2 oraz µ 2 = 3. Zatem P 20 = 9 19, P 11 = 6 19 oraz P 02 = Jakie są średnie długości kolejek przed stanowiskami? E(k 1 ) = 0 P P 20 = 9 19 E(k 2 ) = 0 P P 02 = 4 19