1 Warunkowe wartości oczekiwane

Transkrypt

1 Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą. Obliczyć ν Var(X 3 + X 4 X + X + X 3 9) Odp: C-> ν. Rozwiązanie. Przypomnijmy, że rozkład X 3 pod warunkiem X + X + X 3 9 ma postać Bernoulliego B(9, ). Warto zauważyć, że Var(X 3 +X 4 X +X +X 3 9) VarX 4 +Var(X 3 X +X +X 3 9) λ (Eg 49/7) Niech X, X, X,..., X n, n >, będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu Pareto o gęstości f(x) 3 (+x) 4 x>. Niech U min{x, X, X,..., X n }. Wtedy E(U X ) jest równa Odp: E-> 3n ( ). 3n Rozwiązanie. Obliczamy E(U X ) E min{, X, X,..., X n } P(min{X,..., X n } > ) + ( f(x)dx) n + ( + t) 3n dt ( t P(t < min{x,..., X n } )dt f(x)dx) n dt 3n + 3n ( 3n+ ). [( + t) 3n 3n ]dt 3. (Eg 5/) Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi każda z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej. Niech U X + Y i V X Y. Wtedy prawdopodobieństwo P(U (, 6) i V (, 6)) jest równe Odp: C-> ( 4e 3 + 3e 4 ). Rozwiązanie. Mamy do policzenia prawdopodobieństwo, że (U, V ) (, 6). Jest jasne, że (U, V ) jest przekształceniem liniowym T (X, Y ). Zatem (U, V ) (, 6) tłumaczy się na (X, Y ) T (, 6). Wystarczy sprawdzić na co przekształcane są punkty (, ), (6, ), (, 6), (6, 6), dostajemy (, ), (, ), (, 4), (4, ) czyli wierzchołki równoległoboku R. Mamy P((U, V ) (, 6) ) P((X, Y ) R) (e x e x )dx + ( 4e 3 + 3e 4. 3 x e y dydx x e y dye x dx (e x e 6+x )dx e ( e 4 ) + e e 3 e 3 + e 4 4. (Eg 5/) Niech będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości f(x, y) x xy <x< <y< Niech S X + Y i V Y X. Wyznacz E(V S ). Odp: C-> 3 8. Rozwiązanie. W tym zadaniu należy wyznaczyć trzeba wyznaczyć rozkład (S, V ) mamy f S,V (s, v) f( (s v), (s + v)) [ 4 (s v) + 6 (s v )] v <min(s, s).

2 Pozostaje zatem wyznaczyć rozkład warunkowy f S,V (v s ) [ 4 ( v) + 6 ( v )] v < 4 ( v) + 6 ( v )dv 9 8 [ 4 ( v) + 6 ( v )] v. Obliczamy E(V S ) 9 3 v( v) (v v3 )dv (Eg 5/7) Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości f(x, y) e x x> <y<. Niech Z X + Y. Wtedy łączny rozkład zmiennych Z, X jest taki, że Odp: D-> jego funkcja gęstości na zbiorze {(z, x) : < x < z < + x} wyraża się wzorem g(z, x) e x. Rozwiązanie. Mamy przekształcenie (Z, X) T (X, Y ), gdzie T jest przekształceniem liniowym T (X, Y ) (X+Y, X). Zatem T (Z, X) (X, (Z X)), nadto moduł z wyznacznika DT. Obliczamy f Z,X (z, x) f(x, (z x)) e x x> < (z x)< e x <xz+x. 6. (Eg 53/) Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej, a zmienna losowa Y rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej. Obie zmienne są niezależne. Oblicz E(Y X +Y 3) Odp: ->, 86. Rozwiązanie. Należy wyznaczyć wspólny rozkład (Y, X + Y ) T (X, Y ). Zatem T (U, V ) (V U, U) oraz DT co oznacza, że f Y,X+Y (u, v) e (v u) e u v u> u> e v+ u v>u>. Stąd Zatem f Y,X+Y (u v) e u v>u> (e v ). E(Y X + Y 3) ( e 3 ) 3 ue u du 4 + e 3 (e 3 ), (Eg 54/) Załóżmy, że niezależne zmienne losowe X, X,..., X n mają rozkłady wykładnicze o wartościach oczekiwanych równych EX i i, i,,..., n. Wtedy prawdopodobieństwo P(X min{x, X,..., X n }) jest równe Odp: D-> n +n. Rozwiązanie. Przypomnijmy, że min(x,..., X n ) ma rozkład wykładniczy którego parametr jest sumą parametrów poszczególnych zmiennych to znaczy Exp( n) Exp( (n+)n ). Nadto jeśli X, Y są niezależne z rozkładu Exp(), to X X, min(x,..., X n ) n +n Y. Zatem P(X min{x, X,..., X n }) P(X e n +n x e x dx n + n. n + n Y ) EP(X n + n Y X)

3 8. (Eg 56/3) Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości f(x, y) x 3 x y. Niech S X + Y i V X Y. Wtedy P(V < S 4) jest równe Odp: C-> 8 5. Rozwiązanie. Należy wyznaczyć rozkład (V, S) (X Y, X +Y ) T (X, Y ). Mamy T (V, S) ( (S + V ), (S V )), DT, stąd Zatem Pozostaje obliczyć f V,S (v, s) f(s + v, s v ) 8 (s + v) 3 s+v s v4 f S,V (v s ) P(V < S 4) 88 5(4 + v) 3 v dv 5(4 + v) (Eg 57/5) Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładów o gęstościach f X (x) 3x e 4x x>, f Y (x) 6xe 4x x>. Wtedy E(X Y X + Y s) jest równa Odp: C-> 5 s. Rozwiązanie. W tym zadaniu szczęśliwie mamy te same parametry przy rozkładach gamma. Rozkład zmiennej X ma postać Γ(3, 4) rozkład Y ma postać Γ(, 4). Możemy skorzystać z wiedzy, że rozkład X pod warunkiem X + Y ma rozkład Beta(3, ) (niezależny od X + Y ), natomiast rozkład Y ma rozkład Beta(, 3) (niezależny od X +Y ). Przypomnijmy, że dla rozkładu Beta(α, β) α wartość oczekiwana wynosi α+β. Zatem E(X Y X + Y s) se X X + Y se Y X + Y s(3 5 5 ) s 5.. (Eg 58/) Niech Z, Z,..., Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale (, ). Wyznaczyć E(Z +Z +...+Z n max(z, Z,..., Z n ) t), gdzie t jest ustaloną liczba z przedziału (, )) Odp: E-> (n+)t n+. Rozwiązanie. Problem najpierw redukujemy do zmiennych X, X,..., X n z rozkładu jednostajnego na (, ) podstawieniem Z i + X i. Stąd E(Z Z n max(z,..., Z n ) t) n + E(X X n max(x,..., X n ) + t ). Zauważmy, że max(x,..., X n ) ma rozkład o gęstości g(t) nt n Zatem szukamy funkcji borelowskiej F : R R takiej, że EX X n max(x,...,x n) EF (max(x,..., Z n )) max(x,...,x n) F (t)g(t)dt. Statystyki pozycyjne X n:,..., X n:n mają rozkład jednostajny na sympleksie n {x R n : x x... x n } o gęstości n! x...x n. Obliczamy EX X n max(x,...,x n) E(X n: X n:n ) Xn:n n xn x n n! x i ) xn dx...dx n n! (... x i dx...dx n )dx n. ( n i i 3

4 Pozostaje zauważyć, że Stąd (n )! x n n xn x... n i EX X n max(x,...,x n) x i dx...dx n (x n + ( n Czyli F (s) n+ +t s. Podstawiając s otrzymujemy n(n + ) x n ndx n E(Z Z n max(z,..., Z n ) t) n + n + + t )x n ) n + x n. (n + ) tg(t)dt. (n + )t n +.. (Eg 59/3) Zmienne losowe X j, gdzie j,, 3,... są warunkowo niezależne pod warunkiem zmiennej Θ i mają rozkłady warunkowe o wartości oczekiwanej Θ i wariancji 4Θ. Zmienna losowa N pod warunkiem zmiennej losowej Λ λ ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ. Zmienne (X, X,...), N są niezależne. Zmienna Θ ma rozkład Gamma z parametrami (, ), a zmienna Λ ma rozkład Gamma z parametrami (, 4). Zmienne Λ i Θ są niezależne. Wariancja zmiennej losowej N S N X i, dla N > S dla N jest równa Odp: E-> 6634, 375. i Rozwiązanie. Mamy do policzenia wariancje S N. Najpierw wyznaczamy wartość oczekiwaną ES N P(N n)es n P(N n)ee(s n θ) n n n ENEΘ EE(NΛ)EΘ EΛEΘ 5 5. Obliczamy ESN P(N n)esn P(N n)esn n n P(N n)ee(sn θ) P(N n)envar(x Θ) + n (E(X Θ)) n 4ENEΘ + EN EΘ 4EE(NΛ)EΘ + EE(N Λ)EΘ E(Λ + 5Λ)EΘ 759, 375. Stąd VarS n 6634, (Eg 59/6) Niech, B, C będą zdarzeniami losowymi spełniającymi warunki P(C\B) > i P(B\C) > i P(B C) > i P( C\B) > P( B). Wtedy Odp: B-> P( B C) > P( B). Rozwiązanie. Mamy P( B B) P( (B C)) P(B C) P( B)P(B) + P( C\B)P(C\B) P(B) + P(C\B) P( B) + P( (C\B)) P(B) + P(C\B) > P( B)P(B) + P( B)P(C\B) P(B) + P(B\C) P( B). 4

5 3. (Eg 6/7) Wybieramy losowo i niezależnie dwa punkty z odcinka [, π] Traktując te dwa punkty jako punkty na okręgu o promieniu, obliczyć wartość oczekiwaną odległości między nimi (odległość mierzymy wzdłuż cięciwy). Odp: B-> 4 π. Rozwiązanie. Jeden z punktów możemy ustalić. Wtedy wybór drugiego punktu to wybór kąta α tworzonego przez środek okręgu i dwa punktu. Długość cięciwy liczymy ze wzoru sin α/ gdzie α pochodzi z rozkładu jednostajnego na [, π]. Zatem wartość oczekiwana ma postać π π sin α dα 4 π. 4. (Eg 6/8) Niech U i V będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale (, ). Niech U Z U + V, 4 wtedy E(Z U + V 4 < ) jest równe? Odp: B-> 8 9. Rozwiązanie. Zadanie polega na umiejętnym wykorzystaniu rozkładu beta. Zauważmy najpierw, U że zmienne (X, Y ) ( ) powstają przez przekształcenie T : (, U +V ) (, ) (, ) którego odwrotne ma postać T (X, Y ) ((XY ), (( X)Y ) 4 ), a którego jakobian ma postać 4 DT (x, y) xy5 ( x) 3 4. Stąd gęstość rozkładu (X, Y ) ma postać Pozostaje obliczyć z rozkładu beta xy 5 4 ( x) 3 4 (<x< <y< + y <x< y y<). P(Y < ) Nadto ponownie z rozkładu beta EX Y < xy 5 4 ( x) 3 Γ()Γ( 4 dxdy 4 ) 9 Γ( + 4 ) x ( x) 3 4 y 5 4 dxdy 9 Γ(3)Γ( 4 ) Γ(3 + 4 ) Stąd E(X Y < ) (Eg 6/5) Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości f(x, y) 8xy <y<x<. Niech U X + Y i V X Y. Wtedy E(V U 4 3 ) jest równa? Odp: D-> 7. Rozwiązanie. Obliczamy wspólny rozkład (V, U) T (X, Y ). Przekształcenie odwrotne ma postać T (V, U) ( (U + V ), (U V )), którego jakobian ma postać DT. Zatem f V,U (v, u) f(u + v Pozostaje wyznaczyć gęstość warunkową, u v ) (u v ) <v<min(u, u) <u<. f V,U (v u 4 3 ) 8 88 (6 9 v ) <v< 3. 5

6 Obliczamy E(V U 4 3 ) v(6 9 v )dv 7. 6