Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Transkrypt

1 czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015

2 Przykład (opis problemu) Kim jesteśmy? Poważną firmą (nazywamy się Poważna Firma). Czym się zajmujemy? Wieloma rzeczami, w tym emisją instrumentów pochodnych, np. opcji na akcję. Zagadnienie Jeśli opcję opłaca się wykonać, to ponosimy (całkiem sporą) stratę. Musimy się jakoś przed tym bronić i zabezpieczyć opcję, czyli stworzyć portfel złożony z akcji i ewentualnie innych instrumentów finansowych.

3 Nasze opcje Figure 1:Payoffy opcji europejskich - krótka pozycja Zajmiemy się opcjami europejskimi, które mogą być zrealizowane tylko w terminie wygaśnięcia opcji. Cena aktywa dzisiaj wynosi S 0, a strike opcji wynosi K.

4 Delta hedging Delta hedging Metoda oparta na replikacji, tzn. budujemy portfel inwestycji, którego wartość w momencie wykonania jest równa wypłacie opcji. Π = V + S + B = 0 Dynamiczny delta hedging jednak jest kosztowny. Co zrobić, gdy nie stać nas na pełną replikację lub gdy nie chcemy wydać takiej kwoty?

5 Figure 2:Hans Föllmer i Peter Leukert W artykule z 1998 roku Hans Föllmer i Peter Leukert zaproponowali kilka sposóbów zabezpieczania instrumentu pochodnego i wyznaczyli strategie dla kilku modeli.

6 Tańsze zabezpieczenie - intuicje Mamy dwie możliwości: Ustalamy prawdopodobieństwo P udanego zabezpieczenia, a następnie wyznaczamy najtańszy portfel, który zabezpiecza instrument z tym prawdopodobieństwem. Ustalamy kwotę V zabezpieczenia, a następnie spośród portfeli, których wartość nie przekacza tej sumy, wybieramy ten, który maksymalizuje prawdopodobieństwo.

7 - świat matematyczny (1) Jak to w świecie matematycznym bywa: (Ω, F, P), (F t ) t [0,T ], X = (X t ) t [0,T ] Zakładamy brak arbitrażu i zupełność rynku, tzn. istnieje dokładnie jedna równoważna miara martyngałowa P Rozważamy nieujemne roszczenie warunkowe: H L 1 (P ), H 0, H F t mierzalne

8 - świat matematyczny (2) Perfect hedge strategia samofinansująca ξ H taka, że: t t [0,T ] E [H F t ] = H 0 + ξs H dx s 0 Jej koszt to: H 0 = E [H] A co, gdy chcemy coś tańszego?

9 - świat matematyczny (3) Podstawowy problem optymalizacyjny Szukamy strategii (V 0, ξ) takiej, że: pod warunkiem: Zbiór sukcesu P [ V 0 + T 0 ξ s dx s H V 0 Ṽ 0 ] = max Zbiór {V T H} będziemy nazywać "zbiorem sukcesu" odpowiadającym strategii (V 0, ξ)

10 - świat matematyczny (4) Lemat Niech à F T przy ograniczeniu będzie rozwiązaniem problemu P[A] = max E [H1 A ] Ṽ 0 Wtedy strategia (Ṽ 0, ξ) będąca perfect hedge dla opcji barierowej H = H1à rozwiązuje nasz problem optymalizacyjny i odpowiadający jej zbiór sukcesu pokrywa się prawie wszędzie z Ã

11 Jak znaleźć zbiór sukcesu Ã? (1) Zdefiniujmy miarę Q następująco: dq dp = H H 0, wtedy warunek przyjmuje postać: E [H1 A ] Ṽ 0 Q [A] α := Ṽ0 H 0.

12 Jak znaleźć zbiór sukcesu Ã? (2) Przyjmując oznaczenia: ã = inf { [ ] } dp a : Q dp > a H α, mamy: à := { dp dp > ã H }, Twierdzenie Załóżmy, że zbiór à spełnia Q [Ã] = α. Wtedy jest on szukanym zbiorem sukcesu w naszym problemie optymalizacyjnym.

13 Jak na to patrzeć?

14 w świecie Blacka-Scholesa W standardowym modelu BS proces ceny aktywa będzie zadany przez geometryczny ruch Browna: dx t = mx t dt + σx t dw t Z wartością początkową X 0 = x 0. Dla uproszczenia: r = 0. Miara martyngałowa dana będzie wzorem: dp ( dp = exp m σ W T 1 ( ) ) m 2 T 2 σ Proces W t = W t + m σ t jest procesem Wienera w mierze P.

15 w świecie Blacka-Scholesa (2) Proces ceny, przy użyciu lematu Ito, ma następującą postać: X T = x 0 exp(σw T + (m 1 2 σ2 )T ) = x 0 exp(σw T 1 2 σ2 T ) Możemy więc zapisać: dp dp = const X m/σ2 T

16 w świecie Blacka-Scholesa (3) Z twierdzenia wiemy, że optymalną strategią będzie replikacja opcji barierowej H1 A, gdzie zbiór A jest postaci: A = { dp dp > const H } Używając oznaczeń z poprzedniego slajdu: A = {X m/σ2 T > λ(x T K) +} gdzie stała λ jest wybrana tak, aby: E [H1 A ] = V 0.

17 Zbiór sukcesu - przypadek pierwszy m σ 2 Wtedy funkcja f (x) = x m/σ2 jest wklęsła i przecina się z prawą stroną nierówności w jednym miejscu, dla opcji call i put. Figure 3:Zabezpieczany obszar payoffu - opcja call

18 Zbiór sukcesu - przypadek drugi m > σ 2 Funkcja jest wypukła, w przypadku opcji call dzieli to zabezpieczany obszar na dwa. Figure 4:Zabezpieczany obszar payoffu - opcja call

19 Opcja barierowa w praktyce - call Parametry: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100 Cena pełnego zabezpieczenia: Cena zabezpieczenia z zadanym prawdopodobieństwem: Prawdopodobieństwo: 99% Cena procentowo: 98%

20 Opcja barierowa w praktyce - call Parametry: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100 Cena pełnego zabezpieczenia: Cena zabezpieczenia z zadanym prawdopodobieństwem: 9.34 Prawdopodobieństwo: 95% Cena procentowo: 90%

21 Opcja barierowa w praktyce - call Parametry: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100 Cena pełnego zabezpieczenia: Cena zabezpieczenia z zadanym prawdopodobieństwem: 8.28 Prawdopodobieństwo: 90% Cena procentowo: 79%

22 Opcja barierowa w praktyce - call Parametry: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100 Cena pełnego zabezpieczenia: Cena zabezpieczenia z zadanym prawdopodobieństwem: 5.35 Prawdopodobieństwo: 75% Cena procentowo: 51%

23 Opcja barierowa w praktyce - call Parametry: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100 Cena pełnego zabezpieczenia: Cena zabezpieczenia z zadanym prawdopodobieństwem: 1.57 Prawdopodobieństwo: 50% Cena procentowo: 15%

24 Opcja barierowa w praktyce - put Parametry: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100 Cena pełnego zabezpieczenia: Cena zabezpieczenia z zadanym prawdopodobieństwem: Prawdopodobieństwo: 99% Cena procentowo: 95%

25 Opcja barierowa w praktyce - put Parametry: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100 Cena pełnego zabezpieczenia: Cena zabezpieczenia z zadanym prawdopodobieństwem: Prawdopodobieństwo: 95% Cena procentowo: 79%

26 Opcja barierowa w praktyce - put Parametry: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100 Cena pełnego zabezpieczenia: Cena zabezpieczenia z zadanym prawdopodobieństwem: 8.29 Prawdopodobieństwo: 90% Cena procentowo: 63%

27 Opcja barierowa w praktyce - put Parametry: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100 Cena pełnego zabezpieczenia: Cena zabezpieczenia z zadanym prawdopodobieństwem: 3.51 Prawdopodobieństwo: 75% Cena procentowo: 27%

28 Opcja barierowa w praktyce - put Parametry: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100 Cena pełnego zabezpieczenia: Cena zabezpieczenia z zadanym prawdopodobieństwem: 0.06 Prawdopodobieństwo: 50% Cena procentowo: <1%

29 Koszt hedgingu w zależności od prawdopodobieństwa Opcja call o parametrach: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100

30 Koszt hedgingu w zależności od prawdopodobieństwa Opcja put o parametrach: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100

31 Hedging - histogram strat Opcja call o parametrach: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100 Prawdopodobieństwo zabezpieczenia: 90%, liczba symulacji: 10000

32 Hedging - histogram strat Opcja put o parametrach: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100 Prawdopodobieństwo zabezpieczenia: 90%, liczba symulacji: 10000

33 Co dalej? Dla strategii (V 0, ξ) możemy zdefiniować stratę S = (H V T ) +. Pokazana metoda maksymalizuje prawdopodobieństwo tego, że strata S jest równa 0. Kontrolowanie rozmiaru straty Przykładowo, dla funkcji straty l(x) = x możemy minimalizować expected shortfall E[S] = E[(H V T ) + ] Funkcja straty będzie określać nasze podejście do ryzyka.

34 Bibliografia Föllmer H., Leukert P.,, /PDF/13.pdf Föllmer H., Schied A., Stochastic Finance. An Introduction in Discrete Time.

35 Dziękujemy za uwagę!