Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i ="

Transkrypt

1 Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka litera sigma, symbol k to tzw. wskaźik sumowaia, liczba to doly wskaźik sumowaia, a liczba to góry wskaźik sumowaia. Prawdziwe są p. rówości: a k 5 k , k Wskaźik sumowaia moża ozaczać dowolą literą. Mamy p. a k a i a j a r. r Poadto wskaźiki sumowaia doly m i góry mogą być dowolymi liczbami całkowitymi takimi, że m. Mamy p. oraz 8 (2k + ) k k ( 2) + ( ) k 2 Przekształcając wyrażeia zawierające sumy o dowolej liczbie składików, korzysta się z ważych własości takich sum. Przedstawimy tu ajważiejsze z ich. Własość. Dla dowolych liczb a,..., a, c zachodzi rówość c a k ca k. Powyższa własość wyika z rozdzielości możeia względem dodawaia liczb. Własość 2. Dla dowolych liczb całkowitych r, s, t spełiających waruek r s < t zachodzi rówość t a k kr s a k + kr t a k. () ks+

2 Przy powyższych ozaczeiach zachodzą bowiem rówości: t a k (a r a s ) + (a s a t ) kr s t a k + a k. kr ks+ Własość. Dla dowolych liczb m,, r Z takich, że m zachodzi rówość a k km +r km+r a k r. (2) Przy powyższych ozaczeiach zachodzą bowiem rówości: +r km+r a k r a (m+r) r + a (m+r+) r a (+r) r a m + a m a a k. Rozpatrzmy astępującą prostokątą tablicę liczb czyli tzw. macierz a a 2... a a 2 a a a m a m2... a m Liczby tworzące tę macierz azywamy jej elemetami. Rzędy poziome tej macierzy azywamy wierszami, a rzędy pioowe azywamy kolumami. Każdy elemet tej macierzy ma dwa ideksy. Pierwszy jest umerem wiersza, w którym zajduje się te elemet, a drugi jest umerem kolumy. Dla każdego i {,..., m} suma elemetów stojących w i-tym wierszu jest rówa a ij. Wobec tego suma wszystkich elemetów macierzy jest rówa m ( ) a ij. Podobie dla każdego j {,..., } suma elemetów stojących w j-tej kolumie jest rówa m a ij, a suma wszystkich elemetów aszej macierzy jest rówa ( m ) a ij. 2 km

3 Porówując otrzymae sumy i opuszczając awiasy, otrzymujemy poiższą Własość. Dla dowolych liczb aturalych m i oraz liczb a ij, gdzie i {,..., m}, j {,..., } zachodzi rówość m a ij m a ij. () Powyższy związek moża wyrazić astępująco: w sumach podwójych moża zmieiać kolejość sumowaia. Własość tę mają rówież sumy potróje i ogólie l-krote, gdzie l N \ {}. Iloczy a a 2... a zapisujemy w postaci (czytaj: iloczy od k do a k ). Zak Π to duża grecka litera pi, symbol k to tzw. wskaźik iloczyu, liczba to doly wskaźik iloczyu, a liczba to góry wskaźik iloczyu. Mamy p. 7 (k + ) Prawdziwe są odpowiediki iloczyowe podaych wyżej własości, 2, i. Zadaie. Obliczyć: a) 5 2 k ; b) 6 j j. a k Zadaia a zajęcia Zadaie 2. Za pomocą zaku Σ zapisać astępującą sumę: a) ; b) 5! + 6! + 7! + 8! + 9!. Zadaie. Daa jest macierz i Π: a) a ij ; b) a a 2 a a 2 a 22 a 2 a a 2 a a ij ; c). Zapisać dae wyrażeie bez użycia symboli Σ a ij. i j Zadaia domowe Zadaie. Obliczyć:

4 7 a) (2k ); b) 5 i 8 i + ; c) ( ) k k 2. i2 i2 Zadaie 5. Za pomocą zaku Σ zapisać astępującą sumę: a) si x + si 2x si x; b) a + (a + ) 2 + (a + 2) (a + 2) 2+. Zadaie 6. Za pomocą zaku Π zapisać astępujący iloczy Zadaie 7. Sformułować i uzasadić iloczyowe odpowiediki własości, 2, i. Zadaie 8. Daa jest macierz i Π: a) a ij ; b) a a 2 a a 2 a 22 a 2 a a 2 a a ij ; c). Zapisać dae wyrażeie bez użycia symboli Σ i a ij ; d) a ij ; ij e) a ij ; f) ji j a ij ; g) i a ij ; h) i a ij ; i) a ij ; j) j i i a ij ; k) a ij ; l) ij a ij ; j i ł) j a ij ; m) a ij ; ) ji j a ij ; o) i a ij. Zadaie 9. Daa jest macierz. Dae wyrażeie zapisać za pomocą sym- boli Σ i Π: a a 2 a a a 2 a 22 a 2 a 2 a a 2 a a a) (a + a 2 + a + a )(a 2 + a 22 + a 2 + a 2 )(a + a 2 + a + a ); b) (a + a 2 + a )(a 2 + a 22 + a 2 )(a + a 2 + a )(a + a 2 + a ); c) a a 2 a a + a 2 a 22 a 2 a 2 + a a 2 a a ; d) a a 2 a + a 2 a 22 a 2 + a a 2 a + a a 2 a. Zadaie 0. Daa jest astępująca trójkąta tablica liczb: a a 2 a 22 a a 2 a a a 2 a... a

5 Sumując dwoma sposobami elemety tej tablicy, wykazać rówość i a ij ij a ij Zadaie. Daa jest astępująca tablica liczb: a 2, a a 2 a, 2 a, a a... a, 2 a, a Sumując dwoma sposobami elemety tej tablicy, wykazać odpowiedią rówość. Idukcja matematycza Zasadę idukcji matematyczej (lub też idukcji zupełej) stosuje się w dowodach liczych twierdzeń. Twierdzeie (Zasada idukcji matematyczej). Niech każdej liczbie aturalej przyporządkowae będzie zdaie T() i iech spełioe będą waruki: o. zdaie T() jest prawdziwe, 2 o. dla każdej liczby aturalej ze zdaia T() wyika zdaie T( + ). Wówczas zdaie T() jest prawdziwe dla każdej liczby aturalej. Zasadę idukcji matematyczej moża sugestywie zilustrować za pomocą odpowiedio ustawioych tabliczek domia. Zadaia a zajęcia Zadaie 2. Stosując zasadę idukcji matematyczej, wykazać, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość k ( + ). () 2 Zadaie. Za pomocą idukcji matematyczej wykazać, że dla każdego N zachodzi rówość 2 ( ) k+ (2k ) 2(6 2 ). (5) Zadaie. Wykazać, że dla dowolych N i x R \ {} zachodzi rówość + x + x x x+ x. (6) 5

6 Zadaie 5. Wykazać, że dla każdego zachodzi ierówość > 5. (7) Zadaie 6. Wykazać, że dla każdej liczby aturalej prawdziwy jest związek ( ). Zadaie 7. Wykazać, że dla każdego liczba P wszystkich przekątych -kąta wypukłego jest rówa ( )/2. Zadaie 8. Stosując zasadę idukcji matematyczej, udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość k 2 ( + )(2 + ). (8) 6 Zadaie 9. Stosując zasadę idukcji matematyczej, udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość (7k )(7k + ) (7 + ). (9) Zadaie 20. Metodą idukcji zupełej wykazać, że dla każdego N zachodzi rówość si kx si + 2 x si 2 x si x 2, (x 2kπ). (0) Uwaga. Tego typu zadaia moża przerabiać w ramach kursu trygoometrii. Zadaie 2. Wykazać, że jeśli x, to dla każdej liczby aturalej zachodzi poiższa ierówość, zwaa ierówością Beroulliego ( + x) + x. () Zadaie 22. Metodą idukcji zupełej wykazać, że dla każdego N {0} prawdziwy jest związek (X 2 + X + ) [(X + ) 2+ + X +2 ]. (2) 6

7 Zadaie 2. Poiższą rówość zapisać za pomocą zaków Σ i udowodić ją przez idukcję: Zadaia domowe Zadaie 2. Wykazać, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość: a) (0k ) (5 + 2); b) c) d) e) f) g) k(k + ) ( + )( + 2); (k + 2)(k + ) ( + 2)( + ); [ ] 2 k 2 ( + ) ; 2 (5k )(5k + ) 5 + ; k 2 ( + ) (2k )(2k + ) 2(2 + ). ( ) k+ k 2 ( + ); Zadaie 25. Metodą idukcji matematyczej wykazać rówość: a) ( ) +, ( 2). k 2 2 k2 Zadaie 26. Wykazać rówość: ( a) x 2 ( + x x) 2 ) x 2 b) k0 cos kx si( + )x cos k x cos x si x, ( x x ) 2 (x 2 kπ). ( x 2+2 ) 2 ; x 2 x 2 Zadaie 27. Metodą idukcji matematyczej wykazać ierówość: >. Zadaie 28. Udowodić związek 25 ( ). 7

8 0.. Zasada miimum (adprogramowe!) Poiższe twierdzeie jest rówoważe z zasadą idukcji matematyczej. Twierdzeie 2 (Zasada miimum.). W każdym iepustym podzbiorze zbioru N liczb aturalych istieje liczba ajmiejsza. Zadaie 29. Stosując zasadę miimum, wykazać, że każda liczba aturala > jest iloczyem liczb pierwszych. (Pojedyczą liczbę pierwszą traktujemy tu jako jedoczyikowy iloczy liczb pierwszych.) Zadaie 0. Udowodić astępujące twierdzeie : każda liczba aturala jest ciekawa. Uwaga. Poiżej dla każdej spośród liczb aturalych od do 8 wskazujemy własość świadczącą o tym, że daa liczba aturala jest ciekawa: ajmiejsza liczba aturala, jedya liczba aturala, która ie jest ai liczbą pierwszą, ai liczbą złożoą, 2 ajmiejsza liczba pierwsza, ajmiejsza liczba pierwsza ieparzysta; ajmiejsza liczba aturala, która ie jest sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych, ajmiejsza liczba złożoa, 5 ajmiejsza liczba aturala będąca sumą kwadratów dwóch różych liczb aturalych, 6 ajmiejsza liczba aturala będąca iloczyem dwóch różych liczb pierwszych, 7 ajmiejsza liczba aturala iebędąca sumą kwadratów trzech liczb całkowitych, 8 ajmiejsza liczba aturala będąca sześciaem liczby pierwszej Symbol Newtoa Dla każdej liczby aturalej liczbę! (czytaj: silia) określamy wzorem! Przyjmujemy poadto umowę, że 0!. W szczególości mamy!, 2! 2,! 6,! 2, 5! 20, 6! 720, 7! 500. Dla każdej liczby aturalej i dowolej liczby całkowitej k takiej, że 0 k wartość ( ) k (czytaj: po k) symbolu Newtoa określamy wzorem! k k! ( k)!. Przyjmujemy poadto umowę, że jeśli N i k jest liczbą całkowitą ujemą, to ( k) 0. Dla dowolych N i k {0,,..., } liczba ( k) jest rówa liczbie wszystkich k-elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego. Poieważ liczba wszystkich podzbiorów zbioru -elemetowego jest rówa 2, więc zachodzi rówość k0 k 2. () Zadaia a zajęcia 8

9 Zadaie. Sprawdzić, że jeśli 0 k, to zachodzi rówość k ( ) k (symetria). () Zadaie 2. Obliczyć: 6 a) ; b) ; c) 28 ; d) Zadaie. Wykazać, że jeśli k, N i k, to zachodzi rówość + k k +. (5) k 0.. Wzór dwumiaowy Newtoa Dobrze zamy poiższe wzory a kwadrat sumy i sześcia sumy: (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2, (a + b) a + a 2 b + ab 2 + b. Ich uogólieiem jest poiższy tzw. wzór dwumiaowy Newtoa zachodzący dla dowolych liczb a, b R i N : (a + b) Rówość (6) moża też zapisać astępująco (a + b) a + a b + k0 a k b k. (6) k ( a 2 b ) ab + b. (7) Zadaia a zajęcia Zadaie. Metodą idukcji matematyczej udowodić wzór (6). Uwaga. Nie wyprowadza się oddzielego wzoru dla (a b), gdyż różica a b też jest sumą. Miaowicie a b a + ( b). Zadaie 5. Rozpatrując wyrażeie ( + ), wykazać w sposób algebraiczy rówość (). 9

10 0.. Trójkąt Pascala Współczyiki występujące w rozwiięciach kolejych potęg dwumiau moża ustawić w formie poiższej tablicy zwaej trójkątem Pascala Trójkąt Pascala jest więc astępujący Na początku i końcu każdego wiersza stoi liczba. Każdy iy współczyik jest a mocy rówości (5) rówy sumie dwóch współczyików stojących tuż ad im. Zadaia a zajęcia Zadaie 6. Korzystając z trójkąta Pascala, rozwiąć wyrażeie: a) (a + b) ; b) (a + b) 5. Zadaia domowe Zadaie 7. Korzystając z trójkąta Pascala, rozwiąć wyrażeie (a + b) 6. 0

11 0.5. Pewe wzory skrócoego możeia Kolejymi zaymi am tożsamościami algebraiczymi są rówości: a 2 b 2 (a b)(a + b), a b (a b)(a 2 + ab + b 2 ). Ich uogólieiem jest zachodząca dla każdego N \ {} rówość Mamy p. a b (a b)(a + a 2 b + a b ab 2 + b ). a 5 b 5 (a b)(a + a b + a 2 b ab + b ). Zauważmy, że jeśli liczba aturala > jest ieparzysta, to z powyższej tożsamości oraz ze związku a + b a ( b) otrzymujemy rówość Mamy p. a + b (a + b)(a a 2 b + a b 2... ab 2 + b ). a + b (a + b)(a 2 ab + b 2 ), a 5 + b 5 (a + b)(a a b + a 2 b 2 ab + b 2 ). Literatura Jeśmiaowicz L. i Łoś J. Zbiór zadań z algebry, Warszawa, PWN Musielak J. Wstęp do matematyki, Warszawa, PWN. a) 62; b) a) Na przykład 8 przykład si kx; b) p. 2 k0 k2 b) (a + a 2 + a )(a 2 + a 22 + a 2 )(a + a 2 + a ); c) a + a 2 a 22 + a a 2 a ; d) (a + a 2 + a )(a 22 + a 2 )a ; e) a a 2 a + a 22 a 2 + a ; f) a (a 2 + a 22 )(a + a 2 + a ); g) a a 2 a + a 2 a 22 + a ; h) (a + a 2 + a )(a 2 + a 22 )a ; i) a + a 22 a 2 + a a 2 a ; j) a (a 2 + a 22 )(a + a 2 + a ); k) a a 2 a + a 22 a 2 + a ; l) a (a 22 + a 2 )(a + a 2 + a ); ł) a + a 2 a 22 + a a 2 a ; m) (a + a 2 + a )(a 22 + a 2 )a ; ) a a 2 a + a 2 a 22 + a ; Odpowiedzi k k; b) p. 9 k5 00 k!.. a) 9; b) 6 20 c) a) Na (a + k) k+. 6. Na przyklad k. 8. a) a a 2 a + a 2 a 22 a 2 + a a 2 a ; k

12 o) (a + a 2 + a )(a 2 + a 22 )a. 9. a) a ij ; d) a ij ; b) a ij.. j i+ a ij a ij ; c) i j+ a ij. 2. a) 560; b) 0; c) ; d) a) (a + b) a + a b + 6a 2 b 2 + ab + b ; b) (a+b) 5 a 5 +5a b+0a b 2 +0a 2 b +5ab +b (a+b) 6 a 6 +6a 5 b+5a b 2 +20a b +5a 2 b +6ab 5 +b 6. 2

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1 Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy 12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw

Bardziej szczegółowo

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204. Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet

Bardziej szczegółowo

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12 Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.

KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli. KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1 30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] Wrocław, 3 paździerika 03 SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia. INDUKCJA MATEMATYCZNA.. Wprowadzeie.. Lista zadań 4.

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. 3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Wrocław, 2 grudia 203 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia 2. INDUKCJA MATEMATYCZNA 2.. Wprowadzeie 2.2. Lista zadań

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest

Bardziej szczegółowo

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych

Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)

Bardziej szczegółowo

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767

1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767 Egzami maturaly z iformatyki Zadaie. (0 pkt) Każdy z puktów tego zadaia zawiera stwierdzeie lub pytaie. Zazacz (otaczając odpowiedią literę kółkiem) właściwą kotyuację zdaia lub poprawą odpowiedź. W każdym

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 2 notatki

Zajęcia nr. 2 notatki Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi:

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333)) 46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie

Bardziej szczegółowo

Geometrycznie o liczbach

Geometrycznie o liczbach Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly

Bardziej szczegółowo

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011 Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y

Bardziej szczegółowo

Podstawowe cechy podzielności liczb.

Podstawowe cechy podzielności liczb. Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA ZADANIA

KOMBINATORYKA ZADANIA KOMBINATORYKA ZADANIA Magdalea Rudź 25 marca 2017 1 Zadaie 1. a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 1.1

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie o sumach cyfr poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie o sumach cyfr poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 1 Popatrzmy a astępujące trzy zadaia: Zadaie 1. Ile jest liczb dwudziestocyfrowych o sumie cyfr rówej 5? Zadaie. Oblicz, ile jest liczb dwudziestocyfrowych

Bardziej szczegółowo

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Parametryzacja rozwiązań układu równań Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie

Bardziej szczegółowo

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę

Bardziej szczegółowo

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb

Bardziej szczegółowo

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech

Bardziej szczegółowo

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE. ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów

Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

2. Nieskończone ciągi liczbowe

2. Nieskończone ciągi liczbowe Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi

Bardziej szczegółowo

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

c 2 + d2 c 2 + d i, 2 3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 2.1

Ekonomia matematyczna - 2.1 Ekoomia matematycza - 2.1 Przestrzeń produkcyja Zakładamy,że w gospodarce występuje towarów, każdy jako akład ( surowiec ) lub wyik ( produkt ) w procesach produkcji. Kokrety proces produkcji jest reprezetoway

Bardziej szczegółowo

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki 1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae

Bardziej szczegółowo

Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

Teoria obliczeń: ciągi, notacja 0. Wykład 7

Teoria obliczeń: ciągi, notacja 0. Wykład 7 Teoria obliczeń: ciągi, otacja 0 Wykład 7 Ο( log ) Σ Ciąg to fukcja określoa a zbiorze liczb aturalych N a, a,..., a 1, a, a 1,... N Ciąg opisuje się jako listę: 1 + w której dla każdej liczby aturalej

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 1. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 1. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Kombiowaie o ieskończoości.. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch marzec 208 Szybkie przypomieie z wykładu Prezetacja multimediala do wykładu. Permutacje,

Bardziej szczegółowo

INDUKCJA MATEMATYCZNA

INDUKCJA MATEMATYCZNA MATEMATYKA DYSKRETNA (4/5) dr hab. iż. Małgorzata Stera malgorzata.stera@cs.put.poza.pl www.cs.put.poza.pl/mstera/ INDUKCJA MATEMATYCZNA Matematya Dysreta Małgorzata Stera FUNKCJA SILNIA dla, fucja silia

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza i logarytm

Funkcja wykładnicza i logarytm Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17 Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, 50-585. Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, 50-59. Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, 50-64.

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012 Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych

O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych O kilku zastosowaiach grup i pierściei grupowych Czesław BAGIŃSKI, Edmud R. PUCZYŁOWSKI, Białystok Warszawa Nierzadko zdarza się, że rozwiązaie elemetarie brzmiącego zadaia, wymaga iestadardowych pomysłów.

Bardziej szczegółowo

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Kombinacje. Twierdzenie. (Liczba k elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego) C(n,k) =, gdzie symbol oznacza liczbę i n k.

Wykład 2. Kombinacje. Twierdzenie. (Liczba k elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego) C(n,k) =, gdzie symbol oznacza liczbę i n k. Wykład 2. Krzyś wiedział a pewo, Ŝe to miejsce jest zaczarowae, bo igdy ikt ie mógł się doliczyć, ile rosło tam drzew, sześćdziesiąt trzy czy sześćdziesiąt cztery, awet kiedy po przeliczeiu przywiązywało

Bardziej szczegółowo